【文档说明】重庆沙坪坝区重庆市第一中学2020届高三下学期4月月考文科数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.622 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-2ba2d4a7764effc918cf7557b0299d09.html

以下为本文档部分文字说明：

2019~2020学年4月重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期月考文科数学试卷（满分：150分）一、选择题（共十二题：共60分）1.已知集合{|12}Axx=−，12{|log1}Bxx=−，则AB=A.{|04}xxB.{|22}xx−C.{|02}xxD.{|13}xx

【答案】C【解析】【详解】由题意得：|1x3Ax=−，|0x2Bx=∴|02ABxx=故选C2.若32zi=−，则2iz=−A.1255i−B.1255i+C.2155i−D.2551i+【答案】D【解析】【详解】∵32zi=−∴(

)()()12i2i21212i12i12i555iiiiz−+====+−++−故选D3.函数()21010xxfxx−−=的图象大致为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数()yfx=的奇偶性，当0x时函数值()fx的正负，以及

当x→+时，()fx→+，利用排除法可得出函数()yfx=的图象.【详解】函数()21010xxfxx−−=的定义域为0xx，关于原点对称，()()()2210101010xxxxfxfxxx−−−−−===−−，该函数为奇函数，排除A选项；当0x时，1010xx−，此时，()

210100xxfxx−−=，排除D选项；当x→+时，100x−→，10x远远大于2x，此时，()fx→+，排除C选项.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般结合函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题.4.已知向量

a,b满足a1=，ab1=−，则a(2ab)−=A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,aabaaba−=−=−−=+=所以选B.点睛：向量加减乘：221212(,)

,||,cos,abxxyyaaababab===5.已知方程222213xymnmn−=+−表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A.(–13)B.(–1,3)C.(0,3)D.(0,3)【答案】A【解析

】【详解】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以2234mnmn++−=，解得21m=，因为方程22113xynn−=+−表示双曲线，所以10{30nn+−，解得1{3nn−，所以n的取值范围是()1,3−，故选A．【考点】双曲线的性质【名师

点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.6.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是A.17πB.18πC.20πD.28

π【答案】A【解析】【详解】试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,即该几何体是78个球，设球的半径为R，则37428R833V==，解得,R2=，所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和,即22734221784+=，故选A．

【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.7.在封

闭的直三棱柱111ABCABC-内有一个体积为V的球，若ABBC⊥，6AB=，8BC=，15AA=，则V的最大值是（）A.4B.92C.1256D.323【答案】D【解析】【分析】先保证截面圆与ABC内切，记圆O的半径为r，由等面积法得()68ACABBCr++=，解得2r=

．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．【详解】解：如图，由题意可知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与ABC内切，记圆O的半径为r，则由等面积法得1111···682222ABCS

ACrABrBCr=++=△，所以()68ACABBCr++=，又因为6AB=，8BC=，所以10AC=，所以2r=．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若r增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的

最大半径为2，所以3344322333Vr===．故选：D．【点评】本题考查球的最大体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题.8.在ABC中，030A=，2AC=，且ABC的面积为3，则BC=A.1B.2C.2D.3【

答案】C【解析】【分析】先根据三角形的面积求出AB，再利用余弦定理求BC得解.【详解】由题得13=2sin,2326ABAB=.由余弦定理得2341222234,2BC=+−=所以BC=2.故选C【点睛】本题主要考查三角形的面积的应用和余弦定理，意在考查学生对这

些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.设1a，若,xy满足约束条件202020axyxyx−++−−，则2zxy=+的最大值的取值范围为A[2,10]B.[2,8]C.[10,)+D.[8,)+【答案】C【解析】【详解】作出可行域如下图：.目标函

数为1zyx22=−+，当目标函数过点()2,2a2+时，maxz24a44a+6=++=，因为a1，所以maxz=4a+610，故选C.10.若点P为抛物线2:2Cyx=上的动点，F为抛物线C的焦点，则PF的最小值

为（）A.1B.12C.14D.18【答案】D【解析】【分析】根据抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小即可解出．【详解】由22yx=，得212xy=，∴122p=，则128p=，所以焦点10,8F，由抛

物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小，得PF的最小值为18.故选：D．11.双曲线E：22221(0,0)xyabab−=的离心率是5，过右焦点F作渐近线l的垂线，垂足为M，若OFM的面积是1，则双曲线E的实轴长是A2B

.22C.1D.2【答案】D【解析】【详解】分析：利用点到直线的距离计算出FMb=，从而得到OMa=，再根据面积为1得到2ab=，最后结合离心率求得1a=.详解：因为FMb=，OFc=，所以OMa=，故12ab=即2ab=，由5ca=，所以2225aba+=即2ba=

，故1,2ab==，双曲线的实轴长为2.故选D.点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到.渐进线的距离问题.12.已知函数()()fxxR满足()2()

fxfx−=−，若函数()sin21gxx=+与()yfx=图像的交点为11(,)xy，22(,)xy，…，(,)mmxy，则1()miiixy=+=A.mB.2mC.3mD.4m【答案】A【解析】【分析】根据两函数的对称中心均为（0，1）可知出12mxxx+++＝0，12m

yyy+++＝m，从而得出结论．【详解】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数()sin21gxx=+图象关于点（0，1）对称，即有（1x，1y）为交点，即有（﹣1x，2﹣1y）也为交点，（2x，2y）为交点

，即有（﹣2x，2﹣2y）也为交点，…则有()1miiixy=+=（1x+1y）+（2x+2y）+…+（mx+my）()()1212mmxxxyyy=+++++++，=022m+＝m．故选A．【点睛】本题考查抽象函数的运用：求和方法，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，

属于中档题．二、填空题（共四题：共20分）13.已知向量()4,2a=−，()1bx=，，若ab，则x=______．【答案】-2【解析】【分析】利用平面向量共线定理即可得出．【详解】解：∵a∥b，∴﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了向

量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.设()()2ln11fxxx=+++，若()2020fa−=，则()fa=______．【答案】2018−【解析】【分析】首先求出()fx的定义域，设()()2ln1gxx

x=++，xR，说明()gx为奇函数，由()2020fa−=得出()ga，代入()fa即可得出答案．【详解】因为()221ln1ln1xxxx++=+−，易知21xx+，所以()fx的定义域为R，设()()2ln1gxxx=++，xR，因为()

()2222211ln1lnln()()11xxgxxxgxxxxx+−−=−++===−++++，所以()gx为奇函数，所以()()1()12020fagaga−=−+=−+=，即()2019ga=−，

所以()()12018faga=+=−，故答案为：2018−．15.若椭圆2214xym+=上一点到两个焦点的距离之和为3m−，则此椭圆的离心率为__________．【答案】53【解析】【详解】当4m时

，由椭圆定义知34m−=，解得7m=，不符合题意，当4m时，由椭圆定义知32mm−=，解得9m=，所以94533cea−===，故填53.点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中22,ab的取值，从而确定c,计算椭圆的离心

率.16.已知函数()sin()0,||2fxx=+，4x=−为()fx的零点，4x=为()fx图象的对称轴，且()fx在5,1836上单调，则的最大值为________.【答案】9【解析】【分析】利用正弦

函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在5,1836上单调可知536－18＝12≤2T＝22，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解.【详解】因为x＝－4为f(x)的零点，x＝4为f(x)的图象的

对称轴，所以4－4−＝4T＋2kT，即2＝214k+T＝214k+·2(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z)，又因为f(x)在5,1836上单调，所以536－18＝12≤2T＝22，解得ω≤12，ω＝11

时f(x)＝sin114x−在3,1844上单调递增，在35,4436上单调递减，不成立，ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9.故答案为：9三、解答题（共五题：共50分）17.设数列{}na的前n项和

是nS，且nSn是等差数列，已知11a=，3246234SSS++=.（1）求{}na的通项公式；（2）若12212nnnnnaabaa++++=+−，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】(1)nan=(2)1122n

−+【解析】【详解】试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到na的通项公式；（2）1112nbnn=−++，利用裂项相消法求出数列nb的前n项和nT.试题解析：（1）记nnScn=，∴1111

Sc==，又nc为等差数列，公差记为d，2432ccc+=，∴32c=，得12d=，∴12nnc+=，得22nnnS+=2n时，1nnnaSSn−=−=，1n=时也满足.综上nan=（2）由（1）得12221nnnb

nn++=+−++()()1111212nnnn==−++++∴111111233412nTnn=+−++−+++1122n=−+，点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知

数列的通项公式为()11nann=+，求前n项和：()11111nannnn==−++；（2）已知数列的通项公式为()()12121nann=−+，求前n项和：()()1111212122121nannnn

==−−+−+；（3）已知数列的通项公式为11nann=++，求前n项和:.111nannnn==+−++18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频

数分布及支持“生育二胎”人数如下表：年龄)5,15)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65频数510151055支持“生二胎”4512821（1）由以上统计数据填下面22列联表

，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持=ac=不支持b=d=合计（2）若对年龄在)5,15的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？参考数据：()23

.8410.050PK=，()26.6350.010PK=，()210.8280.001PK=.【答案】（1）没有，理由见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）根据题中数据完善22列联表，计算出2K的观测值，利用参考数据即可对题中的结论进

行判断；（2）将所选5人中支持“生育二胎放开”的4人记为a、b、c、d，不支持“生育二胎放开”的1人记为A，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的两人都支持“生育二胎放开””所包含的基本事件，利

用古典概型的概率公式可计算出结果.【详解】（1）根据题中数据，22列联表如下：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持32932不支持71118合计104050()22502973116.27

26.63540103218K−=，因此，没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（2）由题意可知，年龄在)5,15的有5人，其中支持“生育二胎放开”的有4人，分别记为a、b、c、d，不支持“生育二

胎放开”的1人记为A，所有的基本事件有：(),ab、(),ac、(),ad、(),aA、(),bc、(),bd、(),bA、(),cd、(),cA、(),dA，共10种.事件“所抽取的两人都支持“生育二胎放开””包含的基本事件有：()

,ab、(),ac、(),ad、(),bc、(),bd、(),cd，共6种，由古典概型的概率公式可知，所抽取的两人都支持“生育二胎放开”的概率为63105=.【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般利用列举

法列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于基础题.19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧面11ACCA⊥底面ABC，四边形11ACCA是边长为2的菱形，160AAC=，ABBC=，ABBC⊥，E，F分别为AC，11BC的中点．（1）求证：直线EF∥

平面11ABBA；（2）设PQ，分别在侧棱1AA，1CC上，且1PAQC=，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．【答案】（1）见解析（2）1:2（或者2:1）【解析】【分析】（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，证明FG∥A1B1．推出FG∥平面ABB1A1．同理证明EG∥平

面ABB1A1，从而平面EFG∥平面11ABBA，然后证明直线EF∥平面ABB1A1；（2）证明BE⊥AC．推出BE⊥平面ACC1A1．求出四棱锥B﹣APQC的体积，棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，即可得到面BP

Q分棱柱所成两部分的体积比．【详解】（1）取11AC的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，11BC的中点，所以FG∥11AB．又11AB平面11ABBA，FG平面11ABBA，所以FG∥平面11ABBA．又AE∥1AG且AE＝1AG，所以四边形1AEGA是平行

四边形．则EG∥1AA．又1AA平面11ABBA，EG平面11ABBA，所以EG∥平面11ABBA．所以平面EFG∥平面11ABBA．又EF平面EFG，所以直线EF∥平面11ABBA．（2）四边形APQC是梯形，其面积()1sin602SAPCQAC

=+122sin602=3=．由于ABBC=，E分别为AC的中点.所以BEAC⊥．因为侧面11ACCA⊥底面ABC，所以BE⊥平面11ACCA．即BE是四棱锥BAPQC−的高，可得1BE=．所以四棱锥BAPQC−的体积为1133133V==．棱柱111ABCA

BC−的体积121332V==．所以平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为1:2（或者2:1）．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知椭圆222:1(2)2xyCaa+=

的右焦点为F，P是椭圆C上一点，PFx⊥轴，22PF=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且2OM=，求AOB面积的最大值.【答案】（1）22182xy+=；（2）2.【解析】【

分析】（1）由题意写P点坐标和b，代入方程解得a值，即得方程；（2）先计算斜率不存在时的面积，再设斜率存在是直线的方程并联立方程得到韦达定理，求弦长与点到直线的距离，即可计算面积，换元2116kp+=，求其最大

值即可.【详解】（1）由题知，点2,2Pc，2b=，则有2222()212ca+=，又22222abcc=+=+，解得28a=，26c=，故椭圆C的方程为22182xy+=.（2）当ABx⊥轴时，M位于x轴上，且OMAB⊥，由2OM=可得6AB=

，此时123AOBOSMAB==△.当AB不垂直x轴时，设直线AB方程为ykxt=+，与椭圆交于()11,Axy，()22,Bxy，由22182xyykxt+==+，得()222148480kxktxt+++−=122814ktxx

k−+=+，21224814txxk−=+，从而224,1414kttMkk−++，.已知2OM=，可得22222(14)116ktk+=+.()(()()()222222222121222221682848||1)41)41

1414(14)ktkttABkxxxxkkkkk−+−−=++−=+−=++++设O到直线AB的距离为d，则2221tdk=+，()()222222221682114(14)1AOBkttSkkk−+=+++.将22222(14)116ktk+=+代入化简得()22

22219241(116)AOBkkSk+=+.令2116kp+=，则()()2222222112111924111443[3)4(116)33AOBppkkSkpp−−++===−−++，故23AOBS，当且仅当3p=时取等号，此时A

OB的面积最大，故AOB面积的最大值为2.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆的综合应用即三角形面积最大值的求法，属于难题.21.已知函数()(2)(2)xfxaxeea=−−−.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）当1x时，()0fx，求a的取值范

围.【答案】（1）见解析;（2）[1)+，.【解析】【详解】试题分析：（1）先求导数，再讨论2axa−+符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于()10f=，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得

0a且21aa−，即得a的取值范围.试题解析：解：（1）()()2xfxaxae=−+，当0a=时，()20xfxe=−，∴()fx在R上单调递减.当0a时，令()0fx，得2axa−；令()0fx，得2axa−.∴()fx的单调递减

区间为2,aa−−，单调递增区间为2,aa−+.当0a时，令()0fx，得2axa−；令()0fx，得2axa−.∴()fx的单调递减区间为2,aa−+，单调递增区间为2,aa−−.（

2）当0a=时，()fx在()1,+上单调递减，∴()()10fxf=，不合题意.当0a时，()()()()22222222220faeeaaeeee=−−−=−−+，不合题意.当1a时，()()20xfxaxae=−

+，()fx在()1,+上单调递增，∴()()10fxf=，故1a满足题意.当01a时，()fx在21,aa−上单调递减，在2,aa−+单调递增，∴()()min210a

fxffa−==，故01a不满足题意.综上，a的取值范围为)1,+.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法

，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.四、选做题（共二题：共20分）22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为2ykx=+.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2

2cos30+−=.（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.【答案】(1)22(1)4xy++=；(2)423yx=−+.【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，将22cos30+−=代换，即可解出；（2）方法一：依题可知曲线2C

是圆心为()1,0A−，半径为2的圆，1C是过点()0,2B且关于y轴对称的两条射线，根据数形结合，以及直线与圆的位置关系，即可解出.【详解】（1）由cosx=，siny=，222xy=+，代入22cos30+−=得，22230xyx++−=，

即2C的直角坐标方程为()2214xy++=．（2）［方法一］：【最优解】分类讨论由（1）知2C是圆心为()1,0A−，半径为2的圆．而1C是过点()0,2B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅

有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点．当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2221kk−+=+，故43k=−或=0k．经检验，当=0k

时，1l与2C没有公共点；当43k=−时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点．当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2221kk+=+，故=0k或43k=．经检验，当=0k时，1l与2C没有公共点；当43k=时，2l与2

C没有公共点．综上，所求1C的方程为423yx=−+．［方法二］：解方程组法联立22=+2++23=0ykxxyx−，化简可得，()2212410kxxkx++++=，当0x时，()()2212410kxkx++++=，因为1C与2C有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实

根，而210k+，设方程的两实根为12,xx，由122101xxk=+可知，方程有两个相异或相等正根．当0x时，()()2212410kxkx++−+=，因为1C与2C有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实根，而210k+，设方程的两实

根为34,xx，由342101xxk=+可知，方程有两个相异或相等负根．当方程组有两个相异正根，两相等负根时，()()()()221122222342Δ=2+441+>02+4+=>01+Δ=2441+=024+=<01+kkkxxkkkkxxk−−−−−−，

解得：k；当方程组有两个相等正根，两相异负根时，()()()()221122222342Δ=2+441+=02+4+=>01+Δ=2441+>024+=<01+kkkxxkkkkxxk−−−−−−，解得：43k=−．综上，所求1C的方程为423yx=−+．【

整体点评】（2）方法一：根据直线与圆的位置关系分类讨论求出，是本题的最优解；方法二：根据图象的交点个数与方程个数之间的关系求解，是利用代数方法解决几何问题的基本方式，对运算能力有一定要求．23.选修4-5：不等式选讲已知

函数11()22fxxx=−++，M为不等式()2fx的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，bM时，1abab++.【答案】（Ⅰ）{|11}Mxx=−；（Ⅱ）详见解析.【解析】【详解】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分12x−，1122x−和12x三种情况解不等

式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，b时，1abab++．试题解析：（I）12,,211(){1,,2212,.2xxfxxxx−−=−当12x−时，由()2fx得2

2,x−解得1x−；当1122x−时，()2fx；当12x时，由()2fx得22,x解得1x.所以()2fx的解集{|11}Mxx=−.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,abM时，11,11ab−−，从而22222222()

(1)1(1)(1)0ababababab+−+=+−−=−−，因此1.abab++【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如xaxbc−+−（或c）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对

值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a−，(,]ab，(,)b+（此处设ab）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1yxaxb=−

+−和2yc=图象，结合图象求解．的