【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期高考考前模拟卷数学试题（二） Word版含解析.docx，共(19)页，1.165 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学考前模拟卷二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题

卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.51+xx的展开式中x的系数为（）A.15B.10C.5D.1【答案

】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式5151CrrrrTxx−+=即可求解.【详解】由5521551CCrrrrrrTxxx−−+==，令521r−=，则2r=，所以x系数为25C10=.故选：B2.已知实

数a，且复数2i2iaz+=+的实部与虚部互为相反数，则复数z对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的加减乘除四则运算化简复数z，求得实部与虚部，依题求出a的

值，代入即得复数对应的点，判断即可.【详解】()()2i2i2i224i2i555aaaaz+−++−===++，其实部为225+a，虚部为45a−，依题有224055aa+−+=，解得6a=−，所以22iz=−+，其对应的点为()2

,2−，位于第二象限.故选：B.3.在△ABC中，“sincosAB=”是“π2C=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由sincosAB=，则π2AB

+=或π2AB−=和π2C=，则π2AB+=，则πsinsin()cos2ABB=−=，可得出答案【详解】若sincosAB=，则π2AB+=或π2AB−=，即π2C=或π2AB−=，所以在△ABC中，

“sincosAB=”是“π2C=”的不充分条件若π2C=，则π2AB+=，则πsinsin()cos2ABB=−=，所以在△ABC中，“sincosAB=”是“π2C=”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.4.双曲

线22221xyab−=的左､右焦点分别为12,FF，过2F作x轴垂线交双曲线于,AB两点，1FAB为正三角形，则双曲线的离心率为（）A.213B.2C.3D.62【答案】C【解析】【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长22bABa=，再利用

双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可..【详解】设()1,Acy，代入双曲线方程可得22224221122221yxcabybabaa−−===，所以22bABa=即正三角形的边长，所以正三角形的高为223232bbaa=，所以()22222232232332303bca

cbaccacacaea===−−−==，故选：C.5.已知四棱锥PABCD−，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为PC中点，则（）A.BE平面PADB.PD⊥平面ABCDC.平面P

AB⊥平面PADD.DEEB=【答案】C【解析】【分析】由线面平行的性质判断A错误；举反例判断B错误；先证明PHAB⊥，再由线面垂直得到AB⊥平面PAD，进而得到平面PAB⊥平面PAD，判断C正确；由已知条件判断D错误.【详解】A：易知//BC平面PAD，因为BEBCB=，且两条直

线都在平面PBC内，所以BE不可能平行平面PAD，故A错误；B：举反例，如图PH垂直平面ABCD时，由于PDPHP=，所以PD不垂直，故B错误；C：作PHAD⊥于点H，因为平面PAD⊥平面ABCD，且PH平面PAD，所以PH⊥平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以PH

AB⊥，又ABAD⊥，PHADH=，且,PHAD都在平面PAD内，所以AB⊥平面PAD，因为AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故C正确；D：没有任何条件可以证明DEEB=，故D错误；故选：C.6.已知圆22:(1)(2)16Cxy−++=，过点

()0,1D的动直线l与圆C相交于,MN两点||215MN=时，直线l的方程为（）A.4330xy+−=B.3440xy−+=C.0x=或4330xy+−=D.4330xy+−=或3440xy−+=.【答案】C【解析】【分析】考虑直线l与x轴垂直和不垂直两种情况，

斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.【详解】当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为0x=，22:(1)(2)16Cxy−++=中令0x=得2(2)15y+=，解得

152y=−，故此时()152152215MNy==−−−−=，符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为1ykx=+，即10kxy−+=，则圆心到直线的距离为2211kdk++=+，又2222216215MNrdd=−

=−=，22111kdk++==+，解得43k=−，则直线l的方程为413yx=−+，即4330xy+−=，综上可知直线l的方程为0x=或4330xy+−=.故选：C.7.已知圆内接四边形ABCD中，π2,,4ADADBBD==是圆的直径，2ACBD=，则A

DC=（）A.5π12B.π2C.7π12D.2π3【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形ABCD的几何性质，即可得所求.【详解】因为2ACBD=，所以()2ADDCBD+=，易知22BD=，结合图形，2·22242ADBD==，9

0BCD=，则242DC−=，故2DC=.所以在直角三角形BCD中可得π3BDC=，故7π12ADC=.故选：C.8.若直线e4eln40xy−+=是指数函数(0xyaa=且1)a图象一条切线，则底数=a（）A.2或12B.eC.eD.e或e【答案】D【解析】【分析】设切点坐标为(

)()00,xfx，根据导数的几何意义，列式运算求得a的值.【详解】设切点坐标为()()00,xfx，对函数xya=，求导得lnxyaa=，的切线方程e4eln40xy−+=化成斜截式为4e44elnyx=+，由题设知000eln04eeln44xxaaxa=+=，显然ln

0a，即1a，由0e4lnxaa=，得04eeln4e4lnxa+=，即01ln4lnxa=+，即()00lnln01lnlnln4lnln4ln4xxaaxaaaa=+=+=，即0lnlnee444lnxaaaa==，化简得ln44lnaa=，令ln0a

t=，即44tt=，利用指数函数与一次函数的性质，可知1t=或12，即ln1a=或12，解得ea=或e.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知,,a

bc是空间中三条不同的直线，,是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（）A.若,,,abacbc⊥⊥，则a⊥B.若,a⊥⊥，则aC.若a,ba,ca，则b或c.D.若,,aba⊥⊥b，则

，【答案】ABC【解析】【分析】由题意分别进行判断，错误的选项指明错误点.【详解】对A，需要补上,bc不平行才成立，否则a可能与相交或平行，故A错误；对B，若,a⊥⊥，则a∥或a，故B错误；对C，有可能b

且c且bcP，故C错误；对D，若,,abab⊥⊥∥，则∥，故D正确.故选：ABC.10.对于事件A与事件B，若AB发生的概率是0.72，事件B发生的概率是事件A发生的概率的2倍，下列说法正确的是（）A.若事件A与事件B互斥，则事件A发

生的概率为0.36B.()()2PBAPAB=∣∣C.事件A发生的概率的范围为0.24,0.36D.若事件A发生的概率是0.3，则事件A与事件B相互独立【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A，若

事件A与事件B互斥，则()()()()30.72PABPAPBPA=+==，所以()0.24,APA=，故A错误；对于B，()()()()()()()()()1|,||22PABPABPABPBAPABPBAPAPBPA=

===，故B正确；对于C，()()()()()()()()30.72,0.243PABPABPAPBPABPAPABPA=+−=−==+，若事件A与事件B互斥，则()0PAB=，此时()PA取到最小值为0.24，若(

)()PAPB，此时()()(),PABPAPA=取到最大值为0.36，故C正确；对于D，()0.3PA=，则()0.6PB=，由()()()()PABPAPBPAB=+−，得()()()0.30.60.720.18PABPAPB=+−==，则事件A与事件B相互独立，故D正确

.故选：BCD.11.已知函数()fx的定义域和值域均为0,xxxR∣，对于任意非零实数,,0xyxy+，函数()fx满足：()()()()()()fxyfxfyfxfy++=，且()fx在(),0−上单调递减，()11f

=，则下列结论错误的是（）A.122f=B.2023202311222iif==−C.()fx在定义域内单调递减D.()fx为奇函数【答案】BC【解析】【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定

义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D.【详解】对于A，令12xy==，则()21121()[()]22fff=，因1()02f，故得1()2(1)22ff==，故A正确；对于B,由()()()()()()fxyfxfyfxfy++=，令yx=，则2[()]1(2)()2()2fxfx

fxfx==，则111111()(2)()2222iiifff++==，即111()2()22iiff+=，故1{()}2if是以1()22f=为首项，2为公比的等比数列，于是()2023202320241212122212iif=−==−−，

故B错误；对于D，由题意，函数()fx的定义域为()(),00,−+U，关于原点对称，令2yx=−，则()()()()()22fxfxfxfxfx−−=+−①，把,xy都取成x−，可得()()()()()222fxfxfxfxfx−−−

−==−②，将②式代入①式，可得()()()()()22fxfxfxfxfx−−=−+，化简可得()(),fxfx−=−即()fx为奇函数，故D正确；对于C，()fx在(),0−上单调递减，函数为奇函数，可得()fx在()0,+上单调递减，但是不能判

断()fx在定义域上单调性，例如()1fxx=，故C错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出(),()

fxfx−的关系式即可的判断奇偶性等.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数()πsin23fxxx=++−的图象关于直线2x=对称，则可以为__________.（写出一个符合条件的即可）【答案】π6−.（答案不唯一）【解析】

【分析】因为函数2yx=−的图象关于直线2x=对称，只需根据三角函数图象让2x=也为πsin3yx=+的对称轴即可.【详解】函数2yx=−的图象关于直线2x=对称，则只要πsin3yx=+的图象关于直线2x=对称即可，所以()2πππ32kk+=+Z，所

以()ππ6kk=−+Z，如令0k=，可以取π6=−.故答案为：π6−13.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，下顶点为A，过,AF的直线l与椭圆C交于另一点B，若直线l的斜率为1，且83AB=，则椭圆C的标准方程为__________.【答案】221

42xy+=【解析】【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可.【详解】设(),0Fc，由题意知，,2bcac==，直线l的方程为yxc=−，与椭圆C的方程联立化简得xcx−=2340，所以40,3ABxxc==，故42

8233BAABxxc=−==，解得2c=，所以2,2ba==，椭圆C的方程为22142xy+=.故答案为：22142xy+=14.龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过m个关卡，分别为：12,,,mGGG，记挑战每一个关卡()1,2,,kGkm=失败的概

率为ka，其中()110,1,3kaa=.游戏规则如下：从第一个关卡1G开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若2m=，设龙年在闯关结束时进行到了第

X关，X的数学期望()EX=__________；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第1k+关的概率总等于闯到第k关()1,2,,1km=−L的概率的一半，则数列na的通项公式na=__________,1,

2,,nm=.【答案】①.53②.1122n−+【解析】【分析】若2m=，则X得可能取值为1,2，分别求解概率，再求解数学期望()EX即可；根据题意求解游戏结束时进行到第k关的概率为kP，由112kkPP+=可得()1112kkkaaa+

=−，于是根据递推关系式可得数列na的通项公式.【详解】若2m=，则X得可能取值为1,2，又()()1121,21333PXPX====−=，所以()12512333EX=+=；设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第k关的概率为kP；那么有()()()()()()121121111111k

kkmaaaaPaaa−−−−=−−−−，由112kkPP+=可得()1112kkkaaa+=−；即121kkkaaa+=−，对两边同时取倒数，可得1122kkaa+=−，即111222kkaa+−=−，又112321a−=−=，故12na−是首项为1，公

比为2的等比数列，从而111122,,1,2,,22nnnnanma−−−===+.故答案为：53；1122n−+.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.若抛物线Γ的方程为24yx=，焦点为F，

设,PQ是抛物线Γ上两个不同的动点.（1）若3PF=，求直线PF的斜率；（2）设PQ中点为R，若直线PQ斜率为22，证明R在一条定直线上.【答案】（1）22（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦半径公式得

到2Px=，求出()2,22P，从而求出斜率；（2）法一：2:2PQyxt=+，联立抛物线方程，设()()1122,,,PxyQxy，得到两根之和，两根之积，得到12222Ryyy+==，求出答案；法

二：设()()1122,,,PxyQxy，得到212112422yyxxyy−==−+，从而确定1242yy+=，得到12222Ryyy+==，得到答案.【小问1详解】()1,0,13PFPFx=+=，2Px\=，将2x=代入24yx=得，22y=，()2,22P所以22222

1PFk==−；【小问2详解】法一：设()()1122,,,PxyQxy，2:2PQyxt=+，即22xyt=−，代入24yx=，得242420yy−+=，由韦达定理，有1242yy+=，故1222

2Ryyy+==，R在定直线22y=上.法二：设()()1122,,,PxyQxy，由题意，21212221211242244yyyyyyxxyy−−===−+−，故1242yy+=，故12222Ryyy+==，R在定直线22y=上.16.如图，四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为直角梯形，

AB//CD，,2,4,2ABADABADPBCDPDAD⊥=====，点E为PB中点，DEPC⊥.（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）已知点F为线段AB的中点，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）36.【解析】【分析】（1）连接BD，可证PDBD=，从而得到D

EPB⊥，即有DE⊥平面PBC，可得DEBC⊥，由222BCBDCD+=，可得BCBD⊥，即可证明BC⊥平面PBD，即BCPD⊥，再由222PBPDBD=+，得PDBD⊥，从而证明PD⊥平面ABCD；（2）以

D为坐标原点，分别以,,DADCDP的方向为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量为()1,1,2m=，表示出()1,0,2EF=−，代入向量夹角公式，可得直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【小问1详解】连接BD.因为ABAD=，且AB

AD⊥，所以2BDDA=，因为2PDAD=，所以PDBD=.因为E是棱PB的中点，所以DEPB⊥.因为,,DEPCPCPB⊥平面PBC，且PCPBP=，所以DE⊥平面PBC.因为BC平面PBC，所以DEB

C⊥.由题意可得2BCBDAB==，则222BCBDCD+=，所以BCBD⊥.因为,BDDE平面PBD，且BDDED=，所以BC⊥平面PBD.因为PD平面PBD，所以BCPD⊥.因为2,2PDBDABPBAB===，所以222PBPDBD=+，所

以PDBD⊥.因为,BDBC平面ABCD，且BDBCB=，所以PD⊥平面ABCD.【小问2详解】以D为坐标原点，分别以,,DADCDP方向为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()2,0,0A，()2,2,0

B，()0,4,0C，()0,0,22P，()1,1,2E，()2,1,0F从而()2,2,22PB=−，()2,2,0BC=−，()1,0,2EF=−设平面PBC的法向量为(),,mxyz=，则00mPBmBC==，即2

2220220xyzxy+−=−+=，令1x=，得()1,1,2m=，设直线EF与平面PBC所成角为，则()1101223sincos,632mEFmEFmEF++−====，所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为36.17.已知ABC的内角,,ABC

的对边分别为,,,abc2π13,,,3aAbcABC==的内切圆圆I的面积为3π.（1）求bc、的值及cosABC；（2）若点D在AC上，且,,BID三点共线，试讨论在BC边上是否存在点M，使得BIBMCICM=？若存在，求出点M的位置，并求出DBM△的面积；若

不存在，请说明理由.【答案】（1）8,7bc==，11cos13ABC=；（2）存在，位置见解析，49310.【解析】的【分析】（1）先求出内切圆的半径，由三角形面积公式得出bc与bc+的关系，再由余弦定理得到它们的另一个关系式，联立解出,b

c，最后由余弦定理解出cosABC即可；（2）由题意BIBMCICM=，配合切线长定理可解出BM，再设角结合正弦定理解出BD，最后由面积公式求得即可.【小问1详解】因为ABC内切圆圆I的面积为3π，可得圆I的

半径为3r=，则()()112π313sin,262223ABCSbcbcbcbc=++==++，所以1132bcbc+=−，由余弦定理得222π2cos1693bcbc+−=，得2()169bcbc+−=，将1132bcbc+=−代入整理得：2()5

60bcbc−=，解得56,15,,8,7bcbcbcbc=+===.由余弦定理得：222137811cos213713ABC+−==.【小问2详解】记圆I与BC边切于点E，根据切线长定理可求得6,7BECE==，若BIBMCICM

=，则BEBMCECM=，即()6713BMBM=−，解得7BM=，所以在BC边上存在点M，使得BIBMCICM=.依题意可知I为内心，则BD平分ABC，记ABDDBC==，则11coscos213ABC

==，故1cos22391cos213cos,sin213213+−====，在ABD△中，2πππ33ADB=−−=−，由正弦定理得2ππsinsinsin33BDABcADB==−，又π31513sincossin,732226c−=−==，7

395BD=，1173913493sin72251310DBMSBMBD===.18.已知函数()exxfx=，其中e2.71828=为自然对数的底数.（1）求函数()fx的单调区间；（2）证明：()e1xfx−；（3）设()()()22e2e41xxgxf

xaaa=−+−+R，若存在实数0x使得()00gx，求a的最大值.【答案】（1）增区间为(),1−，减区间为()1,+；（2）证明见解析；（3）12.【解析】【分析】（1）求出()fx，判断导数正负得到函数()fx的单调区间；（2）利用分析法转化要证结

论，要证()e1xfx−，即证e1exxx−，令()e1exxxhx=−+，即证()0hx，利用导数判断()hx单调性，求出最大值即可得证；（3）()()22e2e41xxgxfxaa=−+−+，分别讨论当102a≤≤时和12a时是否存在0x使得()00gx，即可求解.

【小问1详解】()fx的定义域为()1,exxfx−=R，所以当1x时，()0fx；当1x时，()0fx.所以()fx的增区间为(),1−，减区间为()1,+.【小问2详解】要证()e1xfx−，即证

e1exxx−，令()e1exxxhx=−+，即证()0hx，()21eexxxhx−−=，令()21exmxx=−−，则()212e0xmx=−−，所以()mx在R上单调递减，又()00m=，当0x时，()()0,0mxhx；当0x时，()()0

,0mxhx.()hx在(),0−上单调递增，在()0,+上单调递减，()()00hxh=，所以e1exxx−，即()e1xfx−得证.【小问3详解】当102a≤≤时，()()202421

20gaaaa=−=−，即存00x=满足题意；当12a时，由（2）知，()()()2222e2e41e1e2e41xxxxxgxfxaaaa=−+−+−−+−+()()()()()2226112611221e21e4e0244xxxaaaaaaa+−+−+=−++−=−−+

，此时()0gx恒成立，不满足题意；综上，所以a的最大值为12.19.设数集S满足：①任意xS，有0x；②任意x，yS，有xyS+或xyS−，则称数集S具有性质P.（1）判断数集0,1,2,4A=和0,2,4B=是否具

有性质P，并说明理由；（2）若数集12,,,nCaaa=且()11,2,,1iiaain+=−具有性质P.（i）当5n=时，求证：1a，2a，…，na是等差数列；（ii）当1a，2a，…，na不是等差数列时，求n的最大值.【答案】（1）数集A不具有

性质P，数集B具有性质P，证明见解析（2）（i）证明见解析；（ii）4【解析】【分析】(1)根据性质P的定义判断可得出结论(2)（i）推导出10a=，再根据性质P的定义推导出32532432aaaaaaaa−=−−=−=从而

证明（ii）根据性质P的定义得出12,,,naaa在5n均为等差数列，再令4n=进行验证，可以不是等差数列，所以得出n的最大值.【小问1详解】在证明：对于数集A，41A+，41A−，所以数集A不具有性质P，对于

数集B，任意,xyB，xyB−，所以数集B具有性质P.【小问2详解】（i）当5n=时，数集125,,,Caaa=具有性质P，55552aaaa+=，所以55aaC+，即550aaC−=，因为1

23450aaaaa，则10a=，又因为5453525aaaaaaa+++，所以5(2,3,4)iaaCi+=，则5(2,3,4)iaaCi−=，因为154535250aaaaaaaa=−−−，所以得542aaa−=，533aaa−=，524aaa−

=，因为43425aaaaa++=，所以43aaC+，则43aaC−，又因为14340aaaa=−，所以432aaa−=或433aaa−=，因为533aaa−=，所以433aaa−=(舍去)，即432aaa−=，32532432aaaaaaaa−=−−=−=，所以213243542aa

aaaaaaa−=−=−=−=，即当5n=时，1a，2a，…，na是等差数列.（ii）若数集12,,,nCaaa=且()11,2,,1iiaain+=−具有性质P，按照(1)推导的方式得出5n一般结论，具体如下：因为122nn

nnnnaaaaaaa−−+++，所以(2,3,,1)niaaCin+=−，即(2,3,,1)niaaCin−=−，因为11220nnnnnnaaaaaaaa−−=−−−，所以1(2,3,,1)nini

aaain+−−==−①，所以12nnaaa−=+，23nnaaa−=+，因为12131312nnnnnnnaaaaaaaaa−−−−−−++++=，所以1(3,4,5,,2)niaaCin−+=−，即1(3,4,5,,2)niaa

Cin−−=−，因为112131310nnnnnnaaaaaaaa−−−−−−=−−−，根据120naaa，分两种情况：第一种情况为122nnaaa−−−=，133nnaaa−−−=，…，133nnaaa−−−=，第二种情况为1

2(3)nnkaaak−−−=，13(2)niaaain−−=−，先考虑第二种情况1223nnknnaaaaaa−−−=++=，与题意矛盾，1332ninnaaaaaa−−=++=，与题意矛盾，所以只能为第一种情况，可得1(3,4,,2)ninia

aain−−−==−②，由①-②，得11(3,4,,2)nnniniaaaain−+−−−=−=−，即12332221nnnnaaaaaaaaa−−−−=−==−==−，即当5n时，1a，2a，…，na是等差数列，当4n=时，434aaa+，所以43aa

C+，即43aaC−，由前面得出1434240aaaaaa=−−，所以432aaa−=，423aaa−=，当322aaa−成立时，1a，2a，3a，4a不是等差数列，所以n的最大值为4.【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：定义法：1(N)nnaadn+−=(d为常数)等差

中项法：122(N)nnnaaan++=+通项公式法：(N)naanbn=+（a，b为常数），但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法进行证明.