【文档说明】安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期5月仿真试卷（二）数学（文）试题 含答案.docx，共(13)页，1.289 MB，由小赞的店铺上传

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舒城中学2021届高三仿真试卷（二）文数本试卷共23题，共150分.考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使

用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁

，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.6．月考范围:高考全部内容.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2lo|g0Axx=，2

|20Bxxx=−−，则AB=（）A．{|12}xxB．{|11}xx−C．{|1}xx−D．{|21xx−或1}x2.已知复数21,zz在复平面内对应的点分别为),3(1aZ，)1,2(2Z，且21zz为纯虚数，则实数=aA．6B．23−C．56D．-

63.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角12=，现在向该大正方形区

域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是（）A．58B．12C．34D．784.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘

制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（）A．除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B．所有主题中，三个学段的总和“图形几

何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4%.C．第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.D．“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比随学段的增长而增长.

5.若双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=与圆222:Mxyc+=的公共点和双曲线两个焦点(,0),(,0)cc−构成正六边形，则C的离心率为（）A．2B．2C．423+D．31+6.已知24(0,),sin225=−

，则sincos−=（）A．75B．75−C．75D．157．已知函数()2xfxx=+，()lngxxx=+，()1hxxx=−−的零点分别为1x，2x，3x，则1x，2x，3x的大小关系是()A．123xxxB．213xxxC．

132xxxD．321xxx8．函数12sinyxx=+的图象大致是（）舒中高三仿真试卷（二）文数第1页（共6页）舒中高三仿真试卷（二）文数第2页（共6页）A．B．C．D．9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五

升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的1.5S=（单位：升），则器中米k应为（）A．2升B．3升C．4升D．6升10.某小区打算将如图的一直三角形ABC区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF,在其内建

造文化景观.已知20ABm=,10ACm=,则DEF区域内面积(单位：2m)的最小值为（）A．253B．75314C．10037D．753711.已知正方体1111-ABCDABCD的棱长为2，E为

11AB的中点，下列说法中正确的是（）A．1ED与1BC所成的角大于60B．点E到平面11ABCD的距离为1C．三棱锥1EABC−的外接球的表面积为125224D．直线CE与平面1ADB所成的角为412.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，过点F分别

作两条直线1l，2l，直线1l与抛物线C交于A、B两点，直线2l与抛物线C交于D、E两点，若1l与2l的斜率的平方和为1，则ABDE+的最小值为（）A．16B．20C．24D．32二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向

量(2,0),(2,1),(,1)abcx=−==满足条件3ab+与c共线，则x的值为__________14.数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、

89、144、233、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列na满足：11a=，21a=，21n

nnaaa++=+，若则k=__________15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产A，B两种饮品.生产1吨A饮品，需1小时，获利900元；生产1吨B饮品，需1小时，获利1200元.每天B饮品的产量不超过饮品A产量的2倍，每天生产

B饮品的时间不低于生产A饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为__________元．16.已知,,,abcdR且满足332alnadbc+−==1，则22()()acbd−+−的最小值为_____.三、解答题:本大题共6小

题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（ー）必考题:共60分.17.（12分）已知数列na的前n项和为nS，且()*21nnSan−=N.(Ⅰ)求数列na的通项公

式；(Ⅱ)设1nnnnabSS+=，数列nb的前n项和nT，且nTm对任意*nN恒成立，求m的取值范围.舒中高三仿真试卷（二）文数第3页（共6页）舒中高三仿真试卷（二）文数第4页（共6页）18.（12分）如图，四边形A

BCD是边长为23的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（Ⅱ）若∠ADC＝120°，求多面体B1BDEF的体积．19.（12分）高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修4-4和

选修4-5中任选一题作答，满分10分.某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答情况，计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将1000名考生的成绩按照随机顺序依次编号为000~999.（

Ⅰ）若采用系统抽样法抽样，从编号为000~999的成绩中随机确定的编号为026，求样本中的最大编号.（Ⅱ）若采用分层抽样法，按照学生选择选修4-4或选修4-5的情况将成绩分为两层，已知该校共有600名考生选择了选修4-4，400名考生选择了选

修4-5，在选取的样本中，选择选修4-4的平均得分为6分，方差为2，选择选修4-5的平均得分为5分，方差为0.75.用样本估计该校1000名考生选做题的平均得分和得分的方差.20.（12分）已知椭圆C：22221xyab+=(0ab)的左､右焦点分别为1F，2F，离心率为32，点G是椭

圆上一点，12GFF△的周长为643+.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：ykxm=+与椭圆C交于A，B两点，且四边形OAGB为平行四边形，求证：OAGB的面积为定值.21.（12分）已知函数()()ln,f

xxxaaR=+.（Ⅰ）若()fx不存在极值点，求a的取值范围；（Ⅱ）若0a，证明：()sin1xfxex+−.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22.[选修4—4:坐标系与参数方程]（10分）据说，年过半百的

笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：(1sin)a=−(0)a国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的坐标知识，

画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣（仅是一个传说）.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名

．在极坐标系Ox中，方程(1sin)a=−(0)a表示的曲线1C就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线2C的参数方程为1333xtyt=+=+（t为参数）.（Ⅰ）求曲线

2C的极坐标方程；（Ⅱ）当a=1时，曲线1C与2C相交于A、O、B三点，求线段AB的长.23.[选修4—5:不等式选讲]（10分）设函数()()2,2fxxagxx=−=+.（Ⅰ）当1a=时，求不等式()()()fxfxgx+−的解集；（Ⅱ）求证：1,,222bbfff

−中至少有一个不小于12.舒中高三仿真试卷（二）文数第5页（共6页）舒中高三仿真试卷（二）文数第6页（共6页）1．已知集合2lo|g0Axx=，2|20Bxxx=−−，则AB=（）．A．{|12}xxB．{|11}xx−C．{|1}xx−D．{

|21xx−或1}x【答案】C【详解】2lo|g0Axx==1|xx，2|20Bxxx=−−|12xx=−AB=1|xx|12xx−{|1}xx=−，故选：C2..已知复数21,zz在复平面内对应的点分别为),3(1aZ，)1,2

(2Z，且21zz为纯虚数，则实数=a（）A．6B．23−C．56D．-6【答案】A3.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的

详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角12=，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是()A．58B．12C．34D．78【答案】A【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，则由直

角三角形中较小的锐角12=，得此直角三角形另外直角边长为23+，斜边长62+，则小正方形的边长为13+，大正方形的边长为62+，设“飞镖落在阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：()()221(13)123528

(62)PA+++==+，故选A．4.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（）A．除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都

随着学段的升高而增加，尤其“图象几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B．所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4%.C．第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.D．“数与代数”条目数虽然随着学段的增

长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长.【答案】D【详解】结合统计图表可知，除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍，故A正确；所有主题中，三个学段的总和“图形

几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4%，故B正确；第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多，故C正确；对D中，显然“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少；而“图形几何”条目数，百分比

随着学段数先减后增，故D错误；故选：D5.若双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=与圆222:Mxyc+=的公共点和双曲线两个焦点(,0),(,0)cc−构成正六边形，则C的离心率为A．2B．2C．423+D．31+【答案】D【详解】根据题意作图，如下图，由12,,,,,

FMNFPQ构成正六边形可知：122FFc=，1FQc=,23FQc=,由双曲线定义可知：2132FQFQcca−=−=，所以双曲线的离心率：23131cea===+−，故选D6.已知24(0,),sin225=−，则sincos−=（）A．75B．75

−C．75D．15【答案】A【详解】∵24sin22sincos25==−，(0,)，∴sin0,cos0，2222449(sincos)sin2sincoscos1sin21()2525−=−+=−=−−=，

∴7sincos5−=．故选A．7．已知函数()2xfxx=+，()lngxxx=+，()1hxxx=−−的零点分别为1x，2x，3x，则1x，2x，3x的大小关系是()A．123xxxB．213xxxC．132xxxD．321xxx

【答案】A【详解】()2xfxx=+的零点必定小于零，()lngxxx=+的零点必位于()0,1内，函数()1hxxx=−−的零点必定大于1．因此，这三个函数的零点依次增大，故123xxx．故选：A．8．函数

12sinyxx=+的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为112sin()2sinxxxx+−=−+−,所以函数12sinyxx=+是奇函数，图象关于原点对称，故排除D;当15x=

时，112sin52sin05xx+=+，故排除A;当2x=时，112sin2sin202xx+=+,故排除B，故选:C.9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的

一个程序框图，当输出的1.5S=（单位：升），则器中米k应为（）A．2升B．3升C．4升D．6升【答案】D【详解】程序运行变量值变化如下：1,nSk==，满足4n，2n=，22kkSk=−=；满足4

n，3n=，2233kkkS=−=；满足4n，4n=，3344kkkS=−=；不满足4n，输出4kS=，∴1.54k=，6k=．故选：D．10.某小区打算将如图的一直三角形ABC区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF,在其内建造文化景观

.已知20ABm=,10ACm=,则DEF区域内面积(单位：2m)的最小值为A．253B．75314C．10037D．7537【答案】D【详解】△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10m，可得CB10

3m=，△DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝π6+θ；则CE＝xcosθ，△BFE中由正弦定理，可得103cossinsin66xx−=+可得x()103103

3sin2cos7sin==++，其中tanα233=；∴x1037；则△DEF面积S21753sin237x=，故选D11.已知正方体1111-ABCDABCD的棱长为2，E为11AB的中点，下列说

法中正确的是（）A．1ED与1BC所成的角大于60B．点E到平面11ABCD的距离为1C．三棱锥1EABC−的外接球的表面积为125224D．直线CE与平面1ADB所成的角为4【答案】D【详解】如图，对于A，取DC的中点F，连接EF，1DF，

则1DEF为1ED与1BC所成的角，∵115DFDE==，22EF=，13tan32DEF=，故A错误；对于B，由于11AB平面11ABCD，故1B到平面11ABCD的距离即点E到平面11ABCD的距离，连接1BC交1BC于G，可得1BG⊥平面11ABCD，而1

2BG=，∴点E到平面11ABCD的距离为2，故B错误；对于C，三棱锥1EABC−的外接球即四棱锥11EABCD−的外接球，∵11ABCD为矩形，且2AB=，122BC=，115EAEBECED====，四棱锥11EABCD

−的高为2，设四棱锥11EABCD−的外接球的半径为R，则222(3)(2)RR=+−，解得524=R．∴三棱锥的外接球的表面积252254()42S==，故C错误；对于D，连接1DC，取1DC的中点H，连接1DB交EC于

K，连接CH，HK，∵1EBDC，∴CKH是直线CE与平面1ADB所成的角，在直角三角形CKH中，223CKCE==，2CH=，∴2sin2CHCKHCK==，故D正确．故选：D12.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，过点F分别作两

条直线1l，2l，直线1l与抛物线C交于A、B两点，直线2l与抛物线C交于D、E两点，若1l与2l的斜率的平方和为1，则ABDE+的最小值为（）A．16B．20C．24D．32【答案】C【解析】易知直线1l，2l的斜率存在，且不为零，设()()1122,,,,Ax

yBxy()()3344,,,DxyExy，直线1l的方程为()11ykx=−，联立方程()2141yxykx==−，得()2222111240kxkxk−++=，21122124kxxk++=，同理直线2l与抛物线的交点满足22

342224kxxk++=，由抛物线定义可知221212342212242424kkABDExxxxpkk+++=++++=++2212448kk=++，又()222212122222121244441,kkkkkkkk+=+=++2222212122221212

444488216kkkkkkkk=+++=（当且仅当2212kk=时取等号），221244816824,ABDEkk+++=+的最小值为24，故选C.13.若向量(2,0),(2,1),(,1)abcx

=−==满足条件3ab+与c共线，则x的值为（）A．2−B．4−C．2D．4【答案】B【详解】向量()2,0a=−，()2,1b=r，(),1cx=r，所以3(6,0)(2,1)(4,1)ab+=−+=−，所以3ab+与c共线，所以11

4x−=，截得4x=−。14.数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领

域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列na满足：11a=，21a=，21nnnaaa++=+，若2357959kaaaaaaa++++++=，则k=_____.【答案】60【详解】由于21nnnaaa++=+，则2357959795945aaaaaaaa

aaa+++++=++++++67959585960aaaaaaa++++==+==LL，因此，60k=.15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产A，B两种饮品.生产1吨A饮品，需1小时，获利900元；生产1吨B饮品，需1小时，获利1200元

.每天B饮品的产量不超过饮品A产量的2倍，每天生产B饮品的时间不低于生产A饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为__________元．【答案】4400【解析】设每天,AB两种饮品的生产数量分别为,xy，目

标函数为9001200zxy=+，则有20040xyxyyx−−+−，可行域为三直线三交点为()()480,0,2,2,,33ABC组成的三角形，9001200zxy=+变形为341200zyx=−+，平移直线341200zyx=−+，当直线341200z

yx=−+经过48,33C，即当48,33xy==时，直线3:41200zlyx=−+在y轴上的截距最大，最大获利max489001200440033z=+=，故答案为4400.16.已知,,,abcdR且满足332alnadbc+−==1，则22()()acbd−+−的

最小值为_____.【答案】95ln223e【详解】因为3312alnadbc+−==，所以可将(,)Pab，(,)Qcd分别看成函数3lnyxx=+与23yx=+上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设(,3)Mttlnt+是曲线3lnyxx=+的切

点，因为31yx=+故点M处的切斜的斜率31kt=+，由题意可得312t+=，解得3t=，也即当切线与已知直线23yx=+平行时，此时切点(3,33ln3)M+到已知直线23yx=+的距离最近，最近距离6333363355lnlnd−−+−==，

也即222229(2ln3)9()()ln553eacbd−−+−==.故答案为：95ln223e17.已知数列na的前n项和为nS，且()*21nnSan−=N.(1)求数列na的通项公式；(2)设1nnnnabSS+=，数列nb的前n

项和nT，且nTm对任意*nN恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）12nna−=；（2）12m．【详解】（1）(1)因为()*21nnSan=−N，①所以()11212nnSan−−=−，②由①式-②式得()1222nnnaaan−=−，即()12

2nnaan−=，又当1n=时，1121aa=−，解得11a=，所以na是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nna−=.(2)122112nnnS−==−−，()()11112111221212121nnnnnnnnnabSS−+++===−−−−−，122311

11111111112212121212121221nnnnT++=−+−++−=−−−−−−−−112111022121nnnnTT+++−=−−−，所以nT单调递增，且12nT→，所以12m.18.如图，四边形ABC

D是边长为2的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接

AC，交BD于点O，连接OE，则O为AC的中点，∵E是AD1的中点，∴OE∥CD1，又F是AB1的中点，∴EF∥B1D1，∵OE∩EF＝E，OE、EF⊂平面BDEF，CD1∩B1D1＝D1，CD1、B1D1⊂平面CB1D1，

∴平面BDEF∥平面CB1D1．（Ⅱ）解：19.高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修4-4和选修4-5中任选一题作答，满分10分.某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答

情况，计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将1000名考生的成绩按照随机顺序依次编号为000~999.（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为000~999的成绩中随机确定的编号为026，求样本中的最大编号.（2）若采用分层抽样法，按照学生选择选修4-4或选修4

-5的情况将成绩分为两层，已知该校共有600名考生选择了选修4-4，400名考生选择了选修4-5，在选取的样本中，选择选修4-4的平均得分为6分，方差为2，选择选修4-5的平均得分为5分，方差为0.75.用样本估计该校1000名考生选做题的

平均得分和得分的方差.【答案】（1）926（2）估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6，方差为1.74【详解】（1）组距为100010010=，所以最大编号为()26100101926+−=.（2）样本中选择选修4-4的考生有6

人，4-5的考生有4人，所以得分平均数为()166455.610+=，从选择选修4-4的考生中抽取6人，分别记为1a，2a，…，6a，从选择选修4-5的考生中抽取4人，分别记为1b，2b，3b，4b，则()()()2

22126166626aaa−+−++−=，由于()22211nniiiixxxnx==−=−，所以所以22221262666228aaa+++=+=，同理可求得22221234103bbbb+++=，所

以样本得分的方差为()()()()222114615.65.65.65.610aabb−++−+−++−()2222216141614111.2105.610aabbaabb=+++++−++++++

122810311.2561631.361.7410=+−+=.所以估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6，方差为1.74.20.已知椭圆C：22221xyab+=(0ab)的左､右焦点分别为1F，2F，离心率为32，点G是椭圆上一点，12GFF△的周长为643+.（

1）求椭圆C的方程；（2）直线l：ykxm=+与椭圆C交于A，B两点，且四边形OAGB为平行四边形，求证：OAGB的面积为定值.【答案】（1）221123xy+=；（2）证明见解析.【解答】（1）因为12GFF△的周长为643+，所以22643ac+

=+，即323ac+=+.又离心率32cea==，解得23a=，3c=，2223bac=−=.∴椭圆C的方程为221123xy+=.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Gxy，将ykxm=+代入221123xy+=消去y并整理得()222

1484120kxkmxm+++−=，则122814kmxxk+=−+，212241214mxxk−=+，()121222214myykxxmk+=++=+，∵四边形OAGB为平行四边形，∴()1212,OGOAOBxxyy=+=++，得2282,1414kmmGkk−+

+，将G点坐标代入椭圆C方程得()223144mk=+，点O到直线AB的距离为21mdk=+，2121ABkxx=+−，∴平行四边形OAGB的面积为()22212121223124414mmkSdABmxxmxxxxk−+==−=+−=+22223443

331414mmmkk===++.故平行四边形OAGB的面积为定值为33.21.已知函数()()ln,fxxxaaR=+.（1）若()fx不存在极值点，求a的取值范围；（2）若0a，证明：()sin1xfxex+−.【答案】

（1）(2,e−−−（2）详见解析【解析】（1）()fx的定义域为(),a−+，且()()lnxfxxaxa=+++，设()()lnxgxxaxa=+++，则()()()2212axagxxa

xaxa+=+=+++.①当2aa−−，即0a时，()0gx，所以()gx在(),a−+上单调递增；又()()11ln101gaa=+++，()2210geaea−−=−−，即()()

210ggea−−，所以()gx在(),a−+上恰有一个零点0x，且当()0,xax−时，()()0fxgx=；当()0,xx+时，()()0fxgx=；所以()fx在()0,ax−上单调递减，在()0,x+上单调递增，所以0x是()fx的极小值点，不

合题意.（2）当2aa−−，即0a时，令()0gx=，得2xa=−，当(),2xaa−−时，()0gx；当()2,xa−+时，()0gx；即()gx在(),2aa−−上单调递减，在()2,a−+

上单调递增.①当()()ln20gaa−=−+即2ae−−时，()()()20fxgxga=−恒成立，即()fx在(),a−+上单调递增，无极值点，符合题意.②当()()2ln20gaa−=−+，即20ea−−

时，()110gaa−=−，所以()()210gaga−−，所以()gx在()2,a−+上恰有一个零点1x，且当()12,xax−时，()()0fxgx=；当()1,xx+时，()()0fxgx=；即()fx在()12,ax−上单调递减，在()1,x+上单调递增，

所以1x是()fx的极小值点，不合题意.综上，a的取值范围是(2,e−−−；（2）因为0a，xa−，所以()()0,lnlnxfxxxaxx=+，要证明()sin1xfxex+−，只需证明lnsin1xxxex+−，当01x时，因为sin10,ln0xexxx+−

，所以lnsin1xxxex+−成立；当1x时，设()sinln1xgxexxx=+−−，则()lncos1xgxexx+=−−，设()()hxgx=，则()1sinxhxexx=−−，因为1x，所以()110hxe−−，所以()hx在)1,+上单调

递增，所以()()1cos110hxhe=+−，即()0gx，所以()gx在)1,+上单调递增，所以()()1sin110gxge=+−，即lnsin1xxxex+−，综上，若0a，则()<sin1xfxex+−.22.据说，年过半百的笛卡尔担任瑞典一小

公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：(1sin)a=−(0)a国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的坐标知识，画出了这个图形“心形线”

.明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣（仅是一个传说）.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程(1sin)a

=−(0)a表示的曲线1C就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线2C的参数方程为1333xtyt=+=+（t为参数）.（1）求曲线2C的极坐标方程；

（2）当a=1时，若曲线1C与2C相交于A、O、B三点，求线段AB的长.【答案】（1）()6R=；（2）2a【详解】(1)由1333xtyt=+=+,(t为参数),消参数t化简得普通方程:30xy−=,令cosx=,siny=,即cos3sin0−

=化简得3tan3=,即6=即得曲线2C的极坐标方程为6=(R).(2)由曲线1C极坐标方程()1sina=−,得其普通方程为:()2222xyaxyy+=+−联立()222230xyaxyyxy+=+−−=解得()3333A,,B

,,O0,04444aaaa−−所以由两点间距离公式得22333324444aaaaABa=+++==2.23.选修4-5：不等式选讲设函数()()2,2fxxagxx=−=+.（1）当1a=时，求不等式()()()f

xfxgx+−的解集；（2）求证：1,,222bbfff−中至少有一个不小于12.【答案】（1）2|03xx；（2）见解析．【解析】：⑴当1a=时，21212xxx−+++1{2

42xxx−−+无解；11{2222xx−+解得102x；1{242xxx+解得1223x综上，不等式的解集为2{|0}3xx.⑵由1221221212222bbfffbabaababaaaaa+−+=−+++−

−−−++−+−=故1,,222bbfff−中至少有一个不小于12.