【文档说明】重庆市荣昌中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.225 MB，由小赞的店铺上传

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荣昌中学高2025级高二上期第一次月考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设()i2i,z=+则z=（）A.1B.3C.5D.3【答案】C【解析】【分析】应用复数乘法及模长公式求||z.【详解】由题设，|||2i1|5z=−=

.故选：C2已知空间向量(3,1,3),(1,,1)mn==−−，且//mn，则实数=（）A.13−B.3−C.13D.6【答案】A【解析】【分析】由//mn，得到mtn=，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，空间向量(3,1,3),(1,,1)mn==−−，因为//mn，可得

mtn=，即(3,1,3)(1,,1)t=−−，可得31tt=−=，解得13=−.故选：A.3.设l是一条直线，，是两个平面，下列结论正确的是（）A若//l，//l，则//B.若⊥，//l，则l⊥C.若//l，l⊥，则⊥D.若⊥，l⊥，则//l

【答案】C【解析】【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断A；由线面的位置关系可判断B；由线面平行与垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，可判断C；由面面垂直的性质定理和线面的位置关系可判断D．..【详解】解：l是一条直线，，是两个不同的平面，若//l，l//，可得

//或、相交，故A错误；若⊥，//l，可得l//或l、l与相交，故B错误；若//l，可得过l的平面与的交线//ml，由l⊥，可得m⊥，又m，则⊥，故C正确；若⊥，l⊥，可得l//或l

，故D错误．故选：C．4.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量OAa=，OBb=，OCc=，则OP=（）A.111666abc++B.111333abc++C.111633

abc++D.111366abc++【答案】C【解析】【分析】由空间向量的线性运算，22()33OMMPOMMNOOMONOMP=+=+=+−，再转化为用,,abc表示即得解【详解】由题意，22()33OMMPOMMNOOMONOMP=+=+=+−=23ON+13OM=23×12(

OB+OC)+13×12OA=111633abc++故选：C5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则AEAF的值为（）A.2aB.212aC.214aD.234a【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算

运算律可得1()4AEAFABADACAD=+，在根据数量积的定义求其值.【详解】由题意，,ABAD和,ACAD之间夹角均为60，结合平面向量线性运算有11()22AEAFABACAD=+1()4ABAD

ACAD=+22211(cos60cos60)44aaa=+=故选：C6.在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（）A.33B.36C.63D.66

【答案】B【解析】【分析】以点P为坐标原点，以PA，PB，PC方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.【详解】以点P为坐标原点，以PA，PB，PC方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA=，则

()0,0,0P，()0,2,0B，()1,0,0M，()1,1,0N，则(1,1,0)PN=，(1,2,1)BM=−，设异面直线PN和BM所成角为，则||3cos6||||PNBMPNBM==.故选：B.7.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，已知90ABC=，P为侧棱1CC上

任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所成角为，PQ与平面ABC所成的角为，则与的大小关系为（）.A.=B.C.D.不能确定【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0PxzQyxyz，利用空间向量法分别求得cos,c

os，然后根据(0,],0,22，利用余弦函数的单调性求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0PxzQyxyz，则()(),,,0,,0QPxyzQBy=−=−，所以2222,,QPQB

yQPxyzQBy==++=所以222cosQPQByQPQBxyz==++，又(0,],0,22，222sinQPCPzQPxyz==++，所以22222cosxyxyz+=++，所以coscos，因为cosyx=在0,2上递减

，所以，故选：C【点睛】本题主要考查空间向量法求异面直线所成的角和直线与平面所成的角，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM

PN的取值范围为（）A.0,4B.0,2C.1,4D.1,2【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得21PMPNPO=−，根据正方体的特点确定PO最大值和最小值，即可求解【详解】设正方体内

切球的球心为O，则1OMON==,()()()2PMPNPOOMPOONPOPOOMONOMON=++=+++,因为MN是正方体内切球的一条直径，所以0OMON+=，1OMON=−uuuuruuur，所以21PMPNPO=−，又点Р在正方体表面上运动，所以

当P为正方体顶点时，PO最大，且最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，PO最小，且最小为1；所以2012PO−，所以PMPN的取值范围为0,2，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每

小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（）A.点()2,1,4−关于x轴对称的点的坐标为()2,1,4B.到()1,0,0的距离小于1

的点的集合是()()222,,11xyzxyz−++C.点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D.点()1,2,0关于平面yOz对称的点的坐标为()1,2,0−【答案】BCD【解析】【分析】利用点关于

坐标轴对称轴，关于面对称的结论判断A，D；利用空间中两点之间的距离判断B；利用中点坐标公式判断C即可.【详解】对于选项A：点()2,1,4−关于x轴对称的点的坐标为()2,1,4−−−，所以A不正确；对于选项B：点(),,xyz

到()1,0,0的距离小于1为()22211xyz−++，所以B正确；对于选项C：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2=+++，所以C正确；对于选项D：由点(),,xyz关于平面yOz对称的点的坐标为(),,xyz−，所以D正确.故选

：BCD.【点睛】本题主要考查了空间中点坐标的对称问题，以及中点坐标公式，两点之间的距离公式.属于较易题.10.下面四个结论正确的是（）A.空间向量(),0,0abab，若ab⊥，则0ab=B.若空间四个点,,,PABC，1344PCPAPB=+，则,,ABC三点共线C.已知向量()()

1,1,,3,,9axbx==−，若310x，则,ab为钝角D.任意向量,,abc满足()()abcabc=rrrrrr【答案】AB【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B【详解】对于A：因为0,0

ab，ab⊥，则0ab=，故A正确；对于B：因为1344PCPAPB=+，则11334444PCPAPBPC−=−，即3ACCB=，又AC与CB有公共点，所以,,ABC三点共线，故B正确；对于C：103abx

=−，若,ab为钝角：则0ab，且a与b不共线，由0ab得310x，当//ab时，1139xx==−，即3x=−，由a与b不共线得3x−，于是得当310x且3x−时，,ab为钝角，故C错误；对于D：()abcrrr是c的共线向量，而()abc

rrr是a的共线向量，故D错误，故选：AB11.已知正方体1111ABCDABCD−，则（）A.直线1BC与1DA所成的角为90B.直线1BC与1CA所成的角为90C.直线1BC与平面11BBDD所成的角

为45D.直线1BC与平面ABCD所成的角为45【答案】ABD【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11//DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1D

A所成的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC⊥1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A正确；连接1AC，因为11AB⊥平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则111ABBC⊥，因为1BC⊥1BC，1111ABBCB=，所以

1BC⊥平面11ABC，又1AC平面11ABC，所以11BCCA⊥，故B正确；连接11AC，设1111ACBDO=，连接BO，因为1BB⊥平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11COBB⊥，因为111COBD⊥，1

111BDBBB=，所以1CO⊥平面11BBDD，所以1CBO为直线1BC与平面11BBDD所成的角，设正方体棱长为1，则122CO=，12BC=，1111sin2COCBOBC==，所以，直线1BC与

平面11BBDD所成的角为30，故C错误；因为1CC⊥平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与平面ABCD所成角，易得145CBC=，故D正确.的故选：ABD12.如图所示，若长方体AC的底面是边长为2的正方形，高为4.E是1DD的中点，则下列说法不正确的是（）A.11BEAB⊥B.平面

1BCE∥平面1ABDC.三棱锥11CBCE−的体积为83D.三棱锥111CBCD−的外接球的表面积为24【答案】AB【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断AB选项，采用换顶点的方法即可求出三棱锥11CBCE−的体积，将三棱锥111CBCD−的外接球转化为长方

体1111ABCDABCD−的外接球，进而可判断D选项.【详解】∵长方体1111ABCDABCD−的底面是边长为2的正方形，高为4，E是1DD的中点，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，则()12,0,4B，()0,2,2

E，()10,0,4A，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，∴()12,2,2BE=−−，()12,0,4AB=−，1140840BEAB=−++=，1BE与1AB不垂直，故A错误；又()10,2,4CB=−，()2,0,2CE=−，()

12,0,4BA=−，()2,2,0BD=−，设平面1BCE的法向量(),,nxyz=，则1240220nCByznCExz=−+==−+=，取1x=，得()1,2,1n=，设平面1ABD的法向量(),,mabc=，则1240220mBAacmBDab=−

+==−+=，取1a=，得11,1,2m=，,mn不共线，平面1BCE与平面1ABD相交，故B错误；三棱锥11CBCE−的体积为：1111118422323CBCEBCCEVV−−===，故C正确；三棱锥111CBCD−的外接球就

是长方体1111ABCDABCD−的外接球，三棱锥111CBCD−的外接球半径22222462R++==，三棱锥111CBCD−的外接球的表面积为24(6)24S==，故D正确．故选：AB．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第15题第一小问2分，第二小问3

分.13.已知直线l与平面平行，直线l的一个方向向量为()1,3,uz=r，向量()4,2,1v=−r与平面垂直，则z=_______.【答案】2【解析】【分析】根据向量的垂直关系计算即可.【详解】由题可知uv⊥，()1

4+32+10uvz=−=rr，解得2z=.故答案为：2.14.如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD−，该四棱锥的体积为423，则该半球的体积为__________.【答案】423【解析】【分析】由题意可知半球的半径与

正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果.【详解】设所给半球的半径为R，则四棱锥的高hR=，则2AB=BC=CD=DA=R，由四棱锥的体积()2

4212233RRR==，半球的体积为：334232R=.【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心

的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.15.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．【答案】45°【解析】【分析】过A作A

O⊥BD于O点，得出∠ADO即为AD与平面BCD所成的角，进而可求出结果.【详解】过A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.故答案为：45°16.在正方体1

111ABCDABCD−中，M是棱1DD的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的一个动点，若MP∥平面11ABC，则异面直线MP与11AC所成角的取值范围是___________.【答案】ππ,32【解析】【分析】取AD中点E，DC中点F，连接ME

，MF，EF，取EF中点O，连接MO，推导出平面11ABC∥平面EFM，从而P的轨迹是线段EF，当P与O重合时，异面直线MP与11AC所成角取最大值，当P与E或F重合时，异面直线MP与11AC所成角取最小值，即可得解.【详解】解：取AD中点E，DC中点F，连接ME，MF，EF，取EF中点

O，连接MO，∵在正方体1111ABCDABCD−中，M是棱1DD的中点，∴1MEBC∥，1MFAB∥，∵ME平面11ABC，1AB，1BC平面11ABC，∴ME∥平面11ABC，同理可得MF∥平面11AB

C，∵MEMFM=，ME，MF是平面EFM内两相交直线，∴平面11ABC∥平面EFM，∵P是底面ABCD内（包括边界）的一个动点，MP∥平面11ABC，∴P的轨迹是线段EF，∵MEMFEF==，O是EF中点，∴OMEF⊥，∵11EFAC∥，∴11O

MAC⊥，∴当P与O重合时，异面直线MP与11AC所成角取最大值2，∵MEMFEF==，P是EF上动点，11EFAC∥，∴当P与E或F重合时，异面直线MP与11AC所成角取最小值π3，∴异面直线MP与11AC所成角的取值范围是ππ,32.故答案为：ππ,32

.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数112iz=+，234iz=−.（1）若复数12+zz在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；（2）若复数()12()=+zzz

R为纯虚数，求z的虚部.【答案】（1）13−（2）20−【解析】【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数12+zz在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚

数的定义列方程求，由此可求z的虚部.【小问1详解】1212i(34i)(13)(24)i+=++−=++−zz，12+zz在复平面内对应的点在第二象限，则113013240132−+−−.所以实数

的取值范围为1,3−−；【小问2详解】()12(12i)(34i)38[2(3)4]i=+=++−=++++−zzz.z为纯虚数，则380++=且220+，所以11=−，此时20i=−z，所以z的虚部为20−.18.已知ABC的内角A，B，C的对边分

别为a，b，c，且sincos()6bCcB=−.（1）求角B；（2）若b=4，求ABC周长的最大值.【答案】（1）3B=；（2）12.【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.（

2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值【小问1详解】因为sincos()6bCcB=−，则31sin(cossin)22bCcBB=+，在ABC中，由正弦定理得，31sinsinsin(cossin)22BCCBB=+

，而(0,π)C，即sin0C，整理得sin3cosBB=，即tan3B=，又()0,πB，解得π3B=，所以π3B=.【小问2详解】在ABC中，由余弦定理2222cosbacacB=+−得：2216acac=+−，即()2163acac+−=，而2()2acac+，于是

得()264ac+，当且仅当a=c=4时取“=”，因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，所以ABC周长的最大值为12.19.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，π,2ABCBADPA==⊥平面,5,24,ABCDAD

BCABM===为PC的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）若AMPC⊥，求四棱锥MABCD−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）35【解析】【分析】（1）先利用勾股定理证明CDAC⊥，从而可证得CD⊥平面PAC，再根据面面垂

直的判定定理即可得证；（2）易得M到平面ABCD的距离等于PA的一半，再根据锥体的体积公式即可得解.小问1详解】∵//ADBC，,5,24ABADADBCAB⊥===，【∴22224225=+=+=ACABBC，22()5CDADBCAB=−+=，∴22220525ACCDAD+=+==，

∴CDAC⊥，又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PACD⊥，又∵,,ACPAAACPA=平面PAC，∴CD⊥平面PAC，又CD平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD；【小问2详解】∵M为PC的中点，AMPC⊥，∴

25PAAC==，又∵PA⊥平面ABCD,M到平面ABCD的距离等于PA的一半，所以四棱锥MABCD−的体积1(45)2=53532V+=.20.已知四棱柱1111ABCDABCD−的底面为菱形，12ABAA==，3BAD=，ACBDO=，AO⊥平面1ABD，11ABAD=.（1）证明

：1//BC平面1ABD；（2）求钝二面角1BAAD−−的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)17−【解析】【分析】（1）连接1AB交1AB于点Q，通过证明1//OQBC即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，通过法向量的夹角得出二面角的

大小.【详解】解：（1）证明：连接1AB交1AB于点Q，易知Q为1AB中点，∵O为AC中点，∴在1ABC中，11//2OQBC，∵OQ平面1ABD，1BC平面1ABD，∴1//BC平面1ABD.（2）∵AO⊥平面1ABD，∴1AOAO⊥，∵

11ABAD=且O为BD的中点，∴1AOBD⊥，∵AOBD、平面ABCD且AOBDO=，∴1AO⊥平面ABCD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz−易得：()3,0,0A，()0,1,0B，()0,1,0D

−，()10,0,1A，∴()13,0,1AA=−，()3,1,0AB=−uuur，设平面1AAB的一个法向量为(),,nxyz=，则1nAAnAB⊥⊥，∴3030xzxy−+=−+=，令1x=，得3yz==，∴()1,3,

3n=.同理可得平面1AAD的一个法向量为()1,3,3m=−，∴1cos,7mnmnmn==，∴钝二面角1BAAD−−的余弦值为17−..【点睛】此题考查线面平行的证明和二面角的求法，对通式通法的考查，线面平行常规证法即寻

找线线平行或面面平行转化，通过法向量求二面角注意法向量的方向“一进一出”，则法向量的夹角等于二面角的大小.21.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ADBC，23πBAD=，2224ADAB

BCPA====，M为PB上靠近B的三等分点.（1）求证：//PD平面ACM；（2）求直线PD与平面ACM的距离.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）以线面平行的判定定理去证明即可解决；（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求

直线PD与平面ACM的距离即可.【小问1详解】证明：如图，连接BD，交AC于点N，连接MN.因为//ADBC，2ADBC=，所以12BNBCNDAD==，又M为PB靠近B的三等分点，所以12BMMP=，所以BNBMNDMP=，所

以//MNPD，又MN平面AMC，PD平面AMC，所以//PD平面AMC.【小问2详解】因为//PD平面AMC，所以直线PD与平面ACM的距离为点D到平面ACM的距离如图，取BC的中点为E，连接AE，因为PA⊥平面ABCD，AD、AE平面ABCD，所以PAAD

⊥，PAAE⊥.因为//ADBC，23πBAD=，所以3ABC=，又ABBC=，所以△ABC为等边三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC⊥，所以AEAD⊥.所以AE，AD，AP两两垂直，所以以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则()0,0,0A，

()3,1,0B−，()3,1,0C，()0,4,0D，()0,0,2P.因为M为PB的靠近B的三等分点，所以13BMBP=，所以2322,,333M−，所以2322,,333AM=−

，()3,1,0AC=，()3,3,0CD=−.设平面ACM的法向量(),,nxyz=，则00nAMnAC==，即23220,33330.xyzxy−+=+=，令3x=，则=3y−，6z=−，

即平面ACM的一个法向量()3,3,6=−−n.设直线PD与平面ACM的距离为d，则39348CDd−−===nn.22.如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PDDC=，,FG分别是

,PBAD的中点．（1）求证：GF⊥平面PCB；（2）在线段AP上是否存在一点M，使得DM与平面ADF所成角为30？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，M的坐标为()1,0,1

【解析】【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）假设线段AP上存在一点M，设,0,1APAM=，再利用向量法求解即可.【小问1详解】如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，则()()()()()()2,0,0,

2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,0,1,1,1ABCPGF，故()()()0,1,1,2,2,2,0,2,2GFPBPC==−=−，设平面PCB的法向量为111(,,)mxyz=，则111112220220mPBx

yzmPCyz=+−==−=，可取()0,1,1m=，则//GFm，所以GF⊥平面PCB；【小问2详解】假设线段AP上存在一点M，设,0,1APAM=，()()2,0,0,1,1,1DADF==，则()()()2,0,02,0,222,0

,2DMDAAMDAAP=+=+=+−=−，设平面ADF的法向量为()222,,xnyz=，则有2222200nDAxnDFxyz===++=，可取()0,1,1n=−，DM与平面ADF所成角为30，∴()2

221cos,22224DMnDMnDMn===−+，解得12=，故在线段AP上存在一点M，使得DM与平面ADF所成角为30，点M的坐标为()1,0,1.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com