【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期5月保温卷数学试题（二）含答案.docx，共(14)页，1022.607 KB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2021届高三高考考前保温卷二数学姓名：___________班级：___________一、单选题1．若集合A，B，U满足UAB=ð，则下面选项中一定成立的是（）A．BAB．ABU=C．UABU=ðD．UBAU=ð2．已知e是自然对数的底

数，设1213lg,2,log0.2aebc−===，则,,abc的大小关系是（）A．cbaB．acbC．bcaD．abc3．()4,Mt是抛物线22ypx=上一点，若点M到抛物线的焦点

距离为6，则抛物线的准线方程是（）A．2x=−B．1x=−C．2y=−D．1y=−4．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论.管理学家经常将“霍姆斯马车理论”引申为：一架完美的马车，没有最好的部

件，只有最完美、最平衡的组合.一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥.某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必

须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么一共有多少种不同的分组方式（）A．26B．46C．52D．1265．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两

个新数据，此时8个数据的方差为（）A．8B．7C．6D．56．点A，B，C在圆O上，若2AB=，30ACB=，则OCAB的最大值为（）A．3B．23C．4D．67．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面

射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S2Rh=，其中R为球的半径，h为球冠的高）设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积

为S，则当216CS==，时，rR=（）A．12B．158C．138D．1788．已知定义在()(),00,−+上的奇函数()fx在(),0−上单调递增，且满足()12f−=−，则关于x的不等式()2sinfxxx

+的解集为（）．A．()(),11,−−+UB．()()1,01,−+C．()(),10,1−−D．()()1,00,1−U二、多选题9．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22,2ab==，则角B可以是（）

A．15B．30°C．45D．7510．已知m，n是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A．若m，n，//m，n//，则//B．若//m，//m

，n=，则//mnC．若m⊥，mn⊥，//，则n//D．若m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥11．在数列na中，若221nnaap−−=（*2,,nnNp为常数），则称na为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是A．若na是等差数列，则2na

是等方差数列B．(1)n−是等方差数列C．若na是等方差数列，则kna（*,kNk为常数）也是等方差数列D．若na是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列12．已知双曲线E：()222210xyabab−=的左、右焦点分别为()13,0F−，()23,0

F，两条渐近线的夹角正切值为22，直线l：30kxyk−−=与双曲线E的右支交于A，B两点，设1FAB的内心为I，则（）A．双曲线E的标准方程为22163xy−=B．满足6AB=的直线l有2条C．2IFAB⊥D．1FAB与IAB△的面积的比值的取值范围是(2,6三、填空题13．已知角

的终边经过点()2,Pa，若1cos23+=，则a=___________.14．写出一个虚数z，使得23z+为纯虚数，则z=___________.15．已知椭圆2222:1(0)xy

Cabab+=的左焦点是点F，过原点倾斜角为3的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若23MFN=，则椭圆C的离心率是________．16．购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元.已知该保险每一份保单

需要赔付的概率为510−，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为__________；一年度内盈利的期望为__________万元.（参考数据：()510

51100.37−−）四、解答题17．在公比大于0的等比数列na中，已知231,,6aaa依次组成公差为4的等差数列（1）求na的通项公式；（2）设22log5nnnaca−=，求数列nc的前n项和.nT18．已知向量()2cos,1mx=−，()sinc

os,2nxx=−，其中0，函数()3fxmn=+，若函数()fx图象的两个相邻对称中心的距离为π2.（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）将函数()fx的图象先向左平移π4个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数(

)gx的图象，当ππ,62x时，求函数()gx的值域．19．如图，已知等腰梯形ABCD中，//ABCD，60DAB=，1ADDCBC===，DEAB⊥于点E，现将△DAE沿DE翻折到△DAE的位

置，使得二面角ADEB−−的大小为120°，若点M为AB的三等分点，且13BMBA=.（1）求证：//CM平面ADE¢；（2）求平面ABE和平面ADC所成锐二面角的余弦值.20．已知函数()()()21222xfxxeaxxaR=−+−．（1）当

1ea时，讨论函数()fx的极值；（2）若存在()00x+,，使得()()00001ln222fxxxaax+−−，求实数a的取值范围．数学保温卷二（参考答案）1．D【详解】由UAB=ð知：AB

，即A错误，∴ABB=，即B错误；仅当AB=时UABU=ð，即C错误；UBAU=ð，即D正确.故选：D.2．D【详解】因为lgyx=在(0,+∞)上递增，10e，则1lglg102ae==，又13logyx=在(0,+∞)上递减，10.23，则11331log0.2

log13c==，而12212(,1)22b−==，所以abc．故选：D3．A【详解】抛物线22ypx=的准线方程为2px=−其上一点()4,Mt到抛物线的焦点距离为6，则462p−−=解得22p−=−，即抛物线的准线方程为2x=−，故选：A4．A【详解】设分成的

两个学习小组为甲组和乙组，这两个小组只是代号，没有区别，若1，2号，3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有166C=种方组方法；若1，2号与3，4号在不同的小组，则其中一个小组还差3人，有3665420321C==种方组方法，所以总共有

6+2026=种分组方法，故选：A.5．B【详解】设原数据为1a、2a、3a、4a、5a、6a，则616424iia===，()6211486iia=−=加入2和6两个新数据后，所得8个数据的平均数为612648iia=++=，所得8个数据的方差为()()()62

2221424644844788iias=−+−+−++===.故选：B.6．C【详解】由题意30ACB=，则60AOB=又AOOBr==，所以AOB为等边三角形.()OCABOCAOOBOCOBOCO

A=+=−22cos22cosCOBAOC=−()4coscos60BOCBOC=−+134coscossin22BOCBOCBOC=−+4sin6BOC=+

显然203BOC，所以当3BOC=时，OCAB有最大值4，故选：C7．B22r=，1r=，()222rRhR+−=，又216SRh==，8Rh=，2222864161rRRRR=−−=−=，解得：26415R=，即81515R=，15

8rR=故选：B8．C()fx为()(),00,−+上的奇函数，()()fxfx−=−，令()()2gxfxx=−，则()()()()22gxfxfxgxxx−=−+=−+=−，()gx为()()

,00,−+上奇函数；()fx在(),0−上单调递增，2yx=−在(),0−上单调递增，()gx在(),0−上单调递增，由奇函数性质知：()gx在()0,+上单调递增；()12f−=−，()()1120gf−=−+=，则()10g=，又()()51122fff

=−−=，当52x=时，2459sinsin525xx+=+=，当52x=时，()2sinfxxx+不成立，即55sin22g不成立，由此可在坐标系中画出()gx与sinyx=大致图象如下图所示：由图象可知：当()()

,10,1x−−时，()singxx，即当()(),10,1x−−时，()2sinfxxx+.故选：C.9．AB222228263223223cos224848222242acbccccBaccccc+−+−+====+=，当且仅当322,648ccc==时等号成立，所以(

3cos,1,0,302BB，所以AB选项正确，CD选项错误.故选：AB（法二：利用正弦定理）10．BD【详解】对于A，若m，n，//m，n//，则与相交或平行，故A错误；对于B，若//m，//m，n=，则由线面平行的性质得//mn，故B正确；对

于C，若m⊥，mn⊥，//，则n//或n，故C错误；对于D，若m⊥，n⊥，mn⊥，则由面面垂直的判定定理得⊥，故D正确.故选：BD.11．BCD【详解】对于A，若na是等差数列，如nan=，则22nan=则()()()()

22442221(1)22121nnaannnnn−−=−−=−+−不是常数，故na不是等方差数列，故A错误；对于B，数列()1n−中，222121[(1)][(1)]0nnnnaa−−−=−−−=是常数，{(1)}n−是等方差数列，故B正确；对于C，数列na

中的项列举出来是，1a，2a，，ka，，2ka，数列kna中的项列举出来是，ka，2ka，3ka，，()()()()2222222212132221kkkkkkkkaaaaaaaap+++++−−=−=−==−=，将这k个式子累加得()()()()2222

222212132221kkkkkkkkaaaaaaaakp+++++−−+−+−++−=，222kkaakp−=，()221knknaakp+−=，*(,knakNk为常数)是等方差数列，C正确；

对于D，na是等差数列，1nnaad−−=，则设nadnm=+na是等方差数列，()()222112(2)nnnndnmaaaadaddnmdddndm−−−=++++=+=++是常数，故220d=，故0d=，所以

(2)0mdd+=，2210nnaa−−=是常数，故D正确.故选：BCD.12．ACDA选项，设双曲线E的一条渐近线的倾斜角为，02，因为ab，所以022，从而22tantan2221tan==−，解得2tan2=或tan2=−（舍

去），所以22ba=，又229ab+=，所以26a=，23b=，所以双曲线E的标准方程为22163xy−=，故A正确；B选项，直线l的方程kx−30yk−=，即()30kxy−−=，则直线l恒过右焦点2F，又

过焦点2F的弦最短为22666ba==，所以满足6AB=的直线l只有1条，B错误；C选项，由双曲线的定义可知，12126AFAFBF−==−2BF，即1122AFBFAFBF−=−，因此2F是1FAB的内切圆在AB边上的切点，因此2IFAB

⊥，C正确；D选项，由题知()12112221262646212FABIABIFAFBFABSAFBFABSABABIFAB++++++===+△△△2，因为6AB，所以(12,6FABIABSS△△，D正确.13．12−【详解】由题意，角的终边经过点()2,

Pa，可得22OPa=+.又由1cos23+=，得1sin3=−，根据三角函数的定义，可得21sin32aa==−+，解得12a=−.故答案为：12−.14．12i+（答案不唯一）．【详解】设izab=+（a，bR，0b≠

），则222332izabab+=−++，因为23z+为纯虚数，所以223ab−=−且0ab.任取不为零的实数a，求出b即可得，答案不确定，如12zi=+，故答案为：12i+．15．32102−解：设右焦点为F，由题意可得直线l的方程为：3yx=，设(

)00,Mxy，()00,Nxy−−，连接MF，NF，因为23MFN=，故四边形FMFN为平行四边形，则3FMF=，所以22242cos3cMFMFMFMF=+−，整理得到()2243c

MFMFMFMF=+−即243bMFMF=，故22013431S222332MFFbbcy===，所以可得2033byc=，代入直线l的方程可得203bxc=，将M的坐标代入椭圆的方程可得：42222913bbcac+=，整理可得：42244140aa

cc−+=，即42e14e40−+=，解得：2e735=，由椭圆的离心率e()0,1，所以3210e7352−=−=，故答案为：32102−．16．0.63150【详解】每份保单不需要赔付的概率是5110−−，则10万分保单不需要赔付的概率()51051100.37

p−=−；需赔付的概率是10.370.63−=设10万份保单中需赔付的件数，设为X，则()5510,10XB−，则需赔付的保险金为500000X，则()555000005000001010500000EX−==，则一年内的盈利的期望是52010500

0001500000−=（元）=150（万元）故答案为：0.63；15017．（1）2nna=；（2）2112nnnT−=−−.【详解】（1）设na的公比为q，因为231,,6aaa成等差数列，所以21362aaa+=，则2

260qq−−=，又0q，所以2.q=又因为324aa−=，所以12a=，所以1222nnna−==；（2）由题可知22log5252nnnnanca−−==，则23311252222nnnT−−−=++++，①23411311272

5222222nnnnnT+−−−−=+++++，②①−②得23111311125112222222222nnnnnnT++−−−=++++−=−+.故211.2nnnT−=−−18．（1）

3,88kk−+(k∈Z)；（2）1,2．【详解】（1）由题意可得，()32cos(sincos)23=+=−−+fxmnxxx，22sincos2cos1sin2cos22sin(2)4=−+=−=−xxxxxx.由题意知

，22T==，得1=，则()2sin(2)4fxx=−，由222,242kxkkZ−−+，解得3,88kxkkZ−+，∴()fx的单调递增区间为3,()88kkkZ−+．（2）将()fx的图象向左平

移4个单位长度，得到2sin(2)4yx=+的图象，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()2sin()4=+gxx的图象．∵,62x，∴2sin()124+x，故函数()gx的值域为1,2.19．【详解】（1）取AE的三等分点G且23AGAE

=，连接GM，DG，∵13BMBA=，∴//GMBE且23GMBE=.在等腰梯形ABCD中，//ABCD，60DAB=，1ADDCBC===，DEAB⊥，∴//DCBE且23DCBE=，∴//DCGM且DCGM=，即四边形DCMG为平行四边形，∴//DGCM，又DG平面

ADE¢，CM平面ADE¢，∴//CM平面ADE¢.（2）法一：∵DEAB⊥，△DAE沿DE翻折到△DAE的位置，∴DE⊥平面ABE，又二面角ADEB−−的大小为120°，即120AEB=.以E为坐

标原点，DE，EB所在直线分别为x，y轴，过点E且垂直于平面EBCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∴3,1,02C−，3,0,02D−，130,,44A

−，则313,,244AD=−−，()0,1,0DC=.设()1,,nxyz=是面ADC的法向量，则1100nADnDC==，即23300xyzy−+==，令1x=，得()11,0,2n=−.易知：平面ABE的一个法向

量为()21,0,0n=，∴1215cos,55nn==，即面ABE和面ADC所成锐二面角的余弦值为55.法二：过A作//APBE，则//APCD，过E作EHAP⊥于H，连接HD，则DHAP⊥，∴DHE为面ABE和面ADC所成锐二面角的平

面角.在RtDEH中，32DE=，34EH=，22154HDDEEH=+=，∴354cos5154EHDHEHD===，即面ABE和面ADC所成锐二面角的余弦值为55.20．【详解】（1）由题题意，函数()()21222xfxxeaxx=−+−，可得()()()()()

1e11exxfxaxxax=+−+=+−．①当0a时，若1x−，则()0fx，若1x−，则()0fx，所以()fx在区间(),1−−上是减函数，在区间()1,−+上是增函数，所以当1x=−时，()fx取得极小值()1312fea−−=−+，无极大值，②当10ae

时，若lnxa或1x−，则()0fx，若ln1ax−，则()0fx，()fx在区间(),lna−上是增函数，在区间()ln,1a−上是减函数，在区间()1,−+上是增函数，所以当lnxa=时，()fx取得极大值()()21lnl

n2faaaa=−，当1x=−时，()fx取得极小值()131e2fa−−=−+．③当1ae=时，()0fx，∴()fx在区间(),−+上是增函数，∴()fx既无极大值又无极小值．综上所述，当0a时，(

)fx有极小值()1312fea−−=−+，无极大值；当10ae时，()fx有极大值()()21lnln2faaaa=−，极小值()1312fea−−=−+；当1ae=时，()fx既无极大值又无极小值（2）由题知，存在()00x+,，使得0000

ln0xxexxa−−+，设()lnxhxxexxa=−−+，则()()()11111xxhxxexexx=+−−=+−，设()()10xmxexx=−，∴()mx在区间()0,+上是增函数，又1202me=−，()11

0me=−，∴存在11,12x，使得()10mx=，即111xex=，∴11lnxx=−，当10xx时，()0mx，即()0hx，当1xx时，()0mx，即()0hx，∴()hx在区间()10,x上是减函数，在区间()1,x+上是增函

数，∴()()11111111min11eln1xhxhxxxxaxxxaax==−−+=+−+=+，∴10a+，∴1a−，∴实数a的取值范围为(),1−−．