【文档说明】安徽省合肥市第一中学2024届高三最后一卷数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.522 MB，由小赞的店铺上传

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合肥一中2024届高三最后一卷数学试题（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.

考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,3,1,3ab==−，则2ab−=（）A.2B.3C

.4D.5【答案】D【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()2222,32,64,3,24(3)5abab−=−−=−−=+−=，故选：D.2.已知复数z满足()1i2iz+=−，则z=（）A.13i22

+B.13i22−C.13i22−−D.13i22−+【答案】A【解析】【分析】根据题设求出z，从而求出z的值.【详解】由题知，()()()()2i1i2i13i13i1i1i1i222z−−−−====−

++−，所以13i22z=+.故选：A.3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为23，焦距为22，则该椭圆的方程为（）A.2213xy+=B.2219xy+=C.22197xy+=D.2213628xy+=【答案】C【解析】【分析】根据离心率和焦距可得32ac==，进

而可得2b，即可得方程.【详解】由题意可知：23222cac==，可得32ac==，则2927b=−=，所以该椭圆的方程为22197xy+=.故选：C.4.已知等比数列na前n项和为nS，且3314,2Sa==，则4a=（）A.1B.23或-1C.23−

D.23−或1【答案】D【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a，因为314,S=2312aaq==，12112(1),aaaq+==+故2610qq−−=，的

故12q=或1,3q=−当12q=时，431aaq==；当1,3q=−4323aaq==−；423a=−或1.故选：D5.已知为三角形的内角，且15cos4−=，则sin2=（）A.154−+B.1

54+C.358−D.354−【答案】B【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为为三角形内角，15cos4−=，所以15141cos35sin2228−−−+===()215625151644+++===.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排

参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种【答案】A【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再

减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233AAAAA36−=种，的故选：A.7.已知四棱锥PABCD−的各顶点在同一球面上，若2224ADABBCCD====，PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，则该球的表面积为（）A.13π

3B.16πC.52π3D.20π【答案】C【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD的中点E，取AB的中点G，连接EG、PG，在线段P

G上取一点F，使13FGPG=，过点E作平面ABCD的垂线OE，使OEFG=，连接OF，易知四边形ABCD是等腰梯形，ABE、BCE、CDE均为等边三角形，所以2AEBECEDE====，因为OE⊥平面ABCD，所以90OEAOEBOECOED===

=，所以OAOBOCOD===，因为PAB为正三角形，G为AB的中点，所以PGAB⊥，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，PG平面PAB，所以PG⊥平面ABCD，因为OE⊥平面AB

CD，所以//PGOE，即//FGOE又因为OEFG=，所以四边形OEGF为平行四边形，所以//OFEG，因为ABE为正三角形，G为AB的中点，所以EGAB⊥，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，EG平面ABCD，所以EG⊥平面PAB，所以

OF⊥平面PAB，又因为F是ABP的外心，所以FAFBFP==，所以OAOBOP==，所以O即为四棱锥外接球的球心，因为1333OEFGPG===，2AE=，所以2222339233ROAOEAE==+=+=所以223952

4π4π()π33SR===，故选：C.8.过()0,Mp且倾斜角为π,π2的直线l与曲线2:2Cxpy=交于,AB两点，分别过,AB作曲线C的两条切线12,ll，若12,ll交于N，若直线MN的倾斜角为.则()tan−的最小值为（

）A.22B.2C.22D.42【答案】C【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tantan2kk==−的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan−化简为()2kk−+−的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,Nxy，

1122(,),(,)AxyBxy，由于曲线2:2xCyp=，则xyp=，所以在A点的切线方程为111()xyyxxp−=−，同理在B点的切线方程为222()xyyxxp−=−，由于N点是两切线的交点，所以1010120202()()xyyxxpxyyx

xp−=−−=−，则ABl为()000000()2xxxyyxxyyyxxpyypp−=−−=−=+，且过()0,Mp，0yp=−且0tanxkp==，设02tan,2pkkkx==−

=−，()tantantan1tantan−−=+()2221kkkkkk−==−+−+，当且仅当2k=−时“=”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收

入的上四分位数为5D.若y与x可用回归直线方程0.5ˆˆyxa=+来模拟，则ˆ2.3a=【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据平均数定义运算求解；对于B：根据方差公式分析求解；对于C：根据百分位数的定义

分析求解；对于D：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A：由题意可得：年收入的均值2.93.33.64.44.85.25.94.37y++++++==，故A正确；对于选项B：由题意可得

：年份x1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9()2yy−1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s++++++==，故В错误；

对于选项C：因为70.755.25=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C错误；对于选项D：因为年份的平均数123456747++++++==x，即样本中心点为()4,4.3，所以0.54.30.523ˆ4

.ayx=−=−=，故D正确；故选：AD.10.已知函数()23sincossinfxxxx=−(0)，则下列命题正确的有（）A.当2=时，5π24x=是()yfx=的一条对称轴B.若()()122fxfx−=，且12minπxx−=，则12

=C.存在()0,1，使得()fx的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数D.若()fx在0,π上恰有5个零点，则的范围为72,3【答案】BD【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A选项，将2=，5π24

x=代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B选项，由题设知，π为半个周期；C选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D选项，求出π26x+范围，再确定区间右端点π2π6+的范围，从而求出的范围.【详解】()31cos2311π1sin2=sin2cos2=sin22222262xfxxxxx

−=−+−+−对于A，当2=时，()π1sin462fxx=+−，所以55ππ11πsin246622f=+−=−，所以5π24x=不是()yfx=的一条对称轴，故A错误；对于B，由题意知，2πT=，所以22π2=，又因为0，所

以12=，故B正确；对于C，()fx向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin2sin2662362gxxx=++−=++−，假设()gx为偶函数，则π

πππ362k+=+，Zk，解得13k=+，Zk而(0,1)，所以假设不成立，故C错误；对于D，0,πx时，πππ2,2π666x++，令()π1=sin2062fxx+−=，则π1sin262x+=

，因为()fx在0,π上恰有5个零点，的所以π25π29π2π,666+，解得72,3，故D正确.故选：BD.11.已知函数()()e,lnxfxgxx==−，则下列命题正确的有（）A.若()gxax恒成立，则1ae−

B.若()yfx=与1yax=−相切，则2ea=C.存在实数a使得()yfxax=−和()ygxax=+有相同的最小值D.存在实数a使得方程()fxxa−=与()xgxa+=有相同的根且所有的根构成等差

数列【答案】ACD【解析】【分析】对于A：原题意等价于lnxax−在()0,+内恒成立，令()ln,0xhxxx=−，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B：对()yfx=求得，结合导数的几何意义列式分

析可得()1ln1aa−=−，代入2ea=检验即可；对于C：取1a=，利用导数求最值，进而分析判断；对于D：结合选项C可知：()(),hxx的图象，设交点为()(),Mmhm，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln

,,emmm，进而可得结果.【详解】对于选项A，若()gxax，则lnxax−，且0x，可得lnxax−，可知原题意等价于lnxax−在()0,+内恒成立，令()ln,0xhxxx=−，则()2ln1xhxx=−，令()0hx，解得0ex；令()

0hx，解得ex；可知()yhx=在()0,e内单调递减，在()e,+内单调递增，则()()1eehxh=−，所以1ae−，故A正确；对于选项B：因为()exfx=，则()exfx=，设

切点为()00,exPx，则切线斜率()00=exkfx=，可得切线方程为()000eexxyxx−=−，即()000ee1xxyxx=+−，由题意可得()000ee11xxax=−=−，整理得()1ln1aa−=−，显然2ea=不满足上式，故B错误；对

于选项C：例如1a=，构建()()exhxfxxx=−=−，则()e1xhx=−，令()0hx，解得0x；令()0hx，解得0x；可知()yhx=在(),0−内单调递减，在()0,+内单调递增，可知()yhx=

的最小值为()01h=；构建()()ln,0xgxxxxx=+=−+，则()111xxxx−=−+=，令()0x，解得1x；令()0x，解得01x；可知()yx=在()0,1内单调递减，在()1,+内单调递

增，可知()yx=的最小值为()11G=，可知()yfxax=−和()ygxax=+有相同的最小值1，故C正确；对于选项D：结合选项C可知：()(),hxx的图象大致如下：设交点为()(),Mmhm，易知01m，由图象可知：当直线ya=与曲线()yhx=和曲

线()yx=共有三个不同的交点时，直线ya=必经过点()(),Mmhm，即()ahm=.因为()()hmm=，所以elnmmmm−=−，即e2ln0mmm−+=.令()()()hxxahm===，得elnexmxxxm

−=−=−，解得xm=或emx=，由01m得1emm.所以当直线ya=与曲线()yhx=和()yx=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln,,emmm.因为e2ln0mmm−+=，即eln2mmm+=，所以ln,,emmm成等差数列，故D正确；故

选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形

结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合220Axxx=−−N∣，集合()22210Bxxaxaa=−+++=∣，若BA，则=a_______

___.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合,AB，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：220120,1,2Axxxxx=−−=−=NN∣∣，()22210,1Bxxaxaaaa=−+++==+∣，因为BA，可知0,1B=或1,2B=，可得0

a=或1a=.故答案为：0或1.13.过()1,2P的直线l被曲线2240xxy−+=所截得的线段长度为23，则直线l的方程为__________.【答案】1x=或34110xy+−=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线

为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240xxy−+=知，该曲线为圆()2224xy−+=且圆心为()2,0，半径为2r=.当直线斜率不存在

时，直线方程为1x=，此时圆心到直线的距离为1d=.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：22223lrd=−=，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12ykx=−+，即20kxyk−−+=圆心到直线的距离为2221kkdk−+=+，当直线截圆所得线

段长度23l=时根据垂径定理2222ldr+=可得，22222223221kkk−++=+，解得34k=−此时直线方程为34110xy+−=.故答案为：1x=或34110xy+−=

.14.在ABC中，设,,ABC所对的边分别为,,abc，且,tansinsinbcABC=+，则以下结论正确的有__________.①20,11abc+；②2,11abcbc+；③,2bcabc+；④22,22bcbca

++；⑤22,2bca++.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得sinsinsincosABCA=+，利用正弦定理将角化边得到cosabcA=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cosabcA+−=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【

详解】因为tansinsinABC=+，即sinsinsincosABCA=+，由正弦定理可得cosabcA=+，所以22222cosabcbcA=++，又2222cosbcAbca+−=，所以()()22222222cos2coscoscosabcA

bcAbcAbcaA=++=+++−，所以()2221cos0cosabcAA+−+=，因为()0,πA，所以()cos1,1A−，则1cos0A+，所以2220cosabcA+−=，()222cosabcA=+，又

bc，所以222bcbc+，所以()222222cos2cosabcAbcAbca=+=+−，所以2222bca+，则222bca+，即22,2bca++.故答案：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键

是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cosabcA+−=，再由基本不等式得到()222222cos2cosabcAbcAbca=+=+−.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明

过程或演算步骤.15.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2,P是线段1AB上的动点.（1）求证：平面11BDDB⊥平面11ABC；（2）1PB与平面11ABC所成的角的正弦值为63，求PB的长.【答案】（1）证

明见解析（2）2PB=【解析】【分析】（1）根据题意可得111ACDD⊥，1111ACBD⊥，进而可证11AC⊥平面11BDDB，即可得结果；（2）设1B在平面11ABC上的射影点为E，连接1,EPEB，利用等体积法可得1233EB=，结合线面夹角为可得1233EB=，进而可得结果.【小问1详解

】因为1DD⊥平面1111DCBA，且11AC平面1111DCBA，可得111ACDD⊥，四边形1111DCBA为正方形，则1111ACBD⊥，且111111,BDDDDBD=，1DD平面11BDDB，可得11AC⊥平面11BDDB，且11AC平面11ABC，所以平面11BDDB⊥平面1

1ABC.【小问2详解】设1B在平面11ABC上的射影点为E，连接1,EPEB，可知11ABCV是以边长为22的等边三角形，则1132222234ABCS==V，因为111111BABCBABCVV−−=，即111123222332EB=，解得1233EB=，设1

PB与平面11ABC所成的角的大小为，则1112363sin3EBPBPB===，可得12PB=，在1BPB△中，由余弦定理得，222111π2cos4PBBBPBBBPB=+−，即22422PBPB=+−，解得2PB=.16.甲和乙进行中国象棋比

赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X的数学期望()EX为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（

2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3PXPX==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A，则()120.20.2C0.20.80.20.10

4PA=+=，由题意可知：X的可能取值为2，3，则有：()()12C0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413PXPX======，所以X的数学期望()5834232.6131313EX=+=.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.

2p=，则()()()()2321110200030004000C1C1C1PApppppppppp=+−+−+−()415000C1ppp+−()()()()234200000121314151ppppp

=+−+−+−+−()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2=+−+−+−+−0.048.6160.34464==，所以乙胜的概率0.34464.17.()()ex

afxa−=R.（1）若()fx的图象在点()()00,Axfx处的切线经过原点，求0x；（2）对任意的)0,x+，有()sinfxx，求a的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42−+【解析】【分析】（1）求得()exafx−=，得到()00exafx−=且

()00exafx−=，根据题意，列出方程，即可求解；的（2）根据题意，转化为esin0xax−−在)0,x+恒成立，令()esinxagxx−=−，当0a时，符合题意；若0a，求得()ecosxagxx−−=，令()()hxgx=，利用导数求得()gx的单调性，

结合()π00,02gg，得到存在唯一的0π0,2x，使得()00gx=，得出()gx的单调性和极小值，进而求得a的取值范围.【小问1详解】由函数()exafx−=，可得()exafx−=，所以()00exafx−=且()

00exafx−=，即切线的斜率为0exa−，切点为()00e,xaAx−因为()fx的图象在点()()00,Axfx处的切线经过原点，可得000e0e0xaxax−−−=−，解得01x=.【小问2详解】任意的)0,x+，有()sinfxx，即esin0xax−−在)0,x

+恒成立，令())esi,0,nxagxxx−=−+，若0a，则0xa−，可得e1xa−，所以()esin1sin0xagxxx−=−−，符合题意；若0a，可得()ecosxagxx−−=，令()()hxgx=

，则()esinxahxx−+=，当0πx时，()0hx，()gx在0,π递增，而()π2π0e10,e02aagg−−=−=，所以，存在唯一的0π0,0,π2x，使得()0

00ecos0xagxx−−==，所以，当00xx时，()0gx，()gx在()00,x递减，当0πxx时，()0gx，()gx在区间()0,πx递增，故当0xx=，函数()gx取得极小值()00000esincossin0xagxxxx−=−=−，所以0π04x

，此时，00lncosxax−=，可得00π2lncosln42axx=−−，即πln2042a+；当πx时，()πln2142esine1e1e10xxaxagxx−−−−=−−−−，因而πln2042a+，符合

题意，综上所述，实数a的取值范围是求πln2,42−+.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数

的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

18.已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab−=的上焦点为()0,6，下顶点为A，渐近线方程是2yx=，过20,3B点的直线交双曲线上支于,PQ两点，,APAQ分别交直线23y=于,

MN两点，O为坐标原点.（1）求C的方程；（2）求证：,,,MNOA四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r的取值范围.【答案】（1）22142−=yx（2）证明见解析（3）5,3.3【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,abc的方程组，解出即可；（2）方法一：设

直线2:3PQykx=+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836Mxxy=+，22836Nxxy=+，最后计算并证明出BOBABMBN=即可；方法二：转化为证明出1OMANkk=，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OMANkk=即

可；（3）设圆心为T，计算出(),1Tk−，根据21rk=+并结合k的范围即可.【小问1详解】由题，2226,2,acabcb==+=，解得224,2ab==，所以C的方程为22142−=yx.【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:

3PxyQxyPQykx=+，代入22142−=yx，化简整理得()224322039kxkx−+−=，有()22212201632Δ420990kkkxx−=−−−，解得21629k，且()()1212222243

243239,223292kkxxxxkkkk−+====−−−−，112:2yAPyxx+=−，令23y=得11836Mxxy=+，同理22836Nxxy=+，()()1212121288643636922xxxxBMBNy

yyy==++++()()()121221212126464864922939xxxxyykxxkxx==+++++()()()22223292641632846499399232kkkkkk−==++−−，22162339BOBA=+=，则BOBABMBN=

，所以,,,MNOA四点共圆.（方法二）设,OMAN的倾斜角分别为,.由对称性，不妨设PQ的斜率0k，此时,均为锐角，所以,,,MNOA四点共圆πAOMANM+=，ππ2++=ππ,,0,22+=tantan1=1O

MANkk=设()()11222,,,,:3PxyQxyPQykx=+，代入22142−=yx，化简整理得()224322039kxkx−+−=，有()22212201632Δ420,990kkkxx−=−

−−解得21629k，()()121222324,9232kxxxxkk=−+=−−−，112:2yAPyxx+=−，令23y=得11836Mxxy=+，同理22836Nxxy=+，121222,4OMANAQyykkkxx+

+===()21212121212121288864223339444OMANkxkxkxxkxxyykkxxxxxx+++++++===()()()2222328464399232132492kkkkkk−+−+−−

=−−所以,,,MNOA四点共圆.【小问3详解】设圆心为T，则1Ty=−，121212124448823636333MNTxxxxxxxyykxkx+==+=+++++()()()()()()2212

12221212223284822392324438643284643339399232kkkxxxxkkkkkxxkxxkkkk+++−−===+++++−−，(),1Tk−，因为21629k，则251,3.3rk

=+【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到21rk=+.19.给定自然数n且2n，设12,,,nxxx均为正

数，1niixT==（T为常数），11niniinxxTxTx−==−−.如果函数()fx在区间I上恒有()0fx，则称函数()fx为凸函数.凸函数()fx具有性质：()1111nniiiifx

fxnn==.（1）判断()1xfxx=−，()0,1x是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,iixyinT==，证明：111111nnyyn−−−−；（3）求nnxTx−的最小值.【答案】（1）()fx在()

0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析（3）()25128221nnnn−++−−.【解析】【分析】（1）对()fx求导之后，再求二阶导数，证明()0fx即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111nniiiify

fynn−−==−−；将11niniinxxTxTx−==−−中的分子、分母同时除以T，得到()111nniinyfyy−==−；加上1111nniinniiyyyy−===−=−，利用以上条件得到一个关于ny与n的不等式，

变形后即可得出结论.（3）设iixyT=，将nnxTx−转化为1nnyy−，判断其单调性，将问题转化为求ny的最小值；利用（2）的结论，求出ny的最小值，代入1nnyy−即可得出答案.【小问1详解】()fx在

()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)xfxxxx==−−−−−，所以()43(1)(11)2()2fxxxx=−=−−，因为()0,1x，所以10x−，()0fx，所以()fx在()0,1上为凸函数.【小问2详解】证明：因

为iixyT=()1,2,,in=，所以11111nnniiiiiixTyxTTT=======，由题知11niniinxxTxTx−==−−，分子分母同时除以T，得1111inninixxTTxxTT−==−−，所以1111niniinyyyy−==−−，即()1

11nniinyfyy−==−，根据凸函数的性质得，()11111111nniiiifyfynn−−==−−，所以111111111111nininniiyynnyyn−=−=−−−−−，又因为1111nniinniiyyyy−===−

=−，所以1(11111))111(11(11)nnnnnnyyynnynyyn−−−=−−−−−−−−，两边同时乘以n1−，得(1)(111()1)nnnnynyyny−−−−−−，因为()1,2,,ixnTi=，所以(0,1)iixyT=，又因为2n，所以(1)(10

11(1))nnnnynyyny−−−−−−，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111nnnnnynyynyyn−−−−=−−−−−，所以111111nnyyn−−−−，即111111nnyyn−−−−.【小问3

详解】设iixyT=()1,2,,in=，则nnxyT=，且()0,1ny，所以11111nnnnnnnxxyTxTxyyT===−−−−−，随ny增大而增大，由（2）知，111111nnyyn−−−−，所以()2111nnnnyyynny−−−−−，所以()2(

34)210nnynnyn−−+−−，当2n=时，120ny−+，12ny，所以1111nnnxTxy=−−−，当且仅当1212yy==时，等号成立，当3n时，()()223451283451282222nnnnnnnynn−−−+−+−+−−，所以()22345128122345

128nnnnxynnnTxynnnn−−−+=−−−−−−−+22222345128(5128)(34)(24)512841285128nnnnnnnnnnnnnnn−−−+−−++−+−−+==−+−+−+()2222288(24)5128512824

12821nnnnnnnnnnn−+−+−−+−++−==−+−，当且仅当()()2121151281221nnynnnyyynnn−−−+−=====−−−时，等号成立，当2n=时，最小值为1，满足上式，所以nnxTx−

的最小值是()25128221nnnn−++−−.【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nnxTx−转化为1nnyy−，利用第2问的结论，求出ny的最小

值.