【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 必修第二册课后习题 第六章测评 Word版含解析.docx，共(8)页，104.599 KB，由小赞的店铺上传

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过关综合测评第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021安徽庐阳校级期末)下列说法正确的是()A.若|a|=|b|,则a=b或a=-bB.若a,b互为相反向量,则a+

b=0C.零向量是没有方向的向量D.若a,b是两个单位向量,则a=b答案B解析当|a|=|b|时,a,b可能不共线,故A错误;若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0,故B正确;零向量的方向不确定,为任意方向,不能说零向量没有方向,故C错误;若a,b是两个单位向量

,则|a|=|b|,而方向可能不同,故D错误.故选B.2.(2021安徽庐阳校级期末)已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗同向的单位向量是()A.(35,-45)B.(-35,45)C.(-45,35)D.(45,-35

)答案A解析∵A(4,1),B(7,-3),∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3,-4),故与向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗同向的单位向量为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=(35,-45).故选A.3.(2021全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=√19,AB=2,则BC=()A.1B.

√2C.√5D.3答案D解析设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.4.(2021北京朝阳校级月考)已知a=(1,-2),b=(-2,m),若a⊥(a+2b),则实数

m的值为()A.14B.12C.1D.2答案A解析∵a=(1,-2),b=(-2,m),∴a·b=-2-2m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=5-4-4m=0,解得m=14.故选A.5.(2021四川巴中模拟)已知向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-2

),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-3),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,t).若A,B,C三点共线,则实数t=()A.-4B.-5C.4D.5答案A解析向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-2),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-3),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,t).若A,B,C三点共线,则

存在实数x,使𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+(1-x)𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,即{3=𝑥+2(1-𝑥),𝑡=-2𝑥-3(1-𝑥),解得{𝑥=-1,𝑡=-4.故选A.6.(2021湖南郴州期末)已知平面

向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗满足|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=1,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-12.若|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=1,则|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|的最大值为()A.√2-1B.√3-1C.√2+1D.√3+1答

案D解析∵|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=1,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-12,∴cos∠APB=𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-12,∴∠APB=23π.由余弦定理,得AB2=PA2+PB

2-2PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=√3,则|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√3.∴当𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗同向共线时,|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|有最大值√3+1.故选D.7.(2021北京模拟)在等腰梯形ABCD

中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,M为BC的中点,则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗B.34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗C.34𝐴

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗D.12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗答案B解析如图所示,在等腰梯形ABCD中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-2𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=-12

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.又M为BC的中点,∴𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.又𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=32𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.故选B.8.

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,BC边上的高为1,则△ABC面积的最小值为()A.2-√5B.2-√3C.2+√3D.2+√5答案B解析设△ABC的面积为S,BC边上的高为h,则h=1,∴S=12bcsinA=14bc,即bc=4S.又S=1

2ah=12a,∴S2=14a2=14(c2+b2-2bccosA)=14(c2+b2-√3bc)≥14(2bc-√3bc)=2-√34bc=2-√34×4S=(2-√3)S,当且仅当b=c时,等号成立.∴S≥2-√3,故△ABC面积的最小值为2-√3.故选B.二、选择题:本题共4小

题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则下列选项正确的有()A.(a+2b)∥cB.(a+2b)⊥cC.|a+c|=√10+√34D.|a+c|

=2|b|答案AD解析a+2b=(-3,5),故A正确,B错误;|a+c|=√(1+3)2+(3-5)2=2√5=2|b|,故C错误,D正确.故选AD.10.(2021广东宝安校级期末)设P是△ABC所在平面内的一点,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,则()A.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0B.𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0C.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗D.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0答案CD解析因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗-3𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0,即𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗

⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,故D正确,A,B错误;易知C正确.故选CD.11.(2021江苏建邺校级月考)已知满足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有两个,那么b可能是()A.5B.6C.7D.8答案A

BC解析在△ABC中,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,得𝐴𝐵sin𝐶=𝐴𝐶sin𝐵,即4sin30°=𝑏sin𝐵,解得sinB=𝑏8.由题意知,当sinB∈(12,1)时,满足条件的△ABC有两个,即12<𝑏8<1,解得4<b<8,所以b可能是5,6,7.故选ABC

.12.(2021江苏常州期末)在△ABC中,满足cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的是()A.A+B=π2B.|tanA|=cos𝐵cos𝐴C.若A,B为不同象限的角,则tan(A+B)+2tan𝐴+tan𝐵的最大值为-2D.sin2𝐴+sin2𝐵+sin

2𝐶sin𝐶cos𝐴cos𝐵=4答案BC解析对于A,由cos2A+cos2B=1,得|cosB|=|sinA|,可得A+B=π2或A-B=π2,故A错误;对于B,由|cosB|=|sinA|,

得|tanA|=cos𝐵cos𝐴,故B正确;对于C,因为A,B为不同象限的角,所以tanAtanB=-1,所以A,B中必有一角大于π2,所以C∈0,π2,tanC>0,所以tan(A+B)+2tan𝐴+tan𝐵=-tanC+2(tan𝐴tan𝐵-1)·tan𝐶=-(ta

n𝐶+1tan𝐶)≤-2,当且仅当tanC=1时,等号成立,故C正确;对于D,因为sin2A+sin2B+sin2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin2C=2sin(A+B)cos(A-

B)+2sinCcosC=2sinCcos(A-B)-2sinCcos(A+B)=4sinAsinBsinC,所以sin2𝐴+sin2𝐵+sin2𝐶sin𝐶cos𝐴cos𝐵=4tanAtanB=±4,故D错误

.故选BC.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021湖南怀化期末)在水流速度为4km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为km/h.答案4√5

解析由题意,如图,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗表示水流速度,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗表示船在静水中的速度,则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗表示船的实际速度.则|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=4,|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=8,∠AOB=90°,∴|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=

√42+82=4√5,∴实际速度的大小为4√5km/h.14.(2021全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.答案2√2解析由题意可知△ABC的面积S=12acsin60°=√3,整理得ac=4.

结合已知得a2+c2=3ac=12.因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=2√2.15.(2021安徽芜湖模拟)已知a,b,c是单位向量,a+

b+c=0,则|a-b|=.答案√3解析由a+b+c=0,得a+b=-c,∴(a+b)2=(-c)2.∵a,b,c是单位向量,∴a·b=-12,∴|a-b|=√(𝑎-𝑏)2=√3.16.(2021浙江卷)在△ABC中,∠B=6

0°,AB=2,M是BC的中点,AM=2√3,则AC=,cos∠MAC=.答案2√132√3913解析由题意作出图形,如图,在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM·BA·cosB,即12=4+BM2-2

BM×2×12,解得BM=4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM=8.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=4+64-2×2×8×12=52,所以AC=2√13.在△AMC中,由余弦

定理的推论,得cos∠MAC=𝐴𝐶2+𝐴𝑀2-𝑀𝐶22𝐴𝑀·𝐴𝐶=52+12-162×2√3×2√13=2√3913.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知平面上点A(4,1),

B(3,6),D(2,0),且𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.(1)求|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|;(2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗}表示𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗.解(1)设点C的坐标为(x,

y),已知点A(4,1),B(3,6),D(2,0),所以𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(x-3,y-6),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-1).又𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以{𝑥-3=-2,𝑦-6=-1,解得{𝑥=1,𝑦=5,所以点C的坐标为(1,5),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,4

),所以|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√(-3)2+42=5.(2)已知点M(-1,4),所以𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-5,3),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,5),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-1).设𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,即{-5=-𝜆-2

𝜇,3=5𝜆-𝜇,解得{𝜆=1,𝜇=2,故𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.18.(12分)(2021安徽定远校级期末)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a

+c,求向量m,n的夹角的大小.解(1)由a∥b,得x-2×3=0,解得x=6.由a⊥c,得1×2+2y=0,解得y=-1.故b=(3,6),c=(2,-1).(2)∵m=2a-b=(-1,-2),n=a+c=(3,1)

,∴m·n=-1×3-2×1=-5,|m|=√(-1)2+(-2)2=√5,|n|=√32+12=√10,∴cos<m,n>=𝑚·𝑛|𝑚||𝑛|=-5√5×√10=-√22.又0≤<m,n>≤π,∴向量m,n的夹角为3π4.19.(12分)(2021安徽瑶海月考)已知海岛A四周

8海里内有暗礁,有一货轮由西向东航行,在B处望见岛A在北偏东75°,航行20√2海里后,在C处望见此岛在北偏东30°,若货轮不改变航向继续前进,有没有触礁危险?请说明理由.解没有触礁危险,理由如下:如图所示,由题意知,∠ABC=15°,∠ACD=60°,∴∠BAC=4

5°.在△ABC中,BC=20√2,由正弦定理得AC=𝐵𝐶sin15°sin45°=40sin15°=10(√6−√2).在直角三角形ACD中,AD=AC•sin60°=15√2-5√6>8,从而可知货轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.20.(12分)(2021浙

江北仑校级期中)如图,在直角梯形ABCD中,角B是直角,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,AB=AD=2,E为AB的中点,𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(0≤λ≤1).(1)当λ=13时,用𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗表示𝑃𝐸⃗⃗

⃗⃗⃗;(2)求|𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值并求出相应的实数λ的值.解(1)当λ=13时,𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,故𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗)=12(𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=12𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=16𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐷𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗.(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0),𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,2).因为𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-λ,2λ),0≤λ≤1,所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗

⃗=(2-λ,2λ),P的坐标为(2-λ,2λ).因为E的坐标为(0,1),所以𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(λ-2,1-2λ),|𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=√(𝜆-2)2+(1-2𝜆)2=√5𝜆2-8𝜆+5,当λ=45时,|PE|取得最小值3√55.21.(12分)(202

1浙江期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cosB+bcosA=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,求△ABC的周长的最大值.解(1)已知(a+2c)cosB+bcosA=0,则(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,即sinAcosB+co

sAsinB+2sinCcosB=0,sin(A+B)+2sinCcosB=0,sinC+2sinCcosB=0,∵sinC>0,∴cosB=-12.∵0<B<π,∴B=2π3.(2)∵b=3,sinB=√32,∴由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2

√3,即a=2√3sinA,c=2√3sinC,∴△ABC周长为a+b+c=2√3(sinA+sinC)+3=2√3sinA+sin(π3-𝐴)+3=2√3sin(𝐴+π3)+3.∵0<A<π3,∴π3<A+π3<2π3,∴sin(𝐴+π3)∈(√32,1],即2√3sin(𝐴+π3)+3

∈(6,2√3+3],则△ABC周长的最大值为2√3+3.22.(12分)(2021新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.(1)证明

由正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b.(2)解由(1)知BD=b,∵AD=2DC,∴AD=23b,DC=13b.在△ABD中,由余弦定理的推论,得cos∠BDA=𝐵𝐷2+𝐴𝐷2-𝐴𝐵2

2𝐵𝐷·𝐴𝐷=𝑏2+(23𝑏)2-𝑐22𝑏·23𝑏=13𝑏2-9𝑐212𝑏2,在△CBD中,由余弦定理的推论,得cos∠BDC=𝐵𝐷2+𝐶𝐷2-𝐵𝐶22𝐵𝐷·𝐶𝐷=𝑏2+(13𝑏)2-𝑎22𝑏·13𝑏=10

𝑏2-9𝑎26𝑏2.∵∠BDA+∠BDC=π,∴cos∠BDA+cos∠BDC=0.即13𝑏2-9𝑐212𝑏2+10𝑏2-9𝑎26𝑏2=0,得33b2=9c2+18a2.∵b2=ac,∴9c2-33ac+18a2=0.∴c=3a或c=23a.在△ABC中,由余弦定理的

推论知,cos∠ABC=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=𝑎2+𝑐2-𝑎𝑐2𝑎𝑐,当c=3a时,cos∠ABC=76>1(舍);