【文档说明】安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期5月仿真试卷（二）数学（理）试题 含答案.doc，共(9)页，1.927 MB，由小赞的店铺上传

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舒城中学2021届高三仿真试卷（二）理数时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出

答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并

上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数21,zz在复平面内对应的点分别为),3(1aZ，)1,2(2Z，且21zz为纯虚数，则实

数=a（）A．6B．23−C．56D．-62．已知集合220Axxx=−−，集合2cos3Bxx=，则AB=（）A．1,6−B．,16−C．1,2−D．,66−3．已知p：xR

，210xx+−；q：xR，23xx，则真命题是（）A．pqB．()pqC．()pqD．()()pq4．已知平面向量()3,1a=−，2b=，且()()22abab+−=，则ab−=（）A．2B．2C．3D．35．已知抛物线C：23xy=，过点3

(,)()4Pmm−R作抛物线的切线,PAPB，切点分别为,AB，则,AB两点到x轴距离之和的最小值为（）A．3B．32C．332D．3346．设2log3a=，32log2b=，32log2c=−，则a，b，c的大小顺序为（）A．bcaB．cbaC．abcD．b

ac7．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（）A．7，7B．1.2，7C．2.3，1.1D．5.4，1.28．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒

尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的亭阁建筑，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底

面边长之比为（）A．33B．24C．22D．39．函数2()23sincos2sin1fxxxx=−+的图象向右平移24个单位长度后得到函数()gx的图象，对于函数()gx，下列说法不正确的是（）A．()gx的最小正周期为B．()gx的图象关

于直线524x=对称C．()gx在区间,44−上单调递增D．()gx的图象关于点13,024−对称10．意大利数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233

、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理，准晶体结构以及化学等领域都有着直接的应用．已知斐波那契数列na满足：11a=，21a=，21nnnaaa++=+，若2357959

kaaaaaaa++++++=，则k=（）A．2020B．2021C．59D．6011．已知1F、2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个交点，且123FPF=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为（）A．433B．334C．2D．

2312．在111ABC和222ABC中，121122302AABCBC====，，若“1122ABABt==”是“111ABC和222ABC全等”的充分条件，则常数t不可以是（）第7题图第8题图舒中高三仿真理数第1页（共4页）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，

每小题5分，共20分。13．已知直线l过第一象限的点(),mn和()1,5，直线l的倾斜角为135，则14mn+的最小值为________．14．以抛物线22(0)ypxp=焦点F为端点的一条射线交抛物线于点A，交y轴于点B，若||2AF=，||3

BF=，则p=________．15．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为________．16．托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，

托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在数列na中，114a=，1340nnaa+−+=．（1）证明：数列2na−是等比数列；（2）设()()()113131nnnnnab+−=++，记数列nb的前n项和为nT，求2020T．18.（本小题满分12分）2020年12

月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开．会议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调控．为

了解居民对降低租赁住房税费的态度，某社区居委会随机抽取了500名社区居民参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：认为对租赁住房影响大认为对租赁住房影响不大年龄在40岁以上125150年龄在40岁以下75150（1）

判断是否有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关?（2）从“认为对租赁住房影响大”的居民中，按照年龄进行分层抽样，共抽取8人，分析租赁住房需求，再从中随机抽取3人参与座谈，若这3人中年龄在40岁以下的人数为，求的分布列与数

学期望．附：22()()()()()()nadbcKnabcdabcdacbd−==+++++++．临界值表：()20PKk0．150．100．050．0250．0100．0050．0010k2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．82819.（本小题满分12分）如图

，四边形ABCD是边长为23的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角

的正弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆C：22221xyab+=(0ab)的左､右焦点分别为1F，2F，离心率为32，点G是椭圆上一点，12GFF△的周长为643+．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：ykxm=+与椭圆C交于A，B两点，且四边形OAGB为平行四边形，求证：四边形OAG

B的面积为定值．21.（本小题满分12分）已知函数()()()ln11cosfxxxax=+−+−．（1）当0a=时，求曲线()yfx=在点111,1fee−−处的切线方程；（2）若存在正实数t，使得当(),xtt−时，有()

0xfx恒成立，求a的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切

且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因为其形状像心的形状而得名．在极坐标系Ox中，方程(1sin)a=−(0)a表示的曲线1C就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O

为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线2C的参数方程为1333xtyt=+=+（t为参数）．舒中高三仿真理数第2页（共4页）舒中高三仿真理数第3页（共4页）舒中高三仿真理数第4页（共4页）（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）若曲线1C与2C相交于A、O、B三点，

求线段AB的长．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数()()2,2fxxagxx=−=+．（1）当1a=时，求不等式()()()fxfxgx+−的解集；（2）求证：1,,222bb

fff−中至少有一个不小于12．2021届舒城中学高考二模试卷理科数学考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡

上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第一部分选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数21,zz在复平面内对应的点分别为),3(1aZ，)1,2

(2Z，且21zz为纯虚数，则实数=a（A）A．6B．23−C．56D．-62.已知集合220Axxx=−−，集合2cos3Bxx=，则AB=（D）A.1,6−B.,16−C.1,2−D.,66−3．已知p：xR，210xx+

−；q：xR，23xx，则真命题是（C）A．pqB．()pqC．()pqD．()()pq4.已知平面向量()3,1a=−，2b=，且()()22abab+−=，则ab−=（A）A.2B.2C.3D.35．已知抛物线C：23xy=，过点3(,)()4Pmm−R作抛物线的切

线,PAPB，切点分别为,AB，则,AB两点到x轴距离之和的最小值为（B）A．3B．32C．332D．3346．设2log3a=，32log2b=，32log2c=−，则a，b，c的大小顺序为（A）A．bcaB．cbaC．ab

cD．bac7．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（D）A．7，7B．1.2，7C．2.3，1.1D．5.4，1.28.攒尖是古代中

国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角第7题图第8题图攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四

棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（B）A.33B.24C.22D.39．函数2()23sincos2sin1fxxxx=−+的图象向右平移24个单位长度后得到函数()gx的图象，对于函数()gx，下列说法不正确的是（C）A．()gx的最小正周

期为B．()gx的图象关于直线524x=对称C．()gx在区间,44−上单调递增D．()gx的图象关于点13,024−对称10．数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5

、8、13、21、34、55、89、144、233、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列na满足：11a=，21a=，21nnnaaa

++=+，若2357959kaaaaaaa++++++=，则k=（D）A．2020B．2021C．59D．6011．已知1F、2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且123FPF=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值

为（A）A.433B.334C.2D.23【详解】设椭圆方程为22221(0)xyabab+=，双曲线方程为22221(0,0)xymnmn−=，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc−，22222cabmn=−=+不妨设P在第一象限，12122

2PFPFaPFPFm+=−=，得12PFamPFam=+=−，在12PFF中，22212121212||||||2||||cosFFPFPFPFPFFPF=+−，即222222234

3,4amcamcc=++=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12221213,,4eeee+=，设1211332cos1,cos,2sin3,0sin22ee==，取π0θ3<<，12112

42cossinsin()333ee+=+=+，当6=时，1211ee+取得最大值为433.12.在111ABC和222ABC中，121122302AABCBC====，，若“1122ABABt==”是“111ABC和222ABC全等”的充分条件，则

常数t不可以是（C）A．1B．2C．3D．4第二部分非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线l过第一象限的点(),mn和()1,5，直线l的倾斜角为135，则14mn+的最小值为________．【答案】3214.以抛物线22(0)ypxp=焦点F为端点的一条射线

交抛物线于点A，交y轴于点B，若||2AF=，||3BF=，则p=________．【答案】315．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为________．【答案】527【解答】若仅A一人是最高得票者，则A的票数为

3,2．若A的票数为3，则1111133327P==；若A的票数为2，则BCD三人中有两人投给A，剩下的一人与A不能投同一个人，213111242333327PC==；所以仅A一人是最高得票者的概率

为12145272727PPP=+=+=．16．托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其

两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为．【答案】93【分析】在ABD中ABa=，由余弦定理可得3BDa=由托勒密定理可得()3aBDACACa+=,即3BDACAC+=又ABDACD30＝＝，所以四边形ABCD的面积1

1sin30sin3022SBCACCDAC=+213()9344BDCDACAC=+==三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分12分）在数列na中，114a=，1340

nnaa+−+=．（1）证明：数列2na−是等比数列；（2）设()()()113131nnnnnab+−=++，记数列nb的前n项和为nT，求2020T．【详解】（1）证明：因为1340nnaa+−+=，所以134nnaa+=−，所以()1232nnaa+−=−，-

------3分又12120a−=，所以()1232nnana+−=−N．------5分故数列2na−是以12为首项，3为公比的等比数列．------6分（2）由（1）可得1212343nnna−

−==，即432nna=+，-------7分则()()()()()()()()11114321111313131313131nnnnnnnnnnnnab+++−+−===−+++++++，------9分20202232

019202020202021111111113131313131313131T=−−++++−−++++++++++L2021202120211133.1231314(31)−=−+=−−−−−+++分1

8．（本小题满分12分）2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开．会议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调控．为了解居民对降低租赁住房税费的态

度，某社区居委会随机抽取了500名社区居民参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：认为对租赁住房影响大认为对租赁住房影响不大年龄在40岁以上125150年龄在40岁以下75150（1）判断是否有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关?（2）从“认为对租赁住房影响大”的居民

中，按照年龄进行分层抽样，共抽取8人，分析租赁住房需求，再从中随机抽取3人参与座谈，若这3人中年龄在40岁以下的人数为，求的分布列与数学期望．附：22()()()()()()nadbcKnabcdabcdacbd−==+++++++．临界值表：()20PKk0.150.100.

050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【详解】（1）由题意建立22列联表如下：认为对租赁住房影响大认为对租赁住房影响不大合计年

龄在40岁以上125150275年龄在40岁以下75150225合计20030050022500(12515075150)7.5766.635200300275225K−=，-----3分所以有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年

龄有关．-----5分（2）由题意可知，分层抽样抽取的8人中，年龄在40岁以上的有5人，年龄在40岁以下的有3人，则随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．35385(0)C28CP===，215338CC1

5(1)C28P===，125338CC15(2)C56P===，3338C1(3)C56P===，--------9分所以随机变量的分布列为0123P52815281556156------10分5151519()0123282856568E

=+++=．-------12分19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是边长为23的菱形，1DD⊥平面ABCD，1BB⊥平面ABCD，且112BBDD==，,EF分别是11,ADAB的中点．（1）证明：平面//BDEF平面11CBD；（2）若120,A

DC=，求直线1DB与平面BDEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，则O为AC的中点，∵E是1AD的中点，1OECD-----2分又F是1AB的中点11EFBD------4分,OEEFEOEEF=、平面,BDEF1111CDBDD=

，111,CDBD平面11CBD，∴平面//BDEF平面11CBD．------5分（2）取AB的中点M，连接DM，在菱形ABCD中，120,ADCABD=为正三角形，DMAB⊥1DD⊥平面ABC

D,故以1,,DMDCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立如图示的空间直角坐标系，---6分133(0,0,0),(3,3,0),(,,1),(3,3,2)22DBEB−∴1(3,3,2),(3,3,0),D

BDB==33(,.1)22DE=−-----7分设平面BDEF的法向量为0(,,)0nDBnxyznDE===，即33033022xyxyz+=−+=，令1x=则3,3,(1,3,3)yzn=−=−=−−，------9分设直线1DB与平

面BDEF所成角为，则111,313sincos,26DBnDBnDBn===故直线1DB与平面BDEF所成角的正弦值为31326．------12分20.（本小题满分12分）已知椭圆C：22221xyab+=(0ab)的左､右焦点分别为1F，2F

，离心率为32，点G是椭圆上一点，12GFF△的周长为643+.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：ykxm=+与椭圆C交于A，B两点，且四边形OAGB为平行四边形，求证：OAGB的面积为定值.【解答】（1）因为1

2GFF△的周长为643+，所以22643ac+=+，即323ac+=+.-----2分又离心率32cea==，解得23a=，3c=，2223bac=−=.-------4分∴椭圆C的方程为221123xy+=.------5分（2）设()11,Axy，()22,Bxy，(

)00,Gxy，则将ykxm=+代入221123xy+=消去y并整理得()2221484120kxkmxm+++−=，则122814kmxxk+=−+，212241214mxxk−=+，()121222214myykxxmk+=++=+，----7分∵四边形OAGB

为平行四边形，∴()1212,OGOAOBxxyy=+=++，得2282,1414kmmGkk−++，将G点坐标代入椭圆C方程得()223144mk=+，-----8分点O到直线AB的距离为21mdk=+，2121ABkxx=+−，------10分∴平

行四边形OAGB的面积为()22212121223124414mmkSdABmxxmxxxxk−+==−=+−=+22223443331414mmmkk===++.故平行四边形OAGB的面积为定值为

33.------12分21．（本小题满分12分）已知函数()()()ln11cosfxxxax=+−+−．（1）当0a=时，求曲线()yfx=在点111,1fee−−处的切线方程；（2）若存在正实数t，使得当(),x

tt−时，有()0xfx恒成立，求a的值.解：（1）0a=时，()()ln1fxxx=+−．()11111,11,11fxfefxeee=−−=−−=−+．-----2分∴切

线方程为：()1111yexee−−=−−+．整理得：()12yexe=−+−．-------4分（2）()()11sin,001fxaxfx=−+=+．令()()gxfx=，得

()()()21cos,011gxaxgax=+=−+．令()()()()32,sin1hxgxhxaxx==−+．（ⅰ）当1a=时，()hx为11−（，）上的减函数，()11sin10h=−．∴11x−

时，()0hx，()hx递增．又此时()00h=，故10x−时，()0hx，()gx递减．01x时，()0hx，()gx递增．∴11x−时，()()00gxg=，()fx递增．由()00f=．故10x−时，()()00fxf

=．01x时，()()00fxf=．此时，存在1t=使11x−时，()0xfx，满足条件．------6分（ⅱ）当1a时，10x−，()0hx，()hx递增．此时，()11010,11cos10hahaaa=−−+=

−−−+．故存在()11,0x−使得()10hx=．当10xx时()0hx，()gx递增．∴10xx时，()()00gxg=，()fx递减．即10xx时，()()()000fxfxfx=，，不存在0t，使(),0xt

−时，()0xfx．-----8分（ⅲ）当01a时，()()211hxax−++，令()21<01ax−++，得111xa−−+．∴101xa−+时，()()0,hxgx递减，()()()00g

xgfx=，递减．即101xa−+时，()()()00,0fxfxfx=，不存在0t，使()0,xt时，()0xfx．------10分（ⅳ）当0a时，()gx在0,2

递减．()()()<00,gxgfx=递减．故02x时，()()()00,0fxfxfx=，不存在0t，使()0,xt时，()0xfx．综上所述：1a=．-------12分请考生在第22、23

两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因为其形状像心的形状而得名

．在极坐标系Ox中，方程(1sin)a=−(0)a表示的曲线1C就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线2C的参数方程为1333xtyt=+=+（t为参数）.（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）若曲线1C与2C相交于A、O

、B三点，求线段AB的长.【详解】(1)由1333xtyt=+=+,(t为参数),消参数t化简得普通方程:30xy−=,令cosx=,siny=,即cos3sin0−=化简得3tan3=,即6=即得曲线2C的极坐标方程为6=(R).-----5分

(2)由曲线1C极坐标方程()1sina=−,得其普通方程为:()2222xyaxyy+=+−联立()222230xyaxyyxy+=+−−=解得()3333A,,B,,O0,04444aaaa

−−所以由两点间距离公式得22333324444aaaaABa=+++=-----10分23.选修4-5：不等式选讲（本小题满分12分）设函数()()2,2fxx

agxx=−=+.（1）当1a=时，求不等式()()()fxfxgx+−的解集；（2）求证：1,,222bbfff−中至少有一个不小于12.【解析】（1）当1a=时，21212xxx−+++1{242xxx−−+无解；11{2222xx

−+解得102x；1{242xxx+解得1223x综上，不等式的解集为2{|0}3xx.-----5分（2）1221221212222bbfffbabaababaaaaa+−+=−+++−−−−++−+−=故1,,2

22bbfff−中至少有一个不小于12.------10分