【文档说明】广东省汕头市金山中学2021-2022学年高二下学期期中考试 数学.docx，共(12)页，702.216 KB，由小赞的店铺上传

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汕头市金山中学2020级高二第二学期期中考数学试卷命题人：周荃本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷选择题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．1．已知集合{|2}Axx=…，2{|60}Bxxx=−−…，则RAB=ð（）A．{|23}xx„B．{|23}xx„C．{|23}xx−„D．{|32}xx−„2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2)−，则

1zi=+（）A．3322i−+B．3122i−+C．1322i−+D．1322i+3．已知,ab都是实数，则“2211loglogab”是“ab”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条

件D．即不充分也不必要条件4．已知点(1,)Pt在角的终边上，且6sin3=−，则cos的值为（）A．33B．33C．33−D．135．已知各项不为0的等差数列na满足26780aaa−+=，数列nb是等比数列，且77ba=，则3810bbb=（)A．1B．8C．4D．2

6．已知直线21:20laxy++=与直线()22:110lbxay−+−=互相垂直，则ab的最小值为（）A．5B．4C．2D．17．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A．7

20种B．520种C．360种D．600种8．已知正项数列na满足1*()nnann=N，当na最大时，n的值为（）A．2B．3C．4D．5二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得

5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在公比q为整数的等比数列{}na中，nS是数列{}na的前n项和，若1418aa+=，2312aa+=，则下列说法正确的是()A．2q=B．数列{2}nS+是等比数列C．8510S=D．数列

{lg}na是公差为2的等差数列10．已知函数()()sinfxAx=+（其中0A，0，2）的部分图像，则下列结论正确的是（）A．函数()fx的图像关于直线12x=对称B．函数()fx的图像关于点,012−对称C．将函数()fx图像上所有的点向右平移6个单位，

得到函数()gx，则()gx为奇函数D．函数()fx在区间,412−上单调递增11．函数1()cos(0)2fxxxx=+的所有极值点从小到大排列成数列na，设nS是na的前n项和，则下列结论中正确的是（）A．数列na为等差数列B．4176a=C．20211si

n2S=D．()373tan3aa+=12．已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，抛物线C上存在n个点1P，2P，L，nP（2n且*Nn）满足1223112nnnPFPPFPPFPPFPn−=====，则下列结论中正确的是（）A．2

n=时，12112PFPF+=B．3n=时，123PFPFPF++的最小值为9C．4n=时，13241114PFPFPFPF+=++D．4n=时，1234PFPFPFPF+++的最小值为8第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．二

项式62()xx−展开式中的常数项为__________.14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB=，D为“弦”BC上一

点（不含端点），且ABD满足勾股定理，则()CBCAAD−=______.15．已知抛物线24yx=焦点为F，过点F斜率为3的直线l交该抛物线于点A，B（点A在第一象限），与该抛物线的准线交于点C，则CBAB=______．16．如图，长方形ABC

D中，152AB=，1AD=，点E在线段AB（端点除外）上，现将ADE沿DE折起为ADE．设ADE=，二面角ADEC−−的大小为，若π2+=，则四棱锥ABCDE−体积的最大值为_______四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题为10分，其他为12

分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．从10名同学（其中6女4男）中随机选出3人参加测验，每个女同学通过测验的概率均为45，每个男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3个同学中，至少有一个男同学的概率；(

2)10个同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．18．如图，在四边形ABCD中，//ABCD，26AB=，6CD=，6cos3A=，1cos3ADB=.（1）求cosBDC；（2）求BC的长.19．已知正项数列na，其前n项和nS满

足*(2)1()nnnaSan−=N.(1)求证：数列2nS是等差数列，并求出nS的表达式；(2)数列na中是否存在连续三项ka，1ka+，2ka+，使得1ka，11ka+，21ka+构成等差数列？请说明理由.20．如图

，在四棱锥E-ABCD中，//ABCD，12ADCDBCAB===，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE⊥平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．(1)求证：//MN平面ABE；(2)当四棱锥E-ABCD体积最大

时，求二面角N-AE-B的余弦值．21．已知函数2()(2)ln()fxaxaxxaR=++−．（Ⅰ）当0a=时，求证：2()22xfxx−．（Ⅱ）设232()3gxxx=−，若1(0,1]x，2[0,1]x，使得()()12fx

gx…成立，求实数a的取值范围．22．已知椭圆()2222:10,0xyCabab+=的焦距为23b，经过点()2,1P−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足OMNO=，直线PMPN，分别交椭圆于A，B．P

QAB⊥，Q为垂足．是否存在定点R，使得QR为定值，说明理由．高二第二学期期中考数学试卷参考答案：1．A2．D3．C4．A5．B6．C7．D8．B9．ABC10．ACD11．BC12．BC13．6014．14425

15．12168令1xyx=，两边取对数，有1lnlnlnxxyxx==，令ln()xfxx=，则21ln()xfxx−=，当()0fx时，0ex；当()0fx时，ex.所以()fx在(0,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减.所以ex=时，()fx取到最大值，从而

y有最大值，因此，对于1*()nnann=N，当2n=时，1222a=；当3n=时，1333a=.而113232，因此，当na最大时，3n=.12当2n=时，1212PFPPFP==，此时不妨取12PP过焦点垂直于x轴，不妨取12(12),(12)PP−，，，则121111=+122

PFPF+=，故A错误；当3n=时，12233123PFPPFPPFP===，此时不妨设123,,PPP在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx=,则12||1cosPF=−，则2222||,||241cos()1cos()33PFPF==−+−+，

故123222241cos1cos()1cos()33PFPFPF++=++−−+−+214(1cos)2211cos(cos)2+=+−+，令113cos,(,)222tt=+，则123242332tPFPFPFtt+++=+−，14令242332()ttt

ft+=+−，则232382627(1)()(32)(32)ttfttttt+−−=−=−−，当112t时，()0ft，()ft递增，当312t时，()0ft，()ft递减，故min()(1)9ftf==，故当1t=，即1cos,23==时，123PFPFPF++

取到最小值9，故B正确；当4n=时，122313442PFPPFPPFPPFP====，此时不妨设1234,,,PPPP在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx=,则12342222||,||,||,||3

1cos1cos()1cos()1cos()22PFPFPFPF====−−+−+−+，即234222||,||,||1sin1cos1sinPFPFPF===++−，故1322241cos1cossin

PFPF+=−++=，2422241sin1sincosPFPF+=+−+=，所以132242sincos144141PFPFPFPF=++=++，故C正确；由C的分析可知：23422122244416s

incossincossin2PFPFPFPF++===++，当2sin21=时，216sin2取到最小值16，即1234PFPFPFPF+++最小值为16，故D错误；15由题意可得(1,0)F,抛

物线准线方程为1x=−,则直线l的方程为:33yx=−,(1,23)C−−联立2334yxyx=−=,解得323xy==或13233xy==−,即(3A,23),1(3B,23)3−,所以8||3BC=,16||3AB=,则8||1316||23

CBAB==,16．设过A与DE垂直的线段长为a，则tanAE=，150tan2，1cosDE=，sina=，则四棱锥ABCDE−的高πsinsinsinsincos2ha==−=，

则111515tan1sincos3222ABCDEV−=−+()115tansincos6=−()2115sincossin6=−()1115sin2cos21212=

+−11511sin2cos234412=+−()11sin2312=+−，15tan15=，∴四棱锥ABCDE−体积的最大值为1113124−=.17．(1)记选出的同学中至少有一个男同学为事件A，则(

)()363105116CPAPAC=−=−=；(2)甲、乙被选中且通过测验的概率1831043455125CPC==.18．（1）因为6cos3A=，1cos3ADB=，则A、ADB均为锐角，所以，23sin1cos3AA=−=，22

2sin1cos3ADBADB=−=，()()coscoscossinsincoscosABDAADBAADBAADBAADB=−−=−+=−32261633339=−=，//ABCDQ，则BDCABD=，因此

，6coscos9BDCABD==；（2）在ABD△中，由正弦定理可得sinsinABBDADBA=，可得326sin33sin223ABABDADB===，在BCD△中，由余弦定理可得22262cos96236119BCBDCD

BDCDBDC=+−=+−=，因此，11BC=.19．(1)依题意，正项数列na中，211a=，即11a=，当2n时，1nnnaSS−=−，即11()2()1nnnnnSSSSS−−−−−=，整理得2211nnSS−−=，又221

11Sa==，因此，数列2nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则2nSn=，因为na是正项数列，即0nS，所以=nSn.(2)不存在，当2n时，11−=−=−−nnnaSSnn，又11a=，即*Nn，都有1=−−nann，则1111nnna

nn==+−−−，假设存在满足要求的连续三项12,,kkkaaa++，使得12111,,kkkaaa++构成等差数列，则2(1)121kkkkkk++=+−++++，即112kkkk++=−++，两边同时平方，得1

2112212kkkkkkkk++++=−+++−+，即(1)(1)(2)kkkk+=−+，整理得：222kkkk+=+−，即02=−，显然不成立，因此假设是错误的，所以数列na中不存在满足要求的连续三项.20(1)证明：如图所示，取EC

的中点的F，连接MF，NF，因为M，F分别为ED和EC的中点，所以//MFDC，因为//ABDC，所以//MFAB，因为ABÌ平面ABE，MF平面ABE，所以MF∥平面ABE，同理可得//NF平面ABE，因为M

FNFF=，MF平面MNF，NF平面MNF，所以平面//MNF平面ABE，因为MN平面MNF，所以//MN平面ABE.(2)解：如图所示，过E作EOAB⊥交AB于O，因为平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB平面ABCDAB=，EO平面ABE，所以EO⊥平面ABCD，故EO为

四棱锥E-ABCD的高，要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧AEB的中点，所以O与AB的中点，取CD的中点G，连接OG，因为//ABCD，12ADDCCDAB===，所以OGAB⊥，因为EO⊥平面ABCD，所以E

OAB⊥，EOOG⊥，所以EO，AB，OG两两垂直，以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，设12ADDCCDABa====，所以2AEEBa==，可得()0,,0Aa−，(),0,0E

a，330,,44Naa，则(),,0AEaa=，730,,44ANaa=，设平面AEN的一个法向量(),,nxyz=，则00AEnANn==，可得073044axayayaz+=+=

，令1x=，则平面AEN的一个法向量为731,1,3n=−，平面ABE的一个法向量为()0,0,1m=，则737553cos,55553mnmnmn===，由图可知二面角NAEB−−的平面角为锐角，所以二成角NAEB−−的余弦值为75555．2

1．解：（Ⅰ）当0a=时，要证222()22ln2022xxfxxxxx−+=−−+，只需证ln02xx−，令()ln(0)2xhxxx=−，则112()22xhxxx−=−=当(0,2)x时，()0,()hxhx单调递增；当(2,)x+时，()0,()hxhx单调递减；所以

max()(2)ln210hxh==−，()(2)0hxh故ln02xx−，所以2()22xfxx−．（Ⅱ）问题等价于1(0,1]x，2[0,1]x，()()12minminfxgx…由232()3gx

xx=−得2()22gxxx=−，由2()220gxxx=−…得01x剟，所以在[0,1]上，()gx是增函数，故min()(0)0gxg==．()fx定义域为(0,)+，而()()()()()

22121221122xaxaxaxfxaxaxxx++−++−=++−==．当2a−„时，()0fx恒成立，()fx在(0,1]上是减函数，所以min()(1)2(1)01fxfaa==+−厖，不成

立；当2a−时，由()0fx，得102xa+；由()0fx，得12xa+，所以()fx在10,2a+单调递减，在1,2a++单调递减．若112a+，即21a−−

时，()fx在(0,1]是减函数，所以min()(1)2(1)01fxfaa==+−厖，不成立；若1012a+„，即1a−…时，()fx在12xa=+处取得最小值，min11()1ln(2)22fxfaaa==++−++，令1()1ln(2)(1)2haaaa=+

+−−+…，则22113()02(2)(2)ahaaaa+=+=+++在[1,)−+上恒成立，所以()ha在[1,)−+是增函数且min()(1)0hah=−=，此时min1()02fxfa=+…成立，满足条件．综上所述，1a−…．22．（1）

由题意可知3=cb，又椭圆经过点()2,1P−知2241+=1ab解得228,2ab==，所以22182xy+=；（2）设直线AB方程xmyl=+,与椭圆C交于1122(,),(,)AxyBxy222221(4)28082xymymly

lxmyl+=+++−==+，0得2228ml+12224mlyym+=−+,212284lyym−=+直线111:1(2)2yPAyxx−−=++，即1111(2)2yyxmyl−−=+++因此M坐标为1122(0,1)2ymyl−+++，

同理可知2222(0,1)2yNmyl−+++由OMNO=知：1212222211022yymylmyl−−+++=++++化简整理得221212(2)(2)(+)20mmyymlmlyyll+++++

++=则2222282(2)()(2)()2044lmlmmmlmlllmm−+++++−++=++整理：(2)(2)0lmlm−++=若20lm++=则直线:2ABxmym=−+，过点P不符合题意若20lm−=则直线():22ABxmymmy=

+=+符合题意直线AB过点(0,2)D−于是PD为定值且PQD△为直角三角形且PD为斜边所以PD中点R满足QR为定值2211113(20)[1(2)]492222QRPD==−−+−−=+=此时点R的坐标为1(1,)2−−.获得

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