【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期5月保温卷数学试题（一）含答案.docx，共(21)页，1.388 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2021届高三高考考前保温卷一一、单选题1．已知集合0ln1Axx=，220Bxxx=−−，则AB=（）A．1,2−B．1,e−C．0,2D．0,e2．若()12zi−=，则z=（）A．1i−B．1i+C．1i−−D．1i−+3．ABC中，“1sin2A=

”是“6A=”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．函数23()cosxfxxx=+的图像大致为（）A．B．C．D．5．鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是

一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台1111ABCDABCD−是鼎中盛烹煮物的部分，四边形ABCD是矩形，其中40cmAD=，30cmAB=，1120cmAB=，点1A到平面ABCD的距离

为18cm，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（）（假定烹煮的食物全在四棱台1111ABCDABCD−内）A．310400cmB．314000cmC．314800cmD．315200cm6．设sin20m=，cos20n=，化

简2tan10111tan1012sin10+−=−−（）A．mnB．mn−C．nmD．nm−7．已知ln22a=，1eb=(e=2.718…为自然对数的底数)，2ln39c=，则a，b，c的大小关系为（）A．abc

B．acbC．bacD．bca8．已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为()2,0F，过点F的直线交C于A，B两点，OAB的重心为点G，则点G到直线3310xy−+=的距离的最小值为（）A．2B．2C．22D．22二、多选题9．日本导演竹内亮拍摄的记录片《后疫情时代》

是继《南京抗疫现场》､《好久不见，武汉》之后，又一部以中国抗疫为主题的记录片力作.该片以南京马拉松比赛､无人配送､网络直播等为切入点，真实记录了中国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先恢复增长，成为世界经济体中的亮

点”.片中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效益.2020年全年总收入与2019年全年总收入相比增长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相

应变化.下图给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比例.已知该公司这两年的年利润率相同，注：年利润率=(全年总收入-全年总成本)/全年总收入.下列说法错误的是（）A．该公司2020年原材料费用等于2019年工资金额与研发费用的总和B．该公司2020年研发费用是2

019年工资金额､原材料费用､其他费用三项的总和C．该公司2020年其他费用占2019年工资金额的14D．该公司2020年设备费用是2019年原材料费用的两倍10．已知正数,ab满足()11ab−=，则（）A．3ab+B．2212

4ab−C．222loglog2ab+D．222aba+11．已知正方形ABCD的边长为2，将ACD△沿AC翻折到ACD△的位置，得到四面体DABC−，在翻折过程中，点D¢始终位于ABC所在平面的同一侧，且BD的最小值为2，则下列结论正确的是（）A．四面体DABC−的外接球的表

面积为8B．四面体DABC−体积的最大值为63C．点D的运动轨迹的长度为22π3D．边AD旋转所形成的曲面的面积为22π312．曲线()32222:16Cxyxy+=为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立

交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．给出下列结论正确的是（）A．曲线C只有两条对称轴B．曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C．曲线C

上任意一点到标原点O的距离都不超过2D．曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2三、填空题13．若12nxx−的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为__

____（用数字作答）14．请写出一个符含下列要求的数列na的通项公式：①na为无穷数列；②na为单调递增数列；③02na.这个数列的通项公式可以是______15．算盘是中国传统的计算工具，其

形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一

颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为________16．已知关于x的方程()1ln20xxeaxxa−−+−=在(0,1上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________四、解答题17．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知()()2cos2cos

cosaCcBA−=+.（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）若ABC的面积833ABCS=△，()()sinsin2sin2ABABB++−=，求c.18．已知数列na满足12a=，且1212nnaaaa−+++=−，其中2

n…，nN．（1）求证：na是等比数列，并求na的前n项和nS；（2）设12nnnnabSS+=，数列nb的前n项和为nT，求证：12nT．19．购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一．每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里

面随机装有一个动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.消费者的目标是通过购买若干个盒子，集齐该套盲盒的所有产品．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A，2A，3A中的一个，每个乙系列目盲盒可以开出玩偶1B，2B中的

一个．（1）记事件nE：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶1A，2A，3A玩偶；事件nF：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐1B，2B玩偶；求概率()5PE及()4PF；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲

盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为23，购买乙系列的概率为13；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为1

4，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为nQ．①nQ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，

试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．20．设A，B为双曲线2222:1xyCab−=(0,0)ab的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，AMN为等腰

直角三角形.（1）求双曲线C的离心率；（2）已知直线AM，AN分别交直线2ax=于,PQ两点，当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.长郡中学2021届高三高考考前保温卷一一、单选题1．已知集合0ln1Axx=，2

20Bxxx=−−，则AB=（）A．1,2−B．1,e−C．0,2D．0,e【答案】B2．若()12zi−=，则z=（）A．1i−B．1i+C．1i−−D．1i−+【答案】B3．ABC中，“1sin2A=”是“6A=”的（）A．充要条件B．充分不必要

条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C4．函数23()cosxfxxx=+的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为23()()cosxfxfxxx−=−=−+，所以()fx为奇函数，其图象关

于原点对称，排除B，D；因为23()01f=−，所以排除C，故选：A.5．鼎是古代烹煮用的器物，它是我国青铜文化的代表，在古代被视为立国之器，是国家和权力的象征.图①是一种方鼎，图②是根据图①绘制的方鼎简易直观图，图中四棱台1111ABCDABCD−是鼎中盛烹煮物的部分，四边形A

BCD是矩形，其中40cmAD=，30cmAB=，1120cmAB=，点1A到平面ABCD的距离为18cm，则这个方鼎一次最多能容纳的食物体积为（）（假定烹煮的食物全在四棱台1111ABCDABCD−内）A．310400cmB．3140

00cmC．314800cmD．315200cm【答案】D【详解】几何体1111ABCDABCD−为四棱台，所以延长1111,,,AABBCCDD必交于一点，记为O，且四棱锥1111OABCD−相似于OABCD−，所以111180cm3ABADA

DAB==.过点O作OH⊥面1111DCBA于H，作OG⊥面ABCD于G，则112030ABOHOGAB==,又18OGOH−=，解得：OG=54cm,OH=36cm，四棱台1111ABCDABCD−的体积111121180

304054203615200cm333OABCDOABCDVVV−−=−=−=.故选：D6．设sin20m=，cos20n=，化简2tan10111tan1012sin10+−=−−（）A．mnB．mn−C．nmD

．nm−【答案】A【详解】因为sin20m=，cos20n=，所以2tan10111tan1012sin10+−−−，sin10cos101cos10sin10cos20+=−−oo，()()()2sin10cos101cos20cos1

0sin10cos10sin10+=−−+ooo，2212sin10cos101cos10sin10cos20+=−−oo，1sin201cos20cos20+=−，sin20cos20mn==，故选：A7．已知ln22a=，1eb=(e=2.718

…为自然对数的底数)，2ln39c=，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．bacD．bca【答案】C【详解】令()lnxfxx=，所以()21ln'xfxx−=所以当()0,xe时，()'0fx，()lnxfxx=单调递增；当(),xe+

时，()'0fx，()lnxfxx=单调递减，因为()ln22ln2ln44244af====，()1lnebfeee===，()2ln3ln9999cf===，所以()()()49feff，即b

ac.故选：C8．已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为()2,0F，过点F的直线交C于A，B两点，OAB的重心为点G，则点G到直线3310xy−+=的距离的最小值为（）A．2B．2C．22D．22【答案】C【详解】由题意，

抛物线为28yx=，可令直线AB为2xmy=+，若11(,)Axy，22(,)Bxy，∴联立直线与抛物线得28160ymy−−=且264(1)0m=+，则128yym+=，∴21212()484xxmyym+=++=+，又OAB的重心为点G，即1212(,)33xx

yyG++，∴2848(,)33mmG+，则G到直线3310xy−+=的距离221|8()3||885|23232mmmd−+−+==，∴当12m=时，min|3|2232d==.故选：C.二、多选题9．日本导演竹内亮拍摄的记录

片《后疫情时代》是继《南京抗疫现场》､《好久不见，武汉》之后，又一部以中国抗疫为主题的记录片力作.该片以南京马拉松比赛､无人配送､网络直播等为切入点，真实记录了中国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先恢复增长，成为世界经济体中的亮点”

.片中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效益.2020年全年总收入与2019年全年总收入相比增长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应

变化.下图给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比例.已知该公司这两年的年利润率相同，注：年利润率=(全年总收入-全年总成本)/全年总收入.下列说法错误的是（）A．该公司2020年原材料费用等于2019年工资金额与研发费用的总和B．该公司20

20年研发费用是2019年工资金额､原材料费用､其他费用三项的总和C．该公司2020年其他费用占2019年工资金额的14D．该公司2020年设备费用是2019年原材料费用的两倍【答案】ACD【详解】不妨设2019年全年的总成本为t，则2020年全年的总成本为2t.该公司2020年原材料费用

为0.320.6tt=，2019年工资金额与研发费用的和为0.20.10.3ttt+=，故A错误；该公司2020年研发费用为0.2520.5tt=，2019年工资金额､原材料费用､其他费用三项的和为0.2

0.150.150.5tttt++=，故B正确；该公司2020年其他费用为0.0520.1tt=，2019年工资金额为0.2t，故C错误；该公司2020年设备费用为0.220.4tt=，2019年原材料费用为0.1

5t，故D错误，故选：ACD10．已知正数,ab满足()11ab−=，则（）A．3ab+B．22124ab−C．222loglog2ab+D．222aba+【答案】ACD【详解】A：由()11ab−=，又0b

，得11ab=+，所以113abbb+=++，正确；B：由22111121aaaabbbbb−=−+=+=+，当2b=时有2212ab−=，此时22124ab−=，错误；C：由2211124abbbb

b=+=++，所以222loglog2ab+，正确；D：由()2222(1)2=2112aababab−+−−+=+，所以22122abaa++，正确.故选：ACD.11．已知正方形ABCD的边长为2，将ACD△沿AC翻折到ACD△的

位置，得到四面体DABC−，在翻折过程中，点D¢始终位于ABC所在平面的同一侧，且BD的最小值为2，则下列结论正确的是（）A．四面体DABC−的外接球的表面积为8B．四面体DABC−体积的最大值为63C．点D的运动轨迹的长度为22

π3D．边AD旋转所形成的曲面的面积为22π3【答案】ACD【详解】解：对A：90,90ABCADC==，AC中点即为四面体DABC−的外接球的球心，AC为球的直径，2R=，()224428DABCSR−===，故选项A正确；对B：当平面ADC⊥平

面ABC时，四面体DABC−体积的最大，此时高为2，()max1122222323DABCV−==，故选项B错误；对C：设方形ABCD对角线AC与BD交于O，由题意，翻折后当BD的最小值为2时，ODB为边长

为2的等边三角形，此时3DOB=，所以点D的运动轨迹是以O为圆心2为半径的圆心角为23的圆弧，所以点D的运动轨迹的长度为2π22π233?，故选项C正确；对D：结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，底面圆为以O为圆心2OD=为半径的圆锥的侧面积的13，即

所求曲面的面积为1122π22333rl==，故选项D正确.故选:ACD.12．曲线()32222:16Cxyxy+=为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向

都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．给出下列结论正确的是（）A．曲线C只有两条对称轴B．曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C．曲线C上任意一点到标原点O的距离

都不超过2D．曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2【答案】CD【详解】根据图形可得，曲线C有四条对称轴0x=，0y=，yx=；即A错；由()2232222416xyxyxy+=+=可得222xy==；即圆224xy+=与曲线()3222

2:16Cxyxy+=相切于点()2,2，()2,2−，()2,2−，()2,2−−，()3222216xyxy+=内切于圆224xy+=；故曲线C上任意一点到坐标原点O的距离的最大值为222+=，即C正确；又圆224xy+=位

于第一象限的整点只有()1,1，但()32211816+=，所以曲线C在第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线C在二三四象限也不过整点；又()0,0显然在曲线()3222216xyxy+=上，所以曲线()3222216xyxy+=只过一个整点，故B错；设曲线C上的任一

点的坐标为(),xy，则过该点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积xy；由()3222216xyxy+=可得()3332222168xyxyxy=+，当且仅当2xy==时，等号成立，所以2xy，即D正确.故选：CD.三、填空题

13．若12nxx−的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______（用数字作答）【详解】12nxx−的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n=8，81()2xx−展开

式的通项为88218811()()(,8)22rrrrrrrTCxCxrNrx−−+=−=−，展开式中常数项，必有820r−=，即4r=，所以展开式中常数项为44581135()702168TC=−==.

故答案为：35814．请写出一个符含下列要求的数列na的通项公式：①na为无穷数列；②na为单调递增数列；③02na.这个数列的通项公式可以是______【答案】12nan=−.【详解】因为函数12nan=−的定义域为*N

，且12nan=−在*N上单调递增，1022n−，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是12nan=−，故答案为：12nan=−.15．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五

珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74，若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，则所表示的数字大于300的概率为________【答案】78【详

解】由题意，在个､十､百､千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠，共有124424nCC==种，①当在个、十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有12222CC=；②当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，

再随机从个、十位两个不同档位各拨一颗上珠时，得到的数字不大于300，有221C=；所以所拨数字不大于300的概率为21217124248P+=−==16．已知关于x的方程()1ln20xxeaxxa−−+−=在(0,1上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________【答

案】211,3e【详解】解:由lnxxe=，则方程()1ln20xxeaxxa−−+−=，即()ln1ln20xxeaxxa+−−+−=，令ln1txx=+−，(0,1x，则由ln,1yxyx=

=−单调性可知，函数ln1txx=+−是递增的，故(0,1x时，值域为(,0t−.而()ln1ln20xxeaxxa+−−+−=转化为30teata−−=，当3t=−时，方程为0te=，不成立，故3t−，即转化为3teat=+在()(,33,0t−−−有两

个不相等的实根，即ya=和()3teygtt==+，()(,33,0t−−−有两个不同的交点.()()()223texgtt+=+，当(),3t−−和(3,2t−−时，()0gt，即()gt在(),3t−−上递减，在(3,2t−−上递减；当(2,0t−时，()0

gt，()gt递增.另外，3t−时，()03tegtt=+；3t−时，()0gt；()()2112,03gge−==.结合函数()3teygtt==+，()(,33,0t−−−图象可知，当211,3ae时，ya=和()3tegtt

=+，()(,33,0t−−−的图象有两个不同的交点.故答案为：211,3e.四、解答题17．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知()()2cos2coscosaCcBA−=+.（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）若ABC的面积833A

BCS=△，()()sinsin2sin2ABABB++−=，求c.【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）4【详解】（Ⅰ）∵()()2cos2coscosaCcBA−=+，由正弦定理得()()sin2cossin2coscosACCBA−=+，∴2sinsincos2sincoscossinAACCBAC−

=+，故()2sin2sincossin2sincossinACBACCBB=++=+，2sin()2sincossinBCCBB+=+整理得2sincossinBCB=.∵sin0B，∴1cos2C=.（Ⅱ）由（Ⅰ）

知1cos2C=.∵0πC，∴π3C=.∵11383sin2223ABCSabCab===△，∴323ab=.①∵()sinsin2sin2CABB+−=，∴()()sinsin2sin2ABABB++−=，即2sincos4sincosABBB=，②当cos0B=时，π2B

=.由（Ⅰ）知π3C=，可得ππ6ABC=−−=.易知在RtABC△中，2ba=，代入①得433a=，833b=，则34ca==；当cos0B时，由②得sin2sinAB=，由正弦定理得2ab=，与①联立得23223b=，

∴833a=，433b=.由余弦定理得222222cosπ163cabababab=+−=+−=，可得4c=.综上，4c=.18．已知数列na满足12a=，且1212nnaaaa−+++=−，其中2n…，nN．（1）求证

：na是等比数列，并求na的前n项和nS；（2）设12nnnnabSS+=，数列nb的前n项和为nT，求证：12nT．【答案】（1）证明见解析，122nnS+=−；（2）证明见解析.【详解】（1）因为1212nnaa

aa−+++=−，所以22nnSa=−，2n，所以112222nnnnSaSa−−=−=−，3n，得到12nnaa−=，3n．又因为12a=，由122aa=−，得到2142aa==，故12,2n

naan−=，且0na，所以12(2)nnana−=为定值，所以数列na是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以2nna=，()12122212nnnS+−==−−．（2）因为111111211nnnnnnnnnnnnnaaSSbSS

SSSSSS++++++−====−，所以12112222nnnb++=−−−，所以12nnTbbb=+++233412111111222222222222nn++=−+−++−−−−−−−211222n+=−

−．因为1n，所以21022n+−，所以12nT．19．购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一．每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.消费者的目标是通过购买

若干个盒子，集齐该套盲盒的所有产品．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A，2A，3A中的一个，每个乙系列目盲盒可以开出玩偶1B，2B中的一个．（1）记事件nE：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶

1A，2A，3A玩偶；事件nF：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐1B，2B玩偶；求概率()5PE及()4PF；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选

择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为23，购买乙系列的概率为13；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购

买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为nQ．①nQ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个

．【答案】（1）()55081PE=，()478PF=；（2）①12415154nnQ−=+−；②甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.【详解】解：（1）若一次性购买5个甲系列盲盒后集齐1A，2A，3A玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有132354

CCC种结果；②若其中两个玩偶各2各，另外两个玩偶1个，则共有112354CCC种结果，故()13211235235455609015050324324381CCACCCPE++====；若一次性购买4个一系列盲盒，全部为1B与全部为2B的概率相等为412，故()44117

128PF+=−=.（2）①由题可知：123Q=，当2n时，()1111111121214224545nnnnnnQQQQQQ−−−−=+−=−−=−−，124515Q−=即25nQ−是以415为首项，以14−为

公比的等比数列.所以1124124151545154nnnnQQ−−−=−=+−②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可

看作n→+，所以，其购买甲系列的概率近似于25假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B，所以2100405E==.即购买甲系列的人数的期望为40，所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60

个.20．设A，B为双曲线2222:1xyCab−=(0,0)ab的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，AMN为等腰直角三角形.（1）求双曲线C的离心率；（2）已知直线AM，AN分别交直线2ax=于,PQ两点，

当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）2；（2）以PQ为直径的圆过定点(,0)a−，(2,0)a.【详解】（1）由lx⊥轴时，AMN为等腰

直角三角形，可得||||||AFNFMF==，所以2baca+=，即2220caca−−=，故220ee−−=，结合1e，解得2e=.故双曲线C的离心率为2.（2）因为2cea==，所以双曲线:C222213xyaa−=，显然直线l的斜率不为0，设直线

:2lxmya=+，11(,)Mxy，22(,)Nxy，联立直线l与双曲线C的方程得2222213xmyaxyaa=+−=，化简得222(31)1290myamya−++=，根据根与系数的关系，得2121222129,3131amayyyymm+=−=−−，①所以1212

24()431axxmyyam−+=++=−，②222221212122342()431amaxxmyyamyyam−−=+++=−，③设直线:AM11()yyxaxa=++，直线:AN22()yyxaxa=++，令2ax=，可得1

21233(,),(,)22()22()ayayaaPQxaxa++，设()Gxy,是以PQ为直径的圆上的任意一点，则0PGQG=，则以PQ为直径的圆的方程为2121233()[][]022()2()ayayaxyyxaxa−+−−=++，由对称性可得，若存在定点，则一定在x轴上，令0y=

，可得2121233()022()2()ayayaxxaxa−+=++，即2212212129()024[()]ayyaxxxaxxa−+=+++，将①②③代入，可得22222222229931()034424()3131aaamxamaaaamm−

−+=−−−++−−，即229()24axa−=，解得xa=−或2xa=，所以以PQ为直径的圆过定点(,0)a−，(2,0)a.