【文档说明】四川省成都市第十二中学（川大附中）2023届高考热身（二）文科数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.308 MB，由小赞的店铺上传

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川大附中高2023届高考热身（二）理科数学一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）1.设全集U=R，集合1,0,1,2A=−，{|2}xByy==，则UABð（）A.1−B.10−，C.1

01−，，D.102−，，【答案】B【解析】【分析】根据集合的运算，先找到UBð，再求交集.【详解】根据题意，{|2}0xByyy===，则|0UByy=ð,集合1,0,1,2A=

−，1,0UBA=−ð.故选：B.2.已知i为虚数单位，若复数13zi=−，则z=（）A.2B.2C.4D.8【答案】B【解析】【分析】利用模长公式求出复数的模长.【详解】132z=+=.故选：B3.某公司有员工15名，其中包含经理一名．保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种

方案．方案一：调查全部15名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他13名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（）A.中位数B.平均数C.方差D.极差【答

案】A【解析】【分析】根据一组数据的中位数、平均数和方差、极差的定义进行判断，即可求解.【详解】由题意，公司15名员工的工资情况组成15个数据，按大小顺序排列，排在中点的数是中位数，取到一个最大值和一个最小值，剩余13个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变

；平均数是与每一个数据都有关系的量，方差也是与每一个数据都有关系的量，所以会变化；极差是与最大值和最小值有关系的量，所以也会发生变化.故选：A.【点睛】本题主要考查统计知识的应用，其中解答中涉及到中位数、平均数和方差、极

差的概念及应用，属于基础题.4.已知,为两个不同的平面，,mn为两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若//,,mn，则//mnB.若,m⊥⊥，则//mC.若,,mnmn⊥⊥⊥，则⊥D.若,//m⊥，则m⊥【答案】C【解析】【分析】根据面

面平行的性质定理可得选项A的正误；考虑直线m是否在平面内可得选项B的正误；选项C根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D考虑直线m与平面的位置关系可得正误.【详解】对于选项A，缺少,mn共面的条件，因此得不到//mn，直线,mn还可以互为异面直线，故A错误；对于选项B，直

线m还可以在平面内，故B错误；对于选C，由,,mnmn⊥⊥⊥得,mn分别为,的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互相垂直，故C正确；对于选项D，直线m与平面或平行，或相交，或直线在平面内，故D错误.故选：C.5.已知π3sin35+=，则

πsin26+=（）A.2425B.2425−C.725D.725−【答案】D【解析】【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.【详解】π2ππ2πsin2sin2cos26323+=+−=−+

2π72sin1325=+−=−.故选：D6.如图，在平行四边形ABCD中，M是边CD的中点，N是AM的一个三等分点（ANNM），若存在实数和，使得BNABAD=+，则+=（）A.54B.12C.12−D.54−【答案】C【解析】【分析】根据平面向

量的基本定理，利用向量的线性运算进行向量的基底表示，即可得,的值.【详解】因为N是AM的一个三等分点（ANNM），所以13ANAM=.因为M是边CD的中点，所以1122DMDCAB==.又13BNAN

ABAMAB=−=−=()111332ADDMABADABAB+−=+−=5163ABAD−+，所以511632+=−+=−.故选：C.7.已知0ab，则412aabab+++−的最小值为A.6B.4C.23D.32【答案

】A【解析】【详解】因为41141[][()()]2ababababaabab+=+++−+−+−，而14114()19[][()()][5][54]2222ababababaababaababaa+−+++−=+++=+−−+（当且仅当3ab=

时取等号），故412aabab+++−9262aa+（当且仅当32a=取等号），应选答案A．8.将六位数“124057”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（）A.152B.180C.216D.312【答案】D【解析】【分析】由题意，分末尾是2或4，末尾是0，即可得出结果.【详解】

由题意，末尾是2或4，不同偶数个数为114244CCA192=，末尾是0，不同偶数个数为55A120=，所以共有312个.故选：D9.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在0,1上，其解析式为()1,,,,0,

0,10,1qqxpqpppRxx===当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()fx是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有()()20fxfx++=，当0,1x时，()()fxRx=，则()2022ln25ff−−=（）A.15B.

25C.25−D.15−【答案】D【解析】【分析】根据函数的周期性，奇偶性及分段函数分段处理的原则即可求解.【详解】由()()20fxfx++=，得()()2fxfx+=−，则()()()42fxfxf

x+=−+=，所以()fx的周期为4，因为函数()fx是定义在实数集上的偶函数，所以()()ln2ln2ff−=，()ln20,1为无理数，所以()ln20f−=，2022221()5555ffR===，所以()2

02211ln20555ff−−=−=−.故选：D.10.在三棱锥ABCD−中，2ABCD==，3ADBC==，3ACBD==，则三棱锥ABCD−外接球的表面积为（）A.11B.11C.22D.44【答案】B【解析】【分析】将三棱锥补全为长方体，各条棱分别为长方体

的面对角线，根据长方体外接球为其体对角线的一半可求得所求的外接球半径，由球的表面积公式可得结果.【详解】可将三棱锥ABCD−补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方体的外接球即为三棱锥ABCD−的外接球.设长方体的长、宽、高分别为,,abc，则2222229

49acbcab+=+=+=，22211abc++=，所求外接球的半径22211122Rabc=++=，三棱锥ABCD−的外接球的表面积2411SR==.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查多面体外接球的求解问题，解题关键是能够通过将三棱锥补

全为长方体，将问题转化为长方体外接球的求解.11.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于拋物线的.轴.如图所示，从拋物线2:2(0)Cypxp=的焦点F向x轴上方发出的两条光线,ab分别经抛

物线上的,AB两点反射，已知两条入射光线与x轴所成角均为3，且8FBFA+=，则两条反射光线,ab之间的距离为（）A.3B.4C.2D.23【答案】D【解析】【分析】由题意得,02pF，则可求出直线,AFBF的方程，分别与抛物线方程联立表示出,AB的坐标，由8

FBFA+=结合抛物线的定义可求出p，从而可求出,AB两点纵坐标的差，即可得两条反射光线,ab之间的距离.【详解】由题意得,02pF，因为3OFA=，所以直线FA的斜率为tan33−=−，所以直线FA为32pyx=−−

，由2322pyxypx=−−=，得2322pxpx−=，解得16xp=或32xp=，所以13,63App，同理直线BF的方程为32pyx=−

，由2322pyxypx=−=，得2322pxpx−=，解得16xp=或32xp=，所以3,32Bpp，因为8FBFA+=，所以8ABxxp++=，所以13862ppp++=，解得3p=，所以两条反射光线,ab

之间的距离为33323BAyy−=−=，故选：D12.关于函数2()(1)exfxxax=+−，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为1−；②函数的极值点不可能是1−；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.

3个【答案】D【解析】【分析】把函数()fx的零点转化为函数21yxax=+−的零点，即可判断①；求得()fx后代入=1x−，根据()fx是否为0即可判断②；设()2210xaxa+++−=的两个实数根为3x，4x且34xx，结合①可得当()3,xx−时，()0fx，再证

明4()0fx即可判断③；即可得解.【详解】由题意函数()2()1exfxxax=+−的零点即为函数21yxax=+−的零点，令210xax+−=，则240a=+，所以方程必有两个不等实根1x，2x，设12xx

，由韦达定理可得121xx=−，故①正确；()()()22()2e1e21exxxfxxaxaaxxxa+=+++−=++−，当=1x−时，()1112()e201aafxe−−=−−+−=−，故1−不可能是函数()fx的极值点，故②正确；令()0fx

=即()2210xaxa+++−=，()()2224180aaa=+−−=+，设()2210xaxa+++−=的两个实数根为3x，4x且34xx，则当()3,xx−，()4,xx+时，()0fx，函数()fx单调递增，当()34,xxx时，(

)0fx，函数()fx单调递减，所以4()fx为函数极小值；由①知，当()1,xx−时，函数()0fx，所以当()3,xx−时，()0fx，又(0)0xfe=−，所以()30,x+，所以()4()00fxf，所以4()fx为函数

的最小值，故③正确.故选：D.【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了推理能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：2lg2lg2lg5lg5++=______．【答案】1【解析】【分析】利用lg2lg51+=可得结果

.【详解】2lg2lg2lg5lg5++=lg2(lg2lg5)lg5++lg2lg10lg5lg2lg5lg101=+=+==.故答案为：1【点睛】本题考查了常用对数，考查了对数的运算法则，属于基础题.14.数独是一种非常流行的逻辑

游戏.如图就是一个66数独，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的未知数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线官()32内的数字均含1—6这6个数字（每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现），则图中的abcd+++=______.【答案】17【解析】【分析】根据题中要

求每一行、每一列、每一个粗线官()32内的数字均含1—6这6个数字，且不重复，分析每行、每列所缺数字，填入表中，即可得答案.【详解】由题意得：第2列缺少2，则第4行第2列为2，所以第3行第1列为5，所以第1列缺少1和6，则a+c=7,第4

行缺少5，所以第4行第6列为5，所以第6列缺少4和6，则b+d=10，所以71017abcd+++=+=故答案为：1715.已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点，点M在椭圆C上，线段2MF与圆222xyb+=相切于点E，

且点E为线段2MF的中点，则椭圆C的离心率为______【答案】53【解析】【分析】根据中位线定理，圆的切线的性质得理解三角形，结合椭圆定义利用勾股定理得出,,abc关系，并结合222abc=+得出,ac关系从而得离心率．【详解】设以椭圆短轴为直径的圆与线段2MF相切于E

点，连接OE，1MF，∵E，O分别是2MF，12FF的中点，∴EO//1MF，且|1MF|=2|EO|=2b，OE⊥2MF，∴1MF⊥2MF，|12FF|=2c，∴|2MF|=222cb−，根据椭圆的定义，|1MF|+|2MF|=2a，∴2222222,bc

baabcb+−=−=−，两边平方得：22222aabbcb−+=−，222cab=−代入并化简得：23ab=，25,33baca==，53cea==，故答案为：53．16.已知函数π()22cossin()4fxxx=+的图象在10,2上恰有一条对称轴和一个对

称中心，则实数的取值范围为______.【答案】5π3π3π5π(,][,)4444−−【解析】【分析】根据两角和的正弦公式和二倍角公式化简()fx，再根据正弦函数的对称轴和对称中心可求出结果.【详解】π()22cossin()4

fxxx=+ππ22cos(sincoscossin)44xxx=+sin2cos21xx=++π2sin(2)14x=++,当0=时，()fx为常数，不合题意，当0，102x时，πππ2444x

++，要使()fx在10,2上恰有一条对称轴和一个对称中心，则π3ππ42+，即3π5π44，当0，102x时，πππ2444x++，的要使()fx在10,2上恰有一条对称轴和一个对称中心，则πππ42−+−，即5π3π44−

−.故答案为：5π3π3π5π(,][,)4444−−.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.数列na前n项和为nS，满足：12a=，122nnaS+=+.（1）求证：数列1n

S+是等比数列；（2）求和：12nSSS+++.【答案】（1）证明见解析；（2）13322nn+−−.【解析】【分析】（1）由递推关系结合11nnnaSS++=−可得()1131nnSS++=+即可证明；（2）由（1）求出31nnS=−，分组求和法即可

求出.【详解】（1）由122nnaS+=+可得122nnnSSS+−=+，即()1131nnSS++=+∵112Sa==，132nnSS+=+，∴0nS，∴10nS+，∴1131nnSS++=+对任意*nN恒

成立，故数列1nS+是以113S+=为首项，公比为3的等比数列；（2）由（1）知：11333nnnS−+==，即31nnS=−，故1212313131nnSSS+++=−+−++−1133331322nnnn+−=−=−−−.18

.甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为12，各局比赛相互独立，用X表示比赛结束时的比赛局数.（1）求双方打满四局且比赛结束，甲获胜的概率；（2）求X的分布列和数学期望.【答案】（1）

18（2）分布列见解析，72【解析】【分析】（1）利用独立重复试验概率公式求解即可；（2）先分析X可能取值，由此计算出对应的概率，可得X的分布列，根据分布列可计算出数学期望.【小问1详解】由已知事件双方打满四局且比赛结束，甲获胜等价于甲前两局胜一局，后两局连

胜，又甲在每局比赛中获胜的概率为12，各局比赛相互独立，设事件双方打满四局且比赛结束，甲获胜为A，则()312111C228PA==；【小问2详解】X的可能取值为2，4，6.2X=，则甲(或乙)连赢两局，所以()2112222PX===

；4X=，则甲(或乙)在前4局比赛中只赢了第一局或第二局，所以()31211142C224PX===；6X=，则在前4局比赛中双方打平，所以()2211221116CC224PX===，所以X的分布列为X246P1

21414的()11172462442EX=++=.19.如图，C是以AB为直径的圆O上异于,AB的点，平面PAC⊥平面ABC，2PAPCAC===，4BC=，,EF分别是,PCPB的中点，记平面AEF与平面ABC

的交线为直线l.（1）求证：直线l⊥平面PAC；（2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF，直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，1AQ=【解析】【分析】（1）证明BCEF∥，可得BC面EFA，根据线面平行的性质可得BC

l∥，再根据面面垂直的性质可得BC⊥面PAC，即可得证；（2）取AC中点M，连接PM，MO，说明MA，MO，MP两两垂直，分别以线段MA，MO，MP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Mxyz−，利用向量法可得

出答案.【小问1详解】证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BCEF∥，又EF平面EFA，BC面EFA，∴BC面EFA，又BC面ABC，面EFA面=ABCl，∴BCl∥，又BCAC⊥，面PAC面ABCAC=，面P

AC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，则l⊥面PAC；【小问2详解】解：取AC中点M，连接PM，∵PAPCAC==，∴PMAC⊥，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，又∵PM平面PAC，∴PM⊥平面ABC，又∵C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，∴ACBC⊥，

∵点M，O分别是AC，AB中点，连接MO，则MOAC⊥，分别以线段MA，MO，MP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Mxyz−，则()1,0,0A，()1,4,0B−，()0,0,3P，(),0,0C−，13,0,22E−，

13,2,22F−，∴33,0,32AE=−，()0,2,0=EF，设()1,,0Qy，()1,,3PQy=−，设面AEF的法向量为(),,mxyz=，则3302220AEmxzE

Fmy=−+===，取3z=，得()1,0,3m=，222cos,244yyPQEFyy==++，22131cos,244PQmyy−==++，依题意，得cos,cos,PQEFPQm=，即22144

yyy=++，解得1y=，即()1,1,0Q，∴1AQ=，∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，且1AQ=．20.已知函数1()1xfxaex−=−−.（1）当aR时，讨论函数()fx的单调性；（2）当

0a时，若()lnlngxxxa=−−，且()()fxgx在0x时恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）1a.【解析】【分析】（1）求导，分0a和0a两种情况讨论分析单调性即可；（2）由已知不等式可令1()lnln1xhxae

xa−=−+−，通过(1)0h恒成立，得到1a；再证明当1a时，()0hx在0x时恒成立.利用放缩法得到1()ln1xhxex−−−，所以只需证1ln10xex−−−在0x时恒成立.记1()ln1xTxex−=−−，求导，结合导数研究函数的最

值，即可求解.【详解】解：（1）1()1xfxae−=−，①当0a时，()0fx恒成立，即函数()fx在(,)−+递减；②当0a时，令()0fx，解得1lnxa−，令()0fx，解得1lnxa−，即函数()fx(1ln,)a−+上单调递增，在(

,1ln)a−−上单调递减.综上，当0a时，函数()fx在(,)−+递减；当0a时，函数()fx在(1ln,)a−+上单调递增，在(),1lna−−上单调递减.（2）由题意，即当0a时()()0fxgx−在0x时恒成立，即1lnln10xaexa−−+−在0x时恒成立.记

1()lnln1xhxaexa−=−+−，则(1)ln10haa=+−，记()ln1aaa=+−，在1()10,()aaa=+在(0,)a+递增，又(1)0=，当(1)ln10haa=+−时，得1a.下面证明：当1a时，1()lnln1

0xhxaexa−=−+−在0x时恒成立.因为11()lnln1ln1xxhxaexaex−−=−+−−−.所以只需证1ln10xex−−−在0x时恒成立.记1()ln1xTxex−=−−，所以11(1)0,()xTTxex−==−，又121()0xTxex−=+，

所以()Tx在(0,)+单调递增，又(1)0T=，所以(0,1),()0xTx，()Tx单调递减；(1,),()0xTx+，()Tx单调递增，所以min()(1)0TxT==，∴()0Tx在(0,)+

恒成立.即1()lnln10xhxaexa−=−+−在0x时恒成立.综上可知，当()()fxgx在0x时恒成立时，实数a的取值范围为1a.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，

根据分离参数后结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.21.已知椭圆E:()222210yxabab+

=的一个焦点为()0,3,长轴与短轴的比为2:1.直线lykxm=+：与的椭圆E交于P､Q两点,其中k为直线l的斜率.(1)求椭圆E的方程;(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,问:是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O,不

论直线l的斜率k取何值,定圆O恒与直线l相切?如果存在,求出圆O的方程及实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)2214yx+=(2)存在,2245xy+=.m的取值范围是2525,,55−−+【解析】【分析】（1）根据题意直接计算出2

,1ab==得到答案.（2）设直线OP的方程为:,ytxP=点的坐标为()00,xy,则00ytx=,联立方程组220224414ytxxytx==++=，解得：，设坐标原点O到直线l的距离为d,则有PQd

OPOQ=，得到255d=，计算得到答案.【详解】(1)由已知得:22232cababc===+解得:2,1ab==椭圆E的方程为2214yx+=(2)假设存在定圆O,不论直线l的斜率k取何值时,定圆O恒与直线l相切.这时只需证明坐标原点O到直线l的距离为定值即可.设直线OP的方程为

:,ytxP=点的坐标为()00,xy,则00ytx=,联立方程组220224414ytxxytx==++=，解得：()()22222200024114tOPxytxt+=+=+=+①以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,OPOQ

⊥,直线OQ的方程为:1yxt=−在①式中以1l−换t,得()2222214141=1414ttOQtt+−+=++−②又由OPOQ⊥知:()()()()()222222222224141201414144tttPQOPOQtttt+++=+=+=+

+++设坐标原点O到直线l的距离为d,则有PQdOPOQ=()()()()()2222222222224141425414,55201144ttOPOQllddPQttt++++====+++又当直线OP与y轴重合时,()()0,2,1,0PQ

此时255d=由坐标原点O到直线l的距离255d=为定值知,所以存在定圆O,不论直线l的斜率k取何值时,定圆O恒与直线l相切,定圆O的方程为:2245xy+=.直线l与y轴交点为()0,m,且点()0,m不可能在圆O内,又当k=0时,直线l与

定圆O切于点250,5,所以m的取值范围是2525,,55−−+【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一

题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知点(),Pxy在曲线221xy+=上．（1）求动点(),Mxyxy+的轨迹C的参数方程，并化为直角坐标方程；（2）过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且1716OAOB=，求直线l的斜率．【答案】（1）参数方程为cossi

ncossinxy=+=，为参数；直角坐标方程为()21222xyx=+−（2）14±【解析】【分析】（1）先将曲线221xy+=化为参数方程，可得到动点()cossin,co

ssinM+，从而得到点M的轨迹C的参数方程，再转化为直角坐标方程即可；（2）先设l的参数方程，再代入曲线C的方程得22cos2sin10tt−−=，再结合韦达定理和同角三角函数的基本关系求解即可．【小问1详解】由题意，

曲线221xy+=的参数方程为cossinxy==，为参数，则()cossin,cossinM+，再设(),Mxy，则cossincossinxy=+=，为参数，消去参

数，得到()21222xyx=+−，故点M的轨迹C的方程为()21222xyx=+−．【小问2详解】设l的参数方程为cossinxtyt==（t为参数），且22x−，代入曲线C的方程得22cos2sin10tt−−=，设A，

B两点对应得参数分别为1t，2t，则1221costt=−，所以21221171tancos16OAOBtt===+=，则1tan4=，即直线l的斜率为14±．23.设不等式()*1xa

a+N的解集为A，且32A，12A.（1）求a的值；（2）若m、n、s为正实数，且2mnsa++=，求222mns++的最小值.【答案】（1）2a=（2）222mns++的最小值为1【解析】【分析】（1）根据32A，12A可得出实数a的取值范围，结合aN可得出a的值；（2）由（1）

可得21mns++=，利用柯西不等式可求得222mns++的最小值.【小问1详解】因为32A，12A，所以，131122a++，即3522a，因为aN，则2a=.【小问2详解】由（1）可知，21,,

,0mnsmns++=，由柯西不等式可得()()()222222211224mnsmns++++++=，当且仅当2smn==时，即当12mn==，22s=时，等号成立，所以，()2222214mnsmns++++=，当且仅当2smn==时，即当12mn==，22s=时

，等号成立，因此，222mns++的最小值为1.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com