【文档说明】湖南省长沙市A佳教育联盟2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.264 MB，由小赞的店铺上传

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A佳教育·2023年3月高一月考测试卷数学（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指

定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，将答题卡上交.一、单选题：本大题共

8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()2izmmm=−+为纯虚数，则实数m的值为（）A.1−B.0C.1D.0或1【答案】C【解析】【分析】根据题意和纯虚数的概念可得200mmm−=，解之即可.【详解】因为()2izmm

m=−+为纯虚数，所以200mmm−=，解得1m=.故选：C.2.已知向量()3,5a=−，()6,bx=，且ab∥，则x等于（）A.185B.185−C.10D.10−【答案】D【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式直

接运算即可.【详解】由()3,5a=−，()6,bx=及ab∥，得(3)56x−=，所以10x=−，故选：D3.秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则这块扇形花田的圆心角的弧度数是（）A.154B.415C.158D.

120【答案】A【解析】【分析】利用扇形的周长和扇形的弧长公式计算即可.【详解】设扇形的圆心角为，半径为R,弧长为30l=，则由扇形周长为46得：223046RlR+=+=，所以8R=则154lR==，故选：A.4.已知xR，则“21x”是“11x”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解两个不等式，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解不等式11x，得110x−即10xx

−，则01x，解不等式21x，得11x−.所以“1x”是“11x−”成立的必要不充分条件，即“21x”是“11x”成立的必要不充分条件.故选：B.5.函数222xxxy−=−的大致图像是（）A.B.C.D.的【答案】B

【解析】【分析】先判断函数奇偶性，再判断x趋近于+时函数值的大小.【详解】()()()()222222222xxxxxxxxxfxfx−−−−−−−===−=−−−−,故函数为奇函数，故排除A、C;当x

趋近于+，则2x−趋近于0，则222xxxy−=−趋近于22xxy=，又2x在趋于+时增速远比2x快，故22xxy=趋近于0，故当x趋近于+时，222xxxy−=−趋近于0，故排除D;故选：B.6.命题

p：()00,x+，使得20040xx−+成立.若p是假命题，则实数取值范围是（）A.(,4−B.)4,+C.4,4−D.(),44,−−+【答案】A【解析】【分析】根据命题p的否定的真假性分离常数，结合基本不等式的知识

求得的取值范围.【详解】因为命题p：()00,x+，使得20040xx−+成立，所以命题p的否定为：()0,x+，240xx−+成立，而p是假命题，故命题p的否定为真命题.所以4xx

+在()0,x+上恒成立，因为1424xxxx+=，当且仅当42xxx==时，等号成立，所以4，即(,4−.故选：A7.点P是ABC所在平面内的一点，当0PAPBPC++=且()()0PBPCABAC+−=时，ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三

角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用三角形中向量运算，先后判断出点P是三角形重心，AP垂直平分BC，进而即可判断三角形形状.【详解】因为0PAPBPC++=，所以P是ABC的重心，又()()0P

BPCABACAPCB+−==，所以AP垂直平分BC，所以ABC为等腰三角形.故选：A8.已知定义在R上的函数()yfx=，满足()30f=，函数()1yfx=+的图象关于点()1,0−中心对称，且对任意的()12,0,xx+，()12xx，不等式()()202320231

122120xfxxfxxx−−恒成立，则不等式()0fx的解集为（）A.()()2,02,−+B.()(),22,−−+C.()()3,03,−+D.()(),33,−−+【答案】C【解析】【分析】根据条件判断()fx

是奇函数，结合不等式的性质，构造函数()()2023gxxfx=，研究函数()gx的奇偶性和取值情况，进行求解即可.【详解】由题知()1yfx=+的图象关于点()1,0−中心对称，所以()yfx=关于()0,0中心

对称，因为定义域为R，所以()yfx=为奇函数，记()()2023gxxfx=，当()12,,0xx−时，()()202320231122120xfxxfxxx−−，即()()12120gxgxxx−−，所以()gx在(),0

−上单调递减，因为20232023()()()()()gxxfxxfxgx−=−−==，所以()gx在R上为偶函数，所以()gx在()0,+上单调递增，因为()00g=，()()()202333330ggf=−==，

()gx是在R上为偶函数，且在()0,+上单调递增，所以当(),3x−−，()gx单调递减，()()30gxg−=，而20230x，所以()0fx，当()3,0x−，()gx单调递减，()()30gxg−=，而20230x，所以()0fx

，因为()yfx=为奇函数，所以()0fx的解集为()()3,03,−+.故选：C.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9

.下列不等式成立的是（）A.若ab，则22acbcB.若0ab，则2abaC.若4ab=，则4ab+D.若ab，cd，则adbc−−【答案】BD【解析】【分析】当0c=时，即可判断A；当2ab==−

，即可判断C；根据不等式的基本性质即可判断C，D．【详解】对于A，当0c=时，则22acbc=，故A错误；对于B，由0ab，则0ab，20a，故B正确；对于C，当2ab==−，则4ab+=−，故C错误；对于D，由ab，cd，则

acbd++，所以adbc−−，故D正确．故选：BD．10.下列命题中正确的是（）A.在ABC中，()sinsinABC+=B.若3sin5=，则4cos5=C.若tan2=，则222sin2cos5−=D.tan30tan1511tan30tan15+=−【答案】ACD【解

析】【分析】根据三角形内角和与诱导公式化简可判断A；根据平方公式可判断B；根据平方关系与商数关系齐次转化可判断C；根据正切两角和公式可判断D.【详解】在ABC中，πABC++=，所以()()sinsinπsinABCC+=−=，故A正确；若3sin5=，则24cos1sin5=−=，故

B不正确；若tan2=，则2222222222sin2costan2222sin2cossincostan1215−−−−====+++，故C正确；()1tan30tan15tan3015tan451tan30tan15+=+=−=，故D正确.故选

：ACD.11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积

．”若把以上这段文字写成公式，即222222142cabSca+−=−．现有ABC满足sin:sin:sin2:3:7ABC=，且63ABCS=△，则（）A.4a=B.π3C=C.ABC的外接圆半径为2213D.ABC中线CD的长为192【答案】ABC【解析

】【分析】由题设及正弦定理得::2:3:7abc=，再结合已知条件求a，b，c即可判断A；应用余弦定理求角C即可判断B；正弦定理求外接圆的半径即可判断C；根据向量的线性运算，结合选项A和数量积的性质求解模长即可判断D．【详解】因为ABC满足sin:s

in:sin2:3:7ABC=，所以由正弦定理得::2:3:7abc=，设2am=，3bm=，()70cmm=，因为ABC的面积63ABCS=△，所以22222221749337463422mmmSmmm+−=−==，解得2m=，

即4a=，因此A正确；对于B，由余弦定理得2221636281cos22462abcCab+−+−===，又C是三角形内角，因此π3C=，因此B正确；对于C，由正弦定理知外接圆直径为274212πsin3sin3cRC===，则外接圆半径为2213，因此C正确；对于D，因为CD是ABC的

中线，所以()12CDCACB=+，结合选项A得()()22221164264cos601944CDCACB=+=++=，即19CD=，因此D不正确．故选：ABC．12.在等腰梯形ABCD中，ABCD，2ADDC==且60DAB=，点P在梯形（含

边）内，满足APxAByAD=+，则下列结论正确的是（）A.当点P与C重合时，APABAD=+B.当点P与梯形对角线的交点重合时，1233APABAD=+C.xy+的取值范围为30,2D.APBC的取值范围是4,2−【答案】BCD【解析】【分析】根据所给

条件，求出等腰梯形的特点，由向量的平行四边形法则判断A选项，由三角形相似得出2BOOD=，计算向量AP判断B选项，由平面向量基本定理判断C，由数量积的几何意义判断D，得出结果.【详解】ABCD为等腰梯形，则2===B

CADCD，120BCD=，由余弦定理可知2222cos12012BDBCCDBCCD=+−=，即23BD=，在ABD△中，60DAB=，2AD=，2222cos6012BDABADABAD=+−=，解得：4AB=，且

ACBC⊥.A选项：取AB中点F，则四边形AFCD为平行四边形，当P与C重合时，12APACADAFADAB==+=+，故A错误；B选项：因ABOCDO且2BOOD=，所以1233APABAD=+，故B正确；C选项：由平面向量基本定理知：当P与A重合时

0xy==，当P与C重合时12x=，1y=，所以30,2xy+，C正确；D选项：因ACBC⊥，由APBC等于AP在BC上的投影向量与BC的数量积可知，当P与D重合时，APBC取最大值2，当P与B重合时，APBC取最小值4−.故D正确.故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小

题5分，共20分.13.若幂函数()()25mfxmmx=−−在()0,+单调递减，则m=________.【答案】2−【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.【详解】根据幂函数的定义和性质，得2510mmm−−=，解得2m=−.经检验2m=

−，符合题意.所以2m=−故答案为：-2.14.已知4a=，3b=，13ab+=，则a与b的夹角为______..【答案】2π3【解析】【分析】根据向量的数量积概念及运算律，即可求出结果.【详解】()222222242313ababaabbab+=+=++=++=，所以6ab

=−，所以61cos432−===−abab.又0π，所以2π3=.故答案为：2π315.如图所示,正方形ABCD边长为6,圆D的半径为1,E是圆D上任意一点,则AECE的最小值为________

.【答案】162−【解析】【分析】以D为原点建立直角坐标系,然后结合三角函数的定义将所求向量坐标化,就可以求出最值.【详解】如图以D为原点坐标,DC为x轴,AD为y轴建立直角坐标系:则()0,6A−,()6,

0C,设()cos,sinE,)0,2π,则()()cos,sin6cos6,sinAECE=+−=22πcos6cossin6sin62sin11624−++=−+−,当且仅当π3π42−=即7π4=时等号成立.∴AECE的最小值为16

2−.故答案为:162−.16.已知函数()()21,01log,0xfxxxax=−−，()21cos4gxxx=−.若()()11ff−=，则实数=a________；若对1,22x−，总2xR使(

)()12gxfx=成立，则实数a的取值范围为________.【答案】①.12−②.1,02−【解析】【分析】首先分别求出()1f−与()1f，然后根据()()11ff−=得()21log12a=

−，解方程即可求出a的值；首先设()fx的值域为A，()gx的值域为B，再根据()gx的函数解析式求出()gx的值域，根据题意得出BA，进而根据集合的包含关系求出参数a的取值范围.【详解】()()111112f−==−

−，()()21log1fa=−，由()()11ff−=，得()21log12a=−，解得12a=−；设()fx的值域为A，()gx的值域为B，由题意BA.()gx为偶函数且在0,2为增函数，

所以当,22x−时，()gx的最大值为2216g=，最小值为()01g=−，故21,16B=−.当0x时，()()0,1fx，当0x时，()fx为增函数，值域为())0,f+，要使BA，则(

)fx在)0,+连续且()001af−−，即()20log1aa−−−，解得102a−.故答案为：12−；1,02−四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合20xAxx

−=，|21Bxaxa=−−（1）若3a=，求AB，()BARð；（2）若ABB=，求实数a的取值范围.【答案】（1）12|ABxx=−，()|12BAxx=−Rð（2）2aa【解析】【分析】（1）确定集合,AB

，再根据集合的并集，补集，交集运算即可；（2）根据ABB=得BA，讨论B和B=时，即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】∵当3a=时，集合12Bxx=−，集合20|02xAxxxx−==∴12|ABx

x=−∵|02Axxx=R或ð∴()|10BAxx=−Rð.【小问2详解】若ABB=，∴BA∴当B时，201221aaaa−−−−，解得322a当B=时，21aa−−，解得

32a，满足题意；综上所述：实数a的取值范围是2aa.18.已知向量()3,1a=，()cos,sinbxx=，()0,πx.（1）若ab⊥，求x的值；（2）若()fxab=，且()223f=，求πsin26+的值.【答案】（1）23（2）5

9−【解析】【分析】（1）根据题意得到tan3x=−，再结合()0,πx即可得到答案.（2）首先根据题意得到π2sin33+=，从而得到22ππ5cos212sin339+=−+=，再根据π2ππsin2sin26

32+=+−求解即可.【小问1详解】因为ab⊥所以3cossin0abxx=+=，所以tan3x=−由于()0,πx，所以2π3x=.【小问2详解】由()3cossin2sin3fxabxxx==+=+所以()π222sin3

3f=+=，即π2sin33+=.而22ππ5cos212sin339+=−+=所以π2ππ2π5sin2sin2cos263239

+=+−=−+=−.19.已知函数()eexxafxa−=+是定义域为R的奇函数.（1）求a的值；（2）若对1,2x，不等式()()12410xxffm+−+−

恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1（2）()1,+【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可得()00f=，计算即可求出a；（2）利用函数的奇偶性和单调性解原不等式可得()22221xxm−−，设2xt=，2,4t

，根据换元法和二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由函数为奇函数且定义为R，∵()()fxfx−=−，当0x=时，可得()()00ff−=−，故()00f=，则00e1(0)0e1af−==+，得1a=，经检验1a=，符合题意，故1a=；【小问2详解】由（1）可知，函数2()11exf

x=−++在1,0−上为减函数，由()()12410xxffm+−+−，得()()2222(1)(1)xxffmfm−−−=−，所以()22221xxm−−，设2xt=，2,4t，则(2)1ttm−−，又

函数2(2)(1)1yttt=−=−−+图象是一条抛物线，开口向下，对称轴为1t=，所以在2,4t上，2(2)(1)10yttt=−=−−+，所以10m−，得1m，故实数m的取值范围()1,+.20.在ABC中,角,,ABC的对边分别

为,,abc,且满足2cos2aBbc+=.（1）求角A;（2）若D为BC边的中点,且13AD=,2AC=,求ABC的周长.【答案】（1）π3A=（2）827+【解析】【分析】(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将sinC转化成()sinAB+即可求解;(2)分别在两个三角形

中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.【小问1详解】在ABC中因2cos2aBbc+=,由正弦定理得2sincossin2sinABBC+=,所以2sincossin2sin()2sincos2sincosABBABABBA+=+=

+,即sin2sincosBBA=,又因为(),0,πAB,sin0B,所以1cos2A=,所以π3A=.【小问2详解】取AB边的中点E,连接DE,则//DEAC，且112DEAC==,2π3AED=，

在ADEV中,由余弦定理得:2222π2cos133ADAEDEAEDE=+−=,解得3AE=,所以6AB=.在ABC中,由余弦定理得:222212cos62262272BCABACABACA=+−

=+−=所以ABC的周长为827+.21.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本

为200万元，每生产x台()x+N需要另投入成本()ax（万元），当年产量x不足45台时，为()21303002axxx=+−万元，当年产量x不少于45台时，()2500619001axxx=+−+万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为10060x+万元，经过市场

分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【答案】（1）()2130200,452N

2500800,451xxxyxxxx+−++=−−++（2）当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万【解析】【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；（2）根据二次函数性质以及基本不等式，可求得

最值，可得答案.【小问1详解】当45x，Nx+时，22101160200()60100200303003020022yxaxxxxxxx=+−−=+−−+−=−++；当45x，Nx+时，1002500250060200()601002006

190080011yxaxxxxxxx=+−−=+−−+−=−−+++；综上所述：()2130200,452N2500800,451xxxyxxxx+−++=−−++【小问2详解】当45x，Nx+时，21302002yxx=−++，则当3

0x=时，y的最大值为650；当45x，Nx+时，250025002500800(1)8012(1)801701111yxxxxxx=−−+=−+++−++=+++（当且仅当250011xx+=+，即49x=时等号成立）；的∴当年产量为49

台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.22.已知函数()226sincos2cos2fxxxx=−+，将()fx的图象向左平移524个单位得()gx的图象.（1）求()gx的最

小正周期与单调递增区间；（2）若方程()3sin44310axgxa++−=在,04−有且仅有一个零点，求实数a取值范围.【答案】（1）T=，()3,Z88kkk−++（2）43a=−或513a−.【解析】【分析】（1）化

简()fx的解析式，然后根据图象的平移变换得到()gx的解析式，最后求最小正周期和单调区间即可；（2）利用换元的思想令sin2cos2txx=+，将方程()3sin44310axgxa++−=在,04

−上有且仅有一个零点转化为23410att+−=在()1,1−有且仅有一个零点，然后分0a=和0a两种情况讨论即可.【小问1详解】62()sin2cos22sin2226fxxxx=−=−，所以5()2

sin2244gxfxx=+=+，所以()gx的最小正周期T=，由222,Z242kxkk−+++，得3,Z88kxkk−++，所以()gx的单调递增区间为3,()88kkk

−++Z.【小问2详解】的因,04x−得2,444x+−，所以()2sin2sin2cos2(1,1)4gxxxx=+=+−且单调递增，设sin2cos2txx=+，所以2sin41xt=−，所以原方程等价于23410att+−=在(

)1,1−有且仅有一个零点设()2341htatt=+−，()1,1t−，①当0a=时，14t=，合题意，②当0a时，（i）若1t=−，得53a=，由方程25410tt+−=解得15t=，合题意，（ii）若1t=，得1a=−，由方程23410tt−+=解得13t=，合

题意，（iii）若1t，则()Δ041,16a=−−或()()110hh−，解得43a=−或10a−或503a，综上所述：43a=−或513a−.