【文档说明】重庆沙坪坝区重庆市第一中学2020届高三下学期4月月考文科数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.622 MB，由小赞的店铺上传

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2019~2020学年4月重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期月考文科数学试卷（满分：150分）一、选择题（共十二题：共60分）1.已知集合{|12}Axx=−，12{|log1}Bxx=−，则AB=A.{|

04}xxB.{|22}xx−C.{|02}xxD.{|13}xx【答案】C【解析】【详解】由题意得：|1x3Ax=−，|0x2Bx=∴|02ABxx=故选C2.若3

2zi=−，则2iz=−A.1255i−B.1255i+C.2155i−D.2551i+【答案】D【解析】【详解】∵32zi=−∴()()()12i2i21212i12i12i555iiiiz−+====+−++−

故选D3.函数()21010xxfxx−−=的图象大致为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数()yfx=的奇偶性，当0x时函数值()fx的正负，以及当x→+时，()fx→+，利用排除法可得出函数

()yfx=的图象.【详解】函数()21010xxfxx−−=的定义域为0xx，关于原点对称，()()()2210101010xxxxfxfxxx−−−−−===−−，该函数为奇函数，排除A选项；当0x时，1010x

x−，此时，()210100xxfxx−−=，排除D选项；当x→+时，100x−→，10x远远大于2x，此时，()fx→+，排除C选项.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般结合函数的定义域、奇偶性、单调性、零

点以及函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题.4.已知向量a,b满足a1=，ab1=−，则a(2ab)−=A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,aabaaba−

=−=−−=+=所以选B.点睛：向量加减乘：221212(,),||,cos,abxxyyaaababab===5.已知方程222213xymnmn−=+−表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A.(–13)

B.(–1,3)C.(0,3)D.(0,3)【答案】A【解析】【详解】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以2234mnmn++−=，解得21m=，因为方程22113xynn−=+−表示双曲线，所以10

{30nn+−，解得1{3nn−，所以n的取值范围是()1,3−，故选A．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.6.如图，某几何体的

三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是A.17πB.18πC.20πD.28π【答案】A【解析】【详解】试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,即该几何体是78个球，设球的

半径为R，则37428R833V==，解得,R2=，所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和,即22734221784+=，故选A．【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点

睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.7.在封闭的直三棱柱111ABCABC

-内有一个体积为V的球，若ABBC⊥，6AB=，8BC=，15AA=，则V的最大值是（）A.4B.92C.1256D.323【答案】D【解析】【分析】先保证截面圆与ABC内切，记圆O的半径为r，

由等面积法得()68ACABBCr++=，解得2r=．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．【详解】解：如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与ABC内切，记圆O的半径为r，则由等面积法得1111··

·682222ABCSACrABrBCr=++=△，所以()68ACABBCr++=，又因为6AB=，8BC=，所以10AC=，所以2r=．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若r增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，所以3344322333Vr===．故选：D

．【点评】本题考查球的最大体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题.8.在ABC中，030A=，2AC=，且ABC的面积为3，则BC=A.1B.2C.2D.3【答案】C【解析】【分析】先根据三角形的面积求出AB，再利用余弦定理求BC得

解.【详解】由题得13=2sin,2326ABAB=.由余弦定理得2341222234,2BC=+−=所以BC=2.故选C【点睛】本题主要考查三角形的面积的应用和余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平和分析推理能力.9.设1a，若,xy满足约束条件202020axyxyx−++−−，则2zxy=+的最大值的取值范围为A[2,10]B.[2,8]C.[10,)+D.[8,)+【答案】C【解析】【详解

】作出可行域如下图：.目标函数为1zyx22=−+，当目标函数过点()2,2a2+时，maxz24a44a+6=++=，因为a1，所以maxz=4a+610，故选C.10.若点P为抛物线2:2Cyx=上的

动点，F为抛物线C的焦点，则PF的最小值为（）A.1B.12C.14D.18【答案】D【解析】【分析】根据抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小即可解出．【详解】由22yx=，得212xy=，∴122p

=，则128p=，所以焦点10,8F，由抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得PF的最小值为18.故选：D．11.双曲线E：22221(0,0)xyabab−=的离心率是5，过右焦点F作渐近线l的垂线，垂足为M，若OFM的面积是1，则双

曲线E的实轴长是A2B.22C.1D.2【答案】D【解析】【详解】分析：利用点到直线的距离计算出FMb=，从而得到OMa=，再根据面积为1得到2ab=，最后结合离心率求得1a=.详解：因为FMb=，OFc=，所以OMa=，故12ab=即2ab=，由5ca=，所以2225aba+=即2

ba=，故1,2ab==，双曲线的实轴长为2.故选D.点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到.渐进线的距离问题.12.已知函数()()fxxR满足()2()fxfx

−=−，若函数()sin21gxx=+与()yfx=图像的交点为11(,)xy，22(,)xy，…，(,)mmxy，则1()miiixy=+=A.mB.2mC.3mD.4m【答案】A【解析】【分析】根据两函数的对称中心均为（0，1）可知出12mxxx+++＝0，12myy

y+++＝m，从而得出结论．【详解】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数()sin21gxx=+图象关于点（0，1）对称，即有（1x，1y）为交点，即有（﹣1x，2﹣

1y）也为交点，（2x，2y）为交点，即有（﹣2x，2﹣2y）也为交点，…则有()1miiixy=+=（1x+1y）+（2x+2y）+…+（mx+my）()()1212mmxxxyyy=+++++++，=022m+＝m．故选A．【点睛

】本题考查抽象函数的运用：求和方法，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（共四题：共20分）13.已知向量()4,2a=−，()1bx=，，若ab，则x=______．【答案】-2【解析】【分析】利用平面向量共线定理即可得出．【详解】解：

∵a∥b，∴﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.设()()2ln11fxxx=+++，若()2020fa−=，则()fa=______．【答案】2018−【解析】【分析】首

先求出()fx的定义域，设()()2ln1gxxx=++，xR，说明()gx为奇函数，由()2020fa−=得出()ga，代入()fa即可得出答案．【详解】因为()221ln1ln1xxxx++=+−，易知21xx+，所以()fx的定义域为R，设()()2ln1gxxx=++，xR，

因为()()2222211ln1lnln()()11xxgxxxgxxxxx+−−=−++===−++++，所以()gx为奇函数，所以()()1()12020fagaga−=−+=−+=，即()2019ga=−，所以()()12018

faga=+=−，故答案为：2018−．15.若椭圆2214xym+=上一点到两个焦点的距离之和为3m−，则此椭圆的离心率为__________．【答案】53【解析】【详解】当4m时，由椭圆定义知34m−=，解得7m=，不符合题意，当4m时，由椭圆定义知32mm−=，解得9m=，所以9

4533cea−===，故填53.点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中22,ab的取值，从而确定c,计算椭圆的离心率.16.已知函数()sin()0,||2fxx=+，4x=−为(

)fx的零点，4x=为()fx图象的对称轴，且()fx在5,1836上单调，则的最大值为________.【答案】9【解析】【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在5,1836

上单调可知536－18＝12≤2T＝22，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解.【详解】因为x＝－4为f(x)的零点，x＝4为f(x)的图象的对称轴，所以4－4−＝4T

＋2kT，即2＝214k+T＝214k+·2(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z)，又因为f(x)在5,1836上单调，所以536－18＝12≤2T＝22，解得ω≤12，ω＝

11时f(x)＝sin114x−在3,1844上单调递增，在35,4436上单调递减，不成立，ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9.故答案为：9三、解答题（共五题：

共50分）17.设数列{}na的前n项和是nS，且nSn是等差数列，已知11a=，3246234SSS++=.（1）求{}na的通项公式；（2）若12212nnnnnaabaa++++=+−，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】(1)

nan=(2)1122n−+【解析】【详解】试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到na的通项公式；（2）1112nbnn=−++，利用裂项相消法求出数列nb的前n项和nT.试题解析：（1）记nnScn=，∴1111Sc==，又nc为等差数列，

公差记为d，2432ccc+=，∴32c=，得12d=，∴12nnc+=，得22nnnS+=2n时，1nnnaSSn−=−=，1n=时也满足.综上nan=（2）由（1）得12221nnnbnn++=+−++()()1111212nnnn==−++++∴111111233412nT

nn=+−++−+++1122n=−+，点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为()11nann=+，求前n项和：()11111nannnn==−++；（2）已知数列的通项公式为()()12121nann=−+，

求前n项和：()()1111212122121nannnn==−−+−+；（3）已知数列的通项公式为11nann=++，求前n项和:.111nannnn==+−++18.为了解人们对于国家新颁布的“生

育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：年龄)5,15)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65频数510

151055支持“生二胎”4512821（1）由以上统计数据填下面22列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持=

ac=不支持b=d=合计（2）若对年龄在)5,15的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？参考数据：()23.8410.050PK=，()26.6350.010PK=，()210.8280.

001PK=.【答案】（1）没有，理由见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）根据题中数据完善22列联表，计算出2K的观测值，利用参考数据即可对题中的结论进行判断；（2）将所选5人中支持“生育二胎放开”的4人记为a、b、c、d，不支持“生育二胎放开”的1人记为A

，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的两人都支持“生育二胎放开””所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出结果.【详解】（1）根据题中数据，22列联表如下：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的

人数合计支持32932不支持71118合计104050()22502973116.2726.63540103218K−=，因此，没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（

2）由题意可知，年龄在)5,15的有5人，其中支持“生育二胎放开”的有4人，分别记为a、b、c、d，不支持“生育二胎放开”的1人记为A，所有的基本事件有：(),ab、(),ac、(),ad、(),aA、(),bc、(),bd、(),bA、(),cd、(),cA、(),dA

，共10种.事件“所抽取的两人都支持“生育二胎放开””包含的基本事件有：(),ab、(),ac、(),ad、(),bc、(),bd、(),cd，共6种，由古典概型的概率公式可知，所抽取的两人都支持“生育二胎放开”的概率为63105=.【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同

时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般利用列举法列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于基础题.19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧面11ACCA⊥底面ABC，四边形11ACCA是边长为2的菱形，160AAC=

，ABBC=，ABBC⊥，E，F分别为AC，11BC的中点．（1）求证：直线EF∥平面11ABBA；（2）设PQ，分别在侧棱1AA，1CC上，且1PAQC=，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．【答案】（1）见解析（2）

1:2（或者2:1）【解析】【分析】（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，证明FG∥A1B1．推出FG∥平面ABB1A1．同理证明EG∥平面ABB1A1，从而平面EFG∥平面11ABBA，然后证明直线EF∥平面ABB1A1；（2）证明BE

⊥AC．推出BE⊥平面ACC1A1．求出四棱锥B﹣APQC的体积，棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，即可得到面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．【详解】（1）取11AC的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别

为AC，11BC的中点，所以FG∥11AB．又11AB平面11ABBA，FG平面11ABBA，所以FG∥平面11ABBA．又AE∥1AG且AE＝1AG，所以四边形1AEGA是平行四边形．则EG∥1AA．又1AA平面11ABBA，EG平面11ABBA，所以EG∥平面11ABBA．

所以平面EFG∥平面11ABBA．又EF平面EFG，所以直线EF∥平面11ABBA．（2）四边形APQC是梯形，其面积()1sin602SAPCQAC=+122sin602=3=．由于ABBC=，E分别为AC的中点.所以BEAC⊥．因为侧面11AC

CA⊥底面ABC，所以BE⊥平面11ACCA．即BE是四棱锥BAPQC−的高，可得1BE=．所以四棱锥BAPQC−的体积为1133133V==．棱柱111ABCABC−的体积121332V==．所以平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为1:2（或者2:1）

．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知椭圆222:1(2)2xyCaa+=的右焦点为F，P是椭圆C上一点，PFx⊥轴，22PF=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l

与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且2OM=，求AOB面积的最大值.【答案】（1）22182xy+=；（2）2.【解析】【分析】（1）由题意写P点坐标和b，代入方程解得a值，即得方程；（2）先计算斜率不存在时的面积，再设斜率存在是直线的方程并联立

方程得到韦达定理，求弦长与点到直线的距离，即可计算面积，换元2116kp+=，求其最大值即可.【详解】（1）由题知，点2,2Pc，2b=，则有2222()212ca+=，又22222abcc=+=+，解得28a

=，26c=，故椭圆C的方程为22182xy+=.（2）当ABx⊥轴时，M位于x轴上，且OMAB⊥，由2OM=可得6AB=，此时123AOBOSMAB==△.当AB不垂直x轴时，设直线AB方程为ykxt=+，与椭圆交于()11,Axy，()22,Bxy，由2

2182xyykxt+==+，得()222148480kxktxt+++−=122814ktxxk−+=+，21224814txxk−=+，从而224,1414kttMkk−++，.已知2OM=，可得22222(14)116ktk

+=+.()(()()()222222222121222221682848||1)41)411414(14)ktkttABkxxxxkkkkk−+−−=++−=+−=++++设O到直线AB的距离为d，则2221tdk=+，()()222222

221682114(14)1AOBkttSkkk−+=+++.将22222(14)116ktk+=+代入化简得()2222219241(116)AOBkkSk+=+.令2116kp+=，则()()2222222112111924111443[3)4(116)33AOBppkkSkpp

−−++===−−++，故23AOBS，当且仅当3p=时取等号，此时AOB的面积最大，故AOB面积的最大值为2.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆的综合应用即三角形面积最大值的求法，属于难题.21.已知函数()(2)(2)xfxaxee

a=−−−.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）当1x时，()0fx，求a的取值范围.【答案】（1）见解析;（2）[1)+，.【解析】【详解】试题分析：（1）先求导数，再讨论2axa−+符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于()10f=，所以1得右侧附近函数

单调递增，再结合（1）可得0a且21aa−，即得a的取值范围.试题解析：解：（1）()()2xfxaxae=−+，当0a=时，()20xfxe=−，∴()fx在R上单调递减.当0a时，令()0fx，得2a

xa−；令()0fx，得2axa−.∴()fx的单调递减区间为2,aa−−，单调递增区间为2,aa−+.当0a时，令()0fx，得2axa−；令()0fx，得2axa−.∴()fx的单调递减区间为2,aa−+，单调递

增区间为2,aa−−.（2）当0a=时，()fx在()1,+上单调递减，∴()()10fxf=，不合题意.当0a时，()()()()22222222220faeeaaeeee=−−−=−−+，不合题意.当1a时，()()20xf

xaxae=−+，()fx在()1,+上单调递增，∴()()10fxf=，故1a满足题意.当01a时，()fx在21,aa−上单调递减，在2,aa−+单调递增，∴()()min210afxffa−=

=，故01a不满足题意.综上，a的取值范围为)1,+.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过

对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.四、选做题（共二题：共20分）22.在直角坐标系xO

y中，曲线1C的方程为2ykx=+.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30+−=.（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.【答案】(1)22(1)4xy++

=；(2)423yx=−+.【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，将22cos30+−=代换，即可解出；（2）方法一：依题可知曲线2C是圆心为()1,0A−，半径为2的圆，1C是过点()0,

2B且关于y轴对称的两条射线，根据数形结合，以及直线与圆的位置关系，即可解出.【详解】（1）由cosx=，siny=，222xy=+，代入22cos30+−=得，22230xyx++−=，即2C的直角坐标方程为()2214xy++=．（2）［方法一］：【最优解】分类

讨论由（1）知2C是圆心为()1,0A−，半径为2的圆．而1C是过点()0,2B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有

一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点．当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2221kk−+=+，故43k=−或=0k．经检验，当=0k时，1l与2C没有公共点；当43k=−时，1l与2C只有一个公共点，2

l与2C有两个公共点．当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2221kk+=+，故=0k或43k=．经检验，当=0k时，1l与2C没有公共点；当43k=时，2l与2C没有公共点．综上，所求1C的方程为423yx=−+．［方法二］：解方程组法联立22=+2++23=0y

kxxyx−，化简可得，()2212410kxxkx++++=，当0x时，()()2212410kxkx++++=，因为1C与2C有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实根，而210k+，设方程的两实根为12,xx，由122101xxk

=+可知，方程有两个相异或相等正根．当0x时，()()2212410kxkx++−+=，因为1C与2C有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实根，而210k+，设方程的两实根为34,xx，由342101xxk=+可知，方程有两个相异或相等负根．当方程组有两个相异正根，两相等负

根时，()()()()221122222342Δ=2+441+>02+4+=>01+Δ=2441+=024+=<01+kkkxxkkkkxxk−−−−−−，解得：k；当方程组有

两个相等正根，两相异负根时，()()()()221122222342Δ=2+441+=02+4+=>01+Δ=2441+>024+=<01+kkkxxkkkkxxk−−−−−−，解得：43k=−

．综上，所求1C的方程为423yx=−+．【整体点评】（2）方法一：根据直线与圆的位置关系分类讨论求出，是本题的最优解；方法二：根据图象的交点个数与方程个数之间的关系求解，是利用代数方法解决几何问题的基本方式，对运算能力有一定要求．23.选修4-5：

不等式选讲已知函数11()22fxxx=−++，M为不等式()2fx的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，bM时，1abab++.【答案】（Ⅰ）{|11}Mxx=−；（Ⅱ）详见解析.【解析】【详解】试题分析：（

I）先去掉绝对值，再分12x−，1122x−和12x三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，b时，1abab++．试题解析：（I）12,,211(){1,,2212,.2xxfxxxx−−=−

当12x−时，由()2fx得22,x−解得1x−；当1122x−时，()2fx；当12x时，由()2fx得22,x解得1x.所以()2fx的解集{|11}Mxx=−.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,abM时，11,

11ab−−，从而22222222()(1)1(1)(1)0ababababab+−+=+−−=−−，因此1.abab++【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如xaxbc−+−（或c）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值

号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a−，(,]ab，(,)b+（此处设ab）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1yxaxb=−+−和2yc=图象，结合图象求解．的