【文档说明】甘肃省武威市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题含答案.docx，共(11)页，747.330 KB，由小赞的店铺上传

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武威一中2020年秋季学期高二年级期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共60分）1．复数12i1i++的虚部为（）A．12B．12iC．32D．32i2．已知命题:pxR，cos1x，则（）A．:pxR，

cos1xB．:pxR，cos1xC．:pxR，cos1xD．:pxR，cos1x3．若抛物线212yx=的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则PF等于（）A．4B．6C．8D．104．下列说法正确的（）A．(0,)x使得2sin2sinxx+=成立B

．“2x”是“3x”的必要不充分条件C．命题“0xR，00xe”的否定为“xR，0xe”D．“若p则q”形式的命题的否命题为“若p则q”5．已知直线l和平面，则“l平行内无数条直线”是“//l”的（）A．充分不必要条件B．必要不充

分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．执行如图所示的程序框图，若输入6N=，则输出的S=（）A．56B．67C．78D．897．椭圆221169xy+=中，以点(1,2)M为中点的弦所在直线斜率为（）A．916−B．932C．964D．

932−8．已知双曲线221:14xyCk−=与双曲线222:19kxyC−=有相同的离心率，则双曲线1C的渐近线方程为（）A．32yx=B．62yx=C．34yx=D．64yx=9．在正方体1111ABCDABCD−中，E为AD的中

点，F为正方形11BCCB的中心，则异面直线AF与1AE所成角的余弦值为（）A．3030−B．3030C．0D．1210．已知1F，2F分别为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点，P是C上一点，满足212PF

FF⊥，Q是线段1PF上一点，且12FQQP=，120FPFQ=，则C的离心率为（）A．622−B．21−C．22−D．62−11．已知点A，B在双曲线221164xy−=，且线段AB经过原点，点M为圆22(2)1xy+−=上的动点，则MAMB的最大值为

（）A．-15B．-9C．-7D．-612．过抛物线2xy=的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A，B，则11||||AFBF+的值为（）A．2B．1C．14D．4第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．若实数x，y满足不等式组010220yxyxy+−+−，则2zxy=+的

最小值是______．14．若函数1xya−=（0a且1a）的图象恒过定点A，若点A在直线1(,0)mxnymn+=上，则21mn+的最小值为______．15．已知椭圆22143xy+=的左、右焦点分别为1F

，2F，点P在该椭圆上，若121PFPF−=，则12PFF△的面积是______．16．已知在等腰梯形ABCD中，//ABCD，24ABCD==，60ABC=，双曲线以A，B为焦点，且与线段AD，BC（包含端点D，C）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_____

_．三、解答题17．求下列各曲线的标准方程．（1）长轴长为12，离心率为23，焦点在x轴上的椭圆；（2）与双曲线221164xy−=有相同焦点，且经过点()27,6的双曲线．18．已知命题:Rpx，20xa+，命题:Rqx，使2(2)10x

ax+++=．若命题“pq”为真命题“pq”为假命题，求实数a的取值范围．19．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，22ABAD==，60BAD=，1PD=，PD⊥底面ABCD．（1）求证：AD

⊥平面PBD；（2）若M为AB的中点，求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．20．已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点(2,)Mm为其上一点，且4MF=．（1）求p与m的值；（2）如图，过点F作直线l

交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积．21．如图，在四棱锥PABCD−中，底面是边长为2的正方形，17PAPD==，E为PA中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，//FHDM，交PM于H，且1FH=．（1）证明：//EF平

面PBM；（2）设点N在线段BC上，若二面角EDNA−−为60°，求BN的长度．22．已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率33e=，左、右焦点分别为1F，2F，且2F与抛物线24yx=的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F的直线交椭圆于B，D两点，过2F的直线交椭

圆于A，C两点，且ACBD⊥，求ACBD+的最小值．武威一中2020年秋季学期高二年级期末考试数学（理）试卷一、单选题题号123456789101112答案ABBCBBDBBACD二、填空题13．114．322+15．3216．(1,31+16．【详解】以线

段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲线2c=，()1,3C．设双曲线方程为22221xyab−=，只需C点在双曲线右支图像的上方（包括在图像上）即可，也即22131ab−，两边乘以22ab得22223baab−，由于2

2224bcaa=−=−，所以上式化为()2222434aaaa−−−，解得312a−，113122a+，故131ca+．三、解答题17．解：（1）设椭圆的方程为()222210xyabab+=，由题意可得21

2a=，23ca=，222abc=+，解得6a=，25b=，4c=，所以椭圆的标准方程为2213620xy+=；（2）双曲线221164xy−=的焦点()25,0，设所求的双曲线方程为：22221xyab−=，可得：222220

2861abab+=−=，解得214a=，26b=，所求双曲线的标准方程为：226114xy−=．18．解:若p为真命题，则2ax−在Rx上恒成立，即0a−，即0a；若q为真命题，则()2240a

=+−，即4a−或0a．命题“qp”为真命题“qp”为假命题，即p真q假或p假q真，所以040aa−或040aaa−或故a的取值范围为(4,−−．19．解：（1）在ABC△中由余弦定理得214212cos603BD=+−

=222BDADAB+=，∴90ADB=，即ADBD⊥又PD⊥底面ABCD，所以，PDAD⊥，又PDBDD=所以，AD⊥平面PBD．（2）以D为原点，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则()100A，，，()030B

，，，()130C−，，，()001P，，，13022M，，所以，13122PM=−，，，()131PC=−−，，，()100BC，，=−．设平面PBC的法向量为(),,mxyz=由0mPC=，0mBC=，得300xyzx−+−=−=

，令1y=得0x=，3z=，即()013m=,,设直线PM与平面PBC所成角为，则362sincos,822PMmPMmPMm====所以，直线PM与平面PBC所成角的正弦值为86．20．解：（1）抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为,02pF，准线为2px=−．由抛物线

定义知：点()2,Mm到F的距离等于M到准线的距离，故242pMF=+=，4p=，抛物线C的方程为28yx=点()2,Mm在抛物线C上，∴216m=，∴4m=∴4p=，4m=（2）由（1）知：抛物线C的方程为28yx=，焦点为()2,0F若直线l的斜率不存

在，则其方程为：2x=，代入28yx=，易得：()2,4A，()2,4B−，从而404042020OAOBkk−−−==−−−；若直线l的斜率存在，设为()0kk，则其方程可表示为：()2ykx=−，由()228ykxyx=−=

，消去x，得：2128yky=−即()281600kyykk−−=，264640k=+设()11,Axy，()22,Bxy，则121616kyyk−==−∴()()222212121211111648864

64xxyyyy===−=从而1212121200164004OAOByyyykkxxxx−−−====−−−综上所述：直线OA、OB的斜率之积为4−．21．解：2．（1）详见解析；（2）1122−．【分析

】（1）要证//EF平面PBM，只需证明EF平行于平面PBM内一条直线即可，取PB的中点G，连结EG，HG，可证四边形EFHG为平行四边形，从而可得//EFGH，根据线面平行的判定定理即可证出；（2）取AD的中点O，连结PO，可证PO⊥平面ABCD，以O为原点，OD为y轴，OP为z轴建系，设

()2,,0Na()11a−，求出平面EDN的法向量n及平面ABCD的法向量m，根据二面角EDNA−−为60，利用夹角公式列出方程即可求出a,进而可求出BN的长度．【详解】（1）证明：取PB的中点G，连结EG，HG，则//EGAB，且112EGAB==，因为//FHDM，交PM于H，且1FH

=，又因为//ABDM，所以//EGFH，EGFH=，所以四边形EFHG为平行四边形，所以//EFGH，又EF平面PBM，GH平面PBM，所以//EF平面PBM．（2）由EF⊥平面PCD，CD平面PCD，所以EFCD⊥，又ADCD⊥，EF和AD在平面

PAD内显然相交，所以CD⊥平面PAD，又CD平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，取AD的中点O，连结PO，因为PAPD=，所以POAD⊥，又平面ABCD平面PADAD=，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，在等腰PAD△中，221714POPAAO=−=

−=，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0O，()0,1,0A−，()0,1,0D，()0,0,4P，因为E为PA的中点，所以10,,22E−，设()2,,0Na()11a−，设平面EDN的一个法向量(),,n

xyz=，30,,22DE=−，()2,1,0DNa=−，由00nDEnDN==，得()3202210yzxay−+=+−=，令2y=，得32z=，1xa=−，所以31,2,2na=−，设

平面ABCD的一个法向量()0,0,1m=，所以()232cos,9144nmnmnma==−++，因为二面角EDNA−−为60°，所以()232cos609144a=−++，即()231229144a=−++，解得1

112a=−，所以()11122BNa=−−=−．22．解（1）抛物线24yx=的焦点为()1,0，所以1c=，又因为133ceaa===，所以3a=，所以22b=，所以椭圆的标准方程为22132xy+=．（2）（i）当直线BD的斜率k存在且0k时，直线BD的方程为()1yk

x=+，代入椭圆方程22132xy+=，并化简得()2222326360kxkxk+++−=．设()11,Bxy，()22,Dxy，则2122632kxxk+=−+，21223632kxxk−=+，()()()222121212243111432kBDkxxk

xxxxk+=+−=++−=+．易知AC的斜率为1k−，所以()2222143143112332kkACkk++==++．()()()()()()()2222222222222031203111431322332233

2232kkACBDkkkkkkk+++=++=+++++++()()2222203116352514kk+==+．当21k=，即1k=时，上式取等号，故ACBD+的最小值为1635．（ii）当直线BD的斜

率不存在或等于零时，易得10316335ACBD+=．综上，ACBD+的最小值为1635．