【文档说明】山东省部分学校（中昇）2023-2024学年高三上学期开学摸底大联考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.495 MB，由小赞的店铺上传

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中昇2023-2024学年高三开学摸底大联考数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”．3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用直径0.5毫米黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．5．考生必须保持答题

卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合23,2,1,0,1,3AxxB=−=−−∣，则AB=（）A.1,

3−B.13xx−∣C.1,0,1−D.0,1,3【答案】C【解析】【分析】由交集的定义直接求解.【详解】集合23,2,1,0,1,3AxxB=−=−−∣，则1,0,1AB=−.故选：C2.已知复数i(23i)z=

+，则z在复平面内表示的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数乘法运算以及共轭复数的概念，利用复数的几何意义可求出结果.【详解】由()2i23i2i3i32iz=+=

+=−+可得，32iz=−−，所以z在复平面内表示的点坐标为()3,2−−位于第三象限，故选：C3.已知非零向量a、b和实数k，那么“akb=”是“abab−=+”的（）A.充分而不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要而不充分条件【答案】D【解析】【分析】在等式abab−=+两边平

方，结合平面向量数量积的运算性质可求出向量a、b的夹角的值，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为向量a、b为非零向量，设向量a、b的夹角为，在等式abab−=+两边平方可得222222aabbaabb−+=++，所以，aba

b=−，则cos1abab==−，因为0π，所以，π=，即a、b方向相反，所以，“akb=”“a、b方向相反”，“akb=”“a、b方向相反”，因此，“akb=”是“abab−=+”的必要而不充分条件.故选：D.4.定义域为R的函数()fx满足：当)0,1

x时，()21xfx=−，且对任意实数x，均有()()11fxfx+−=，则()2log3f=（）A.1B.2C.32D.12【答案】D【解析】【分析】求得21log32，计算出()2log31f−，再由()()22log3log311ff+−=可得出()2log3f的值.【详

解】对任意的xR，()()11fxfx+−=，因为2221log2log3log42==，则20log311−，当)0,1x时，()21xfx=−，则()22log3log312231log312111222f−−=−=−=−=，因为()()()2

221log3log31log312fff+−=+=，因此，()21log32f=.故选：D.5.我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点()1,0A−和()2,1

B，且该平面内的点P满足||2||PAPB=，若点P的轨迹关于直线20(,0)mxnymn+−=对称，则25mn+的最小值是（）A.10B.20C.30D.40【答案】B【解析】【分析】点P的轨迹为圆，直线20+−=mx

ny过圆心，得522mn+=，利用基本不等式求25mn+的最小值.【详解】设点P的坐标为(),xy，因为2PAPB=，则222PAPB=，即()()()22221221xyxy++=−+−，所以点P的轨迹方程为22(5)(2)20xy-+-=，因为P点的轨迹关于直线(

)200,0mxnymn+−=对称，所以圆心()5,2在此直线上，即522mn+=，所以25mn+()125522mnmn=++14251425201022022nmnmmnmn=+++=，当且仅当425nmmn=

，即11,52mn==时，等号成立，所以25mn+的最小值是20.故选：B.6.抛物线2:4Cyx=的焦点为,FC的准线与x轴交于点A，过点F斜率为3的直线与C交于点,MN（M在x轴上方），则||||AMAN=（）A.32B.2C.3D.52【答案】C【解析】【分析】由题意可得直线MN的方程

为()31yx=−，联立方程，求出,MN两点的坐标，从而求得,AMAN，由此得解.【详解】由抛物线2:4Cyx=，得()()1,0,1,0FA−，则直线MN的方程为()31yx=−，联立()2314yxyx=−=，解得323xy==或13233xy==−，即()1

233,23,,33MN−，所以()()223123027AM=++−=，221232710333AN=++−−=，所以273273AMAN==.故选：C.7.已知π1si

n124x+=−，则5πcos6x−=（）A.78B.18C.78−D.18−【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简可得答案.【详解】因为π1sin124x+=−，所以25ππππcos2cosπ2cos212si

n66612xxxx−=−−=−+−+=−2781124=−−−=−.故选：C.8.已知正项等比数列na的前n项和为nS，且满足422

nnnnaS−=，设()22log1nnbS=+，将数列nb中的整数项组成新的数列nc，则2024c=（）A.2022B.2023C.4048D.4046【答案】C【解析】【分析】根据等比数列定义，将

1,2n=代入计算可得11a=，2q=；可得2nbn=，再由新数列nc的性质求出其通项为2ncn=即可得出结果.【详解】令数列na的公比为q，10,0,0naaq，因为422nnnnaS−=，所以当1n=时，214212

a−==，即11a=，当2n=时，22224262aS−==，即()16qq+=，解得2q=（舍去3q=−），所以()1122112nnnS−==−−，即()22log12nnbSn=+=，因为数列nb中的整数项组成新的数列nc，所以22,N*nkk=，

此时222222kbkk==，即2ncn=，可得2024220244048c==.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部

分选对的得2分．9.下列命题中正确是（）A.中位数就是第50百分位数B.已知随机变量()2~,N，且函数()(2)fxPxx=+为偶函数，则1=C.已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女

生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为130的D.已知随机变量1~,2XBn，若(21)5DX+=，则5n=【答案】ABD【解析】【分析】

根据中位数定义可得A正确，利用函数奇偶性和正态分布的对称性计算可得B正确；按分层抽样样本方差的计算公式可得总体样本方差为132.25，可知C错误；由二项分布方差计算公式可得D正确.【详解】对于A，中位数就是第50百分位数，所以A正确；对于B，随机变量()2~,N，且函数()(2)fxPxx

=+为偶函数，则()()()()22fxPxxfxPxx−=−−+==+，即区间(),2xx−−+与(),2xx+关于x=对称，故212xx−++==，即B正确；对于C，根据分层抽样平均数公式可得1001003371721651001001001002z=+=

++，按分层抽样样本方差的计算公式可得2221337337120172120165132.25222s=+−++−=，所以C错误；对于D

，随机变量1~,2XBn，()()21121241522DXDXnn+==−==，即可得5n=，即D正确；故选：ABD10.已知函数()fx对xR都有()(4)(2)fxfxf=++，若函数(3)yfx=+的图象关于直线3x=−对称，且对12,[0,2]xx

，当12xx时，都有()()()()21210xxfxfx−−，则下列结论正确的是（）A.(2)0f=B.()fx是奇函数C.()fx是周期为4的周期函数D.()()34ff−【答案】AC的【解析】【分析】

B选项，根据()3yfx=+的图象关于直线3x=−对称，得到()yfx=关于y轴对称，B错误；A选项，赋值法得到()()222ff−=，结合()()22ff−=求出()20f=；C选项，求出()()4fxfx=+，C

正确；D选项，先得到()fx在0,2上单调递增，结合函数的奇偶性和周期性得到()()34ff−.【详解】B选项，()3yfx=+的图象关于直线3x=−对称，故()yfx=关于y轴对称，()fx是偶函数，B错误；A选项，()()()42fxfxf=++中，令2x=−得

：()()222ff−=，因为()()22ff−=，所以()()222ff=，解得：()20f=，A正确；C选项，由于()()()42fxfxf=++，()20f=，故()()4fxfx=+，即()fx是周期为4的周期函数，

C正确；D选项，对1x，20,2x，当12xx时，都有()()()()21210xxfxfx−−，故()fx在0,2上单调递增，又()fx是周期为4的周期函数，且()fx是偶函数，故()()04ff=−，()()()311fff=−=，因为()

()10ff，所以()()34ff−，D错误.故选：AC11.某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为0（单位：℃），环境温度为1（10，单位℃），物体的温度冷却到（1，单位：℃）需用时t

（单位：分钟），推导出函数关系为()()()0111lnlntfk==−−−，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（）（参考数据：ln20.7）A.函数关系()101ekt=+

−也可作为这壶外水的冷却模型B.当120k=时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟C.若()6010f=，则()3030f=D这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短.【答案】BCD【解析】【分析】对A，利用指对互化即可判断A；对B，将

数据代入公式即得到t；对C，根据()6010f=，解出k值，再代入数据即可判断；对D，分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可.【详解】对A，由()()()0111lnlntfk==−−−，得011l

nkt−=−，所以011ekt−=−，整理得()111ekt=+−．A项错误；对B，由题意可知()()()1180ln10020ln20ln20tfkk==−−−=−．8020ln20ln440ln2284020t===−，B项正确；对C，由()601

0f=，得180ln1040k=，即ln210k=，则108010lnln830ln23020ln2t===−．C项正确；对D，设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为1t分钟，则()11801lnln8ln57020tkk=

=−−，设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为2t分钟，则()2170201lnln5ln24020tkk−==−−，因()121116ln8ln22ln5ln025ttkk−=+−=，所以12tt，D项正确．故选：BCD．12.如图，在

正方体1111ABCDABCD−中，2AB=，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点，则（）A.存在唯一点P，使得11DPBC⊥B.存在唯一点P，使得直线1DP与平面ABCD所成的角取到最小值为C.若12DPDB=，则三棱锥1PBBC−外接球的表面积为8D.若异面直线1DP与1AB

所成的角为4，则动点P的轨迹是抛物线的一部分【答案】BCD【解析】【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点P位置，判断选项A；几何法找线面角，当角最小时确定点P位置，判断选项B；P为DB中点时，求三棱锥1PBBC

−外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点P的轨迹，判断选项D.【详解】对于A选项：正方形11BCCB中，有11BCBC⊥，正方体中有AB⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，1ABBC⊥

，又1BCABB=，1,BCAB平面11ABCD，1BC⊥平面11ABCD，只要1DP平面11ABCD，就有11DPBC⊥，P在线段AB上，有无数个点，A选项错误；对于B选项：1DD⊥平面ABCD，直线1DP与平面ABCD所成的角为1DPD，12DD=，1DPD取到最小值时，PD最大，

此时点P与点B重合，B选项正确；对于C选项：若12DPDB=，则P为DB中点，PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为112BC=，三棱锥1PBBC−外接球的球心到平面PBC的距离为1112BB=，则外接球的半径为2，所以三棱

锥1PBBC−外接球的表面积为8π，C选项正确；对于D选项：以D为原点，1,,DADCDD的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,2D，()12,0,2A，()2,2,0B，设()(),,002

,02Pxyxy，则有()1,,2DPxy=-，()10,2,2AB=−，有1111221124π2cos,cos4248DPAByDPABDPABxy+====++，化简得24xy=，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个

动点，所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.5(21)xy−+展开式中含3xy项的系数为______________．【答案】-160【解析】【分析】变形为()521xy−+，写出通项公式，求出3,1kr==，得到答

案.【详解】5(21)xy−+变形为()521xy−+，故通项公式得()515C2rrrTxy−+=−，其中()52rxy−−的通项公式为()55C2kkrkrxy−−−−，故通项公式为()555CC2krkrkrxy−

−−−，其中0505krr−，,Nkr，令3,51krk=−−=，解得3,1kr==，故()313354CC2160xyxy−=−.故答案为：-16014.现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知116,2ABAB==，现按一定的速度匀速往甲容器

里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时________分钟．【答案】19.【解析】【分析】不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为2h，由题意求得水流速度，再求出乙容器中水的

容积，则答可求，【详解】不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为2h，由116,2ABAB==，正四棱台的中截面是边长为4的正方形，当水的高度是四棱台高度的一半时，甲容器内水的容积为()128481633hh++=设水流速度为v，则2873vh=，43vh=当乙容器中水的高度是四棱台高度的一半时

，水的容积为()71362433616hh++=当水的高度是四棱台高度的一半时用时为3193764hh=分钟.故答案为：19.15.设函数π()sin()(0)4fxx=+在ππ(,)63上恰有2个零点，且()fx的

图象在ππ(,)63上恰有2个最高点，则的取值范围是________.【答案】5127(,)42【解析】【分析】结合三角函数的图象性质，找出到满足条件的π4x+所在的区间，解不等式组即可作答.【详解】因为ππ(,),063x，则ππππ

π(,)46434x+++，而函数()fx在ππ(,)63上恰有2个零点，且()fx的图象在ππ(,)63上恰有2个最高点，因此πππ2π2π642,Z5πππ2π2π3π234kkkkk++++

+，即33121222,Z27336644kkkkk−+++，当0k时，不符合题意，当0k=时，不等式组为3322273344−，不等式组无

解，当1k=时，不等式组为212722515744，解得512742，当2k时，不等式组无解，所以的取值范围是5127(,)42.故答案为：5127(,)4216.已知双曲

线22:1916xyC−=，1F，2F分别为双曲线的左､右焦点，P为双曲线上的第一象限内的点，点I为△12PFF的内心，点I在x轴上的投影H的横坐标为___________，△12IFF的面积的取值范围为___________.【答案】①.3②.()0,20【

解析】【分析】先由双曲线的定义得到点I在12FF上垂足为右顶点，设出渐近线的倾斜角为，则4tan3=，2IFH=，则()20,π−，求出()tan0,2，从而求出()12tan0,4yHF=，求出△12IFF的面积的取值范围.【详解】由题意得：291

625c=+=，故12210FFc==，设点()11,Ixy，且I在12FF上垂足为H，根据双曲线定义及切线长定理得：12122PFPFaHFHF−==−，又122HFHFc+=，解得：1HFac=+，所以点H坐标为(),0a，即横坐标为3；渐近

线43yx=的倾斜角为，则4tan3=，记2IFH=，则()20,π−，所以π22−，即π1tantan22tan2−=，又22tan42tan31tan2==−，解得：1tan22=(负值舍)，所以()tan0,2，

则()12tan2tan0,4yHF==，所以()121211150,202IFFSFFyy==.故答案为：3，()0,20【点睛】方法点睛：双曲线焦点三角形的内切圆圆心位于顶点的正上方或正下方，这个二级结论在

双曲线有关于内切圆的题目时，经常用到，需要掌握.四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,2sinsinsin()abcCABC=+−．（1）证明：ccosCb=；（2）若2bac=，求cosB．【答案】（1）证明见解析（2）512

−【解析】【分析】（1）由两角和与差的正弦公式化简，结合正弦定理可证明结论；（2）由已知条件结合余弦定理求出ca的值，再由余弦定理求cosB．【小问1详解】ABC中()sinsinπ()sinABCBC=−+=+，由2sinsinsin()C

ABC=+−，得2sinsin()sin()CBCBC=++−，所以2sinsincoscossinsincoscossinCBCBCBCBC=++−，所以2sin2sincosCBC=，而(0,π),sin0

BB，结合正弦定理，所以sincossinCcCBb==.【小问2详解】由（1）知：222cos2cbacCbab+−==，所以222acacac=+−，即220caac−+=，所以2210ccaa+−=.解得512ca−=或512−−（舍），所以22222115

15151cos112222222acbacacacBacacca+−+−−+−===+−=+−=.18.喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从,AB两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同

一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答,AB题库每题的概率分别为34、12，二班能正确回答,AB题库每题的概率均为23，且每轮答题结果互不影响．（1）若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分

的概率；（2）若一班和二班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，二班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，二班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？【答案】（1）2164（2）分布列见解析，

一班赢下这场比赛.【解析】【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断.【小问1详解】由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分

，其概率为313233113CC44264=，若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，其概率为22322323331119CCC422232+=，于是一班总分不少于100分的概率为39

21643264+=.【小问2详解】由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，311(60)464PX===，()21313980C4464PX===

，()2231327100C4464PX===，3327(120)464PX===．所以X的分布列为：X6080100120P16496427642764()192727608010012

010564646464EX=+++=，设二班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，()31130327Px===，()21312260C339PX===，()22321490C33

9Px===，()328120327PX===，X的分布列：Y306090120P1272949827()124830609012090279927EY=+++=，因

为10590，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面四边形ABCD为菱形，点E为棱PD的中点，O为边AB的中点.（1）求证：AE∥平面POC；（2）若侧面PAB⊥底面ABCD，且π

3ABCPAB==，24ABPA==，求平面PAD与平面POC的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形AOFE为平行四边形，OFAE∥，从而

求出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.【小问1详解】取线段PC的中点F，连接OF，EF，∵E，F分别为PD，PC的中点，∴EFCD∥且12EFCD=，∵底面ABCD是菱

形，且O为AB中点，∴AOCD∥且12AOCD=，∴AOEF∥且AOEF=.∴四边形AOFE为平行四边形，∴OFAE∥.又∵OF平面POC，AE平面POC，∴AE∥平面POC.【小问2详解】连接AC，由π3ABC=得ABC是等边三角形，∴OCAB⊥，∵

侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB底面ABCDAB=，OC底面ABCD，的∴OC⊥侧面PAB，因为π3PAB=，24ABPA==，由余弦定理的：22224161cos22242PAABPBPBPABPAAB+−+−===，解得

：23PB=，以O为原点建立空间坐标系Oxyz−，如图所示.则()2,0,0A−，()0,23,0C，()4,23,0D−，()1,0,3P−，则()2,23,0AD=−，()1,0,3AP=，()0,23,0OC=，()1,0,3OP=−，设平面PAD的一个法向量(),,mxyz=，则00AD

mAPm==，即223030xyxz−+=+=，令3x=，则()3,1,1m=−.设平面POC的一个法向量为(),,nabc=，则00OCnOPn==，即23030bac=−+=，解得：0b=，令1c=，则3a=，故()3,

0,1n=，∴()()53,1,1co3,0,1315311312s,5mnmnmn−−===+=++，所以平面PAD与平面POC的夹角的余弦值为55.20.已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，nnab是公差为1的等差数列，1

nnbb+−是公差为2的等差数列．（1）若b2=2，求{an}，{bn}的通项公式；（2）若2Nb，2nbaa…，证明：121113nbbb+++L．【答案】（1）3222nannn=−+；2(1)1nbn=−+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知求得nnanb

=，121nnbbn+−=−，通过累加法求得2(1)1nbn=−+，进而求得na；（2）根据已知求得na，构造()322222254fbbbb=−+，求导后得()20fb…，结合2Nb得21baa…，

又21baa…，从而求得21b=，进而证得结论．【小问1详解】解：因为111,nnaabb=是公差为1的等差数列，所以nnanb=，即nnanb=，且211bb−=，所以121nnbbn+−=−，累加得211nbbn+−=，所以2(1)1nbn=−+，则3222nnanbnnn==−

+；【小问2详解】解：因为1223nnbbnb+−=+−，累加得21122nbbnnnb+−=−+，所以()22441nbnnnb=−++−，则()322441nannnnnb=−++−，则23212221,254baabbb==−+，令()()3222222N254fbbb

bb=−+，且()222261040fbbb=−+…，所以21baa…，且21baa…，所以21b=，所以233nbnn=−+，且22121,3332nbbbnnnn===−+−+，从而()22111113333221nnbnnnnnn==−

−+−+−−…，所以()1211113331nnbbbn+++−−…，当1n=时，1113,2nb==时，121123bb+=，所以121113nbbb+++L．21.已知函数()()ln1faxax

x=+−.（1）当0a时，讨论()fx的单调性；（2）当1x−＞时，()1e1xaxafxx+−++＞恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）(),e−【解析】【分析】（1）求得函数定义域为()1,−+，()11aaxfxaxx−=−

=++，通过分类讨论即可得到答案；（2）首先得到()()1ln1txx=+−+的范围，将原式转化为()()()()1ln1e1ln1xxaxx+−++−+＜对1x−＞恒成立，即etat＜对1t恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案.【小问1详解

】()()ln1faxaxx=+−定义域为()1,−+，()11aaxfxaxx−=−=++，①当0a＞时，令()0fx＞，得10x−＜＜，此时()fx单调递增，令()0fx＜，得x＞0，此时()fx单调递减；②当0a＜时，令()0fx＞，得x＞0，此时()f

x单调递增，令()0fx＜，得10x−＜＜，此时()fx单调递减；综上所述，当0a＞时，()fx在()1,0−单调递增，在()0,+单调递减；当0a＜时，()fx在()0,+单调递增，在()1,0−单调递减.【小问2详解】记()()1ln1txx=+−+，由（1）知，当1a=时，(

)()()ln100fxxxf=+−=，则()ln10xx−+，则()()1ln11txx=+−+，当1x−＞时，()()11elne111xxaxafxaxxaxax++−+==−++−+＞恒成立，即()()11ln11exaaxxx++−−++＞对1x−＞恒成立，即()(

)()()1ln1e1ln1xxaxx+−++−+＜对1x−＞恒成立，则etat＜，即etat＜对1t恒成立，令()()1ethttt=，()()2201eeettthttttt=−−=对1t恒成立，则()ht在()1,+单调递增，所以()()1ehth=，所以ea＜，即实

数a的取值范围为(),e−.【点睛】方法点睛：本题考查导数的同构问题.要善于通过转化的方法，将原式的形式统一，进而进行换元，进而将恒成立问题转化为求函数的最值问题，结合导数与函数关系求得答案.22.已知椭圆221:143xyC+=，且其右焦点为F，过F点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交

于P、Q两点．（1）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点(),0Nn，使得QPNPPQNQ=？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；（2）过点()04,0P且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点．【答案】（1）存在，10,4n

（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设直线PQ的方程为(1)ykx=−，0k，将直线PQ的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，设线段PQ的中点为()00,Rxy，分析可知直线NR为直线PQ的垂直平分线，求出直线NR的方

程，求出n的表达式，即可求得n的取值范围，即可得解；（2）当直线AB的斜率不为零时，设直线AB的方程为()4ymx=−，0m，将直线AB的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，写出直线AE的方程，在直线AE的方程中，令0y=可求出定点的坐标；当直线AB的斜率为零时，验证即可，综合可

得出结论.【小问1详解】解：由题意，设直线PQ的方程为(1)ykx=−，0k，联立()221143ykxxy=++=，得()22223484120kxkxk+−+−=，()()()()222

22843441214410kkkk=−−+−=+恒成立.设()11,Pxy、()22,Qxy，线段PQ的中点为()00,Rxy，则212024234xxkxk+==+，()0023134kykxk=

−=−+，由QPNPPQNQ=，得：()()()PQNQNPNQNPPNQNNPQQQPNP−+==−+220NQNP=−=，故NPNQ=，又因为R为PQ的中点，则直线NR为直线PQ的垂直平分线，所以，直线NR的

方程为2223143434kkyxkkk+=−−++，即2143kyxkk=−++，令0y=得点N的横坐标22213344knkk==++，因为()20,k+，则()2344,k++，所以，2110,344nk=+，所以，线段

OF上存在点(),0Nn，使得QPNPPQNQ=，其中104n.【小问2详解】解：当直线AB的斜率不为零时，设直线AB的方程为()4ymx=−，0m，联立()224143ymxxy=−+=得()2222343264120mxmxm+−+−=，因为过点()04,0P

且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，由()()()()22222324346412144140mmmm=−−+−=−，得11,22m−，设()33,Axy、()44,Bxy，则()44,Exy−，则23423234mxxm+=+，2342641234mxxm−=+，则直线A

E的方程为()343334yyyyxxxx+−=−−，令0y=得343334xxxyxyy−=−++()()()344334433434448xmxxmxxyxyyymxx−+−+==++−()222234342342641232242434341328834mmxxxxmmmxxm−−

−+++===+−−+.易知，当直线AB斜率为0时，直线AB与x轴重合，此时，点B与点E重合，则直线AE过点()1,0.综上所述，直线AE过定点()1,0.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向

、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,xy

，常利用直线的点斜式方程()00yykxx−=−或截距式ykxb=+来证明.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com