【文档说明】浙江省杭州“六县九校”联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.898 MB，由小赞的店铺上传

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杭州“六县九校”联盟2021学年第二学期期中联考高二年级数学学科试题选择题部分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合220A

xxx=−−，()3log22Bxyx==−，则AB=（）A.12xx−B.12xxC.12xxD.02xx【答案】B【解析】【分析】求解不等式可得集合A，根据对数函数的定义可得集合B，进而

求解.【详解】因为220xx−−，所以12x−，则12Axx=−，因为220x−，所以1x，则1Bxx=，所以12BxA=，故选：B2.已知直线230mxy++=与直线3(1)0xmym+−+=平行，则实

数m=（）A.2−B.3C.5D.2−或3【答案】A【解析】【分析】根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果.【详解】当1m=时，显然不符合题意，所以1m，由230mxy++=得322myx=−−，由3(1)0xmym+−+=得311myxmm=−−

−−，所以321321mmmm−=−−−−−，解得2m=−故选：A【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题.3.第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项..工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中

服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（）A.840种B.140种C.420种D.210种【答案】C【解析】【分析】使用特殊元素法，直接计算即可.【详解】由题可知：甲两天，乙三天，丙和丁各一

天所以不同的安排方法有232752420CCA=种故选：C4.()521x−的二项展开式中第4项的系数为（）A.-80B.-40C.40D.80【答案】B【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】()521x−的二项

展开式中第4项为()()233252140Cxx−=−，所以所求系数为40−.故选：B5.函数()2sincosyxx=的图像可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性排除CD，由特殊值排除B，从而得出正确答案.详解】令()2sin(cos

)fxxx=()()2sincos()2sin(cos)()fxxxxxfx−=−−=−=−，则函数()fx为奇函数，故CD错误当0,2x时，0cos2xx，则02sin(cos)2xx当,2x时，0cos1x−，则0cosx

x−则2sin(cos)2sin(cos)(0,1)xxxx−=−，即2sin(cos)(1,0)xx−由2sin002f==可知，函数()fx的第一个正零点为2x=222sin2sin4428f==

2682，2sin146f=，故B错误；故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于判断出2x=是函数()fx的第一个正零点，从而由14f得出答

案.6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.3盏B.7盏C.9盏D.11盏【答案】A【解析

】【分析】设塔的顶层共有1a盏灯，则数列{}na公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．【详解】解：设塔的顶层共有1a盏灯，则数列{}na公比为2的等比数列，【717(12)38112aS−==−，解得13a=，即塔的顶层共有灯3盏.故选：A．7.已知双曲线(

)2222:10,0xyCabab−=的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且2OMON=，则C的离心率为（）A.43B.3C.233D.62【答案】C【解析】【分析】MOA（NOA△

）中设OMt=，MOA=，应用余弦定理得关于t的方程，由于AMAN=，故此方程的两解12,tt即为,OMON的长，应用韦达定理得1212,tttt+，由向量得212tt=，三式变形得出关于,,abc的等式

，变形后可求得离心率e．【详解】设渐近线是byxa=，记MOA=，则tanba=，所以22cosaacab==+，设OMt=，在OMA中，2222cosAMOAOMOAOM=+−，所以2222abatatc=+−，即222220attabc−+−=，由于ANAMb==，因此

上述方程的两解12,tt就是,OMON，又2OMON=，不妨记212tt=，又2122attc+=，2212ttab=−，则212123atttc+==，所以2123atc=，所以42222212128229atttabacc===−=−，则22829ee=−，解得233e=或63e

=又1e，所以233e=．故选：C8.在正方体1111ABCDABCD−中，E是侧面11ADDA内动点，且1BE//平面1BDC，则直线1BE与直线AB所成角的正弦值的最小值是()A.13B.33C.12D.22【答案】B【解析】【分析】以D为原点，DA

为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线1BE与直线AB所成角正弦值的最小值．【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，的的设正方体1111ABCDABCD−中棱长为1，设E(a,0，c)，0

a1，0c1，1B(1,1，1)，B(1,1，0)，D(0,0，0)，1C(0,1，1)，()1BEa1,1,c1=−−−，DB(1,=1，0)，1DC(0,=1，1)，设平面1DBC的法向量n(x,=y，z)，则1

nDB0nDC0xyyz=+==+=，取x1=，得()n1,1,1=−，1BE//平面1BDC，1BEna11c10=−++−=，解得ac1+=，()222acac2ac12ac+=+−=−，2ac1ac24+=，设直线1BE与直线AB所成角为θ，AB(

0,=1，0)，()()1221ABBE1cosθABBEa11c1==−++−2ac1ac24+=，322ac2−，1222ac3−，()()()222211sinθ11ac2ac3a11c1=−=−+−++−++−221123111ac122ac33=−=−−

=++−．直线1BE与直线AB所成角的正弦值的最小值是33．故选B．【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知函数()()()0,1log1afxaxa=−，下列关于()fx的说法正确的是（）A.定义域是(),1−B.值域是RC.图象恒过定点D.当1a时，在定义域上是增函数【答案】ABC

【解析】【分析】根据对数型复合函数的性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，10x−，解得1x，所以定义域是(),1−，故正确；对于B选项，由对数函数的性质得值域是R，故正确；对于C选项，函数()()()0,1log1afxaxa=−恒过定点()0,

0，故正确；对于D选项，当1a时，函数logayt=在()0,+上单调递增，函数1yx=−在(),1−上单调递减，故根据复合函数单调性得当1a时，()fx在定义域上是减函数，故错误；故选：ABC10.古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界

，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到

，并建立如图2的平面直角坐标系，设1OA=，则下列正确的结论是（）A.22OAOD=−B.以射线OF为终边的角的集合可以表示为5=2,4kk+ZC.点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所

对的劣弧弧长为4D.正八边形ABCDEFGH的面积为42【答案】ABC【解析】【分析】正八边形的八个内角相等，则一个内角为13684=，1284AOBBOCCODHOA======，对A，由1OA=，根据向

量的数量积即可判断；对B，结合终边相同的角的定义即可判断；对C，由弧长公式判断即可；对D，求得OAB的面积，进而得到正八边形的面积，即可判断.【详解】由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为13684=，1284AOBBOCCODHO

A======，因为1OAOBOH====，3344AOD==，所以32cos42OAODOAOD==−，所以A正确；因为5544AOF==，所以以射线OF为终边的角的集合可以表示为52,4kk=+Z，所以B正确；对于C，

因为4AOB=，半径为1，所以弦AB所对的劣弧弧长为144=，所以C正确；对于D，因为1122sin112224OABSOAOBAOB===，所以正八边形ABCDEFGH的面积为28224=，所以D错误，故选：ABC11.已知圆O的方程为221xy+=，过第

一象限内的点(),Pab作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（）A.直线AB的方程为10axby+-=B.四点O、A、P、B共圆C.若P在直线34100xy+−=上，则四边形OAPB的面积有最小值2D.若8POPA=，则ab+的最大值为32

【答案】ABD【解析】【分析】设11(,)Axy，22(,)Bxy，得切线方程，代入P点坐标后，根据直线方程的意义得出AB方程判断A，由切线与过切点的半径垂直判断B，求出四边形OAPB的面积和，得出OP与直线34100xy+−=垂直时，面积最小，求出

圆心到直线的距离即可得从而判断C，由数量积的定义得出||PO，再由基本不等式可得最大值，从而判断D．【详解】设11(,)Axy，10x=时，切线方程为1yy=，10y=时，切线方程为1xx=，110xy时

，11OAykx=，因此11PAxky=−，切线PA方程为1111()xyyxxy−=−−，又22111xy+=，1110xxyy+−=，10x=或10y=的切线方程也满足此方程．同理设22(,)Bxy，切线PB方程是1210xxyy+−=，

而P在两切线上，所以1110axby+−=，2210axby+−=，因此直线AB的方程是10axby+-=，A正确；由2PAOPBO==，因此可得PAOPBO+=，所以四点O、A、P、B共圆，B正确；由四边形O

APB的性质知其面积等于rPA，要使得切线长PA最小，则OP最小，即为O到直线的距离320010234d+−==+，1r=，因此面积最小值为222113−=，C错误；由8POPA=，用PAOA⊥得28POPAPA==，所以22813POPAr=+=+=，所以229ab+=，由基本不

等式知222()2()abab++，所以222()abab++32=，当且仅当322ab==时等号成立，所以ab+的最大值是32．D正确、故选：ABD．12.对函数()sineexxxfx−=−进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（）A.函数()yfx=的图象关于y轴对称B

.()1fxC.函数()yfx=的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等D.对任意常数0m，存在常数bam，使函数()yfx=在,ab上单调递减，且1ba−【答案】ABD【解析】【分析】由函数奇偶性定义判断

可知A正确；构造函数()()eesin0xxhxxx−=−−，求导判断单调性，进而求得最值可判断B；由()fx的图象与x轴的交点坐标为()π,0k(Zk且)0k可判断C；求导分析()0fx时成立的情况，即可判断选

项D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为函数()fx的定义域为|0xx，()()sinsineeeexxxxxxfxfx−−−−===−−所以()fx为偶函数，图象关于y轴对称，故选项A正确；对于B

：由A知()fx为偶函数，当0x时，ee0xx−−，若()sin1eexxxfx−=−即sineexxx−−只需证eesin0xxx−−−，令()()eesin0xxhxxx−=−−，()eecosxxhxx−=+，因为ee2ee2xxxx−−+

=，所以()0hx，所以()hx在()0,+上单调递增，所以()(0)0hxh=，即()eesin0xxhxx−=−−，所以()sin1eexxxfx−=−恒成立，故选项B正确；对于C：令()sin

0eexxxfx−==−，可得sin0x=，所以函数()fx的图象与x轴的交点坐标为()π,0k(Zk且)0k，交点()π,0−与()π,0间的距离为2π，而其余任意相邻两点之间的距离为π.故选项C错误；对于D：()()()()2

eecoseesin0eexxxxxxxxfx−−−−−+=−，即()()ecossinecossin0xxxxxx−−−+，即()2ecossincossinxxxxx−+，当()π3π2π,2πZ44xkkk++时，cossin0

xx−，cossin0xx+，区间长度为π12，所以对于任意常数0m，存在常数bam，π3π,2π,2π,Z44abkkk++，使()fx在,ab上单调递减且1ba−，故选项D正

确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()fx的定义域；求导函数()fx，由()0fx¢>（或()0fx）解出相应的x的范围，对应的区间为()fx的增区间（或减区间）；（2）确定函数()fx的定

义域；求导函数()fx，解方程()0fx=，利用()0fx=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()fx的正负，由符号确定()fx在子区间上的单调性.非选择题部分三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知复数z满足(1i)1iz−=+，那

么z=___.【答案】i【解析】【详解】试题分析：因21i(1i)i1i2z++===−,故答案为:i.考点：复数及运算．14.抛物线22(0)ypxp=的准线截圆22210xyy+−−=所得弦长为2，则抛物线的

焦点坐标为_________．【答案】(1，0)【解析】【分析】根据标准方程写出准线方程，化圆的一般方程为标准形式，得出圆心和半径，利用弦长公式得到关于p的方程，求得p的值，进而得到焦点坐标.【详解】抛物线22(0)ypxp=的准

线为2px=−，把圆化成标准方程为22(1)2xy+−=，得圆心(0,1)M，半径2r=，圆心到准线的距离为2p，所以2222()()(2)22p+=，即2p=，所以焦点坐标为(1,0)．【点睛】本题考查求抛物线的标准方程中的参数问题进而求焦点坐标，涉及抛物线的准线和

圆的弦长问题，难度较易.15.已知函数()yfx=在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为()fx，当0x时，有不等式()()22xfxxfx−成立，若对xR，不等式()()2220xx

efeaxfax−恒成立，则正整数a的最大值为_______.【答案】2【解析】【分析】令2()(),gxxfx=先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到exax在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.【详解】因为当0x时，有不等式()()22xfxxfx−

成立，所以()()22+20,[()]0xfxxfxxfx，令2()(),gxxfx=所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，由题得22()()()g(x),gxxfxxfx−=−=−=−所以函

数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.因为对xR，不等式()()2220xxefeaxfax−恒成立，所以()()222,()()exxxxefeaxfaxgegaxax，，因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.当x＞0时，()(0)x

eahxxx=，所以2(1)()xxehxx−=，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.所以min()(1)hxhe==，所以a＜e,所以正整数a的最大值为2.故答案为2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等

式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.16.数列na的前项n和为nS，满足112a=−，且()*1222nnaannn++=+N，则2nS=______．【答案】221nn+【

解析】【分析】由1222nnaann++=+，得到212112121nnnana−=−−++，利用裂项相消法，即可求得2nS.【详解】由题意，数列{}na满足1222nnaann++=+，可得21222(21

)2(21)nnaann−+=−+−211(21)(21)2121nnnn==−−+−+，所以2nS=1113−+1135−+…+112121nn−−+1212121nnn=−=++，故答案为：221nn+四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.良好

的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益.某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.将平均每天课外体育锻炼时间在)40,60上的学生评价为锻炼达标，将平均每天

课外体育锻炼时间在)0,40上的学生评价为锻炼不达标.（1）估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的中位数与平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在上述锻炼达标的学生中按分层抽样的方法抽取8名，再从这8名同学中随机抽取2名，求这两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在)50,

60的概率.【答案】（1）28.125，28.7；（2）1328.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算中位数与平均数；（2）根据古典概型概率公式计算即可.【详解】解：（1）设中位数为m，则0.24(20)0.0320.5m+−=，28.12

5m=50.08150.16250.32350.24450.15550.0528.7x=+++++=；（2）根据题意可得，抽取的8名同学中，时间在[40,50)的有6名，记为1a，2a，3a，4a，5a，6a，时间在[50

,60)的有2名，记为1b，2b，从8名同学中随机取2人的基本事件为12aa，13aa，14aa，15aa，16aa，11ab，12ab，23aa，24aa，25aa，26aa，21ab，22ab，34aa，35aa，36aa，31ab，32ab

，45aa，46aa，41ab，42ab，56aa，51ab，52ab，61ab，62ab，12bb共28个，记事件A为两名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在[50,60)，则A包含的基本事件个数有13

个，所以13()28PA=.18.已知()213sincoscos2222xxxfx=+−（1）求函数()fx的对称中心和单调增区间；（2）将函数()yfx=的图象上的各点______得到函数()ygx=的图象，当,64x−时，方程()gxa=有

解，求实数a的取值范围．在以下①、②中选择一个，补在（2）的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①向左平移32个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再

向右平移4个单位．【答案】（1）对称中心是,06k−，kZ；单调增区间为22,233kk−+，kZ（2）11,2a−【解析】【分析】（1）化简()sin6

fxx=+，根据正弦型函数的性质即可求解；（2）选①可得()cos26ygxx==−+，结合余弦型函数性质可得()gx的范围，即可求得a的范围；选②可得()sin23ygxx==−，结合正弦型函数性质可得()gx的范围，即可求得a的范围.【

小问1详解】因为()213sincoscossin22226xxxfxx=+−=+令6xk+=，kZ，则6xk=−，kZ，故函数()fx的对称中心是,06k−，

kZ；令22262kxk−++，kZ，则22233kxk−+，kZ，所以单调增区间为22,233kk−+，kZ【小问2详解】选①，则可得()3sin2cos2266ygxxx==++=−+

，当,64x−时，22,663x+−，则1cos2,162x+−，所以()11,2gx−，若方程()gxa=有解，则11,2a−.选②，则可得()

sin2sin2263ygxxx==−+=−，当,64x−时，22,336x−−，则1sin21,32x−−

，所以()11,2gx−，若方程()gxa=有解，则11,2a−.19.已知等差数列na的公差为正数，11a=，其前n项和为nS，数列nb为等比数列，12b=，且2212bS=，2310bS+=．（

1）求数列na与nb的通项公式；（2）求数列nnab的前n项和nT．【答案】（1）nan=；2nnb=（2）()1122nnTn+=−+【解析】【分析】（1）结合等比数列的通项公式及等差的前

n项和可得21qd==，即可求解；（2）由（1）可知2nnnabn=，利用错位相减法即可求解.【小问1详解】由题，设等差数列na的公差为()0dd，等比数列nb公比为q，所以()()()2211

23112123310bSbqadbSbqad=+=+=++=，因为11a=，12b=，所以()221223310qdqd+=++=，解得：21qd==，所以()111nann=+−=，1222nnnb−==.【小问2详解】由（1）得

：2nnnabn=，所以()1231122232122nnnTnn−=++++−+，则()23412122232122nnnTnn+=++++−+，两式作差得：()123122222nnnTn+−=++++−()12122

12nnn+−=−−()1122nn+=−−，所以()1122nnTn+=−+.20.如图,在四棱锥PABCD−中,PA⊥平面,ABCD90,ABCBAD==4,2ADAPABBC====,,MN为线段,PCAD上一点不在端点.(1)当M为中点时，14ANAD=，求证：

MN∥面PBA(2)当N为AD中点时，是否存在M，使得直线MN与平面PBC所成角的正弦值为255，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，444(,,)333M【解析】【分析】（1）法一：建立

空间直角坐标系，找坐标，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，证明即可.法二：取BP的中点E，连接ME，EA，则ANME，根据线面平行的判定定理证明即可.（2）假设存在点M，根据(01)PMPC=＜＜，求点M的坐标(2,2,44)−M，求平面PBC的法向量为(2,0,

1)n=，根据2425sincos,55244020MNn===−+，求解23=，即可.【详解】(1)方法一：证明：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD平面ABCD.所以,PAABPAAD⊥⊥.又90BAD

=，所以AP，AB，AD两两垂直.分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz−.则(0,0,0),(0,4,0),(0,1,0)ADN，(0,0,4),(2,2,0),(1,1,2),(1,0,2)PCMMN=−−.显然平

面PAB的法向量为(0,1,0)m=，则0MNm=又MN不在平面PAB内，所以MN∥平面PAB.方法二：取BP的中点E，连接ME，EA由M为PC的中点，可知1M,12EBCMEBC==在平面四边形ABCD中，

90ABCBAD==即,CBABDAAB⊥⊥，所以ADBC∥，即ANBC由已知得114ANAD==所以ANME，四边形AEMN是平行四边形，所以MNAE因为AE平面PAB，MN平面PAB所以MN∥平面PAB(2)假设存在点M使得MN与平面PBC所成角的正弦

值为255则(01),(2,2,4),(2,2,4)PMPCPCPM==−=−＜＜，所以(2,2,44)−MN为AD中点，则(0,2,0)N，即(2,22,44)MN=−−−设平面PBC的法向量为(,,),(0,2,0),(2

,2,4)nxyzBCPC===−∴·20·2240nBCynPCxyz===+−=，不妨设1z=，则(2,0,1)n=∴24cos,||||5244020MNnMNnMNn−==−+设线面角为，则2425sincos

,55244020MNn===−+解得23=或1（舍去）∴444(,,)333M时，直线MN与平面PBC所成角的正弦值为255．【点睛】本题考查线面平行的证明，以及根据线面角的正弦值确定动点位置，考查了空间向量法的应用，考查了运算能力，属于较

难题.21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，圆22()1xyb+−=与x轴相切，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右焦点为F，过点F的直线l交椭圆于,AB两点，是否存在直

线l使OAB的面积为265？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）存在，30xy+−=或30xy−−=或214230xy−−=或214230xy+−=【解析】【分析】（1）根据圆22()1xyb+−=与x轴相切可得b，再结合离心率即可求出椭圆C的方程

；（2）设直线:3lxmy=+，()()1122,,,AxyBxy，与椭圆联立，利用韦达定理以及1212OABSOFyy=−△求出面积，然后解方程即可.【小问1详解】因为圆22()1xyb+−=与x轴相切，所以1,b=所以221ac=+，

又32cea==，所以2,3ac==，所以椭圆22:14xCy+=；【小问2详解】由（1）可知椭圆22:14xCy+=的右焦点为()3,0F，①当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；②当直线l的斜率不为0时，设直线:3lxmy=+，()()1122,

,,AxyBxy联立22223(4)231014xmymymyxy=+++−=+=，()2212440mm=++恒成立，所以121222231,44myyyymm+=−=−++，则()222121212222444234414mmyyyyymmym+++−=+−=

+=+所以1212OABSOFyy=−△()221212233414224myyyym+=+−=+221234mm+=+令221262345mm+=+，解得21m=或272m=，即得1m=或14,2m=所以符合条件的直线方程分别为30xy+−=

或30xy−−=或214230xy−−=或214230xy+−=.22.已知函数()ln1fxxx=−+，()0,x+，()3gxxax=−.（1）求()fx的最大值；（2）若对()10,x+，总存在21,2x使得(

)()12fxgx成立，求a的取值范围；（3）证明不等式121nnnnennne+++−.【答案】（1）0；（2）4a；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调区

间，从而可求出函数的最大值，（2）将问题转化为maxmax()()fxgx，然后通过讨论确定每段区间上函数的单调性和最值，（3）先通过观察凑出所要证明的表达式的形式，再利用等比数列的求和公式求和，最后通过放缩法得到结论【详解】

（1）由()ln1fxxx=−+，(0,)x+，得'11()1(0)xfxxxx−=−=，当01x时，'()0fx，当1x时，'()0fx，所以()fx在(0,1)上递增，在(1,)+上递减，所以当1x=时，()fx取得

最大值，即max()(1)0fxf==.（2）对1(0,)x+，总存在2[1,2]x使得12()()fxgx成立，等价于maxmax()()fxgx，由（1）可知max()0fx=，问题转化为max()0gx即30xax−在1,2x有解，即2ax在1,2x有解，

∴4a.（3）由（1）知：ln1−xx，令kxn=，则ln1kkknnnn−−=，即lnknknn−，也即lnnkknn−，∴nknken−，1212()()()nnnnnnnneeennn−−−++++++11111nnnn

eeeeeeeee−−−−−==−−−.得证.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查放缩法证明不等式，解题的关键是由（1）的结果可得ln1(0)xxx−，取kxn

=，则ln1kkknnnn−−=，从而可得nknken−，然后给k取值，结放缩法可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题