【文档说明】【精准解析】黑龙江省齐齐哈尔2020届高三二模考试数学（文）试题.doc，共(20)页，1.445 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数43zi=+(i为虚单位)的共轭复数为（）A.3i+B.3i−C.3i−+D.3i−−【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算化简

z，再求得其共轭复数z.【详解】依题意4(3)3,3(3)(3)iziziii−==−=++−故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.2.已知集合|2,nAxxn==N，|28Bxxx

=−.则AB=（）A.{1,2,4}B.1,2,4,6,8C.{2,4,8}D.1,2,4,8【答案】D【解析】【分析】解一元一次不等式求得集合B，由此求得AB.【详解】由{|14}Bxx=，可知1,2,4,8AB=.故选：D

【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.3.若变量xy，满足约束条件2101010xyxyy−++−+…„…，则=2zxy−的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】画出

可行域，平移基准直线20xy−=到可行域边界位置，由此求得z的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20xy−=到可行域边界()2,1B−时，目标函数z取得最大值为()2214−−=.故选：B[Failedtodownloadimage:ht

tp://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082707456/EXPLANATION/982d80f2f2de400eb995bb75a5dce055.p

ng]【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为（）[Failedtodownloadimage:http://qbm

-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082715648/STEM/739a4f8d0bff4af5a7ec8dffa30bcf36.png]A.20B.21C.22D.

23【答案】A【解析】【分析】根据三视图判断出原图的结构，由此求得原图的体积.【详解】由三视图知，该几何体是由38个半径为2的球和1个底面半径为2、高为4的圆柱组合而成.其体积为23342422083+=.故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图求体积，属于基础

题.5.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）[Failedtodownloadimage:http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2020/4/19/244500311

1653376/2445331454345216/STEM/65cc0b9e0b754895abe2ba74b410e80c.png]A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B.与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C.该年第一季度GDP总量

和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元【答案】D【解析】【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南

均第四.共2个.故C项正确；4632.1(13.3%)44844500+.故D项不正确.故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.6.已知为锐角，且3sin22sin=，则cos2等于

（）A.23B.29C.13−D.49−【答案】C【解析】【分析】由3sin22sin=可得3cos3=，再利用2cos22cos1=−计算即可.【详解】因为23sincos2sin=，sin0，所以3cos3=，所

以221cos22cos1133=−=−=−.故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.7.已知ABC中内角,,ABC所对应的边依次为,,abc，若2=1,7,3abcC

+==，则ABC的面积为（）A.332B.3C.33D.23【答案】A【解析】【分析】由余弦定理可得227abab+−=，结合2=1ab+可得a，b，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得2272cosababC=+−=22abab+−，由227

21ababab=+−=+，解得23ab==，所以，11333sin232222ABCSabC===.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.8.设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，23()log(1)1fxxaxa=++−

+(a为常数)，则不等式(34)5fx+−的解集为（）A.(,1)−−B.(1,)−+C.(,2)−−D.(2,)−+【答案】D【解析】【分析】由定义在R上的奇函数的性质，可得(0)0f=，求出1a=，于是可得()fx在0x时的解析式23()lo

g(1)(0)xfxxx=++，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数()fx在)0,+上单调递增，再由()fx为定义在R上的奇函数，可知()yfx=在R上单调递增，注意到(2)(2)5ff−=−=−，利用函数单调性即可解决．【详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，所以(0)

0f=，解得1a=，所以，当0x时，32()log(1)fxxx=++．当[0,)x+时，函数3log(1)yx=+和2yx=在[0,)x+上都是增函数，所以()fx在[0,)x+上单调递增，由奇函数的性质可知，()yfx=在R上单调递

增，因为(2)5(2)5ff=−=−，，故()(34)5(34)2fxfxf+−+−，即有342x+−，解得2x−．故选：D．【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题．9.已知双曲线2213yCx−=：的左、右焦点分别为1

2,FF，点P在双曲线上，则1211PFPF+的取值范围为（）A.41,3B.(0,2]C.40,3D.50,3【答案】C【解析】【分析】设P在右支，21PF…，利用双曲线的定义化简1211PFPF+，根据2PF的取值范

围，求得1211PFPF+的取值范围.【详解】不妨设点P在右支上.所以21PF…，所以12221111141233PFPFPFPF+=++=+„，故1211PFPF+的取值范围为40,3.故选

：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.已知曲线cos(2)||2Cyx=+：的一条对称轴方程为3x=，曲线C向左平移(0)个单位长度，得到曲

线E的一个对称中心的坐标为,04，则的最小值是（）A.6B.4C.3D.12【答案】C【解析】【分析】cos(2)yx=+在对称轴处取得最值有2cos()13+=，结合||2，可得3=，易得曲线E的解析式为cos223yx

=++，结合其对称中心为04可得()26kkZ=−即可得到θ的最小值.【详解】∵直线3x=是曲线C的一条对称轴.2()3kk+=Z，又||2.3=.∴平移后曲线E为cos223yx=++.曲线E的一个对称中心为04

.22()432kkZ++=+.()26kkZ=−，注意到0故θ的最小值为3.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.1

1.已知焦点为F的抛物线2:4Cyx=的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当||||MAMF取得最大值时，直线MA的方程为（）A.1yx=+或1yx=−−B.1122yx=+或1122yx=−−C.22yx=+或22yx=−−D.22yx=−+【答案】A【解析】【分析】过

M作MP与准线垂直，垂足为P，利用抛物线的定义可得11coscosMAMAMFMPAMPMAF===，要使||||MAMF最大，则MAF应最大，此时AM与抛物线C相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过M作MP与准线垂直

，垂足为P，11coscosMAMAMFMPAMPMAF===，则当||||MAMF取得最大值时，MAF最大，此时AM与抛物线C相切，易知此时直线AM的斜率存在，设切线方程为(1)ykx=+，则2(1)4yk

xyx=+=.则221616011kkk=−===，，，则直线AM的方程为(1)yx=?.[Failedtodownloadimage:http://qbm-images.oss-cn-hangz

hou.aliyuncs.com/QBM/2020/4/19/2445003111653376/2445331454517248/EXPLANATION/e914bc848b324cd5ba782914783ac2be.png]故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到

抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12.已知函数()fx满足当0x„时，(2)()fxfx−=，且当(2,0]x−时，()|1|1fxx=+−；当0x时，()log(0afxxa=且1a).若函数()fx的

图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）A.(5,)+B.(2,4)C.(3,5)D.(3,4)【答案】C【解析】【分析】根据周期性和对称性，作出函数()fx在(,0]−上的图象关于原点对称的图象，根据题意得到函数()logafx

x=的图象与所作的图象有3个交点，由此列不等式组，解不等式组求得a的取值范围.【详解】先作出函数()fx在(,0]−上的图象关于原点对称的图象，如图所示.若函数()fx的图象上关于原点对称的点恰好有3对.则函数()logaf

xx=的图象与所作的图象有3个交点，所以1log31log51aaa，解得35a.[Failedtodownloadimage:http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/Q

BM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082871296/EXPLANATION/d21c78063fde4ea08aedc9f50a97e136.png]故选：C【点睛】本小题主要考查函数的周期性、图象的对称性，考

查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小題5分，共20分.13.已知(1,1),2,abab=−=⊥，则b=___________.【答案】(1,1)或(1,1)−−【解析

】【分析】设出b的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得b.【详解】设(,)bxy=r，有202xxyxy−=+=，解得11xy==或11xy=−=−.故(1,1)或(1,1)−−故答案为：(1,1)

或(1,1)−−【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概

率为___________.【答案】16【解析】【分析】先求得基本事件的总数，由此求得每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率.【详解】设三张贺卡编号为1,2,3，则每个同学从中抽取一张，基本事件为123,132,213,231,312,321，故共有6个基本事件，每个

同学抽到的都是自己写的贺卡的事件有1种，故每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为16.故答案为：16【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.15.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为___________.【答案】123【解析】

【分析】画出图像，设出底面边长和高，求得底面正三角形的外接圆半径2OA，利用球的半径列方程，求得底面边长和高的关系式，求得正三棱柱的侧面积的表达式，利用基本不等式求得其最大值.【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中

心分别为12OO，.底面边长与高分别为,xh，则233OAx=，[Failedtodownloadimage:http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2020/4/19/244500351

1422976/2445702082920448/EXPLANATION/7a94ecddaa4e4eafb3f3c11f331a94d3.png]在2RtOAO中，22443hx+=，化为224163hx=−，.3Sxh=，()2222

22221291212124322xxSxhxx+−==−=„，当且仅当6x=时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为123S=.故答案为：123【点睛】本小题主要考查球的内接几何体侧面积的有关计算，考查最值的求法，属于

中档题.16.已知函数()2()(ln1)1fxaxxaxx=−−−−，若()0fx恒成立，则实数a的取值范围为___________.【答案】(12)，【解析】【分析】首先利用导数判断出21ln1xx++，由此化简不等式()0

fx，分离常数a得到2ln11xxaxx++，由此分别利用基本不等式和导数求得21xx+的最小值与ln1xx+的最大值，由此求得a的取值范围.【详解】()fx定义域为()0,+，构造函数()()2ln0gxxxx

=−，()()()2'21211212xxxgxxxxx+−−=−==，由于0x，令()'0gx=解得22x=，所以20,2x时，()'0gx，()gx递减，2,2x+

时，()'0gx，()gx递增，所以()gx在()0,+上的极小值也即是最小值为21211lnln2022222g=−=+，所以()2ln0gxxx=−，也即当0x时，22l

n1ln1xxxx++.所以由()2()(ln1)10fxaxxaxx=−−−−，得2ln11xaxx++，可得2ln11xxaxx++，其中221222xxxxxx+==….令ln1()xhxx+=，'221(ln1)

ln()xxhxxx−+==−.可得函数()hx的增区间为(0,1).减区间为(1,)+，可得()(1)1hxh=„.即ln11xx+.故实数a的取值范围为(1,2)故答案为：(12)，【点睛】本小题主

要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题

为选考题，考生根据要求作答17.如图，在直棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为菱形，2ABBD==，12BB=，BD与AC相交于点E，1AD与1AD相交于点O.[Failedtodownloadi

mage:http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082961408/STEM/683e78a8bec542899c7f2675f6f504f4.p

ng]（1）求证：AC⊥平面11BBDD；（2）求点A到平面OBD的距离.【答案】（1）见解析；（2）2217【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到ACBD⊥，根据直棱柱的性质得到1ACDD⊥，由此证得AC⊥平面11

BBDD.（2）利用等体积法，由OABDAOBDVV−−=列方程，解方程求得点A到平面OBD的距离.【详解】(1)证明：60ABADBDBAD===，四边形ABCD是菱形，ACBD⊥，∵直棱柱11111AB

CDABCDDD−⊥，平面ABCD.∵AC平面ABCD.1ACDD⊥11,,ACBDACDDBDDDD⊥⊥=.∴AC⊥平面11BBDD(2)设点A到平面OBD的距离为h，113123323OABDV−==21322ODOBBD==+==，，11724222OBDS

=−=，1732AOBDVh−=有173323h=，解得2217h=.故点A到平面OBD的距离为2217.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查点面距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

18.2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优

秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：[Failedtodownloadi

mage:http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702083026944/STEM/

cbc746b152cb41dfa4e0b82ca081e919.png]（1）求ab，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（2）求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)【答案

】（1）0.01a=，5b=，乙公司的影响度高；（2）36.75【解析】【分析】（1）根据频率之和为1求得a，根据频数之和为40求得b.分别求得甲、乙公司导游的优秀率，由此判断出乙公司的影响度高.（2）结合频率分布直方

图，求得甲公司一年内导游旅游总收入的中位数.利用平均数的计算方法，计算出乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.【详解】(1)由直方图知(0.020.0250.0352)101a+++=,可得0.01a=，由频数分布表知22010340b++++=，可得5b=，甲公司的导游优秀率为(

0.020.01)10100%30%+=，乙公司的导游优秀率为13100%32.5%40=，由于30%32.5%，所以乙公司的影响度高.(2)甲一年内导游旅游总收人的中位数为：0.50.10.253034.290.035−−+；乙一年内导游旅游总收入的平均数为25201031525

35455536.754040404040++++=.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图、频数分布表的阅读与分析，考查中位数、平均数的计算，属于基础题.19.已知数列na，nb满足11

11113,1,22,1nnnnnnnnabaabbaabb++++==−=−−=−+.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）分别求数列na，nb的前n项和nS，nT.【答案】（1）11222222nnnnnnab=++=−−；（2）2132244nnnSn+=

−++；2132244nnnTn+=−−−【解析】【分析】（1）11)2(nnnnabba+++=+，114ab+=，可得nnab+为公比为2的等比数列，111nnnnaabb++=−−+可得nnab−为公差为1的等差数列，再算出nnab+，nnab−的通项公式，

解方程组即可；（2）利用分组求和法解决.【详解】（1）依题意有()111121nnnnnnnnabababab+++++=+−=−+又111142abab+=−=；.可得数列nnab+为公比为2的等比数列，nnab−为公差为1的等差数列，由()(

)111112(1)nnnnnababababn−+=+−=−+−，得121nnnnnababn++=−=+解得12221222nnnnnana=++=−−故数列na，nb的通项公式分别为11222222nn

nnnnab=++=−−；.（2）()21212(1)322124244nnnnnnnSn+−+=++=−++−，()21212(1)322124244nnnnnnnTn+−+=−−=−−−−.【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n项和，考查学生的计算能

力，是一道中档题.20.已知椭圆22:12xCy+=的右焦点为F.直线2lx=：被称作为椭圆C的一条准线.点P在椭圆C上(异于椭圆左、右顶点)，过点P作直线:mykxt=+与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q.（1）求

证：PFQF⊥.（2）若点P在x轴的上方，0k…，求PQF△面积的最小值.【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】（1）联立直线m的方程和椭圆C的方程，利用判别式列方程，求得P点的坐标，求得Q点的坐标，通

过计算得到0FPFQ=，由此证得PFQF⊥.（2）求得||,||FPFQ，由此求得三角形PQF面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形PQF面积的最小值.【详解】(1)点F的坐标为(1,0).联立方程2212xyykxt+==+,消去y后整理

为()222214220kxktxt+++−=有()()222216421220ktkt=−+−=,可得2221tk=+，2222221ktktkxktt=−=−=−+，222212121kttytkkt=−+==++.可得点P的

坐标为21,ktt−.当2x=时，可求得点Q的坐标为(2,2)kt+，21211,,kktFPtttt+=−−=−，(1,2)FQkt=+.有220ktktFPFQtt++=−+=.故有PFQF⊥.(2)若点P在x轴上方，必有1t

…由(1)知2222222(2)1(2)1(2)1||||(2)1ktktktFPFQkttttt+++++=+===++；2222221(21)1441(22)41)2222PQFkkktttkttSFPFQt

tt+++++−+++====2341312222tkttktt+−==+−因为0k时.由(1)知212tk−=，()2312122PQFtStt=−+−，由函数()231()21(1)22tftttt=−+−…单调递增，可得此时(1)1PQFSf=…

.故当1t=时，PQF的面积取得最小值为1.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数2()()xfxeaxa=−R.（1）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（2）若

函数()fx在区间(0,)+有两个零点，分别为12xx，，求证：124xx+.【答案】（1）1yx=+；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（2）利用()()12

0,0fxfx==列方程，利用换元法，求得12xx+的表达式为2(1)ln1ttt+−，将所要证明的不等式2(1)ln41ttt+−转化为2(1)ln01ttt−−+，构造函数2(1)()ln(1)1x

gxxxx−=−+…，利用导数证得()(1)0gxg=…，由此证得124xx+成立.【详解】(1)由()2xfxeax=−，有(0)1,(0)1ff==.曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为1yx=+(2)不妨设210xx.令21(1)xttx=.由1

22122xxeaxeax==.有212221xxxetx−==两边取对数，有212lnxxt−=又由()()()212121212112(1)ln11xxxxtttxxxxxxtt+−+++=

=−=−−−若证124xx+，只需证2(1)ln41ttt+−.可化为2(1)ln01ttt−−+.令2222(1)14(1)()ln(1),()01(1)(1)xxgxxxgxxxxxx−−=−=−=+++…，可得函数()gx单调递增.所以(

)(1)0gxg=….故当1t时，2(1)ln01ttt−−+故若函数()fx在区间(0,)+有两个零点，必有：124xx+【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数证明不等式，属于中档题.22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cossin

xy=+=(为参数.02).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()3=R，曲线C与直线l其中的一个交点为A，且点A极径00.极角002（1）求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标；（2）已知直线m的直角

坐标方程为30xy−=，直线m与曲线C相交于点B(异于原点O)，求AOB的面积.【答案】（1）极坐标方程为2cos=，点A的极坐标为13，（2）34【解析】【分析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方

程间的互化公式即可；（2）只需算出A、B两点的极坐标，利用1|sin()|2ABABS=−计算即可.【详解】（1）曲线C：1cossinxy=+=(为参数，02)22222(1)122cos2cosxyxyx−+=+===，将3=代入，解得01=

，即曲线C的极坐标方程为2cos=，点A的极坐标为1,3.（2)由（1），得点A的极坐标为1,3，由直线m过原点且倾斜角为6，知点B的极坐标为3,6，1313sin2364ABOS=−=.【点睛】本题考查极坐标方程

、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.23.已知函数()|2||4|fxxx=−+−.（1）解关于x的不等式()4fx；（2）若函数()fx的图象恒在直线|1|ym=−的上方，求实数m的取值

范围【答案】（1）[1,5]（2）(1,3)−【解析】【分析】（1）零点分段法分2x，24x，4x三种情况讨论即可；（2）只需找到()fx的最小值即可.【详解】（1）由26,2()2,2426,4xxfxxxx−+

=−.若2x时，()264fxx=−+，解得12x；若24x时，()24fx=，解得24x；若4x时，()264fxx=−，解得45x；故不等式()4fx的解集为[1,5].（2）由()

|(2)(4)|2fxxx−−−=，有|1|2m−，得13m−，故实数m的取值范围为(1,3)−.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.