【文档说明】湖南省岳阳市2020-2021学年高二下学期期末教学质量检测数学试题 （参考答案与评分细则）.pdf，共(9)页，515.732 KB，由小赞的店铺上传

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高二数学参考答案与评分细则第1页共9页岳阳市2021年高二教学质量检测数学参考答案及评分细则一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DBAABCDB二、

多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案CDBCDBDABC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.014.815.11016.54,13四、

解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知函数ππ()sin()sin()3sincos44fxxxxx=+−+．（1）求()fx的最小正周期以及单调增区间；（2）在ABC△中，若()12Af=，2a=，求AB

C△周长的取值范围．【解答】（1）ππ3()sin()cos()sin2442fxxxx=+++1π3sin(2)sin2222xx=++13cos2sin222πsin(2)6xxx=+=+…………3分所以()fx的最小正周期为π；…………4分单调增区间由πππ2π2+2π,262k

xkkZ−++解得：ππ[π,π],36kkkZ−++…………5分高二数学参考答案与评分细则第2页共9页（2）π()sin()126AfA=+=，(0,π)A，所以π=3A…………6分由正弦定理：243=22=πsinsinsin3sin3bcaRRBCA===，所以4343si

n,sin33bBcC==，2ππ=3BCA+=−，…………7分43(sinsin)3432π[sinsin()]334333=(sincos)322π=4sin()6bcBCBBBBB+=+=+−++因

为2π(0,)3B，…………9分所以π1sin()(,1]62B+，(2,4]bc+，所以ABC△周长(4,6]bca++…………10分18．（本题满分12分）夏天来了，又是一个冷藏饮料销售旺季．某生活小超市据以往统计某天的偏温差()C,3xx（

超出常温度数）和某种饮料的销售量y（瓶）的情况及有关数据如下：偏温差Cx1x2x3x4x5x6x销售量y（瓶）81114202326其中6154.9iix==，()()6194iiixxyy=−−=，()6216iixx=−

=．（1）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合销售量y与偏温差x的关系；（2）建立y关于x的回归方程（精确到0.01），预测当偏温差升高4C时该种饮料的销售量会有什么变化？（销售量精确到整数）参考数据：72.646．高二数学参考答案与评分

细则第3页共9页参考公式：相关系数：()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，回归直线方程是yabx=+．aybx=−，()()()121niiiniixxyybxx==−−=−．【解

答】（1）81114202326176y+++++==，()621252iiyy=−=，又6154.9iix==，()()6194iiixxyy=−−=，()6216iixx=−=.故()()()()12211940.99667niiinniiiixxyyrxxy

y===−−==−−.∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；…………6分（2）54.99.156x==，942.6136b==，172.619.156.88a=−−，∴y关于x的回归方程为2.616.88yx=−.…………11分当4x=时，2.61410y

=.预测当偏温差升高4C时该种饮料的销售量会增加10瓶.…………12分19．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，11122AAABAC===，2ABAC==，90BAC=．

（1）证明：平面1ABC⊥平面111ABC；（2）求四棱锥111ABCCB−的体积．高二数学参考答案与评分细则第4页共9页【解答】（1）如图，作BC的中点M，连1,AMAM因为2ABAC==，90BAC=，所以22BC=，2AM=又因

为1122ABAC==，所以16AM=在1AAM△中，由122AA=，满足22211AAAMAM=+所以1AMAM⊥，且1AMBC⊥，BCAMM=所以1AM⊥平面ABC，又1AM平面1ABC所以平面1ABC⊥平面ABC又平面ABC∥平面111ABC所以平面1ABC⊥平面111AB

C…………7分（2）由（1）可知1AM⊥平面ABC四棱锥111ABCCB−的体积1111146=2=226=33ABCCBAABCVV−−…………12分20．（本题满分12分）在①124,,SSS成等比数列且550S=，②2844nnnSaa=++

，③12mS−=，8mS=，118mS+=，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答本题．问题：已知等差数列{}na的公差为()0dd，前n项和为nS，且满足______．（1）求na；（2）若1{}Sn的前n项和为nT，证明：2(1)nnTn+．C1B1A

BA1CMC1B1ABA1C高二数学参考答案与评分细则第5页共9页注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分．【解答】（1）选择条件①由550S=，得()1154552502adad+=+=，即12

10ad+=，由1S，2S，4S成等比数列，得2214SSS=，即22211114446aaddaad++=+，即12da=，解得12a=，4d=，因此42nan=−．…………6分选择条件②由2844nnnSaa=++得，2+1+1+1844nnnSaa=++，两式相减，并整理得：11(

)(4)0,nnnnaaaanN+++−−=，又0d，所以10nnaa++所以1=4nnaa+−，即4d=令1n=，211118=844Saaa=++，解得12a=，故42nan=−…………6分

选择条件③等差数列{}na的前n项和1(1)2nnnSnad−=+，故112nSnadn−=+，所以{}nSn为等差数列，于是11211mmmSSSmmm−++=−+，即2182811mmm+=−+，解得2m=故11232,8,18SaSS====，解得基本量12

,4ad==，因此42nan=−．…………6分（2）由12a=，42nan=−可得22nSn=21111111()22(1)21nSnnnnn==−++，所以12111111111[(1)()()]22231nnTSSSnn=+++

−+−++−+2(+1)nn=…………12分高二数学参考答案与评分细则第6页共9页21．（本题满分12分）某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310()500xa−万元（0a），A

项目余下的工人每人每年创造利润提高0.2%x．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人

数的50%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．【解答】设调出x人参加B项目从事售后服务工作．（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x

x−+，即25000xx−，又0x，所以0500x．即最多调出500名员工从事第三产业．…………5分（2）由题知，0500x，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xax−万元，从事原来产业的员工的年总利

润为110(1000)(1)500xx−+万元，则310(500xa−)10(1000)(10.2%)xxx−+，所以223110002500500xaxxxx−+−−，所以221000500xaxx++，即210001500xax++恒成立，因为0500x，所以2100

02100012+15500500xxxx++=，所以5a，又0a，所以05a，即a的取值范围为(0,5]．…………12分22．（本题满分12分）已知动点M与两个定点(0,0)O，(3,0)A的距离的比为12，动点M的轨迹为曲线C．高二数学参考答案与评分细则第7页共9页（1）求C的轨迹方程，

并说明其形状；（2）过直线3x=上的动点(3,)Pp分别作C的两条切线,PQPR（Q、R为切点），(1,0)B−，PB交QR于点N．（i）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标；（ii）是否存在点P，使ABN△的面积最大

？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）设(),Mxy，由12MOMA=，得222212(3)xyxy+=−+.化简得22230xyx++−=，即()2214xy++=.故曲线C是以1,0为圆心，半径为2的圆.…………4分（

2）（i）证明方法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ、PR与圆相切，Q、R为切点，则BQPQ⊥，BRPR⊥，则B、R、P、Q四点共圆，Q、R在以BP为直径的圆上(如图).设()1,0B−，又()()3,0Ppp，则BP的中点为1,2p

，216BPp=+.以线段BP为直径的圆的方程为()222216122ppxy+−+−=，整理得22230xyxpy+−−−=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300xxyyp+−+−−=化简得.)又Q、R在

C：22230xyx++−=②上，由两圆方程作差即②−①得：40xpy+=.xyNRQABOP高二数学参考答案与评分细则第8页共9页所以，切点弦QR所在直线的方程为40xpy+=.…………8分则QR恒过坐

标原点()0,0O.…………9分证明方法二(求Q、R均满足的同一直线方程即切点弦方程)：设()1,0B−，()11,Qxy，()22,Rxy.由BQPQ⊥，可得Q处的切线上任一点(,)Txy满足0QTBQ=(如图)，即切线PQ方程为()()()()1111100xxxyyy−

++−−=.整理得()221111110xxyyxyx++−−−=.又22111230xyx++−=，整理得()111130xxyyx+++−=.同理，可得R处的切线PR方程为()222130xxyyx+++−=.又()3,Pp既在切线PQ上，又在切线PR上，所以()()111222313031

30xpyxxpyx+++−=+++−=，整理得11224040xpyxpy+=+=.显然，()11,Qxy，()22,Rxy的坐标都满足直线40xpy+=的方程.而两点确定一条直线，所以切点

弦QR所在直线的方程为40xpy+=.…………8分则QR恒过坐标原点()0,0O.…………9分（ii）1||||2||2ABNNNSAByy==△，因为PBQR⊥，所以点N在以BO为直径的圆周上，xyRQABOP高二数学参考答案与评分细则第9页共9页故max1||2Ny=，即m

ax()1ABNS=△，此时11(,)22N−又由点,,PNB三点共线，所以BPPNkk=，14p=，所以4p=，即(3,4)P…………12分