【文档说明】北京市大峪中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(15)页，687.670 KB，由小赞的店铺上传

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大峪中学2024-2025第一学期高一年级数学学科期中考试试卷（满分：150分；时间：120分钟；命题人：高一集备组；审核人：宋扬）一､选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1.若()()1,20,0A=−,，则集合A中的元素个数是（）A.1个B.2个C3个

D.4个【答案】B【解析】【分析】根据定义直接得到答案.【详解】()()1,20,0A=−,中的元素个数是2故选：B2.命题“20,0xxx−”的否定是（）A.20,0xxx−B.20,0xxx

−C.20,0xxx−D.20,0xxx−【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“20,0xxx−”的否定为：“20,0xxx

−”.故选：B.3.已知四个实数22,2,,2aaaa．当01a时，这四个实数中的最大者是（）A.aB.22aC.2aD.2a【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合作差法比较大小.【详解】由01a，得20aaa−=，则2aa；22(2)0aaaa−=−，

则22aa；.2222(1)0aaaa−=−，则222aa，所以这四个实数中的最大者是2a.故选：C4.“2x”是“2x”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【

解析】【分析】先解不等式2x，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】由2x，解得22x−，所以“2x”是“2x”的必要不充分条件，故选：B5.已知定义在R上的函数()fx的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：x123456()fx136.115.63.9−10.95

2.5−2321−.判断函数的零点个数至少有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据给定的数表，利用零点存在性定理判断即得.【详解】在R上的函数()fx的图象是连续不断的，由数表知，(2)0,(3)0,(4)0,(5)0ffff，因此函数()fx在区间(2,3),

(3,4),(4,5)上分别至少有1个零点，所以函数()fx的零点个数至少为3个.故选：C6.已知函数()20,11,125,2xfxxxxx=+−+，若()1fa=，则a=（）A.4B.3C.2D.1【答案】C

【解析】【分析】首先对a进行分类讨论，然后分别将其代入对应的解析式中即可求解a的值【详解】当1a时，得：01=，不符合题意，故舍去；当12a时，得：11a+=，解得：0a=，不符合范围条件，故舍

去；当2a时，得：251a−+=，解得：2a=或2a=−，由于2a，故得：2a=.故选：C7.若函数()()yfxx=R偶函数，且()()23ff，则必有（）A.()()32ff−−B.()()32ff−C.()()32ff−−D.()()33f

f−【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质判断即得.【详解】函数()()yfxx=R是偶函数，()()23ff，所以(3)(3)(2)(2)ffff−==−，BCD错误，A正确.故选：A8.函数()fx是)0,

+上是减函数，那么下述式子中正确的是（）A.()()2122ffaa++B.()()2122ffaa++C.()()2122ffaa=++D.以上关系均不确定【答案】A【解析】【分析】先判断1和222aa

++的大小关系，再根据函数()fx的单调性得出结论.是【详解】对222aa++进行变形可得2222(1)1aaa++=++.因为任何数的平方都大于等于0，那么2(1)11a++，即2221aa++.因为函数()fx在[0

,)+上是减函数，且2221aa++.根据减函数的性质，自变量越大函数值越小，所以2(1)(22)ffaa++.故选：A.9.如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与

注水时间t之间的函数关系，大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内

水面继续上升，且上升速度减慢.故选：D10.对xR，x表示不超过x的最大整数.十八世纪，yx=被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的假命题是（）A.xR，1xx+B.,xyR，xyxy++C.函数()yxxx=−R的值域为

0,1D.若tR，使得31t=，42t=，53t=，…，2ntn=−同时成立，则正整数n的最大值是5【答案】C【解析】【分析】根据取整函数的定义得，1[]1,xx

xx−+再利用不等式的性质即可判断各命题的真假.【详解】对于A,取0x=，则11x+=，显然满足1xx+，故A是真命题；对于C，当x为整数时，0y=，当x不为整数时，[]1yxx=−，且0y，故[0,1

)y，故C是假命题；对于B，因为0[]1xx−，记[]xxx=−，则[]xxx=−，01x，当01xy+时，xyxy+=+，则xyxxyyxyxyxy+=−+−=+−+=+；当12xy+时，12

xxyy−+−，所以21xyxyxyxy+−++−+；综上：,xyR，[][][]xyxy++，故B是真命题；对于D，若tR，使得3451,2,3,,2nttttn====−同时成立，则312t，4423t，5534

t，6645t，L，21nnntn−−，因为6342=，若6n，则不存在t同时满足312t，6645t．只有5n时，存在35[3,2)t满足题意，故D是真命题，故选：C.二､填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11.

已知函数()fx的定义域为1,2,3,4，且自变量x与函数值的关系对应如表：x1234()fx3212（1）()2f=__________；（2）不等式()2fx的解集为__________．【答案】①.2②.1,2,4【解析】【分析】利用给定的对应数据，求出

(2)f及不等式的解集.【详解】（1）依题意，(2)2f=；（2）依题意，(1)3,(2)2,(4)2fff===，而()31f=，所以不等式()2fx的解集为1,2,4.故答案为：2；1,2,412.已知函数()()221,0,11,0xxfxfxx+==−+______

____；()()1ff−=__________．【答案】①.3②.1【解析】【分析】运用分段函数求值方法计算即可.【详解】()12113f=+=，()()()()()211102011ffff−=−

−+==+=.故答案为：3；1.13.方程2410xx−+=的两根为1x，2x，则1211xx+=________．【答案】4【解析】【分析】由韦达定理求得1212,xxxx+，代入计算．详解】由题意124xx+=，121xx=，所以12121

21144.1xxxxxx++===故答案为：4．14.函数2()1fxxax=+−在2,3上不单调，则实数a的取值范围为_______．【答案】()6,4−−【解析】【【分析】由题可得对称轴满足232a−，求出即可.【详解】可

得()fx的对称轴为2ax=−，()fx在2,3上不单调，则232a−，解得64a−−.故答案为：()6,4−−.15.[]x表示不超过x的最大整数，定义函数()[]fxxx=−，则下列结论中：①函数的值域为[0,1)；②方程1()2fx=有无数个解；③函数的图象是一条直线；④函数

是R上的增函数；正确的有__________．（只填序号）【答案】①②【解析】【分析】由周期定义得到函数的周期，再画出函数的图象，逐一判断各个选项即可.【详解】函数()fx的定义域为R，而(1)(1)[1](1)([]1)[]()fxxxxxxxfx+=+−+=+−+=−=，则函数()

fx是周期为1的周期函数，当01x时，()0[0,1)fxxx=−=，因此函数()fx的值域是[0,1)，①正确；Zk，11111()[]22222fkkkkk+=+−+=+−=，则1(Z)2kk+是方程1()2fx=的解，有无数个，②正确；函数()fx的图象如图，观察图象知，函数

()fx的图象不是一条直线，在R上不是增函数，③④错误.故答案为：①②三､解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）16.求下列不等式的解集．（1）23262xx−−+−；（2）3270x−−

．（3）52321xx−+【答案】（1）4(,2][,)3−−+；（2）[2,5]−；（3）1(,5](,)2−−−+.【解析】【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式.（2）利用公式法解含绝对

值符号的不等式.（3）化不等式右边为0，通分并转化成一元二次不等式求解.【小问1详解】不等式23262xx−−+−化为：23280xx+−，即(34)(2)0xx−+，解得2x−或43x，所以原不等式的

解集为4(,2][,)3−−+.【小问2详解】不等式3270x−−化为：237x−，则7237x−−，解得25x−，所以原不等式的解集为[2,5]−.【小问3详解】不等式52321xx−+化为523021xx−−+，即5021xx++，则(5)(21

)0210xxx+++，解得5x−或12x−，所以原不等式的解集为1(,5](,)2−−−+.17.已知集合2{|37},{|12200}==−+AxxBxxx，{|}Cxxa=.（

1）求;AB()RCAB;（2）若AC，求a的取值范围.【答案】（1）{|210}ABxx=；(){|23710}RCABxxx=或；（2）a>3.【解析】【分析】（1）先化简集合B，再利用集合的并集、补集和交集运算求解；（2）根据AC，结合{|}C

xxa=，利用数轴求解.【详解】（1）因为集合2{|37},{|12200}{|210}AxxBxxxxx==−+=，所以{|210}ABxx=，|3RCAxx=或7x，(){|23RCABxx=或710}x;（2）因为AC，且{|}Cxxa=

，所以a>3，所以a的取值范围是()3,+.18.已知𝑦=𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的偶函数，当0x时，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥（1）求()()1,2ff−的值；（2）求()fx的解析式；（3）画出𝑦=𝑓(𝑥)简图；写出𝑦=𝑓(𝑥)的单调递增区间，并写出()0fx的解

集．（只需写出结果，不要证明单调性）．【答案】（1）()11f=−，()20f−=；（2）222,0()2,0xxxfxxxx+=−；（3）作图见解析，()fx的增区间是(1,0),(1,)

−+，解集(,2)(2,)−−+.【解析】【分析】（1）结合偶函数的性质代入求出函数值.（2）利用偶函数的性质求出函数解析式.（3）借助二次函数作出图象，再结合图象求出单调递增区间及不等式的解集.【小问1详解】当0x时，

2()2fxxx=−，则(1)1f=−；而函数()fx是偶函数，则(2)(2)0ff−==.【小问2详解】函数()yfx=是定义在R上的偶函数，当0x时，2()2fxxx=−，则当0x时，220,()()()2(

)2xfxfxxxxx−=−=−−−=+，所以函数()fx的解析式是222,0()2,0xxxfxxxx+=−.【小问3详解】由（2）知222,0()2,0xxxfxxxx+=−，当0x时，22yxx=−，抛物线开口向上，对称轴方程为1x=，顶点坐标()1,1-

，当0y=时，120,2xx==；当0x=时，0y=，当0x时，22yxx=+，抛物线开口向上，对称轴方程为1x=−，顶点坐标()1,1−−，当0y=时，2x=−，于是函数()fx的图象如下：观察图象知，函数()fx的增区间是(1,0),(1,)−+；不等式()0fx的解

集为(,2)(2,)−−+.19.经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、

不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T（元）关于每次订货x（单位）的函数关系()2BxACTxx=+，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2

500元.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？【答案】（1）15000000()60Txxx=+，(300)68000T=；（2）500x=，min6000

0T=【解析】【分析】(1)根据题中数据求出A，B，C，得到()Tx，再将300x=代入即可得出结果；(2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果.【详解】(1)因为年存储成本费T（元

）关于每次订货x（单位）的函数关系()2BxACTxx=+，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.由题意可得：6000A=，120B=，2500C=，所以存储成本费()1500000060Txxx=+，若该化工厂每次订购300吨甲醇，所

以年存储成本费为()150000003006030068000300T=+=；(2)因为存储成本费()1500000060Txxx=+，𝑥>0，所以()15000000602601500000060000Txx

x=+=，当且仅当1500000060xx=，即500x=时，取等号；所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.20.已知

函数()()21fxxaxa=−++.（1）当2a=时，求关于x的不等式()0fx的解集；（2）求关于x的不等式()0fx的解集；（3）若()20fxx+在区间()1,+上恒成立，求实数a的范围.【答案】（1）()()12,∪,−+

；（2）答案见解析；（3）(23,2−+.【解析】【分析】（1）把2a=代入可构造不等式2320xx−+，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数()()()()21010fxxaxaxax=−++−−，分类讨论可得不等式的解集.（

3）若()20fxx+在区间()1,+上恒成立，即21xxax+−在区间()1,+上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数最值，可得实数a的范围.【小问1详解】当2a=时，则()232fxxx=−+，由()0fx，得()()23

20210xxxx−+−−，原不等式的解集为()()12,∪,−+；【小问2详解】由()()()010fxxax−−，当1a时，原不等式的解集为()1,a；当1a=时，原不等式的解集为；当1a时，原

不等式的解集为(),1a.【小问3详解】由()20fxx+即()210xxxa+−−在()1,+上恒成立，得21xxax+−.令1tx=−()0t，则()2211233221ttxxtxtt++++==+++−，当且仅当2t=，即21x=+时取等号.则223a+，.故实数a

的范围是(23,2−+21.已知集合A为非空数集，定义：,,,,,SxxababATxxababA==+==−，（1）若集合1,3A=，直接写出集合ST、（无需写计算过程）；的（

2）若集合12341234,,,,Axxxxxxxx=，且TA=，求证：1423xxxx+=+（3）若集合02023,N,AxxxST=，记A为集合A中的元素个数，求A的最大值．【答案】（1）{2,4,6}S=，{02}T=，（2）见解析（3）1349【解

析】【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可;（2）根据集合相等的概念，能证明1423xxxx+=+；（3）通过假设集合{,,,,,}1232023Ammmm=+++(N)m，求出对应的集合S，T，通过ST=，建立不等式关系，求出对

应的值即可.【小问1详解】1,3A=，,,,,,SxxababATxxababA==+==−，集合{2,4,6}S=，集合{02}T=，.【小问2详解】1234,,,Axxxx=，1234xxxx，且TA=，T中也只包含4个元素，即

213141,,{0}Txxxxxx=−−−，，剩下的元素满足213243xxxxxx−=−=−，1423xxxx+=+；【小问3详解】设集合12,,,kAaaa=满足题意，其中12kaaa，则11213123122kkkkk

kaaaaaaaaaaaaaa−++++++||21Sk−，1121311kaaaaaaaa−−−−，||TkST=，由容斥原理，||||||31STSTk=+−，ST的最小元素为0，最大元素为2ka，||21kSTa+，()*31214047Nk

kak−+解得1349k实际上{6756762023},,,A=时满足题意，证明如下：设{,,,,,}1232023Ammmm=+++(N)m，则{221224046},{0122023},,,,,,,,SmmmTm=++

=−，题意有20232mm−，即16743m，m的最小值为675，当m=675时，集合A中元素最多，即{6756762023},,,A=时满足题意综上，||A的最大值为1349.【点睛】关键点点睛：根据所给定义判

断{,,,,,}1232023Ammmm=+++(N)m，据此得出,ST，由,ST关系，得出关于m不等式，求出m最小值即可得解.附加题22.已知*,,abcN，函数2()fxaxbxc=++在区间(1

,0)−上有两个不同零点，求(1)f的最小值．【答案】11【解析】【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根的分布列出不等式组，再结合不等式的性质推理计算得最小值.【详解】设函数2()fxaxbxc=++在区间(1,0)−上的两个不同零点为12,xx，则()()

2Δ401000102bacfabcfcba=−−=−+=−−，且12(0,1)cxxa=，而*,,abcN，则1abc−+，即121acbac+++，整理得2()1ac−，又1ac，于是1ac−，

即12ac+，因此4a，224baca，当1,5,5cab===时，2()551fxxx=++的两个零点15210−都在区间(1,0)−上，因此(1)55111fabc=++++=，当且仅当5,5,1abc===时取等号，所以(1)f最小值为11.【点睛】关键点点睛：利用

一元二次方程根的分布列出不等式组，结合正整数运算结果进行放缩是求解的关键.的