【文档说明】《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题26椭圆（解析版）.docx，共(38)页，1.645 MB，由管理员店铺上传

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2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题26椭圆考点命题分析1专题综述椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔

者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定

值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能

力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助.2考点剖析2.1椭圆方程及其几何性质求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:

直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形.例1设圆的圆心为A，直线l过点B(1，0)且

与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明为定值，并写出点E的轨迹方程.思路探究:妙用几何性质，因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以，故.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而，所以|EA|+|EB|=4.

由题设得A(－1，0)，B(1，0)，，由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为:.方法点睛:求椭圆方程的常用方法，(1)直接法，直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)=0；(2)待定系数法，已知所求曲线的类型，求曲线方程一

先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法，先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法，动点P(x，y)依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示，再代入已知曲线得出要求的

轨迹方程.例2已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为()A．B．C．D．思路探求:以线段为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a，圆的方程为，直线bx-ay+2ab=0与

圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即a2=，从而，椭圆的离心率，故选A.方法点睛:椭圆的几何性质是高考命题不可或缺的考点，将椭圆的几何性质与其他知识，如切线、斜率等融合、交汇，常常命制出玲珑别致，又不失新颖

的客观题，而且时常作为客观题的压轴题.一般求离心率e的方法有:(1)整理出椭圆的标准方程后可直接求出a，c，再利用离心率公式来求解；(2)在焦点三角形中利用椭圆第一定义得求解；(3)根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造a，c的等式(特别是齐二次式)，进而得到关于e的一元方

程，从而解得离心率e2.2直线与椭圆的位置关系在函数与方程思想的统领下，直线与椭圆的位置关系重点考查以下内容:其一，直线与椭圆的位置关系；其二，直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线的方程；其三，直线与椭圆相交，被直线截得的弦长等问题.直线与椭圆的位

置关系常用的判断方法有:代数法和坐标变换法.直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线方程常用求法有:韦达定理法、点差法、直线参数方程法和对称设点法；直线与椭圆相交，求直线被截得的弦长常用求解方法有:韦达定理法、过焦点弦长公式(利用椭圆第二定义)以及利用过椭圆上一点的切线方程等方法.例3过

椭圆内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程.思路探求1:直线和椭圆相交求中点弦所在的直线方程.将直线方程代入椭圆方程，整理后利用韦达定理，求出直线的斜率.解法1:设所求直线的方程为y

－1=k(x－2)，将其代入椭圆方程并整理得.又设直线与椭圆的交点为，则是方程的两个根，于是.又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为x+2y－4=0.思路探求2:利用点差法，根据椭圆弦中点的性质求出直线的斜率，再用点斜式

得出直线方程.解法2:设，则，①－②得，，，即，故所求直线方程为x+2y－4=0.方法点睛:AB(不过原点)是椭圆的不平行于对称轴的弦，为AB的中点，则，即.思路探求3:将直线的参数方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理，根据中点所对应参数的几何意义，求出直线的斜率.解法3:设所求直线的参数方程为，

代入椭圆方程并整理得.又设直线与椭圆的交点为A，B，则方程的两个根是A，B对应的参数，M为AB的中点，所以t1+t2=0，，解得，即为直线的斜率，故所求直线方程为x+2y－4=0方法点睛:设所求直线的参数方程为(t为参数)代人椭圆方程并整理得t的一元

二次方程，该方程的两个根是A，B对应的参数，M为AB的中点，由，求得直线斜率.思路探求4:利用中心点坐标设弦端点的坐标，代入椭圆方程相减后直接得出直线方程.解法4:整理椭圆方程为，设A(x，y)，B(4－x，2－y)，则有③－④得x+2y－4=0，即是中点弦所在的直线方程.此种方法较为简便.

方法点睛:整理椭圆方程为(m>0，n>0，m≠n).设A(x，y)，，，⑤－⑥得就是中点弦所在的直线方程.思路探求5:将弦的两个端点坐标设为对称形式，可以快速得出中点弦所在直线的斜率，解题时若能充分利用这些结论，则可以轻松、准确地解决“

中点弦”的有关问题.解法5:整理椭圆方程为.由题意可设A(2+m，1+n)，B(2－m，1－n)，则有，以上两式相减得4m+8n=0所以，.故AB的直线方程为y－1=－(x－2)，整理得x+2y－4=0.方法点睛:点M是线段AB的中点，设，，有两

个非常简单有趣的结论:，.例4设椭圆，求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a，k表示).思路探求:椭圆被直线截得的弦长，即直线与椭圆相交的两个交点的距离.直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，利用两点间距离公式得到弦长公式(直线斜率k存在).进一步应结合韦达

定理解决问题.解:设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP，由得，故.因此.方法点睛:直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，即得到弦长公式，.2.3与椭圆相关的综合问题在数形结

合思想统领下椭圆的综合问题主要考查以下内容:斜率和离心率范围、定点问题、定值问题和最值问题等.定点、定值一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的问题以及与椭圆有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.椭圆中最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或椭

圆中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.椭圆的探索性问题主要体现在以下方面:(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，涉及这类命题的求解主要是研究直线与椭圆的位置关系问题.例5已知椭圆的离心率为，A

(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1(I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P在椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证:为定值.思路探求:本题要证明的当点P在椭圆C上运动变化时|AN|•|BM|为定值，显然，

引起运动变化的根源是点P.因此，将点设为参数，将用表示，再利用点P在椭圆上进行减元、消参，进而证明定值与参数的变化无关.解:(I)椭圆的方程为.(Ⅱ)由(I)知，A(2，0)，B(0，1)，设，则.当x≠0时，直线PA的方程为.令x=0，得.从而.直线PB

的方程为.令y=0，得.从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.当然，由于本题是证明|AN|•|BM|为定值，也可以先通过特殊位置，例如点P为椭圆左顶点时获得定值4，然后进行推理运算，目标更为明确.方法点睛:定值问题的解题步骤如下第一步，

引入参数.一般情况下，这些参数包括点的坐标、直线的斜率、截距、夹角等；第二步，根据题意建立包含参数的等量或不等量关系；第三步，通过推理、计算探索出定值.这是定值问题的关键步骤，对运算能力、思维能力、几何直观能力要求较高；第四步，下结论.3复习对策与建议(1)立足基础，把控规律，回归教材.从

宏观上把握椭圆问题的解题要点，注重通性通法、一题多解和多题化归，优化解题过程，淡化特殊技巧，掌握常用的一些解题策略.(2)发掘几何性质，简化代数运算.高度重视对椭圆的定义与几何性质、解析法的理解与运用，既可提高解题效率，又

可以提升学生的信心.重视运算能力与运算速度的提高，特别是字母式的变形运算，在平时的训练中要注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，注重整体代换等运算技能的培养.重视椭圆与函数、导数、方程、不等式等知识的交汇训练.(3)注重数学思想和能力的训练，不断积累解匙经验.重视

数形结合、转化化归、分类整合以及函数与方程思想的训练；培养学生善于透过问题背景扣住问题本质的能力；培养学生善于合理简化和量化，建数学模型的能力，培养学生能用精确和简洁的数学语言表达数学问题的能力.积累多方位、多角度探寻解决问题的经验.最新模拟题强化1．已知椭圆和双曲线

有共同的焦点1F,2F,P是它们的一个公共点,且122FPF=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e,2e,则221211ee+=()A．2B．23C．4D．3【答案】A【解析】设椭圆的长半轴长为1a,双曲线的实半轴长为2a,则根据椭圆及双曲线的定义

:1212+=PFPFa,1222−=PFPFa,则112=+PFaa,212=−PFaa,设122FFc=,因为122FPF=,所以2221212PFPFFF+=,即()()()22212122aaaac++−=,化简可得222122aac+=,因为1aec=,

所以2212112ee+=,故选:A2．已知椭圆()2222:10,0xyCabab+=的左右焦点分别为12,FF，O为坐标原点，P为第二象限内椭圆上的一点，且1230FPF=，直线2PF交y轴于

点M，若1223FFOM=，则该椭圆的离心率为（）A．33B．312−C．512−D．104【答案】B【解析】如图，由1223FFOM=，得23OFOM=，在2RtMOF中，可得23tan3MFO=

，即2130PFF=，又1230FPF=，∴1122PFFFc==，由22sin120sin30PFc=，得223PFc=.则212322PFPFcca+=+=，即131231cea−===+.故选：B.3．点P在椭圆221:143xyC+=上，1C的右焦

点为F，点Q在圆222:68210Cxyxy++−+=上，则PQPF−的最小值为（）A．424−B．442−C．625−D．256−【答案】D【解析】设椭圆的左焦点为1F则||||||(||)||||11PQPFPQ2aPFP

QPF4−=−−=+−故要求||||PQPF−的最小值，即求||||1PQPF+的最小值，圆2C的半径r为2所以||||1PQPF+的最小值等于()2221CF21342252−=−++−=−，||||1PQPF+的最小值为256−，故选D．4．已知椭圆22221(0)xyabab+=的

短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，12,FF分别是椭圆的左、右焦点，且1FAB的面积为232−，点P为椭圆上的任意一点，则1211PFPF+的取值范围为（）A．[1,2]B．[2,3]C．[2,4]D．[1,

4]【答案】D【解析】由得椭圆22221(0)xyabab+=的短轴长为22,1bb==，()112322FABSacb−=−=，解得23,2,3acac−=−==，1224PFPFa+==，设1PFx=，则24PFx=−，,xacac−+，即23,23x−+，()

212111141,4442PFPFxxx+=+=−−−，故选D.5．已知椭圆E：()222210xyabab+=的左焦点为F，过点F的直线l：33xy=−和椭圆E交于两点A和B，和y轴交于点P.若2FPPA=，则椭圆E的离心率e=（）A．23−B．232−C

．423−D．31−【答案】D【解析】根据直线可知()3,0F−，所以3c=，又()0,1P及2FPPA=，得33,22A，代入椭圆方程有2239144ab+=，将223ba=−代入，解得26332a+=或2263332ac−==（舍去），则()2

22342331633e==−=−+，故选：D6．已知椭圆E：()222210xyabab+=过点23,22P，椭圆E的离心率为22，则椭圆E的焦距为（）A．1B．2C．2D．22【答案】B【解析】因

为椭圆E的离心率为22，所以22ca=，因为椭圆过点23,22P，所以2213124ab+=，又222abc=+，解得：1c=，所以焦距为22c=.故选：B.7．已知椭圆C的中心为原点O，(25,0)F−为C的左焦点，P为C上一点

，满足||||OPOF=且4PF=，则椭圆C的方程为（）A．221255xy+=B．2213616xy+=C．2213010xy+=D．2214525xy+=【答案】B【解析】由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=

∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()22

22PF4548FF−=−=，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616xy+=．故选B．8．椭圆()222210xyCabab+=：与抛物线2:4Eyx=相交于点M，N，过点

()1,0P−的直线与抛物线E相切于M，N点，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为A．33B．22C．23D．34【答案】B【解析】设过点()1,0P−的直线方程为1xmy=−，

联立方程组221,4404xmyymyyx=−−+==，因为直线与抛物线相切，所以2161601mm−==，所以切线方程分别为1xy=−或1xy=−−.此时1x=，2y=或1x=，2y=−，即切点()1,2M或()1,2N−.又椭圆的右顶点(),0A

a，因为四边形PMAN为平行四边形，所以PMANkk=，即得()()02203111aa−−−==−−−.又交点()1,2在椭圆上，所以22149192bb+==，所以22293222cabc=−==，所以离心率为322

232cca===.故选B.9．设椭圆E:2222xyab+=1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为()A．[12,1)B．[

13,12]C．[12,23]D．[15,14]【答案】D【解析】如图：设椭圆的另一个焦点为1(,0)Fc−，因为11||||||PFPAAF+，所以112||||||||||910aPFPFPAAFPFccc=++

+=+=由11||||||PFPAAF−，所以112||||||||||98aPFPFPAAFPFccc=+−+=−=，所以8210cac，即45cac，所以1154e.因为点A在椭圆内，所以2bca

，所以22acac−，所以210ee+−，解得512e−，因为51124−，所以1154e.故选：D10．已知椭圆E：22xa＋22yb＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则

E的方程为（）A．2214536xy+=B．223627xy+＝1C．222718xy+＝1D．22189xy+＝1【答案】D【解析】因为直线AB过点F（3,0）和点（1，－1），所以直线AB的方程为y＝12（x－

3），代入椭圆方程22xa＋22yb＝1消去y，得224ab+x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为2223224aab+＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝32，椭圆方程为221189xy+=．故选：D．11．设椭圆2

2221(0)xyabab+=的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于MN、两点，则||||||FMFNFA+的值为（）A．22aab−B．22aab+C．222aab−D

．222aab+【答案】A【解析】椭圆：2222xyab+=1（a＞b＞0），圆C：（x﹣R+c）2+y2＝R2，联立解得e2x2+2（c﹣R）x+a2﹣2RC＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2222Rce−=，因为|MF|222221111()2xcy

excxa=++=++=a+ex1，同理|NF|＝a+ex2，所以|MF|+|NF|＝e（x1+x2）+2a2Re=，∴22||||1==||eFMFNaFAab+−故选：A.12．已知椭圆()222210xyabab+=的左顶点和左焦点分别为A和F,||3AF=,直线

ykx=交椭圆于,PQ两点(P在第一象限),若线段AQ的中点在直线PF上,则该椭圆的方程为()A．22195xy+=B．2211615xy+=C．22418118xy+=D．2218145xy+=【答案】C【解析】根据画出椭圆()222210x

yabab+=图像,如图:设点()Pmn,,则(,)Qmn−−,AQ的中点为M,根据中点坐标公式可得:,22amnM−−−有题意可知(,0)Aa−,又,,AQM三点共线,可得:PFPMkk=可得:220nnnammcm+−=+++解得:133mcm

a=++,故3ca=——①||3AF=,可得:3ac−=——②由①②可得:92a=,32c=根据椭圆性质:222abc=+,可得218b=该椭圆的方程为:22418118xy+=.故选:C.13．椭圆22221(0)xyabab+=上有一点P，1F

，2F分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q在线段2PF的延长线上，且1,QFQP⊥15sin13FPQ=，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．26,126B．15,53C．12,52D．262,262【答案】D【

解析】∵QF1⊥QP，∴点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q在椭圆的内部，∴以F1F2为直径的圆在椭圆内，∴c＜b；∴c2＜a2﹣c2，∴212e＜，故0＜e22＜∵sin∠F1PQ513=，∴cos∠F1PQ1213=；设|PF1|＝m，则|PF2|＝n，而|F1F2|＝2c，|PF

1|+|PF2|＝m+n＝2a，在△PF1F2中，由余弦定理得4c22212213mnmn=+−．∴4c2＝（m+n）2﹣2mn﹣2mn•1213；即4c2＝4a25013−mn；∴mn()222625ac=−；由基本不等式得：mn2()2mn+=a2，当且仅当m＝n时取等号；由题意知：Q

F1⊥QP，∴m≠n，∴mn2()2mn+=＜a2，∴()222625ac−＜a2∴a2＜26c2；故2126e＞，∴e2626＞综上可得：2626＜e22＜．故选：D．14．已知点P为椭圆221916xy+=上的任意一点，点12,FF分别为该椭圆

的上下焦点，设1221,PFFPFF==，则sinsin+的最大值为（）A．377B．477C．98D．32【答案】D【解析】设|1PF|＝m，|2PF|＝n，|12FF|＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得()2mncsinsinsin

==+，即有()2mncsinsinsin+=++，由椭圆定义可得e()2724sincasinsin+===+,∴()4sinsin7sin+=+．在三角形21FPF中，由m+n=2a,cos2222222212424441222

24mncmnmncbbFPFmnmnmnmn+−+−−===−+（）（）-1=22412ba−，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos21FPF最小，21FPF最大，∴()21sinsinFAF+=378,∴4373si

nsin827+=，故选：D．15．已知1F，2F为椭圆2214xy+=的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q是12FPF内切圆的圆心，过1F作1FMPQ⊥于M，O为坐标原点，则||OM的取值范围为（）A．()0,1B．()0,2C．()0,3D．()0,23

【答案】C【解析】延长2PF，1FM交于N点，连接OM，因为点Q是12FPF内切圆的圆心，所以PQ平分12FPF.因为1FMPQ⊥，所以1PNPF=M为1FN的中点.又因为O为12FF的中点，所以2211()22OMFNPNPF==−121211()322PFPFFFc=−==.所以

OM的取值范围是：(0,3).故选：C16．设1F，2F是曲线22221(0,0)xymnmn+=的两个焦点，曲线上一点与1F，2F构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F的最小距离为2，则n=________．【答案】4或5【解析】由题知曲线22221(0,

0)xymnmn+=表示的是椭圆，且曲线上一点与1F，2F构成的三角形的周长是16，所以22168acac+=+=，因为曲线上的点到1F的最小距离为2，所以2ac−=，有82acac+=−=5a=，3c=，因为2224abcb=+=，由于不能确定椭圆焦点所在轴，

所以4n=或5n=.故答案为：4或5.17．在ABC中,30,2,3ABCAABS===,若以,AB为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=__________.【答案】312−【解析】因为30

,2,3ABCAABS===，所以1sin32ABACA=，得3AC=，由余弦定理得2222cosBCACABACABA=+−33423212=+−=，所以1BC=，因为以,AB为焦点的椭圆经过点C，所以231aACBC=+=+，22cAB==，所以椭圆的离心率为231

231cea−===+.故答案为：312−.18．设椭圆221259xy+=的左右焦点分别为12,FF，过焦点1F的直线交椭圆于A，B两点，若2ABF的内切圆的面积为4.设A，B的两点坐标分别为()11,,Axy()22,Bxy，则12yy−值为_

_______.【答案】5【解析】因为椭圆221259xy+=中，2594=−=c，所以焦点为()14,0F−，()14,0F，设2ABF的内切圆的半径为r，所以24Sr==，得2r=，根据椭圆的定义()()221212420ABAFBFAFAFBFBFa++=+++==，所以()222

112022022ABFSABAFBFr=++==，又因为21212ABFAFFBFFSSS=+1122121212111222yFFyFFyyFF=+=−124yy=−所以12420yy−=，即125

yy−=.故答案为：5.19．已知点M的坐标是(1,1)，1F是椭圆22195xy+=的左焦点，P是椭圆上的动点，则1||PFPM+的取值范围是_______．【答案】[62,62]−+.【解析】1226PFPFa+==那么126PFPF=−，则()12266PFPMPFPMPMPF

+=−+−=+根据三角形三边关系可知，当点P位于1P时，2PMPF−的差最小，此时2F与M点连线交椭圆于1P，易得22MF−=−，此时，1PFPM+也得到最小值，其值为62−．当点P位于2P时，2PMPF−的差最大，此时2F与M点连线交椭圆于2P，

易得22MF=，此时1PFPM+也得到最大值，其值为62+．则所求范围是[62,62]−+．故答案为：[62,62]−+．20．点P是椭圆2212516xy+=上一点，12FF、是椭圆的两个焦点，且12PFF的内切圆半径为1，

当P在第一象限内时，P点的纵坐标为________．【答案】83【解析】根据椭圆的定义可知1212106PFPFFF+==，，令内切圆圆心为O则()121212121212PFFPOFPOFOFFSSSSPFrPFrFFr

=++=++()12121182PFPFFF=++=又∵12121|3|2PFFPPSFFyy==．所以38py=，83py=．故答案为：8321．设点(),0Mm在椭圆2211612xy+=的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当MP最小时，点P恰好落在椭圆的右

顶点，则实数m的取值范围是______．【答案】14m．【解析】设(),Pxy为椭圆上的动点，由于椭圆方程为2211612xy+=，故44x−．()()()222222211214123164xMPxmyxmxmm=−+

=−+−=−+−∵当MP最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当4x=时，2MP取得最小值，而4,4x−，故有44m，解得m1．又点M在椭圆的长轴上，所以44m−．故实数m的取值范围是1,4．故答案为：14m．22．已知椭圆C：

22221xyab+=（0ab）的右焦点为F，直线l：3yx=与椭圆C相交于A，B两点，若AFBF⊥，则椭圆C的离心率为：______.【答案】31−【解析】如图所示，设左焦点为1F，连接1AF，1BF，由椭圆的对

称性及AFBF⊥，可知1AFBF为矩形，∴||||||OAOFOFc===.由直线3yx=得60AOF=，∴||AFc=，且130AFF=，13AFc=.椭圆的定义可得，1||32AFAFcca

+=+=，∴23131cea===−+.故答案为：31−23．离心率为12的椭圆22221(0)xyabab+=恰好过抛物线216yx=的焦点F，A为椭圆的上顶点，P为直线AF上一动点，点A关于直线OF的对称点为Q，则||PQ的最小值为____________.【

答案】8217【解析】抛物线216yx=的焦点为(4,0)F，∴4a=，又12ca=，2c=，22224223bac=−=−=，椭圆标准方程为2211612xy+=．即(0,23)A，直线AF的方程为1423xy+=，即3243

0xy+−=，点A关于直线OF的对称点为Q，Q点坐标为(0,23)−，Q到直线AF的距离为222(23)438217(3)2d−−==+，∴PQ的最小值是8217．故答案为：8217．24．椭圆2222:1xyMab+=(0)ab的左、右焦点分别为1,F2,F

,32abP，若12PFPF⊥，则M的离心率为________.【答案】6515【解析】22221xyab+=()1,0Fc−，()2,0Fc,32abP，12PFPF⊥，所以22133bbaacc=−+−，则2

2220,49acac−+−=即221345ac=2221345cea==，所以6515e=故答案为：651525．已知O为坐标原点，F为椭圆()2222:10xyCabab+=的右焦点，过点F的直线在第一象限与椭圆C交与点P，且POF为正三角形，则椭圆C的离心率为________.【

答案】31−【解析】因为F为椭圆C：22221(0)xyabab+=的右焦点，所以()0Fc，，又点F的直线在第一象限与椭圆C交与点P，且POF为正三角形，边长为OFc=，所以322cPc，，代入22221xyab+=可

得：22223144ccab+=，又222abc=+，所以4224480aacc−+=，所以42840ee−+=，解得2423e=，因为01e，所以2423e=−，故31e=−.故答案为31−26．已知12,FF分别是椭圆()222

2:10xyCabab+=的左、右焦点，直线23by=与C交于,AB两点，290AFB=，且2209FABS=．（1）求C的方程；（2）已知点P是C上的任意一点，不经过原点O的直线l与C交于,MN两点，直线,,

,PMPNMNOP的斜率都存在，且0MNOPkk+=，求PMPNkk的值．【答案】（1）22154xy+=（2）45【解析】（1）由题意不妨设52,33Aab−，52,33Bab，则252,33abFAc=−−，

252,33abFBc=−+．∵290AFB=，∴2222254099bFAFBca=−+=，∴2245ab=．又21252202339FABabS==，∴25ab=，∴5a=，2b=，故C的方程为22154xy+=．（2）设()00,Pxy，()11,Mx

y，()22,Nxy，则00OPykx=．∵0OPMNkk+=，∴00MNykx=−，设直线MN的方程为()000yyxmmx=−+，联立0022,1,54yyxmxxy=−++=整理得()()222220000045105

40xyxmxyxxm+−+−=．∵P在C上，∴22004520xy+=，∴上式可化为()2220004240xmxyxxm−+−=．∴00122mxyxx+=，22201204mxxxx=−，()2222004416

0xmym=−+，∴()()220001212042225myymxyyxxmx−+=−++==，()2200001212121220000yyymyyyxmxmxxxxmxxxx=−+−+=−++

2222220000145ymxmyy=−−=−，∴()()()222222000102012012000255mxmxyyyyyyyyyyyyy−−=−++=−−+22200025mxmxy−=()()()2222000102012012024m

xmxyxxxxxxxxxx−−−=−++=．∴1020102045PMPNyyyykkxxxx−−==−−．27．已知圆C:()22116xy−+=和定点()1,0F−,M是圆C上任意一点,线段MF的垂直平分线交MC于点N,设动点N的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)过点()1,0作直线

l与曲线E相交于P,Q两点(P,Q不在x轴上),试问:在x轴上是否存在定点T,总有OTPOTQ=?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）22143xy+=；（2）存在,定点()4,0T【解析】（1）由题,圆心C为()1,0,半径4r=,由垂直平分

线的性质可知MNFN=,所以4FNCNMNCNMCr+=+===,所以由椭圆定义可知轨迹E是以C、F为焦点的椭圆,所以24a=,即2a=,因为1c=,所以2223bac=−=,所以轨迹方程为:22143xy+=（2）存在,设存在点(),0T

t满足题意,当k不存在时,由椭圆的对称性,x轴上的点均符合题意；当k存在时,设直线l为()1ykx=−,联立()221143ykxxy=−+=,消去y得()()22224384120kxkxk+−+−=,设()11,Pxy

,()22,Qxy,则2122843kxxk+=+,212241243kxxk−=+,因为OTPOTQ=,则0TPTQkk+=,所以12120yyxtxt+=−−,即()1221120xyxytyy+−+=,所以

()()12122120kxxtkxxtk−+++=,则()2222412821204343kkktktkkk−−++=++,所以()24043tkk−=+,即()40tk−=,所以当4t=时,无论k为何值,都满足题意,所以存在定点()4,0T,总有OTP

OTQ=28．已知椭圆2222:1xyWab+=(0ab)的左、右焦点分别是1F，2F，点P为W的上顶点，点Q在W上，227PFFQ=，且1167PFPQ=−.（1）求W的方程；（2）已知过原点的直线1l与椭圆W交于C，D两点，垂直于1l的直线2l过1F且与椭圆

W交于M，N两点，若26CDMN=，求2FCDS△.【答案】（1）2214xy+=；（2）2.【解析】（1）设椭圆W的焦距为2c，∵227PFFQ=，∴Q的坐标为8,77cb−.∵Q在W上，将8,77Qcb−代人22221xyab+=，得2234ca=

.又∵1167PFPQ=−，∴()8816,777,cbcb−=−−−，∴222cb−=.又∵222abc=+，∴24a=，21b=，W的方程为2214xy+=.（2）当直线2l的斜率不存在时，||2CD=，||4MN=，不符合题意；当直线2l的斜率为0时，||4CD=，||1M

N=，也不符合题意.∴可设直线2l的方程为()()30ykxk=+,联立()223,1,4ykxxy=++=得()222241831240kxkxk+++−=，则21228341kxxk−+=+，212212441kxxk−=+.()()2221212241||1441kMNkxxxx

k+=++−=+.由221,1,4yxkxy=−+=得222,424kxkyk=+=+或222,42,4kxkyk=−+=+∴()222161||4kCDk+=+.又∵26||||MNCD=，∴()()2222

241161444kkkk++=++，∴22k=，∴||22CD=.∵2F到直线CD的距离2311dk==+，∴2112222FCDS==△.29．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=

的离心率为22，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线ykx=与椭圆C交于点E，F，过点E作EMx⊥轴于点M，直线FM交椭圆C于另一点N，证明：EFEN⊥．【答案】（1）2212xy+=（2）见解析【解析】（1）由题22ca=，22c=，∴2a=，1e=，1b=，故椭圆方程为221

2xy+=；（2）设00(,)Exy，()00,Fxy−−，00(),Mx，则000:()2FMylyxxx=−与椭圆方程联立得()222222200000002240xyxxyxxyx+−+−=，由2000220022NFNxyxxxxxy+=−=+得

230002200322Nxyxxxy+=+，()0000000000022NNENNNNyxxyyyyyxkxxxxxxx−−−===−−−−00230000022003222yyxyxxxxy=−+−+2200000222220000000222224yyyxyxxxxyx

y+=−=+−+2220000000000022222yxyxxxxyxyy+−=−==−，∴00001ENEFxykkyx=−=−，即EFEN⊥.30．已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率22e=，且椭圆过点(2,1).（1）求椭圆C的标准方程；（

2）设直线l与C交于M，N两点，点D在C上，O是坐标原点，若OMONOD+=，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)22142xy+=(2)见解析【解析】（1）

因为椭圆C的离心率22e=，所以2222aba−=，即222ab=.因为点()2,1在椭圆C上，所以22211ab+=.由22222211abab=+=，解得2242ab==.所以椭圆C

的标准方程为22142xy+=.（2）当直线l的斜率不存在时，直线MN的方程为1x=−或1x=，此时四边形OMDN的面积为6.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是ykxm=+，联立方程组22142ykxmxy=++=，消去y，得()222124240kxkmxm++

+−=，()228420km=+−，122412kmxxk−+=+，21222412mxxk−=+，()121222212myykxxmk+=++=+.22222242112kmMNkk+−=++，点O到直线MN的距离是21mdk=+.由OMONOD+=，得2412Dk

mxk−=+，2212Dmyk=+.因为点D在曲线C上，所以有2222421212142kmmkk−+++=，整理得22122km+=.由题意，四边形OMDN为平行四边形，所以四边形OMDN

的面积为2222222421121OMDNmkmSMNdkkk+−==+++222224212mkmk+−=+.由22122km+=，得6OMDNS=，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为6.31．已知椭圆()222210yxabab+=的离心率

为22，以椭圆的上焦点F为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线40xy+−=截得的弦长为22.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线1l，2l，且分别交椭圆于M，N两点（M，N不是椭圆的顶点），探究直线MN是否过定

点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.【答案】(1)22184yx+=(2)MN恒过定点2,03，见解析【解析】（1）∵22e=，∴22bca==，设圆F的方程为()222xycc+−=，圆心为()0,c，半径为c，设d为圆心到直线40xy+−=的距离，则4=2cd−，∵222

222dr+=，∴()22422cc−+=，即28200cc+−=，()()2100cc−+=，∵0c，∴2c=.所以椭圆的方程为22184yx+=.（2）设1l的方程为2xty=−，2l

的方程为12xyt=−−，联立222802yxxty+−==−，可得()222280yty+−−=，整理()222180tyty+−=，设()11,Mxy，∵M不是椭圆的顶点，∴12821tyt=+，代入2xty=−，得2124

221txt−=+，222428,2121ttMtt−++，联立2228012yxxyt+−==−−，设()22,Nxy，∴222882121ttytt−−==+−+，带入12xyt=−−，得222

2214242=2121ttxtt−−−=+−+，222428,22ttNtt−−++，①若MN斜率存在，()()()()()()2222222222228882821212=42424

224221212MNttttttttktttttttt−−+++++=−−−+−−+−++34224243=881ttttt+=−−，MNl：22228342=212tttyxttt−−−−+−+22222334281122ttttyxtttt−=−−−−+

+()()()()22222342813112tttttyxttt−+−=−−−+()()3222324112tttyxttt+=−−−+223211ttyxtt=−−−23213tyxt=−−恒过2,03.②若MN斜率不存在，1l的方程为2xy=−，2l的方程

为2xy=−−，28,33M，28,33N−，此时MNl：23x=，亦过2,03，综上，直线MN恒过2,03.32．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为12，右焦点为(c

,0)F，左顶点为A，右顶点B在直线:2lx=上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【答案】（Ⅰ）22xy143+=；（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．【解析】（Ⅰ）依

题可知B（a，0），a=2，因为c1ea2==，所以c=1，b3=故椭圆C的方程为22xy143+=．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：设点P（x0，y0），则()22000xy1y043+=①当x0=1时，点P的坐标为（1，±32），直线PF的方程为x=1，D的坐标为（2

，±2）．此时以BD为直径的圆22(2)(1)1xy−+−=与直线PF相切．②当0x≠1时直线AP的方程为()00yyx2x2=++，点D的坐标为004yD2x2+，，BD中点E的坐标为002y2x2+，，故002yBEx2=

+直线PF的斜率为0PF0ykx1=−，故直线PF的方程为()00yyx1x1=−−，即00x1xy10y−−−=，所以点E到直线PF的距离000000000222000000000x12y21yx24x4xyy2ydBEx2x2x2x1x2y2(x

1)1()3(x1)y4−−−+−−=====+++−+−+−+−,故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．33．在平面直角坐标系中，()2,0A−，()2,0B，设直线AC

、BC的斜率分别为1k、2k且1212kk=−，（1）求点C的轨迹E的方程；（2）过()2,0F−作直线MN交轨迹E于M、N两点，若MAB△的面积是NAB△面积的2倍，求直线MN的方程．【答案】(1)22142xy+=（0y）(2)14207xy−+=或14207xy++=【解析】（1）

由题意，设(),Cxy，则12ykx=+，22ykx=−，又由2122142ykkx==−−，整理得22142xy+=，由点,,ABC不共线，所以0y，所以点C的轨迹方程为221(0)42xyy+=.（2）设()11,Mxy，()22,Nxy

，易知直线MN不与x轴重合，设直线:2MNxmy=−，联立方程组222142xmyxy=−+=，整理得得()2222220mymy+−−=，易知，且122222myym+=+，122202yym−=+由2MABNABSS=，故122yy=，即122yy=−，从而()22121

22122141222yyyymyymyy+−==++=−+，解得227m=，即147m=，所以直线MN的方程为14207xy−+=或14207xy++=．34．已知点A，B的坐标分别为()2,0−，()2

,0，三角形ABM的两条边AM，BM所在直线的斜率之积是34−。（I）求点M的轨迹方程：（II）设直线AM方程为()20xmym=−，直线l方程为2x=，直线AM交l于P点，点P，Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D。若APD面积为26，求m的值。【答

案】（1）221(2)43xyx+=（2）63m=【解析】（1）设点M的坐标为(),xy，因为点AB、的坐标分别为()20−，、()20，，所以直线AM的斜率()22AMykxx=−+，直线BM的斜率()22

BMykxx=−，由题目可知3224yyxx=−+−，化简得点M的轨迹方程()221243xyx+=；（2）直线AM的方程为()20xmym=−，与直线l的方程2x=联立，可得点42,Pm，故42,

Qm−.将2xmy=−与22143xy+=联立，消去x，整理得()2234120mymy+−=，解得0y=，或21234mym=+，根据题目可知点2226812,3434mmMmm−++，由42,Qm−可得直线MQ的方程为()222124684220

3434mmxymmmm−+−−−+=++，令0y=，解得226432mxm−=+，故2264032mDm−+，，所以2222641223232mmADmm−=+=+

+，APD的面积为22224112423232mmmmm=++又因为APD的面积为26，故2242632mm=+，整理得232620mm−+=，解得63m=，所以63m=。35．已知椭圆()222210x

yabab+=的离心率为12，椭圆上的点到右焦点F的距离的最大值为3．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的右焦点F作倾斜角不为零的直线l与椭圆C交于两点,MN，设线段MN的垂直平分线在y轴上的截距为t，求t的取值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）33[,]1212−【解析】（

1）由题意可得：123caac=+=,解得21ac==，所以2223bac=−=.所以椭圆C的方程为22143xy+=.（2）当MN斜率存在时，设直线MN的方程为(1)(0)ykxk=−，设11(,)Mxy，22(,)Nxy,则中点00(,)Txy，

由22(1)143ykxxy=−+=消去y得2222(43)84120kxkxk+−+−=，则221212228412,4343kkxxxxkk−+==++，所以20002243,(1)4343kkxykxkk−==−=++，因为MN的中垂线的方程

为001()yyxxk−=−−，令0x=，得002113434ktxykkkk=+==++，当0k时，3443kk+，则3(0,]12t；当k0时，3443kk+−，则3[,0)12t−，当MN斜率不存在时，显然0t=，综上，t的取值范围是33[,]1

212−.