【文档说明】北京市北京科技大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）.docx，共(17)页，934.889 KB，由小赞的店铺上传

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北京海淀科大附中2022-2023学年高二上学期期中考数学1.直线30xya++=（a为实常数）的倾斜角的大小是A30B.60C.120D.150【答案】D【解析】【分析】计算出直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围可求得该直线的倾斜角.【详解】设直

线倾斜角为，直线的斜率为1333−=−，所以3tan3=−，0180，则150=.故选：D.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，一般要求出直线的斜率，考查计算能力，属于基础题.2.已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(

6，－1,4)，则△ABC的形状是A.等腰三角形B.等边三角形C直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】求出三点间任意两点的距离，最后运用勾股定理或者余弦定理判断出三角形的形状.【详解】由两

点间的距离公式得||89AB=，||14BC=，||75AC=，满足222||||||ACBCAB+=，故选C.【点睛】本题考查了空间两点间的距离公式，以及判断空间三点组成三角形的形状问题，考查了数学运算能力.3.圆心为(1,1)，且

经过原点的圆的方程是（）A.22(1)(1)2xy−+−=B.22(1)(1)4xy−+−=C.22(1)(1)2xy+++=D.22(1)(1)4xy+++=【答案】A..【解析】【分析】待定系数法直接求解可得.【

详解】因为圆心为(1,1)，所以设圆的方程为222(1)(1)xyr−+−=，因为圆经过原点，所以222(01)(01)r−+−=，解得22r=所以所求圆的方程为22(1)(1)2xy−+−=.故选：A4.直线33y

x=与圆22(1)1xy−+=的位置关系是()A.相交但直线不过圆心B.相切C.相离D.相交且直线过圆心【答案】A【解析】【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的

距离d，和圆的半径r比较即可得到此圆与直线的位置关系．【详解】由圆的方程得到圆心坐标为()10，，半径1r=，直线为30xy−=，∴()10，到直线30xy−=的距离11213dr==+，∴圆与直线

的位置关系为相交，又圆心()10，不在直线33yx=上，故选：A．5.已知圆22xy1+=与圆()()222x3yrr0−+=＞相外切，那么r等于A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由两圆外切，两圆心距等于两圆半径之和即可求出结果.【详解】因为2

2xy1+=圆心坐标为O0,0（），半径为1；圆()222x3yr−+=圆心坐标Q3,0（），半径为r，由两圆外切可得1r3OQ+==,所以r2=.【点睛】本题主要考查圆与圆位置关系，属于基础题型.6.函数213sincoscos2yxxx=+−的最小正周期是()A.π4B.π2C.πD

.2π【答案】C【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式对三角函数进行化简，然后结合正弦型函数的周期公式即可求解．【详解】函数2131π3sincoscossin2cos2sin22226yxxxxxx=+−=+=+，∴其最小正周期为2ππ2T==．故选：C

．7.“12m=”是“直线(2)310mxmy+++=与直线(2)(2)30mxmy−++−=垂直”的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先由两直线垂直求出m的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【

详解】因为直线(2)310mxmy+++=与直线(2)(2)30mxmy−++−=垂直，则(2)(2)3(2)0+−++=mmmm，即(2)(42)0+−=mm，解得2m=−或12m=；因此由“12m=”能推出“直线(2)310mxmy+++=与直线(2)(2)30mxmy−++−

=垂直”，反之不能推出，所以“12m=”是“直线(2)310mxmy+++=与直线(2)(2)30mxmy−++−=垂直”的充分非必要条件.故选B【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直

的判定条件即可，属于常考题型.8.已知平面⊥平面，下列命题①平面内的直线一定垂直于平面内的直线②平面内的直线一定垂直于平面内的无数条直线③平面内的任一条直线必垂直于平面④过任意一点作平面和平面交线的垂线，则此垂线必垂直于平面其中正确的命题序号是

（）A.①②B.①③C.②D.④【答案】C【解析】【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可.【详解】平面内的直线存在直线l与交线平行，而交线在平面内，故①错误；由面面垂直的性质可知，平面内与交线垂直的直线（有无数条

）都垂直平面，由线面垂直的定义可知，平面内的直线一定垂直于平面内的无数条直线，故②正确；交线在平面内，但是交线在平面内，故③错误；过平面内一点作交线的垂线，此垂线在平面内，故④错误；故正确的命题序号为：②故选：C9.已知三棱锥OABC−，

点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设OAa=，OBb=，OCc=，那么向量OG用基底{},,abc可表示为（）A.111223abc++B.111333abc++C.111222abc++D.222333abc++【答案】B【解析

】【分析】利用空间向量的加减法计算法则和数乘计算法则，结合几何关系用OAOBOC，，表示OG即可．【详解】∵()2132OGOAAGOAABAC=+=++()11113333OAOBOAOCOAOAOBOC=+−+−=++∴111333OG

abc=++.故选：B．10.在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（）A.1(0,]6B.1(0,]3C.1(0,]2D.(0,1)【答案】B【解析】【分析】在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，其体积必大于

0，要使三棱锥的体积最大，则这四个点一定在正方体的顶点处，分别讨论上下两个底面各取两个点和一个底面取三个点，另一个底面取一个点的情形，即可得到棱锥的最大值，进而得到答案．【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，设三棱锥的底

面为．在正方体的表面上，离三棱锥底面最远的点，一定可以在正方体的顶点处取得，此时三棱锥的体积最大．固定住这个点，以这个点为三棱锥底面的一个点，则三棱锥的顶点一定可以在正方体的顶点处取得，同理，三棱锥体积最大时，其他三个顶点必在正方体的顶点处取得．故由正方体八个顶点中四个顶点形成的三棱锥的体

积最大值即为所求三棱锥体积的最大值．由于三棱锥四个顶点不共面，故在面ABCD和面1111DCBA中，分别可能有三棱锥的(1,3),(2,2),(3,1)个顶点，其中(1,3)和(3,1)是对称的，故只需讨论(3,1)和(2,2)的情形．（1）若为(3,1)，在底面ABCD

不妨取,,ABD，另一个顶点可取1111,,,ABCD之一，如图，此时三棱锥体积都为11111113326ABDVSh===△．（2）若为(2,2)，则在底面ABCD不妨取,AB或,AC．①若取,

AB，在面1111DCBA不妨取11,AC或11,AD，如图，三棱锥体积都为1136VSh==．②若取,AC，在面1111DCBA不妨取11,AB或11,BD，如图，1111111326CAABV−==；11111

111111111132314BACDAABDBABCCCBDDACDVVVVVV−−−−−−−−−=−==正方体，此时三棱锥的体积最大．综上，三棱锥体积的取值范围是1(0,]3．故选：B．11.若a，b是异面直线，直线c//a，则c与b的位置关系是___________【

答案】相交或异面【解析】【分析】根据空间两直线的位置关系判断.【详解】如图所示：设1,ABaCCb==，当CDc=时，c与b相交；当11ABc=时，c与b异面；所以若a，b是异面直线，直线c//a，则c与b的位置关系是相交或异面.故答案为：相交或异面12.已知经过点(1,2)P的直线

在x轴和y轴上的截距相等，则此的直线方程是__________．【答案】20xy−=或30xy+−=，【解析】【分析】由截距的概念得斜率后求解，【详解】由题意得直线过原点或直线斜率为1−，故直线方程为2yx=或3yx=−+，即20xy−=或30xy+−=，故答案为：20xy−=

或30xy+−=，13.圆2224200xyxy+−+−=截直线5120xyc−+=所得的弦长为8，则c的值是________【答案】1068−或【解析】【详解】∵弦长为8，圆的半径为5，∴弦心距为3，∵圆心坐标为()1,2-，∴()51122313c−−+=，解得

c为1068−或点睛：涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断14.已知点()()2

,0,0,2,AB−若点M是圆22220xyxy+−+=上的动点,则ABM面积的最小值为__________．【答案】2【解析】【详解】将圆22220xyxy+−+=化简成标准方程，得()()22112xy−++=,其圆

心坐标为()1,1−,半径为2r=,如图，因为()()2,0,0,2AB−,所以22AB=,要求ABM的面积最小,即要使圆上的动点M到直线AB的距离d最小,而圆心()1,1−到直线:122xyAB+=−的距离为22,所以min2222d=−=，故ABMS的最

小值为min11222222ABd==,故答案为2.15.已知四棱锥PABCD−的高为1，PAB和PCD均是边长为2的等边三角形，给出下列四个结论：①四棱锥PABCD−可能为正四棱锥；②空间中一定存在到P，A，B，C，D距离都相等的点；③可能有平面PAD⊥平面ABCD；④四棱锥PA

BCD−的体积的取值范围是12,33.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】对①，分析当四棱锥PABCD−为正四棱锥时是否满足条件即可；对②，设四棱锥PABCD−的高为PO，分析可得点O满足

；对③，假设平面PAD⊥平面ABCD，再推导得出矛盾即可判断；对④，设BOC=，得出四棱锥PABCD−的体积表达式再求解即可【详解】根据题意，设POABCD⊥，则1PO=，又因为PAB和PCD均是边长为2的等边三角形，易得1OAOBOCOD====，且2AOBCOD=

=对①，当2ABBCCDAD====时，底面为正方形，且O为底面中心，此时四棱锥PABCD−可能为正四棱锥，故①正确；对②，1OAOBOCODOP=====，故一定存在到P，A，B，C，D距离都相等点

O，故②正确；对③，当平面PAD⊥平面ABCD时，因为POABCD⊥，故PO平面PAD，此时AOD=，又因为2AOBCOD==，此时,BC重合，不满足题意，③错误；对④，设BOC=，则13PABCDABCDVSPO−=()()111111sinsin1

sin322223OAOBOCODOBOCOAOD=+++−=+，因为()0,，故(sin0,1，所以()1121sin,333PABCDV−=+，故④正确故答案为

：①②④16.如图，在△ABC中，D是BC上的点，3AC=，2CD=，7AD=，7sin7B=.（1）求角C的大小；（2）求边AB的长.【答案】（1）3；（2）3212.【解析】【分析】（1）在三角形ADC中，利用余弦定理，结合

C的范围，即可求得结果；（2）在三角形ABC中，利用正弦定理，结合（1）中所求C，即可求得结果.【小问1详解】在△ADC中，因为3AC=，2CD=，7AD=，由余弦定理可得：2229471cos22322ACCDADCACCD+−+−===，又()0,C，故3C=.

【小问2详解】在△ABC中，由（1）可得：3C=，又7sin7B=，的由正弦定理可得：sinsinABACCB=，即33727AB=，解得3212AB=.17.已知直线l经过直线3420xy+−=与

直线220xy++=的交点P，且垂直于直线210xy−−=．（Ⅰ）求直线l方程．（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【答案】（1）220xy++=（2）1【解析】【详解】（1）3420220xyxy+−=++=，解得22xy=−=，则点P的坐标为()2,2−．由于点

P的坐标是()2,2−，且所求直线l与直线210xy−−=垂直，可设所求直线l的方程为20xyc++=．将点P坐标代入得()2220c−++=，解得2c=．故所求直线l的方程为220xy++=．（2）由直线l的方程知它在x轴

，y轴上的截距分别是1−，2−，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积11212S==．18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，且//ADBC，90ABC=，侧面PAD⊥底面ABCD，90PAD=，122ABBCAD===，22PA=，E为侧棱PA的中点.（1）求

证：CD⊥平面PAC；（2）求二面角PBDA−−的余弦值；（3）（i）求点C到平面PBD的距离；（ii）设F为侧棱PD上一点，写出四边形BEFC周长的最小值.（直接写出结果即可）【答案】（1）证明见解析的（2）147（3）277；2632++【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线

面垂直的判定定理求解，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，（3）由空间向量求解，由展开图计算，【小问1详解】由侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD面ABCDAD=，而PAAD⊥，PA面PAD，故PA⊥面ABCD，CD面ABCD，PACD⊥，在直角梯形ABCD中，

可得22ACCD==，而4=AD，故ACCD⊥，而PAACA=，PA平面PAC，AC平面PAC，CD⊥平面PAC【小问2详解】以A为原点，,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，得(2

,0,0)B，(0,4,0)D，(0,0,22)P，(2,0,22)PB=−，(0,4,22)PD=−，设平面PBD的一个法向量为1(,,)nxyz=，则22204220xzyz−=−=，令2z=得1(2,1,2)n=，而平面ABCD的一个法向量为2(0,0,

1)n=，故二面角PBDA−−的余弦值1212||214cos7||||412nnnn===++，【小问3详解】(0,2,0)BC=，则点C到平面PBD的距离||2277||412BCndn===++，由题可知22PACD==，4ADPC==，故将APDC−−展开可得矩形A

PCD，当,,EFC三点共线时，EFFC+取最小值21632+=，而2,6BCBE==，故四边形BEFC周长的最小值为2632++．19.已知圆M上三点(2,0)E−，(2,0)F，(1,1)G.（1）求圆M的方程；（2）过点(1,0)P任意作两条互相垂直的直线1l，2l，分别与圆M交于

,AB两点和,CD两点，设线段,ABCD的中点分别为,RS.求证：直线RS恒过定点.【答案】（1）222xy+=；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)设出圆M的标准方程，根据圆上三个点列出方程组，求解方程组即可；(2)当1l斜率存在且不为零时，设()1:1lykx=−，()11,Axy，

()22,Bxy，联立1l的方程和圆M的方程，根据韦达定理和中点坐标公式表示出R的坐标，同理表示出S的坐标，求出直线RS的方程即可判断其经过的定点．小问1详解】设圆M的方程为)()222()(0xaybrr−+−=，则222222222(

2)(2)(1)(1)abrabrabr−−+=−+=−+−=，解得002abr===，∴圆M的方程为222xy+=．【【小问2详解】若1l斜率不存在，则此时AB中点为R(0，0)，CD中点为S(1，0)，则

直线RS为y=0；同理1l斜率为零时，直线RS为y=0；当1l斜率存在且不为零时，设()1:1lykx=−，()11,Axy，()22,Bxy，则()()222222112202ykxkxkxkxy=−+−

+−=+=，Δ0，212221kxxk+=+，∴()()()121212221121kyykxkxkxxk−+=−+−=+−=+，222,11kkRkk−++，同理S为22211,1111kkkk

−−−+−+−，即221,11kkk++，∴2222222111111RSkkkkkkkkkk−−++==−−++，∴RS：22221111kkyxkkk

−=−+−+，化简为()2211kyxk=−−，∴RS过定点1,02．当k=1时，R为11,22−，S为11,22，直线RS为12x=，也过定点1,02；同理

1k=−时直线RS也过定点1,02，1l斜率不存在或斜率为0时，直线RS也过定点1,02．综上可得，直线RS过定点1,02．【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的标准方程，以及直线过定点的问题.第二问的关键在于根据题意求出直线RS的方程，从而判断直线RS

经过的定点.解题时从设直线1l的方程入手，通过联立1l和圆M的方程，结合中点坐标公式和韦达定理求出R坐标，根据两直线垂直，斜率相乘为－1可求S坐标，从而可求出RS的方程.求解过程中需要对特殊情况进行单独讨论．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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