【文档说明】福建省莆田市2022-2023学年高二下学期期末质量监测数学试题 含解析.docx，共(23)页，2.019 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的件名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答

题无效.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题

卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从3名男生，2名女生中任选2人，则选到2名女生的概率为（）A.110B.310C.35D.910【答案】A【解析】【分析】首先为男生，女生编号，再结合样本空间，和古典概型概率

公式，即可求解.【详解】设3名男生的编号为123,,aaa，2名女生的编号为12,bb，任取2人的样本空间包含()()()()()()()12131112232122,,,,,,,,,,,,,,aaaaababaaabab()()()313212,,,,,,ababbb共10个样本点，其中

选到2名女生为()12,,bb共1个样本点，所以选到2名女生的概率110P=.故选：A2.函数yx=的导函数是（）A.2xy=B.12yx=C.1yx=D.2xy−=【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的导数公式

，即可求解.【详解】()11221122yxxxx−====.故选：B3.若直线l的方向向量为m，平面的法向量为n，则可能使l∥的是（）A.()3,1,0m=−，()1,0,2n=−B.()2,1,4m=−，()2,0,1n=

C.()2,9,7m=，()2,0,1n=−−D.()1,2,3m=−，()0,3,1n=【答案】B【解析】【分析】根据线面的位置关系，可知0mn=rr，结合选项，即可判断.【详解】要使l∥，则0mn=rr，A.30mn=−，B.440mn=−+=，C.110mn=

−，D.30mn=−.故选：B4.甲每次投篮命中的概率为14，且每次投篮相互独立，则在16次连续投篮中甲命中的次数的方差是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，命中的次数随机变量1(16,)4XB，由二项分布方差公式求解.【详解

】根据题意，命中的次数随机变量1(16,)4XB，由二项分布方差公式得，11()16(1)344DX=?=.故选：C5.若点P平面ABC，且对空间内任意一点O满足1148OPOAOBOC=++，则的值

是（）A.58−B.38−C.38D.58【答案】D【解析】【分析】根据条件得出P，A，B，C四点共面，再根据1148OPOAOBOC=++即可求出的值．【详解】P平面ABC，P，A，B，C四点共面，又1148OPOAOBOC

=++，11148++=，解得58=．故选：D．或者根据P平面ABC，P，A，B，C四点共面，则存在实数,xy，使得PAxPByPC=+，即()()()1OAOPxOBOPyOCOPxyOPOAxOByOC−=−+−−−=

−−，又1442OPOAOBOC=++，所以14,4,1,2xyxy−−=−=−=解得58=故选：D6.如图，平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABCD是矩形，其中2AB=，4=AD，13AA=，且1

160AADAAB==，则线段1AC的长为（）A.9B.29C.47D.43【答案】C【解析】【分析】由11ACACCC=+，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出2211,,2ACACCCCC的值，进而可得答案【详解】由11ACACCC=+，2222211111()2ACACAC

CCACACCCCC==+=++.因为底面ABCD是矩形，2AB=，4=AD，13AA=，所以2241620=ACAC=+=，219CC=，因为1160AABAAD==，所以1123cos603,43cos606ABCCBCCC====所以()11118

22()2()=23+6=1ACCCABBCCCABCCBCCC=+=+，2112018947,47ACAC=++==故选：C.7.某同学利用电脑软件将函数()22fxxx=−+，()312xgx=−−图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”

.观察图形，当0x时，()gx的导函数()gx的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A的【解析】【分析】首先确定函数()gx的图象，再结合导数于函数图象间的关系，即可判断选项.【详解】()220fxxx=−+，()3102xgx=−−，所以x

轴下方的图象为函数()gx的图象，当0x时，函数()gx单调递增，所以()0gx，故排除CD；根据导数的几何意义可知，0x时，函数()gx图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B，只有A正确.故选：A8.设1ea=，11ln2

2b=−，()444ln4ec−=，则（）A.bacB.<<bcaC.<<cabD.cba【答案】D【解析】【分析】由于1lneeea==，11ln2ln4ln2224b=−==，()444eln44ln44e

e4c−==，所以构造函数()ln(0)xfxxx=，然后利用导数判断函数的单调性，再利用函数单调性可比较大小，【详解】1lneeea==，11ln2ln4ln2224b=−==，()444eln44ln44ee4c−==，令()ln(0)xfxxx=，则4e(e),(4),4afbfcf

===，由()ln(0)xfxxx=，得()21ln(0)xfxxx−=，当0ex时，()0fx¢>，当ex时，()0fx，所以()fx在()0,e上递增，在()e,+上递减，因为4ee44，所以()()4ee44fff

，所以abc，故选：D【点睛】关键点点睛：此考查比较大小，解题的关键是对,,abc变形，使形式相同，然后构造函数，判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共

20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学习小组收集了7组样本数据（如下表所示）：x1234567y0.51.20.81.51.72.32.5他们绘制了散点图并计算样

本相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，发现y与x有比较强线性相关关系.若y关于x的经验回归方程为0.2ybx=+，则（）A.y与x呈正相关关系B.

0.325b=C.当10x=时，y的预测值为3.3D.去掉样本点()4,1.5后，样本相关系数r不变【答案】ABD【解析】【分析】首先求,xy，根据样本中心求回归直线方程，即可判断选项.【详解】由数据可知，123456747x++++++==，0.51.20.81.51.72.32.51.57y+

+++++==，样本点中心(),xy必在回归直线上，所以ˆ1.540.2b=+，得ˆ0.3250b=，故AB正确；0.3250.2yx=+，当10x=时，ˆ3.45y=，故C错误；因为()4,1.5是样本点中心，0iixxyy−=−=，所以去

掉这一项，样本相关系数r不变，故D正确.故选：ABD10.甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机的取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件()0,1,

2iAi=表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则（）A.0A，1A，2A两两互斥B.()213PBA=C.()12PB=D.B与1A不相互独立【答案】AC【解析】【分析】结合互斥

，相互独立事件的定义，以及全概率公式，条件概率公式，即可判断选项.【详解】A.0A表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，1A表示从甲罐中取出的2个球，有1个红球，2A表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次实验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A正确；B.()()()

212421246222224CCCC2C3CPABPBAPA===，故B错误；C.()()()()()()()001122PBPBAPAPBAPAPBAPA=++112111232222421

21212646464CCCCCCC1CCCCCC2=++=，故C正确；D.()1122124CC2C3PA==，()12PB=，()11122312146CCC1CC3PAB==，则()()()11PABPAPB=，则B与1A相互独立，故D错误.故选：AC11.函数

()()2sinπ,πfxxmxx=−−在π3x=处取得极大值，则（）A.1m=B.()fx只有两个不同的零点C.()πππ26fffD.()fx在π,0−上的值域为0,π【答案】AC【解析】【分析】首先根据极值点

求函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性，极值和端点值，即可判断选项.【详解】()2cosfxxm=−，π,πx−，由条件可知，π103fm=−=，得1m=，当1m=时，()2cos10fxx=−=，得π3x=−或π3x=，xπ−ππ,3

−−π3−ππ,33−π3π,π3π()fx−0+0−()fxπ单调递减极小值π33−+单调递增π33−单调递减π−由表格数据单调性可知，ππ,3x−−单调递减，且()ππ03ff−−，所以

函数在区间ππ,3−−有1个零点，同理，函数在区间ππ,33−和π,π3也各有1个零点，所以函数有3个不同的零点，故A正确，B错误；()ππf=−，ππ222f=−，ππ166f=−

，()πππ26fff，故C正确；()00f=，再结合表格数据可知，函数在区间π,0−上的值域为π3,π3−+，故D错误.故选：AC12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方

体图案（如图1）.把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则A.122QCADABAA=++B.若M为线段CQ上的一个动点，则BMBD的最大值为2C.点P到直线CQ

的距离是173D.异面直线CQ与1AD所成角的正切值为17【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A，以1A为坐标原点，1AF所在直线为x轴，11AB所在直线为y轴建立空间直角坐标系，利用空

间向量法计算B、C、D.【详解】因为()1112222CQCBBQADBAADAAABABADAA=+=−+=−+−=−−+，所以()112222QCCQABADAAADABAA=−=−−−+=+−，故A错误；如图以1A为坐标原点，建立空间直角

坐标系，则()0,1,1B−，()11,0,0D−，()1,0,1D−−，()0,1,1Q−，()1,1,1C−−，()0,0,1A−，()1,1,0P−，()1,1,0BD=−−，()1,2,2CQ=−，()11,0,1AD=−，()2,2

,1CP=−，对于B：因为M为线段CQ上的一个动点，设CMCQ=，0,1，则()()()1,0,01,2,21,2,2BMBCCM=+=−+−=−−，所以()121BMBD=−+=−+，所以当1=时()ma

x2BMBD=，故B正确；对于C：()2222213CP=+−+=uur，()()()22212222183221CPCQCQ+−−+==+−+uuruuuruuur，所以点P到直线CQ的距离22173CPCQdCPCQ=−

=uuruuuruuruuur，故C正确；对于D：因为11112cos,632CQADCQADCQAD===，所以21234sin,166CQAD=−=，所以1tan,1

7CQAD=，即异面直线CQ与1AD所成角的正切值为17，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()2,6,ay=−，()3,,6bx=−−，且ab∥，则xy+=__________.【答案】13【解析】【分析】利用向量共线定理列方程求得94xy=

=，从而可得答案.【详解】因为()2,6,ay=−，()3,,6bx=−−，且ab∥，(0)baa=，()()(),26,6,3,,26,bayxy−−===−−=，则3266xy−==−−=，解得：3294xy=−

==，9+413xy+==.故答案为：1314.若某工厂制造的机械零件尺寸X服从正态分布14,4N，则零件尺寸介于3.5和5之间的概率约为___________.（若()2~,XN，

则()~0.6827PX≤，()~20.9545PX≤，()~30.9973PX≤）【答案】0.8186【解析】【分析】由题意可得()()3.552PXPX=−+()()()22PXPXPX−−−=+−，然后代值计算即可.【详解】因为X服从正态分

布14,4N，所以14,0.52===，所以3.540.5,5420.52=−=−=+=+，所以()()3.552PXPX=−+()()()22PXPXPX−−−=+−0.95450.68270.68270.81862−=+

=，故答案为：0.818615.现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能

的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________.【答案】227【解析】【分析】根据题意，先求出进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游戏是相互独立，即可得到结果.

【详解】设事件A表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，则()2113323CCC233PA==，则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为21133−=，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为2122332

7=.故答案为：22716.已知函数()()exfxaa=R，若直线yx=是曲线()2yfx=的切线，则=a__________；若直线yx=与曲线()yfx=交于()11,Axy，()22,Bxy两点，且11229xyxy≥，则a的取值范围是_

________.【答案】①.12e②.3ln30,6【解析】【分析】对函数()fx求导，设出切点，由导数的几何意义可得()()00202002e1exxgxagxax====，由此可得a的值；依题意

，直线ya=与曲线()exxgx=有两个交点，利用导数研究函数()gx的性质，可知10,ea，则由11229xyxy≥，可令123xtx=，进一步可得ln1ln1etttta−−=，设ln(3)1tmtt=−，则emma=，

利用导数求出m的范围，即可得到a的范围．【详解】记()()22exgxfxa==，()22exgxa=，设切线yx=与曲线()ygx=相切于点0(x，0)x，则()()00202002e1exxgxagxax====

，解得01212exa==，即实数a的值为12e；令exax=，则exxa=，依题意，直线ya=与曲线()xxhxe=有两个交点，又1()exxhx−=，令()0hx，解得1x，令()0hx，解得1x，则函数()hx在(,1)−

上单调递增，在(1,)+上单调递减，且1(1)eh=，当0x时，()0hx，当0x时，(0hx，作出函数()hx的大致图象如图所示，由图象可知：要使直线ya=与曲线()xxhxe=有两个交点，则10,ea又

11229xyxy≥，则22129xx，则123xx，令123xtx=，则12xtx=，又1212eexxaxax==，则2222eetxxatxax==，于是22etxxt−=，则2ln1txt=−，故ln1ln1etttta−−=，设

ln(3)1tmtt=−，则emma=，又2211(1)ln1ln()(1)(1)tttttmttt−−−−==−−，设1()1ln(3)tttt=−−，则22111()0ttttt−=−=

，故()t在[3,)+上单调递减，则12()(3)1ln3ln3033t=−−=−，故()0mt在[3,)+上恒成立，则()mt在[3,)+上单调递减，于是lnln30112tmt=−，又函数()

xxhxe=在(0,1)上单调递增，则当ln302m时，3ln3(0,]e6mma=．故答案为：12e；3ln30,6．【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数

的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数(

)()3223Rfxxaxa=+.（1）当1a=时，求()fx的极值；（2）若()fx在(0,2上单调递减，求a的取值范围.【答案】（1）极大值为()1231f−=−+=，极小值为()00f=（2）(,2−−【

解析】【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，即可求函数的极值；（2）利用导数，将不等式恒成立，转化为ax−在(0,2x上恒成立，即可求解.【小问1详解】当1a=时，()3223fxxx+=，()()266610fxxxxx=+=+=，得0x=或=1x−，当()0

fx¢>时，解得：1x−或0x，当()0fx时，解得：10x−，所以函数单调递增区间是(),1−−和()0,+，单调递减区间是()1,0−，当x变换时，()fx，()fx的变化情况如下表所示，x(),1−−1−()1,0−0()0,+()fx+0−0+()fx单调递增

极大值单调递减极小值单调递增所以函数的的极大值为()1231f−=−+=，极小值为()00f=【小问2详解】的()3223=+fxxax，Ra，()266fxxax=+，因为()fx在(0,2上单调递减，可得()2660fxxax=+在(0,2x上恒成立，即a

x−在(0,2x上恒成立，当(0,2x时，)2,0x−−，所以2a−，即a的取值范围是(,2−−.18.如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为AB，1AC的中点.（1）求点1C到平面DEF的距离；（2）求二面角CDFE−−的大小.【答案

】（1）63（2）π2【解析】【分析】（1）首先，建立空间直角坐标系，求平面DEF的法向量，利用点到平面的距离公式，即可求解；（2）利用垂直关系证明1AD⊥平面DCF，利用法向量求二面角的大小.【小问1详解】如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，()

10,2,2C，()0,0,0D，()2,1,0E，()0,2,0C，()1,1,1F，()2,1,0DE=，()1,1,1DF=，()10,2,2DC=设平面DEF的法向量为(),,mxyz=，则DEmD

Fm⊥⊥，即200xyxyz+=++=，令1x=，则2,1yz=−=，所以平面DEF的法向量为()1,2,1m=−，所以点1C到平面DEF的距离12636DCmdm−===；【小问2详解】因为1

1ADAD⊥，DC⊥平面11ADDA，1AD平面11ADDA，所以1DCAD⊥，且1ADDCD=，1,ADDC平面1ADC，所以1AD⊥平面1ADC，即1AD⊥平面DCF，()2,0,0A，()10,0,2D，()12,0,2AD=−，111cos,0mADmADmAD

==，所以二面角CDFE−−的大小为π219.甲、乙两位好友进行乒乓球友谊赛，比赛采用21k+局1k+胜制（*kN），若每局比赛甲获胜的概率为13，且每局比赛的结果是相互独立的.（1）比赛采用5局3胜制，已知甲在第一局落败，求甲反

败为胜的概率；（2）比赛采用3局2胜制，比赛结束时，求甲获胜的局数X的分布列及数学期望.【答案】（1）19（2）分布列见解析，()2227EX=【解析】【分析】（1）根据题意，分别求出比分3:1或3:2的概率，即可得到结果；（2）由题意可知，X的

所有可能取值为0,1,2，然后分别求出其对应的概率，即可得到结果.【小问1详解】记A=“甲在第一局落败”，B=“甲反败为胜”，甲最终获胜有两种可能的比分3:1或3:2，且每局比赛结果是相互独立的.①若比分是3:1，则甲接下来连胜3局，

其概率为311327=；②若比分是3:2，则第2,3,4，局比赛中甲胜2局输1局且第5局甲获胜，其概率为2231212C33327=，所以()12127279PBA=+=.【小问2详解】X的所有可能取值为0,1,2，

()224039PX===，()1212281C33327PX===，()212112172C333327PX==+=，所以X的分布列为X012P49827727则()4

87220129272727EX=++=.20.如图，在四棱锥PABCD−中，ABCD，ABAD⊥，1222CDADAB===，E为AB的中点，PAD与PCD均为等边三角形，AC与DE相交于O点.（1）证明：PO

⊥平面ABCD；（2）求直线PE与平面PBC所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）12【解析】【分析】（1）要证明线面垂直，可证明PO垂直于平面内的两条相交直线，利用垂直关系，构造辅助线，即可证明；（2）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，求平面PBC的法向量，利用向量公式求线面角

的正弦值.【小问1详解】取AD的中点M，连结,AMOM，EC，因为PAD是等边三角形，所以PMAD⊥，因为ABAD⊥，ADDC=，E为AB的中点，所以四边形ADCE是正方形，所以AOOD=，则OMAD⊥，且PMOMM=，,PMOM平面POM，所以AD⊥平面POM，PO平面P

OM，所以ADPO⊥，又因为PAD与PCD均为等边三角形，所以PAPC=，所以POAC⊥，且ACADA=，,ACAD平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD【小问2详解】四边形ADCE是正方形，所以OCOD⊥

，以点O原点，以,,ODOCOP为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，32262PM==，2OM=，222POPMOM=−=，()002P,,,()2,0,0E−，()0,2,0C，()4,2,0B−，()4,2,2PB=−−，()0,2,2PC=−,()2,0,2PE=−−为设平面PB

C的法向量为(),,nxyz=r，则PBnPCn⊥⊥，即4220220xyzyz−+−=−=，得0x=令1yz==，所以平面PBC的法向量()0,1,1n=，设直线PE与平面PBC的夹角为，所以21sincos,2222PEnPEnPEn−====，所以直线PE与平面P

BC的夹角的正弦值1221.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位：只）：发病没发病合计接种疫苗81624没接种疫苗17926合计252550（1）能否有95%的把握认为接种该疫苗与预

防该疾病有关？（2）从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，A表示此动物没发病，B表示此动物接种疫苗，定义事件A的优势()()11PARPA=−，在事件B发生的条件下A的优势()()21PABRPAB=−.（ⅰ）证明：()()21P

BARRPBA=；（ⅱ）利用抽样的样本数据，给出()PBA，()PBA的估计值，并给出21RR的估计值.附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20Px0.0500.0100

.0010x3.8416.63510.828【答案】（1）有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关.（2）证明见解析，2112RR=【解析】【分析】（1）根据卡方的计算即可与临界值比较求解，（2）根据条件概率的计算公式，即可结合12,RR的定义进行求

证，进而求解.【小问1详解】根据联表可得()()()()()()222501716725.1283.84125252426nadbcabcdacbd−−==++++，所以有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关.【小问2详解】（ⅰ）由于()()()()()()11()(

)()PABPBPABPABPABPABPBPBPB−−=−===,所以()()()()21PABPABRPABPAB==−，()()()()11PAPARPAPA==−，故()()()()()()()()()()()()()()21()()PAPAPA

PABPBAPABPBPABRRPAPAPAPABPBPABPABPBA====,故得证.（ⅱ）由二联表中的数据可得()825PBA=，()1625PBA=，所以()()2112PBARRPBA==，22.已知函数()2lnfxaxx=−−，其中aR.（1）讨论()fx

的单调性；（2）若()fx有两个零点1x，2x，且213xx，求12xx的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）49e【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再分0a、0a两种情况讨论，分别求出函数的单调性；（2）依题意可得11222

ln02ln0axxaxx−−=−−=，即可得到12121212lnlnlnln4xxxxaxxxx−++==−+，从而得到()121121221ln4ln1xxxxxxxx++=−，令12xtx=，10,3t，令()1

ln1tgttt+=−，10,3t，利用导数求出()gt的最小值，即可求出12xx的最小值.【小问1详解】()2lnfxaxx=−−定义域为()0,+，且()11axfxaxx−=−

=，当0a时，()0fx恒成立，所以()fx在()0,+上单调递减；当0a时，令()0fx=得1xa=，当10,xa时，()0fx；当1,xa+时，()0fx¢>，所以()fx在10,a

上单调递减，在1,a+上单调递增.综上可得：当0a时()fx在()0,+上单调递减；当0a时()fx10,a上单调递减，在1,a+上单调递增.【小问2详解】因为()()120fxfx==，所以11222ln02ln0axxaxx

−−=−−=，所以()1212lnlnaxxxx−=−，()1212lnln4axxxx+=++，所以12121212lnlnlnln4xxxxaxxxx−++==−+，所以()112121121

122221ln4lnln1xxxxxxxxxxxxxx+++==−−，在令12xtx=，因为213xx，所以1213xx，即103t≤，所以()121ln4ln1txxtt++=−，10,3t，令()1

ln1tgttt+=−，10,3t，则()()()()()2211ln11ln2ln11tttttttttgttt++−−+−−==−−，令()12lnhtttt=−−，()0,1t，则()()22211210tht

ttt−=+−=，所以()ht在()0,1上单调递增，又()10h=，所以()0ht，即()0gt，所以()gt在10,3上单调递减，所以()12ln33gtg=，所以()12ln42ln3xx+，即2ln3412exx−，即1249

exx，当且仅当2112439exxxx==，即122333exx==时等号成立，所以12xx的最小值为49e.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成

立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com