【文档说明】江苏省无锡市澄宜六校2024-2025学年高三上学期12月联考试题 数学 Word版含解析.docx，共(13)页，776.140 KB，由envi的店铺上传

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澄宜六校阶段性联合测试高三数学2024.12一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合3|8831023AxxB=−=−−，，，，，，则AB=A．102−，，B．23，

C．310−−，，D．10−，2．已知i为虚数单位，复数z满足()()1134izz−+=+，则1z−=A．5B．5C．2D．23．“直线10axby+−=与圆221xy+=相交”是“221ab+≥”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已

知数列{}na的通项公式是()63377nnannaan−−−=≤，，（n*ÎN），若数列{}na是递增数列，则实数a的取值范围是A．()934，B．)934，C．()23，D．)23，5

．已知0m，0n，直线2eyxm=+与曲线2ln4yxn=−+相切，则11mn+的最小值是A．4B．3C．2D．16．已知椭圆C：()222210yxabab+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使得1232PFPF=，则椭圆C的离心率的取值范围是A．(105

ùúû，B．(102ùúû，C．)112éêë，D．)115éêë，7．已知na是等比数列，且1401aa=，则能使不等式()()121211aaaa−+−+()10nnaa+−≤成立的最大正整数n的值为A．5B．6C．7D．88．在ABC中，内角A，B，C所对的边

分别为a，b，c，若cosaA，cosbB，coscC成等差数列，则sincoscosABC的最小值为A．2B．3C．23D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分

，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知()()sinfxAωxφ=+（0A>，0ω>，π02φ<<）的部分图象如图所示，则A．2A=B．()fx的最小正周期为πC．()fx在()5ππ12−，内有3个极值点

D．当()5ππ12-，时，()fx与y=cosx的图象有3个交点10．已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx=．若()21fx+，()2gx+均为奇函数，且()24f=，则A．()fx关于直线

1x=对称B．()gx关于点()20，对称C．()fx的周期为4D．()202504kfk==−11．如图，在平行四边形ABCD中，2ADBD==，且ADBD⊥，BF为BCD△的中线，将BCF沿BF折起，使点C到点E的位置，连接AE，DE，CE，且2CE

=，则A．EF⊥平面ABCDB．BC与DE所成的角为o30C．AE与平面BEF所成角的正切值是2D．点C到平面BDE的距离为263三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知等比数列na的前n项和为nS，若212nnnSS=+，则6

42SSS=−．13．已知函数()3231fxxxax=-+-的两个极值点为12xx，，且()()122fxfx+-≥，则实数a的最小值是．14．已知向量()13=，m，()ab=，n，0a，0b，则mnn的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．15．（本题满分13分）已知数列na的前n项和为nS，且满足()21nnSan=−，N．（1）求数列na的通项公式；（2）设1nnnnabSS+=，设数列nb的前n项和nT，求证：14nT．16．（本题满分15分）在锐角△

ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足()()()sinsinsinsinsinsinsinACACBAB−+=−．（1）求角C；（2）求222abc+的取值范围．17．（本题满分15分）已知O为坐标原点，()10F，是椭圆C：()222210yxabab+

=的右焦点，点M是椭圆C的上顶点，以点M为圆心且过F的圆恰好与直线2x=−相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()21N-，的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴的交点分别是P，Q，求

证：线段PQ中点的横坐标为定值．18．（本题满分17分）如图，在三棱锥PABC−中，侧面PAC是边长为2的正三角形，4BC=，25AB=，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l．（1）证明：l∥平面PBC．（

2）已知平面PAC⊥平面ABC，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为β，且满足π2+=，求|AQ|．19．（本题满分17分）定义运算：abadbccd=−，已知

函数ln11()()1xxxfxgxxa−−==，．（1）若函数()fx的最大值为0，求实数a的值；（2）证明：()()()()222211111111e234n++++；（3）若函数()()()hxfxgx=+存在两个极值点12xx，，证明：()()1122122

2hxxhxxaxx+−−−．澄宜六校阶段性联合测试高三数学参考答案一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合3|8831023AxxB=−=−−，，，，，，则AB=A．102−，，B．

23，C．310−−，，D．10−，【答案】D2．已知i为虚数单位，复数z满足()()1134izz−+=+，则1z−=A．5B．5C．2D．2【答案】B3．“直线10axby+−=与圆221xy+=相交”是“221a

b+≥”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A4．已知数列{}na的通项公式是()63377nnannaan−−−=≤，，（n*ÎN），若数列{}na是递增数列，则实数a的取值范围是A．(

)934，B．)934，C．()23，D．)23，【答案】C5．已知0m，0n，直线2eyxm=+与曲线2ln4yxn=−+相切，则11mn+的最小值是A．4B．3C．2D．1【答案】D6．已知椭圆C：()222210yxabab+=>>的左、右焦点分别为F1、

F2，若C上存在一点P，使得1232PFPF=，则椭圆C的离心率的取值范围是A．(105ùúû，B．(102ùúû，C．)112éêë，D．)115éêë，【答案】D7．已知na是等比数列，且1401aa=，则能使不等式()()121211aaaa

−+−+()10nnaa+−≤成立的最大正整数n的值为A．5B．6C．7D．8【答案】C8．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosaA，cosbB，coscC成等差数列，则sincoscosABC的最小值为A．2B．3C．23D．4【答案】B【解析】由题知2coscos

cosacbACB+=，由正弦定理得sinsin2sincoscoscosACBACB+=，即()sinsincoscossinsin2sincoscoscoscoscoscoscosACACACBBACACACB++===，因为()0

,π,sin0BB，所以cos2coscosBAC=，又()coscoscoscossinsinBACACAC=−+=−+，所以coscossinsin2coscosACACAC−+=，得tantan3AC=，所以,AC最多

有一个是钝角，所以tan0,tan0AC，因为()sinsinsincoscossintantancoscoscoscoscoscosBCABCBCBCBCBCBC++===+()tantan13tantantantantan1tantan22ACACCCACAC+=−++=−+=+−，由基本

不等式得133tantan2tantan3224ACAC+=，当且仅当13tantan22tantan3ACAC==，即tan3,tan1AC==时等号成立，所以sincoscosABC的最小值为3．故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知()()sinfxAωxφ=+（0A，0，π02）的部分图象如图所示，则A．2A=B．()fx的最小正周期为πC．()fx在

()5ππ12−，内有3个极值点D．当()5ππ12-，时，()fx与y=cosx的图象有3个交点【答案】ABD10．已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx=．若()21fx+，()2gx+均为奇函数，且()24f=，则A．()fx关于直线

1x=对称B．()gx关于点()20，对称C．()fx的周期为4D．()202504kfk==−【答案】BCD【解析】因为()21fx+为奇函数，所以()()2121fxfx+=−−+，即()()11ftft+=−

−+，所以()()110ftft++−+=所以()fx关于()1,0对称，故，A错误同时()10f=，()()024ff=−=−又()2gx+奇函数，则()()220gxgx++−+=，所以()gx关于()2,0对称，故B正确()fx关于2x=对称，结合()10f=，所以

()30f=，所以()()13fxfx+=−+，又()()11fxfx+=−−+，所以()()31fxfx−=−−，所以()()2fxfx−=−−，也即()()2fxfx+=−，所以()()4fxfx+=所以()fx是周期为4的函数，故C正确()10f=，()24f=，()30f=，

()()404ff==−，()202410kfk==，()()()2025001404kfkff==+=−+=−，故，D正确故选：BCD11．如图，在平行四边形ABCD中，2ADBD==，且ADBD⊥，BF为BCD△的中线，将BCF沿BF折起，使点C到点E的位置，连接AE，DE，CE，

且2CE=，则A．EF⊥平面ABCDB．BC与DE所成的角为o30C．AE与平面BEF所成角的正切值是2D．点C到平面BDE的距离为263【答案】ACD【解析】因为2ADBD==，且ADBD⊥，所以22ABCD==，90DBC=．又BF为BCD△的中线，所以BFCD⊥，2C

FBFEF===．因为2CE=，所以EFCF⊥．由题意，知2BEBC==，所以EFBF⊥．又CFBFF=，且CF，BF平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，故A正确；因为//BCAD，所以ADE或其补角即为BC与DE所成的角，连接AF，在ADF△中，2AD=，2DF=，

135ADF=，所以由余弦定理，得2222(2)222102AF=+−−=．在RtAEF中，由勾股定理，得2210223AEAFEF=+=+=．所以在ADE中，2ADDE==，23AE=．为由余弦定理的推论，得22222(23)1cos2222AD

E+−==−，所以120ADE=，所以BC与DE所成的角为60，故B错误；因为EFCF⊥，BFCF⊥，EFBFF=，所以CF⊥平面BEF．又//ABCF，所以AB⊥平面BEF．所以AE与平面BEF所成的角为AEB．RtA

EB中，22AB=，2BE=．所以tan2ABAEBBE==，故C正确；因为2BDBC==，且90DBC=，所以2BCDS=．又2BDDEEB===，所以23234BEDS==△．因为点E到平面BCD的距离为2EF=，所以由等体积法，得点C到平面BDE的距离为262233=，

故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知等比数列na的前n项和为nS，若212nnnSS=+，则642SSS=−．【答案】21413．已知函数()3231fx

xxax=-+-的两个极值点为12xx，，且()()122fxfx+-≥，则实数a的最小值是．【答案】214．已知向量()13=，m，()ab=，n，0a，0b，则mnn的取值范围是．【答案】(]12，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15

．（本题满分13分）已知数列na的前n项和为nS，且满足()21nnSan=−，N．（1）求数列na的通项公式；（2）设1nnnnabSS+=，设数列nb的前n项和nT，求证：14nT．【解析】（1）

当1n=时，1122Sa=−，解得12a=．…………………2分当2n时，()()111222222nnnnnnnaSSaaaa−−−=−=−−−=−，即12nnaa−=．因为10a，且1(2)2nnnan

a−=，N，所以0na，所以12nnaa−=，…………………5分所以，数列na是以2为首项，2为公比的等比数列，在所以2nna=．…………………6分（2）由（1）知：()12122212nnnS+−=

=−−，…………………8分所以()()()121212111222222222nnnnnnnnnabSS+++++===−−−−−，…………………10分所以()23341211111112222222222222nnnT++=−

+−++−−−−−−−()21112222n+=−−()1111421n+=−−…………………12分因为，11021n+−所以，14nT．…………………13分16．（本题满分15分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c

，且满足()()()sinsinsinsinsinsinsinACACBAB−+=−．（1）求角C；（2）求222abc+的取值范围．【解析】（1）由()()()sinsinsinsinsinsinsinACACBAB−+=−，结合正弦定理可得222acabb−=−，即22

2abcab+−=，…………………3分所以2221cos22abcCab+−==，又()0,C，故3C=；…………………5分（2）由（1）有22222abcabcc++=由正弦定理sinsinsinabcABC==可得：2222sinsinsins

incabCABcC++=()44π1sinsin1sinsin333ACAA=+=++…………………7分()23411sinsincos322AAA=++()3411cos21sin23224AA-=+?…………………9

分()3421sin2cos23322AA=+-()42πsin2333A=+-…………………11分因为△ABC是锐角三角形，故π02π022π3ABAB+=，解得ππ62A，…………………13分则π2π0233A−，所以，()π0

sin213A−≤，所以，即222abc+的取值范围为(423，．…………………15分17．（本题满分15分）已知O为坐标原点，()10F，是椭圆C：()222210yxabab+=的右焦点，点M是

椭圆的上顶点，以点M为圆心且过F的圆恰好与直线2x=−相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()21N-，的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴的交点分别是P，Q，求证：线段PQ的横坐标为定值．【解析】（1）设椭圆

焦距为2c（222abc=+）点M为圆心且过F的圆恰好与直线2x=−相切∴2a=，1c=∴2221bac=-=∴椭圆C的方程为2212xy+=…………………5分（2）设直线l：()12ykx−=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立方程222122ykxkxy=+++=，得

()()222124214420kxkkxkk+++++=因为，直线l交椭圆C于A，B两点所以，()22812210kk=+−+…………………7分所以，()12242112kkxxk++=−+，()1224212kkxxk+=+…………………8分直线M

A：1111yyxx--=令y=0得：()111112Pxxxykx==--+…………………10分同理，()222Qxxkx=-+1212122PQxxxxkxx骣+=-+琪桫++()()1212121222122xxxxkxxxx++=-?+++…………………13分421222kk=-?-

所以，PQ中点的横坐标为2-．…………………15分18．（本题满分17分）如图，在三棱锥PABC−中，侧面PAC是边长为2的正三角形，4BC=，25AB=，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l．（1）证明：l

∥平面PBC．（2）已知平面PAC⊥平面ABC，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为β，且满足π2+=，求|AQ|．【解析】（1）因为,EF分别为,PCPB的中点，所以，//EFBC．又BC平面ABC，EF平面ABC，所以，//EF平面

ABC．…………………2分又EF平面AEF，平面AEF与底面ABC的交线为l，所以，//EFl．…………………4分从而，//lBC．而BC平面PBC，l平面PBC，所以，//l平面PBC．…………………6分（2）

取AC的中点记为D，连接PD，因为PAC△是边长为2的正三角形，所以1AD=，223PDPAAD=−=．由（1）可知，在底面ABC内过点A作BC的平行线，即平面AEF与底面ABC的交线l．因为平面PA

C⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=ACPD⊥AC，PDÌ平面PAC所以PD⊥平面ABC．取AB的中点记为M，连接DM，则//DMBC．因为AC⊥BC，所以DM⊥AC．以D为坐标原点，{}DADMDP，，

为正交基底，建立空间直角坐标系（如图所示），………9分则()1,0,0A，()0,0,3P，()1,0,0C−，()1,4,0B−，13,0,22E−，13,2,22F−，设()1,,0Qt．于是，()1,,3PQt=−，33,0,22AE=−

，()0,2,0=EF．设平面AEF的一个法向量为()222,,xnyz=，则00AEnEFn==，即2223302220xzy−+==，取23z=，则21x=，20y=，即()1,0,3n=是平面AEF的一个法向量，…………………11分所以22131cos,24

4nPQnPQnPQtt−===−++．又直线PQ与平面AEF所成角为，于是21sincos,4PQnt==+．…………………13分又222cos,244PQEFttPQEFPQEFtt===++，

而异面直线,PQEF所成角为，于是2coscos,4tPQEFt==+．…………………15分假设存在点Q满足题设π2+=，则sincos=，即22144ttt=++，所以1t=．综上所述，|AQ|=1．…………………17分1

9．（本题满分17分）定义运算：abadbccd=−，已知函数ln11()()1xxxfxgxxa−−==，．（1）若函数()fx的最大值为0，求实数a的值；（2）证明：()()()()222211111111e234n+

+++；（3）若函数()()()hxfxgx=+存在两个极值点12xx，，证明：()()11221222hxxhxxaxx+−−−．【解析】（1）由题意知：()ln1fxaxx=−+，()1(0)afxxx=−，①当0a时，𝑓′(𝑥)<0，()fx在(0,)+单调递减，

不存在最大值．…………………1分②当0a时，由()0fx=得xa=，当()0,xa，𝑓′(𝑥)>0；(,)xa+，𝑓′(𝑥)<0，函数𝑦=𝑓(𝑥)的增区间为()0,a，减区间为(,)a+．(

)()maxln10fxfaaaa==−+=，…………………3分令()ln1aaaa=−+，求导得()lnaa=，当()0,1a时，()0a，函数()a递减，当()1,a+时，()0a，函数()a递增，因此()()m

in10a==，1a=．…………………5分（2）由（1）知，ln10xx−+，即ln1xx−，当1n时，()222111111ln(1)(1)111nnnnnnn++−==−−−．…………………

7分()()()222111111111ln1ln1ln1111223123nnnn++++++−+−++−=−−．222211111111e234n++++

．…………………10分（3）1()()()lnhxfxgxaxxx=+=−+22211()1axaxhxxxx−+−=−−=“函数ℎ(𝑥)存在两个极值点12,xx”等价于“方程22211()10axaxhxxxx−+−=−−==有两个不相等的正实数根”故21212Δ4010axx

xxa=−=+=，解得2a，…………………12分11221212121211lnln()()axxaxxhxhxxxxxxx−+−+−−=−−2112211212(lnln)()xxaxxxxxxx

x−−+−+=−1212(lnln)2axxxx−=−−要证1212()()20hxhxaxx−−+−，即证1212lnln1xxxx−−，…………………14分121xx=，不妨令1201xx，故1211xx=由1212lnln1xxxx−−得22212ln0xxx−+，令1(

)2ln(1)xxxxx=−+()2222212121()10xxxxxxxx−−−+−=−−==在()1,+恒成立，所以函数𝜑(𝑥)在()1,+上单调递减，故()()10x=．1212()()20hxhxaxx−−+−成立．…………………17分