【文档说明】浙江省杭州市六县九校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.379 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期六县九校联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3310xy+−=的倾斜角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】D【解析】【分析】由直线的方程易得斜率

，进而可得倾斜角．【详解】解：由题意可得直线的斜率33k=−，即3tan3=−，故56=，故选：D．【点睛】本题考查直线的倾斜角，由直线方程得出斜率是解决问题的关键，属基础题．2.已知平面的一个法向量为()()()1,2,1,1,0,1,0,1,1nAB=−

−，且,AB，则点A到平面的距离为（）A.13B.66C.33D.1【答案】B【解析】【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出．【详解】∵()()1,0,1,0,1,1AB−−，∴()1,1,2AB=−−uuur，又平面的一个法向量为()1,2,1n=

，∴点A到平面的距离为66ABnn=故选：B3.已知空间向量()2,2,1a=−，()3,0,4b=，则向量b在向量a上的投影向量是（）A.109bB.25bC.109aD.25a【答案】C【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可.【详解】因

为空间向量()2,2,1a=−，()3,0,4b=，所以向量b在向量a上的投影向量为：()()222222314109221abaabbaaaabaa+===+−+，故选：C4.已知两条直线1:10laxy+−=和2:10(R)lxaya++=，下列不正确的是（）A.“a＝1

”是“12ll∥”的充要条件B.当12ll∥时，两条直线间的距离为2C.当2l斜率存在时，两条直线不可能垂直D.直线2l横截距为1【答案】D【解析】【分析】由直线平行关系可以判断A正确；利用平行线间距离公式可以判断B正确；利用垂直关系可以判断C正确；令0y=可以求出直线2l得横截距.【详解】

当12ll∥时，11aa=，则1a=，当1a=−时，直线1l与2l重合，故舍去，所以A正确；当1a=时，12ll∥，1:10lxy+−=和2:10(R)lxya++=间的距离为2211211d−−==+，所以B正确；若12

ll⊥，则110aa+=，则0a=，又当2l斜率存在时，0a，所以C正确；2:10(R)lxaya++=，令0y=得=1x−，所以直线2l横截距为-1，所以D错误.故选：D.5.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概

率是（）A.14B.12C.18D.13【答案】B【解析】【分析】由古典概型的概率公式即可求解.【详解】记三件正品为,,abc、一件次品为d，随机取出两件的基本事件为()()()()()(),,,,,,,,,,,abacadbcbdcd，共6个，其中取出的产品全是正品的基本事件有()()(),,

,,,abacbc共3个，故所求概率3162P==.故选：B.6.已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF⊥，且2160PFF=，则C的离心率为（）A.312−B.23−C.312−D.3

1−【答案】D【解析】【分析】利用椭圆定义和勾股定理即可求解.【详解】如图依题意，12PFPF⊥，2160PFF=，122FFc=，则2PFc=，13PFc=，由椭圆定义可得，()12312PFPFca+=+=，所以离心率23131c

ea===−+.故选：D.7.若直线:30lkxyk−+=与曲线2:11Cxy−=−有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A.13,24B.13,24C.30,4D.30,4【答案】B【解析】【分析】根据直线所过的定点，

结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】直线:30lkxyk−+=即()30kxy+−=，恒过定点(3,0)−，曲线2:11Cxy−=−即()()22111xyy+−=表示以点(0,1)为圆心，半径为1，且位于直线1y=

上方的半圆（包括点(1,1)−，(1,1)），当直线l经过点(1,1)−时，l与曲线C有两个不同的交点，此时101132k−==−+，直线记为1l；当l与半圆相切时，由23111kk−=+，得34k=，切线记为2l，

分析可知当1324k时，l与曲线C有两个不同的交点，即实数k的取值范围是13,24.故选：B.8.已知0,1x，0,1y，则()()()()222222221111xyxyxyxy+++

−+−++−+−的最小值为（）A.8B.2C.2D.22【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式得222++xyxy，221(1)2xyxy+−+−，221(1)2xyxy−+−+，2211(1)(1)2xyxy−+−−+−，再利用不等式的性质两边分别相加可得答案【详解】因为222xy

xy+，0,1x，0,1y，所以22222)2((2)++=++xyxyxyxy，当且仅当xy=时取等号，所以222()2xyxy++，所以222++xyxy，当且仅当xy=时取等号，所以221(1)2xyxy+−+−，当且仅当1

xy=−时取等号，221(1)2xyxy−+−+，当且仅当1xy−=时取等号，2211(1)(1)2xyxy−+−−+−，当且仅当11xy−=−时取等号，所以两边分别相加得()()()()22222

22241111222xyxyxyxy+++−+−++−+−=，当且仅当12xy==时取等号，即()()()()222222221111xyxyxyxy+++−+−++−+−的最小值为22，故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分

.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面ABC内的两个向量的()()3,1,4,0,2,2ABCB=−−=−，则平面ABC的一个法向量可以是（）A.(

)3,1,1−B.()3,1,1−C.()3,3,3−D.()1,1,3−【答案】BC【解析】【分析】设平面ABC的法向量为(),,nxyz=，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案.【详解】设平面ABC的法向

量为(),,nxyz=，因为向量()()3,1,4,0,2,2ABCB=−−=−，所以340220ABnxyzCBnyz=−+−==−=，取=1y，得()3,1,1n=-，取=3y，得()3,3,3n

=-.故选：BC.10.已知直线l的倾斜角等于120，且l经过点()3,1−，则下列结论中正确的有（）A.l的一个方向向量为31,62u=−B.直线l与两坐标轴围成三角形的面积为433C.l

与直线3320xy−+=垂直D.l与直线320xy++=平行【答案】AC【解析】【分析】根据点斜式求得直线l的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意直线l的斜率为tan1203k==−，直线方程为()133

yx−=−+，即320xy++=，它与直线320xy++=重合，D错误；12336=−−，因此31,62−是直线l的一个方向向量，A正确；在直线方程中令0y=得233x=−，令0x=得=2y−，直线l与两坐标轴围成三

角形的面积为123232233=，B错误；由于()33130+−=，C正确故选：AC11.下列说法正确是（）A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.625B.若A，B是互斥

事件，则()()()PABPAPB=C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则初级教师应抽取15人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是34【答案】AC【解析】【分析】先求此题不能

解出的概率，再利用对立事件可得此题能解出的概率可判断A；由()()()PABPAPB=+，()0PAB=可判断B；计算出初级教师应抽取的人数可判断C；由列举法得出两位女生相邻的概率可判断D.【详解】对于A，∵他们各自解出的概率分别是12，14，则此题不能解出的概率为11311248

−−−=，则此题能解出的概率为35188−=，故A对；对于B，若A，B是互斥事件，则()()()PABPAPB=+，()0PAB=，故B错；的对于C，初级教师应抽取5030%15=人，故C正确；对于D，由列举法可知，用1、2表示两名女生，a表示男生

，则样本空间{}12,12,21,21,12,21aaaaaa=两位女生相邻的概率是4263=，故D错.故选：AC.12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）.把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2

的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则A.122QCADABAA=++B.若M为线段CQ上的一个动点，则BMBD的最大值为2C.点P到直线CQ的距离是173D.异面直线CQ与1AD所成角的正切值为17【答案】BCD【解

析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A，以1A为坐标原点，1AF所在直线为x轴，11AB所在直线为y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B、C、D.【详解】因为()1112222CQCBBQADBAADAAABABADAA=+=−+=−+−=−−+，所

以()112222QCCQABADAAADABAA=−=−−−+=+−，故A错误；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B−，()11,0,0D−，()1,0,1D−−，()0,1,1Q−，()1,1,1C−−，()0,0,1A−，()1,1,0P−

，()1,1,0BD=−−，()1,2,2CQ=−，()11,0,1AD=−，()2,2,1CP=−，对于B：因为M为线段CQ上的一个动点，设CMCQ=，0,1，则()()()1,0,01,2,2

1,2,2BMBCCM=+=−+−=−−，所以()121BMBD=−+=−+，所以当1=时()max2BMBD=，故B正确；对于C：()2222213CP=+−+=uur，()()()22212222183221CPCQCQ+−−+==+−+uu

ruuuruuur，所以点P到直线CQ的距离22173CPCQdCPCQ=−=uuruuuruuruuur，故C正确；对于D：因为11112cos,632CQADCQADCQAD===，所以21234s

in,166CQAD=−=，所以1tan,17CQAD=，即异面直线CQ与1AD所成角的正切值为17，故D正确；故选：BCD非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某地一年之内12个月的降水量分别为：71，66，64，58，5

6，56，56，53，53，51，48，46，则该地区的月降水量75%分位数___________.【答案】61【解析】【分析】利用百分位数的定义求解即可.【详解】将该地这12个月的降降水量从小到大排

列得：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，又1275%9=，所以该地区的月降水量75%分位数为5864612+=.故答案为：61.14.已知()1,1A，()2,3

B及x轴上的动点P，则PAPB+的最小值为___________.【答案】17【解析】【分析】作点A关于x轴的对称点A，则AB为所求最小值，从而得解.【详解】如图，过点A作x轴的对称点A，此时PAPBPAPBAB+=+，即AB为所求最小值，又()1,1A，

()2,3B，所以()1,1A−，所以()()22312117AB=++−=.故答案为：17.15.已知圆1C：22420xyxy+−+=与圆2C：22240xyy+−−=相交于A、B两点，则圆C：22(3)(3)1xy++−=的动点P到直线A

B距离的最大值为__________.【答案】7212+【解析】【分析】借助数形结合思想，结合直线与圆的位置关系可得答案.【详解】圆1C：22420xyxy+−+=与圆2C：22240xyy+−−=的方程相减

，可得10xy−−=，即直线AB的方程为10xy−−=.圆C：22(3)(3)1xy++−=的圆心为(3,3)C−，半径1r=，点(3,3)C−到直线AB的距离3317222d−−−==，则圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为7212dr+=+，故答案为：7212+.16.已知椭圆22221(0

)xyabab+=的左、右焦点分别为12,FF，过1F且与x轴垂直的直线交椭圆于,AB两点，直线2AF与椭圆的另一个交点为C，若23ABCBCFSS=，则椭圆的离心率为_____.【答案】55##155【解析】【分析】转化条件设点()2,,

,bAcCxya−，222AFFC=，表示出点C坐标后直接代入椭圆方程，利用222cea=即可得解.【详解】解：设椭圆的左、右焦点分别为()()12,0,,0FcFc−,将xc=−代入椭圆方程可得2bya=，可设()

2,,,bAcCxya−,由23ABCBCFSS=，得222AFFC=，即有()22,2,bcxcya−=−，即2222,2bcxcya=−−=，得22,2bxcya==−，代入椭圆方程可得2222414cbaa+=，由222,cebaca==−,即

有22114144ee+−=，解得55e=.故答案为：55.四、解答题：本大题共6小题，共70分其中第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这5

0名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[

40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.【答案】（1）0.006；（2）0.4；（3）110.【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为1，可求a；（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职

工评分不低于80的频率为0.4，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为123,,AAA，受访职工评分在[40，50)的有2人，记为12,BB，列出从这

5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.【详解】（1）因()0.0040.0180.02220.028101a++++=，所以0.006a=（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.

4+=，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为123,,AAA；受访职工评分在[40，50)的有：50×0.0

04×10=2(人)，即为12,BB.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是12131112,,,,,,,AAAAABAB232122313212,,,,,,,,,,,AAABABABABBB又因为所抽取2人的评分都在

[40，50)的结果有1种，即12,BB，故所求的概率为110P=【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重

､漏的情况.18.已知在ABC中，()0,1A，()4,1B−，()2,1C.（1）求边AB的垂直平分线的方程；（2）求ABC的外接圆的方程.【答案】（1）240xy−−=；（2）()()221210xy−++=.【解析

】【分析】(1)由点A、B的坐标求出AB的中点坐标和直线AB的斜率，进而得出线段AB垂直平分线的斜率，根据直线的点斜式方程即可得出结果；(2)由点A、C的坐标求出边AC的垂直平分线方程，联立边AB的垂直

平分线方程，求出外接圆圆心坐标，利用两点距离公式求出圆的半径，即可得出答案.为【小问1详解】由题意知，(0,1)(4,1)(2,1)ABC−，，，设AB的中点为E，则(2,0)E，又直线AB的斜率为111==402ABk−−−−，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，得其方程为2(2)yx=−，即

240xy−−=；【小问2详解】由(0,1)(2,1)AC，可得边AC的垂直平分线方程为1x=，所以2401xyx−−==，解得12xy==−，即ABC的外接圆的圆心为(1，-2)，所以圆的半径为22(10)(21)10r=−+−−=，所以圆的标准方程为：22(1)(2

)10xy−++=.19.已知直线l过点(3,2)P，（1）求在坐标轴上截距相等直线l的方程.（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于,AB两点，O为坐标原点，当ABOS的面积最小时，求直线l的方程.【答案】（1）230xy−=和50xy+−=（2）23120xy+−=【解析】【分析】（1）利用

截距式直线方程解题即可；（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.【小问1详解】当截距为零时，直线方程为23yx=，即230xy−=；当截距不为零时，设方程为xya+=，代入点(3,2)P，可得5a=，此时直线l方程为50xy+−=；的所以在坐标轴上截距相等的直线l的方程为230

xy−=和50xy+−=【小问2详解】设直线l的方程为(3)2ykx=−+，由题意可得0k，令0x=，则32yk=−+；令0y=，则23xk=−；即()2(3,0),0,32−−+ABkk，223,3=−=−OAk

OBk，从而()()12144233129691222=−−=−−+−−=AOBSkkkkkk，当且仅当49kk−=−，即23k=−时取到最小值12，所以直线方程为()2323yx=−−

+，即23120xy+−=.20.已知()222422210xyxmymmm+−++−+=R表示圆C的方程.（1）求实数m取值范围；（2）当圆C的面积最大时，求过点()4,4A−圆的切线方程.（3）P为圆上任意一点，已知()

6,0B，在（2）的条件下，求22PAPB+的最小值.【答案】（1）()1,3−（2）512280xy++=和4x=（3）38810−【解析】【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案；（2）求出圆C的面积取得最大值，m的值，即半径最大时，m的值

，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解；（3）设(),Pxy，则()()222225210PAPBxy+=−+++，设()5,2M−，则()()2252xy−++表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出PM的最小值，即可得解.【小问1详解】解：由题可知：()()2222

32xymmm−++=+−，该方程表示圆，则2320mm+−，的即2230mm−−，解得13m−.则实数m的取值范围为()1,3−；【小问2详解】解：令()223214ymmm=+−=−−+，()

()1,3m−，开口向下，对称轴为()11,3m=−，当1m=时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为()()22214xy−++=，设切线方程为()44ykx+=−即440kxyk−−−=.圆心()2,1-到切线的距离等于半径长，即2214421kkk+−−=+，解得512k=−，则另

一条切线斜率不存在。即切线方程为()54412yx+=−−，即512280xy++=；另一条切线方程为4x=；【小问3详解】解：设(),Pxy，则()()()()()2222222244625210PAPBxyxyxy

+=−+++−+=−+++，设()5,2M−，则()()2252xy−++表示圆C上的点P与点M的距离的平方，由（2）知()2,1C−，又()()225221102CM=−+−+=，则点M在圆C外面

，所以min2102PMCM=−=−，则()()222min210210288101038810PAPB+=−+=−+=−.则可知22PAPB+的最小值为38810−.21.如图在四棱锥ABCDE−中，//CDEB，1,2CD

EB==,CBBE⊥，2AEABBC===，3AD=，O是AE的中点．（1）求证：//DO平面ABC；（2）在棱BE上是否存在点M，使得半平面ADM与半平面ABC所成二面角的余弦值为45353，若存在，求:EMMB，若不存在，说

明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，2:3【解析】【分析】（1）取AB中点F，连接CF、OF，证明//DOCF，借助直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）假设在棱BE上存在点M，建立空间直角坐标系，借助向量运算即可解答.【

小问1详解】取AB中点F，连接CF、OF，因为O，F分别为AE，AB的中点，所以//OFBE,且12OFBE=，又因为//CDEB，12CDEB=，所以//OFCD,且OFCD=，所以四边形OFCD为平行四边形，所以//DOCF

,而CF平面ABC，DO平面ABC，所以//DO平面ABC.小问2详解】取EB中点G，连接AG、DG，因为2AEAB==，2BE=，所以ABE为等腰直角三角形，所以BEAG⊥,1AG=，又因为3,2ADDGBC===,所以222AGDGDA+=，所以DGAG⊥，因为

//CDEB，且CDGB=，所以四边形BCDG为平行四边形，所以//DGBC，又因为CBBE⊥，所以DGBE⊥而BEAGG=,BE、AG平面ABE，所以DG⊥平面ABE，以G为原点，以,,GAGBGD方向分别为x轴、y轴、z

轴，建立如图所示空间直角坐标系：【则()0,0,0G，()1,0,0A，()0,1,0B,()0,1,2C,()0,0,2D，()0,1,0E−，11,,022O−，假设在棱BE上存在点M，设点()0,,0Ma()1,1

a−，()1,0,2AD=−，()1,,0AMa=−，设平面ADM的一个法向量为()1111,,nxyz=，则111111200nADxznAMxay=−+==−+=，取12x=，则12ya=，1

2z=，故122,,2na=，()1,1,0AB=−uuur，()1,1,2AC=−，设平面ABC的一个法向量为()2,,nxyz=uur，则21020nABxynAMxyz=−+==−++=，取1x=，则1y=，0z=，故()21,1,0n=，设半平面ADM与

半平面ABC所成二面角的平面角为，为锐角，所以2213c4oscs22535426o,anna+=+==，所以22110650aa++=，即15a=−，21a=−（舍去），此时46,55EMMB==，:2:3EMMB=，故在棱BE上存在点M

，当:2:3EMMB=时，半平面ADM与半平面ABC所成二面角的余弦值为45353.22.已知椭圆()222210xyabab+=和直线l：1xyab−=，椭圆的离心率63e=，坐标原点到直线的距离为32.（

1）求椭圆的方程；（2）已知定点()1,0E−，若直线()20ykxk=+与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）2213xy+=（2）存在，76k=【解析】【分析】（1

）根据题意写出关于,,abc的等式，进行联立即可求解；（2）先假设假设存在实数k，联立直线与椭圆可得1221221213913kxxkxxk+=−+=+，以CD为直径的圆过定点E可得0ECED=，将韦达定理代入即可求解【小问1详解】直线l方程为0

bxayab--=，依题意可得：226332caabab==+，又222abc=+，解得：23a=，21b=，∴椭圆的方程为2213xy+=；【小问2详解】假设存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E，联立22213ykxxy=++=

得()22131290kxkx+++=，∴()22(12)36130kk=−+，∴1k或1k−①，设()11,Cxy，()22,Dxy，则1221221213913kxxkxxk+=−+=+②，而()()()2121212122

224yykxkxkxxkxx=++=+++，()111,ECxy=+，()221,EDxy=+，要使以CD为直径的圆过点()1,0E−，当且仅当CEDE⊥，故0ECED=，则()()1212110yyxx+++=，∴()()()2121

212150kxxkxx+++++=，③将②代入③得()()222091213131215kkkkk++++=−++，解得716k=，经验证使得①成立，综上可知，存在76k=使得以CD为直径的圆过点E.【点

睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com