【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.14 三角函数的应用（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(17)页，721.951 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.14三角函数的应用（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高一课时练习）简谐运动𝑦=4sin(5𝑥−𝜋3)的相位与初相分别是（）A．5𝑥−𝜋3，𝜋

3B．5𝑥−3，4C．5𝑥−3，−𝜋3D．4，𝜋3【解题思路】根据相位与初相的概念，直接求解即可.【解答过程】相位是5𝑥−𝜋3；当𝑥=0时的相位为初相，即−𝜋3.故选：C.2．（3分）（2022·安徽·高三阶段练习）我们平时听到的乐音不只是一个音在

响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为𝑓的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2𝑓，3𝑓，4𝑓等.这些音叫谐音

，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为𝑦=sin𝑥+12sin2𝑥+13sin3𝑥+14sin4𝑥+⋅⋅⋅.则函数𝑦=sin𝑥+12sin2𝑥+13sin3𝑥的周期为（）A．𝜋

B．2𝜋C．23𝜋D．𝜋2【解题思路】函数的周期主要由𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥)验证【解答过程】由𝑦=𝑓(𝑥)=sin𝑥+12sin2𝑥+13sin3𝑥对A：𝑓(𝑥+𝜋)=sin(𝑥+𝜋)+12sin[2(𝑥+𝜋)]+13sin[3(𝑥+𝜋)]≠𝑓(�

�)，故A不正确对B：𝑓(𝑥+2𝜋)=sin(𝑥+2𝜋)+12sin[2(𝑥+2𝜋)]+13sin[3(𝑥+2𝜋)]=sin𝑥+12sin2𝑥+13sin3𝑥=𝑓(𝑥)，故B正确；对C：𝑓(𝑥+23𝜋)=sin(𝑥+2

3𝜋)+12sin[2(𝑥+23𝜋)]+13sin[3(𝑥+23𝜋)]≠𝑓(𝑥)，故C不正确；对D：𝑓(𝑥+𝜋2)=sin(𝑥+𝜋2)+12sin[2(𝑥+𝜋2)]+13sin[3(𝑥+

𝜋2)]≠𝑓(𝑥)，故D不正确；故选：B.3．（3分）（2022·湖北·高一阶段练习）一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)

+2，𝐴>0，𝜔>0，则有（）A．𝐴=5，𝜔=3𝜋10B．𝐴=5，𝜔=10𝜋3C．𝐴=3，𝜔=2𝜋15D．𝐴=3，𝜔=15𝜋2【解题思路】根据题意可得周期，由𝜔=2𝜋𝑇可得𝜔，由最值可得A

，然后可得答案.【解答过程】因为水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，函数周期𝑇=609=203，所以𝜔=2𝜋𝑇=2𝜋203=3𝜋10由图知，点P到水面距离的最大值为7，所以𝐴+2=7，得𝐴=

5.故选：A.4．（3分）（2022·江西·高三开学考试（文））时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某

景区一天内5~17时的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式𝑇=20−10sin(𝜋8𝑡−𝜋8)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（）(sin3𝜋10≈0.8)A．1.4hB．2.4hC．3.2hD．5.6h【解题思路】由函数关系式𝑇=20−10sin(�

�8𝑡−𝜋8)分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.【解答过程】设𝑡1时开始开放，𝑡2时开始闭合，则20−10sin(𝜋8𝑡1−𝜋8)=20,又𝑡1∈[5,17]，解得𝑡1=9，20−10sin(𝜋8𝑡2−𝜋8)=28，∴sin(

𝜋8𝑡2−𝜋8)=−45,由sin3𝜋10≈0.8得sin13𝜋10≈−45，∴𝜋8𝑡2−𝜋8=13𝜋10,∴𝑡2=575,∴𝑡2−𝑡1=125=2.4.故选：B.5．（3分）（2021·全国·高一专

题练习）如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（）A．该质点的振动周期为0.7𝑠B．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的振动速度为0【解题思路】根据

简谐运动的概念判断AB，运动曲线与速度的关系判断CD．【解答过程】由图象可知周期是0.8𝑠，A错，振幅为5cm，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在0.1s和0.5s时振动速度为0，C错，质点在0.3s和0.7s时的振动速度不为0，D错．故选：B．6．（3分）（202

2·江西赣州·高三期中（文））在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20∘C，但当气温上升到31∘C

时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时∼14时的气温𝑇（单位：⬚∘C）与时间𝑡（单位：小时）近似满足函数关系式𝑇=25+10sin(π8𝑡+3π4)

，则在6时∼14时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据：sinπ5≈0.6）A．6.7时∼11.6时B．6.7时∼12.2时C．8.7时∼11.6时D．8.7时∼12.2时【解题思路】由三角函数的性质求解【解答过程】当𝑡∈[6,14]时，π8𝑡+3π4∈[3π2,5π2]，则𝑇=25

+10sin(π8𝑡+3π4)在[6,14]上单调递增.设花开､花谢的时间分别为𝑡1,𝑡2.由𝑇1=20，得sin(π8𝑡1+3π4)=−12,π8𝑡1+3π4=11π6，解得𝑡1=263≈8.7时；由𝑇2=31，得sin(π8𝑡2+3π

4)=0.6≈sinπ5,π8𝑡2+3π4≈11π5，解得𝑡≈11.6时.故在6时∼14时中，观花的最佳时段约为8.7时∼11.6时.故选：C.7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）阻尼器是一种以提

供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为𝑦=sin(𝜔𝑡+�

�)(𝜔>0,|𝜑|<𝜋)，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为𝑡1，𝑡2，𝑡3(0<𝑡1<𝑡2<𝑡3)，且𝑡1+𝑡2=2，𝑡2+𝑡3=6，则在一个周期内阻尼

器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（）A．13sB．23sC．1sD．43s【解题思路】由条件确定函数𝑦=sin(𝜔𝑡+𝜑)的周期，再由周期公式求𝜔，再由条件关系列不等式求一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0

.5m的总时间.【解答过程】因为𝑡1+𝑡2=2，𝑡2+𝑡3=6，𝑡3−𝑡1=𝑇所以𝑇=4，又𝑇=2𝜋𝜔，所以𝜔=𝜋2，所以𝑦=sin(𝜋2𝑡+𝜑)，由𝑦>0.5可得sin(𝜋2�

�+𝜑)>0.5，所以2𝑘𝜋+𝜋6<𝜋2𝑡+𝜑<5𝜋6+2𝑘𝜋,𝑘∈Z，4𝑘+13−2𝜋𝜑<𝑡<53−2𝜋𝜑+4𝑘,𝑘∈Z，(4𝑘+53−2𝜋𝜑)−(4𝑘+13−2𝜋𝜑)=43，所以在一个周期

内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为43s.故选：D.8．（3分）（2022·福建泉州·一模（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（

船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜙)+𝐾（𝐴>0,

𝜔>0）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（要考虑船只驶出港口需要一定时间）A．5:00至5:30B．5:30至6:00C．6:00至6:30D．6:30至7:00【

解题思路】根据题意，求出函数的表达式为𝑦=2.5sin𝜋6𝑥+5,(0≤𝑥≤24)，即可得解.【解答过程】由题意得，函数𝑦=𝑓(𝑥)的周期为𝑇=12，振幅𝐴=2.5,𝐵=5，所以𝑤=2𝜋12=𝜋6，

又因为𝑥=3⇒𝑦=7.5达到最大值，所以由7.5=2.5sin(𝜋6×3+𝜑)+5，可得sin(𝜋2+𝜑)=1，所以𝜑=2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，所以函数的表达式为𝑦=2.5sin𝜋6𝑥+5,(0≤𝑥≤24)，令2.5sin𝜋6𝑥+5≥5.5，解得6≤𝑥≤

132，所以在6:00∼6:30可安全离港，故选C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·湖北·模拟预测）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移𝑠

(cm)和时间𝑡(s)的函数关系式为𝑠=2sin(𝜔𝑡+𝜑)，其中𝜔>0，若该阻尼器模型在摆动过程中位移为1的相邻时刻差为𝜋3，则𝜔的可能取值为（）A．2B．3C．4D．6【解题思路】令2sin(𝜔𝑡+𝜑)=1得�

�=2𝑘𝜋+𝜋6−𝜑𝜔或𝑡=2𝑘𝜋+5𝜋6−𝜑𝜔，𝑘∈𝑍，所以两相邻时刻差为2𝜋3𝜔或4𝜋3𝜔，由此可求得答案.【解答过程】解：令2sin(𝜔𝑡+𝜑)=1得𝑡=2𝑘𝜋+𝜋6−𝜑𝜔或𝑡=2𝑘𝜋+5𝜋

6−𝜑𝜔，𝑘∈𝑍，所以两相邻时刻差为2𝜋3𝜔或4𝜋3𝜔，当2𝜋3𝜔=𝜋3时，得𝜔=2，当4𝜋3𝜔=𝜋3时，得𝜔=4.故选：AC.10．（4分）（2021·全国·高一专题练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲

线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是（）A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14C．该函数的解析式是y＝10sin(𝜋8𝑥+3𝜋4)＋20(6≤

x≤14)D．这一天的函数关系式也适用于第二天【解题思路】根据图象得出该函数的周期，可判断A选项的正误；根据图象可知该函数在𝑥=14取得最大值，可判断B选项的正误；结合图象求出该函数的解析式，可判断C选项的正误；第二天的函数关系与第一天的情况不一定一样，所以，可判断D

选项的正误.综合可得出结论.【解答过程】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为𝑇=2×(14−6)=16，A选项正确；对于B选项，该函数在𝑥=14取得最大值，所以，该函数图象的一条对称轴是直线𝑥=14，B选项正确；对于C选项，由图象可得{𝐴+𝐵=30−𝐴+�

�=10，解得{𝐴=10𝐵=20，𝜔=2𝜋𝑇=2𝜋16=𝜋8，∵图象经过点(14,30)，∴30=10sin(𝜋8×14+𝜑)+20，∴sin(7𝜋4+𝜑)=1.∵0<𝜑<𝜋，∴7𝜋4<7𝜋4+𝜑<11𝜋4，则7𝜋4+𝜑=5𝜋2，∴𝜑=3�

�4，所以，函数解析式为𝑦=10sin(𝜋8𝑥+3𝜋4)+20(0≤𝑥≤24)，C选项错误；这一天的函数关系式不一定适用于第二天，要具体情况具体分析，所以，D选项错误.故选：AB.11．（4分）（2022·全国·高一）如图所

示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8s【解题思路】由题图求得质点的振动周期可判定A错，

D正确；由该质点的振幅，可判定B正确；由简谐运动的特点，可判定C正确．【解答过程】由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8s，所以A错，D正确；该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡

位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．故选：BCD.12．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转

动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点𝑃0位置）开始计时，则下列判断正确的有（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米D

．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米【解题思路】结合周期性以及角度判断出正确答案.【解答过程】设水面为𝑃0𝑃3，过𝑂作直径𝑃1𝑃4⊥𝑃0𝑃3，垂足为𝐴，依题意𝑂𝐴=1.8米，

所以∠𝐴𝑂𝑃0=60°，∠𝑃0𝑂𝑃1=120°，𝑃第一次到达最高点𝑃1需要的时间为120360×60=20秒，A选项正确.根据对称性可知，𝑃由𝑃0运动到𝑃3，需要时间20×2=40秒，B选项正确.当水轮转动95秒时，位置与

95−60=35秒时相同，35秒转过的角度为3560×360°=210°，如图中𝑃2的位置，其中𝑂𝑃1⊥𝑂𝑃2，故此时𝑃在水面上方，距离水面的距离等于𝑂𝐴=1.8米，C选项正确.当水轮转动50

秒时，位于𝑃4的位置，距离水面3.6−1.8=1.8米，D选项错误.故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021·全国·高一单元测试）如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移

，则这个振子振动的函数解析式是y＝2sin(52𝜋𝑥+𝜋4).【解题思路】根据题意，进行求解即可.【解答过程】A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝2𝜋0.8＝5𝜋2，∴y＝2sin(5𝜋2𝑥+𝜑)，将(0.1,2)

代入得：5𝜋2×0.1＋φ＝𝜋2，∴φ＝𝜋4，∴y＝2sin(5𝜋2𝑥+𝜋4).故答案为：y＝2sin(5𝜋2𝑥+𝜋4).14．（4分）（2021·全国·高一课时练习）下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速

度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式𝑑=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+1(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)，则函数关系式为𝑑=2sin(215𝜋𝑡−𝜋6)+1.【解

题思路】先阅读题意，再求出𝐴,𝜔,𝜑即可得解.【解答过程】解：∵水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，∴𝐴=2.又∵水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，∴𝑇=15=2𝜋𝜔，∴𝜔=215𝜋.顺时针旋转∵𝑡=0时，𝜔𝑡+𝜑=2𝑘𝜋−𝜋6，∴𝜑

=2𝑘𝜋−𝜋6(𝑘∈𝑍)，∵|𝜑|<𝜋2，∴𝜑=−𝜋6.∴𝑑=2sin(215𝜋𝑡−𝜋6)+1，故答案为：𝑑=2sin(215𝜋𝑡−𝜋6)+1.15．（4分）（2021

·福建省高一阶段练习）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数𝑦=𝑎+𝐴cos[𝜋6(𝑥−6)](𝐴>0,𝑥=1,2,3,⋯,12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28°C，12月份的月平均气温最

低，为18°C，则10月份的平均气温值为20.5°C.【解题思路】由最低与最高气温可得𝑎=23，𝐴=5，进而可得函数解析式，令𝑥=10，可得解.【解答过程】依题意知，𝑎=28+182=23，𝐴

=28−182=5，所以𝑦=23+5cos[𝜋6(𝑥−6)]，当𝑥=10时，𝑦=23+5cos(𝜋6×4)=20.5，故答案为：20.5.16．（4分）（2022·全国·高一课时练习）某地为发展旅游事业，在

旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：℃），如图.根据图中提供的数据，试用𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝑏近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系为𝑦=6sin(𝜋7𝑥−9𝜋14)+21，𝑥=1,2

,⋯,12.【解题思路】从气温曲线找到最高气温：27、最低气温:15求A，由周期𝑇=2(8−1)=14求𝜔，利用最高点、最低点坐标求𝜑、𝑏，得函数解析式.【解答过程】若以1月份为最低气温，8月份为最高气温，则

可得𝐴=27−152=6,𝑇=2(8−1)=14𝜔=2𝜋𝑇=𝜋7,当𝑥=6,8𝜋7−𝜑=𝜋2,解得𝜑=−9𝜋14,此时6+𝑏=27，解得𝑏=21，所以函数解析式为𝑦=6sin(𝜋7𝑥−9𝜋14)+21,𝑥=1,2,⋯,12.故答案为：𝑦=6si

n(𝜋7𝑥−9𝜋14)+21.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·河南·高二阶段练习）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：𝑓(𝑡)=10-√3cos𝜋12𝑡-sin𝜋12𝑡,(𝑡∈[0,24

))．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．【解题思路】（1）由题意，将8代入三角函数中，可得答案；（2）根据辅助角公式，化简三角函数，结合正弦函数的性质，可得答案.【解答过程】（1）𝑓(8)=10-√3cos8𝜋12-

sin8𝜋12=10-√3cos2𝜋3-sin2𝜋3=10-√3×(-12)-√32=10.故实验室上午8时的温度为10℃．（2）𝑓(𝑡)=10-√3cos𝜋12𝑡-sin𝜋12𝑡=10-2(√32cos𝜋12𝑡+12sin𝜋12𝑡)=10-2sin(𝜋12𝑡+𝜋

3)，因为0≤𝑡<24，所以𝜋3≤𝜋12𝑡+𝜋3<7𝜋3，-1≤sin(𝜋12𝑡+𝜋3)≤1．当𝑡=2时，sin(𝜋12𝑡+𝜋3)=1；当𝑡=14时，sin(𝜋12𝑡+𝜋3)=-1，故𝑓(𝑡)∈[8,12]

，于是𝑓(𝑡)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．18．（6分）（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从4∼18时的温度变化曲线近似满足𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝑏，其中𝐴>

0，𝜔>0，0<𝜑<𝜋.(1)求𝐴，𝑏，𝜔，𝜑；(2)求这一天4∼12时的最大温差近似值.参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7.【解题思路】（1）由图象可确定𝑓(𝑥)的最值和最小正周期，由此可得𝐴,𝑏,

𝜔；根据𝑓(14)=30可求得𝜑；（2）根据单调性可知𝑓(𝑥)min=𝑓(6)，𝑓(𝑥)max=𝑓(12)可作差得到结果.【解答过程】(1)由图象可知：𝑓(𝑥)max=30，𝑓(𝑥)min=10，𝑓(𝑥)最小正周期𝑇=2×(14−6)=16，∴𝐴=𝑓

(𝑥)max−𝑓(𝑥)min2=10，𝑏=𝑓(𝑥)max+𝑓(𝑥)min2=20，𝜔=2𝜋𝑇=𝜋8；∵𝑓(14)=10sin(𝜋8×14+𝜑)+20=30，∴sin(7𝜋4+

𝜑)=1，∴7𝜋4+𝜑=𝜋2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，解得：𝜑=−5𝜋4+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，又0<𝜑<𝜋，∴𝜑=3𝜋4.(2)由图象可知：𝑓(𝑥)在[4,6)上单调递减，在(6,12]上单调递增，∴𝑓(𝑥)min=𝑓(6

)=10，𝑓(𝑥)max=𝑓(12)=10sin9𝜋4+20=5√2+20，∴𝑓(𝑥)max−𝑓(𝑥)min=10+5√2≈10+5×1.4=17，即这一天4∼12时的最大温差近似值为17.19．（8分）（2022·全国·高三专

题练习）下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：（1）写出这个简谐运动的振幅､周期与频率（2）从𝑂点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从𝐴点算起呢？（3）写出这个简谐运动的函数表达式.【解题思路

】(1)从图像中可以直接得到振幅、计算周期和频率；(2)从图像中可以看出；(3)设这个简诺动的函数解析式为𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑),𝑥∈[0,+∞),从图像得到𝐴,𝜔,𝜑，即可得到解析式.【解答

过程】(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm，周期为0.8s,频率为10.8=54；(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次

往复运动；(3)设这个简谐运动的函数解析式为𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑),𝑥∈[0,+∞),由图像可知：𝐴=2，𝜑=0，又由𝑇=2𝜋𝜔=0.8，得：𝜔=5𝜋2.所以所求简谐运动的函数解析式为𝑦=2sin5�

�2𝑥,𝑥∈[0,+∞).20．（8分）（2022·浙江宁波·高一期末）某地一天的时间𝑥(0⩽𝑥⩽24，单位：时)随气温𝑦(⬚oC)变化的规隼可近似看成正弦函数𝑦=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵的图象，如图所示.（1）根据图中数据，试求𝑦

=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵(𝐴>0,𝜔>0,−𝜋<𝜑<0)的表达式.（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于23oC，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？【解

题思路】（1）首先求出𝐴、𝐵，再根据函数的周期求出𝜔，最后根据函数过点(3,14)求出𝜑，即可得到函数解析式；（2）依题意令𝑦≥23，再根据正弦函数的性质解不等式，即可得解；【解答过程】解：（1）

依题意可得{𝐴+𝐵=26−𝐴+𝐵=14解得{𝐴=6𝐵=20，又𝑇2=15−3即𝑇=24=2𝜋𝜔，解得𝜔=𝜋12，所以𝑦=6sin(𝜋12𝑥+𝜑)+20，又函数过点(3,14)，所以6sin(𝜋12×3+𝜑)+20=14，即sin(𝜋4+�

�)=−1，所以𝜋4+𝜑=−𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，解得𝜑=−3𝜋4+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，因为−𝜋<𝜑<0，所以𝜑=−3𝜋4，所以𝑦=6sin(𝜋12𝑥−3𝜋4)+20；（2）依题意令6si

n(𝜋12𝑥−3𝜋4)+20≥23，即sin(𝜋12𝑥−3𝜋4)≥12所以𝜋6+2𝑘𝜋≤𝜋12𝑥−3𝜋4≤5𝜋6+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍解得11+24𝑘≤𝑥≤19+24�

�,𝑘∈𝑍因为0⩽𝑥⩽24所以11≤𝑥≤19，又19−11=8即老张可在11:00∼19:00外出活动，活动时长最长不超过8小时.21．（8分）（2022·上海市高一期中）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水

面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点𝑃0）开始计算时间．(1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒

）的函数；(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？【解题思路】（1）首先设出函数的解析式，然后结合题意和物理意义及待定系数法确定参数值即可求得函数的解析式；（2）结合（1

）中函数的解析式求解三角不等式即可确定有多长时间点𝑃距水面的高度不低于2米．【解答过程】(1)解：设ℎ=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝑘(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)，根据函数ℎ=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝑘的物理意义

可知：𝐴=𝑂𝑃0=2,𝑘=1，由题意可知当𝑡=0时，ℎ=0，则2sin𝜑+1=0，所以sin𝜑=−12，则𝜑=−𝜋6，又因为函数ℎ=2sin(𝜔𝑡−𝜋6)+1的最小正周期为𝑇=6，所以𝜔=2𝜋𝑇=𝜋3，所以ℎ=2sin(𝜋3𝑡−�

�6)+1(𝑡≥0)；(2)解：根据题意可知，ℎ=2sin(𝜋3𝑡−𝜋6)+1≥2，即sin(𝜋3𝑡−𝜋6)≥12，当水轮转动一圈时，𝑡∈[0，6]，可得：𝜋3𝑡−𝜋6∈[−𝜋6,11𝜋6]，所以此时𝜋6<𝜋𝑡3−𝜋6<5𝜋6，解得

1<𝑡<3，又因为3−1=2（秒)，即水轮转动任意一圈内，有2秒的时间点𝑃距水面的高度不低于2米．22．（8分）（2022·广西·高一开学考试）某港口的水深𝑦（单位：𝑚)是时间𝑡(0≤𝑡≤24,ℎ)的函数，下面是该港口的水深数据：𝑡h⁄03691215182124𝑦m⁄

10139.97101310.1710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5𝑚时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：𝑦=𝑎𝑡+𝑏，𝑦=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)，𝑦=𝐴sin𝜔𝑡+𝐾，你认为哪个模型可以更好地刻画

𝑦与𝑡之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7𝑚，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【解题思路】（1）根据已知数据判断使用的模型，根据三角函数的最值和周期即可求得对应的参数值，

从而求得函数解析式；（2）根据题意，求解三角不等式，即可求得结果并做出判断.【解答过程】(1)函数𝑦=𝐴sin𝜔𝑡+𝐾可以更好地刻画𝑦与𝑡之间的对应关系，根据数据可得：{𝐴+𝐾=13−𝐴+𝐾=7，∴�

�=3，𝐾=10，又∵𝑇=15−3=12，∴𝜔=2𝜋𝑇=𝜋6，∴𝑦=3sin𝜋6𝑡+10(0≤𝑡≤24).(2)由题意，要满足题意，需𝑦≥4.5+7，即3sin𝜋6𝑡+10≥11.5(0≤𝑡≤24)，∴sin𝜋6𝑡≥12，∴𝜋6𝑡

∈[2𝑘𝜋+𝜋6,2𝑘𝜋+5𝜋6],𝑘∈𝑍，解得12𝑘+1≤𝑡≤12𝑘+5，𝑘∈𝑍，当𝑘=0时，𝑡∈[1,5]；当𝑘=1时，𝑡∈[13,17]；∴𝑡∈[1,5]或[13,17]，所以，该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲

于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16个小时．