【文档说明】山西省长治第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题含解析.docx，共(18)页，1.596 MB，由管理员店铺上传

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2020~2021学年第二学期高一期末考试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足(1)34izi+=+，则z的虚部为A.

5B.52C.52−D.-5【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由（1+i）z＝|3+4i|22345=+=，得z()()()5155511122iiiii−==

=−++−，∴z的虚部为52−．故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是（）A.至多有一次中靶B.至少有一次中靶C

.两次都中靶D.只有一次中靶【答案】B【解析】【分析】直接根据对立事件的定义，可得事件“至少有一次中靶”的对立事件，从而得出结论．【详解】解：根据对立事件的定义可得，事件“两次都没中靶”的对立事件是：至少有一次中靶，故选：B．3.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内.则“直线a和直

线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A2【解析】【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b

可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.4.从长度为2，4，6，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（）A.25B.12C.35D.710【答案】B【解析】【分析】求得基本事件的总数，以及利用列举法求得构成一个三角形所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式

，即可求解.【详解】从5条线段中任取3条，共有3510C=种不同的取法，其中能构成一个三角形的有：(2,8,9),(4,6,8),(4,6,9),(4,8,9),(6,8,9)，共有5种，所以这3条线段能构成一个三角形的概率为51102P

==.故选：B.5.已知P是ABC所在平面外一点，,MN分别是,ABPC的中点，若4,43MNBCPA===，则异面直线PA与MN所成角的大小是A.30B.45C.60D.90【答案】A【解析】【分析】连接AC，取中点Q，

连接QM、QN，则∠QNM即为异面直线PA与MN的夹角，根据数据关系即可求得夹角大小．【详解】根据题意，画出图形如下图所示3连接AC，取中点Q，连接QM、QN则=1=22QMBC，=1=232QNPA则在MNQ中，由余弦

定理可得()2222313cos2223MNQ+−==所以30MNQ=所以选A【点睛】本题考查了空间异面直线夹角的求法，三角形中位线定理及余弦定理的应用，关键是通过平移得到异面直线的夹角，属于中档题．6.已知ABC的三个顶点A､B､C及平面内一

点P满足PAPBPCAB++=，则ABP△与ABC的面积比为（）A.12B.13C.25D.14【答案】B【解析】【分析】先将PAPBPCAB++=变形为PAPBPCPBPA++=−，即可得2PCPA=−，从而可确定点P是边AC上靠近点A的三等分点，进而可求得答案【详解】解：因为PAPBPCAB+

+=，所以PAPBPCPBPA++=−，即2PCPA=−，所以点P是边AC上靠近点A的三等分点，所以13PAAC=，因为ABP△的边PA与ABC的边AC上的高相等，所以1::3ABPABCSSAPAC==，故选：B7.袋中有5个大小质地完

全相同的球，其中3个红球､2个黄球，从中不放回的依次摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件B=“第二次摸到红球”，则()PAB=（）A.910B.2125C.35D.9254【答案】A【解析】【分析】由于()PAB表示的是事件A与事件B至少发生一个的概率，所以求出其

对立事件的概率，可求得所求的概率【详解】解：设A，B事件一个都不发生的概率为1P，即1P表示两次均摸到黄球的概率，由题意可知12115410P==，所以()119111010PABP=−=−=，故选：A8.圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙

江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为()15315m−，在它们之间的地面上的点M

(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.20mB.30mC.203mD.303m【答案】D【解析

】【分析】求得AM，再在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得所求值．【详解】解：在直角三角形ABM中，sin15ABAM=．在ACM中，301545CAM=+=，1801560105AMC=−−=，故1804510530ACM=−−=

，由正弦定理，sinsinAMCMACMCAM=，5故sin2sinsin15CAMABCMAMACM==．在直角三角形CDM中，15315sin6066303()2sin15622()44ABCDCMm−====−．故选：D．

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列关于事件A和事件B的结论正确的是（）A.若()()1PAPB+=，则事件A与事件B互为对立事件

B.若()()()PABPAPB=，则事件A与事件B相互独立C.若事件A与事件B互为互斥事件，则事件A与事件B也互为互斥事件D.若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B也相互独立【答案】BD【解析】【分析】根据

对立事件，互斥事件，相互独立事件的定义逐一判断即可【详解】对于A：例如abcd,,,四个球，选中每个球的概率都一样，()PA为选中,ab两个球的概率：0.5，()PB为选中,bc两个球的概率：0.5，()()1PAPB+=，但事件A与事件B不是对立事件，故A错误；对于B：若

()()()PABPAPB=，则事件A与事件B相互独立，故B正确；对于C：假设一个随机事件由,,,ABCD这四个彼此互斥的基本事件构成，则事件A中含有事件,,BCD，事件B中含有,,ACD，则事件A与事件

B不是互斥事件，故C错误；对于D：若事件A与事件B相互独立，A与B，A与B，A与B也相互独立，故D正确综上，正确的有BD故选：BD10.已知复数12zi=−，22zi=+，则（）A.1z在复平面内对应的点位于第四象限B.12zz−为纯虚数6C.12zz=D.满足11zz

zz−=+的复数z在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】ABCD【解析】【分析】由复数的坐标表示，可判定A正确；由122zzi−=−，可判定B正确；由共轭复数的定义，可判定C正确；设zxyi=+，根据11zzzz−=+，得到20xy−

=，可判定D正确.【详解】由复数12zi=−在复平面内对应的点的坐标为(2,1)−位于第四象限，所以A正确；由12(2)(2)2zziii−=−−+=−为纯虚数，所以B正确；由12zi=−，可得12zi=+，所以C正确；设zxyi=+，可得221(2)(1)zzxy

−=−++，221(2)(1)zzxy+=++−，可得2222(2)(1)(2)(1)xyxy−++=++−，整理得20xy−=，即满足11zzzz−=+的复数z在复平面内对应的点的轨迹为直线，所以D正确.故选：ABCD.11.已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取

1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件=iA“测试i次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是（）A.2,3,4,5,6=B.事件2A和事件3A互为互斥事件C.事件4A=“前3次测试中有1次测试

到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”D.事件5A=“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”【答案】BD【解析】【分析】根据题意逐项分析即可判断出结果.【详解】A：由题意可知，直到2个次品都找

到为止需要测试的次数，最少是测试2次，即前2次均测试出次品，最多测试5次，即前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品，所以2,3,4,5=，故A错7误；B：事件2A为前两次均测试出次品，事件3A为前2次有1次测试出次品，第3次测试出次品，符合对立事件的条件，故B正确；C：事件4A=

“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”，故C错误；D：事件5A=“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”，故D正确.故选：BD.12.已知正四棱柱1111ABCDABC

D−的底面边长为2，13AA=，设ACBDO=，E是1AA的中点，过1C作直线1CF⊥平面BDE，与平面11ABBA交于点F，则下列结论正确的是（）A.//EO平面11CABB.11CFAC⊥C.点F为线段1AA上靠近点A的三等分点D.二面角FBDA−−平

面角的正切值为53【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理判断即可；对于B，由于1CF⊥平面BDE，再结合A选项中的平行关系可得结论；对于C，利用三角形相似求出AF的长可判其位置；对于D，由于BD⊥平面11ACCA，所以可得AOF为二面角FBDA−−平面角，

然后在AOF中求解即可【详解】解：对于A，连接1AC，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC，BD的中点，ACBD⊥，因为E是1AA的中点，所以OE∥1AC,112OEAC=,因为OE平面11CAB，1AC平面11CAB，所以//EO平面11CAB，所以A正确；对于B，因为

1CF⊥平面BDE，OE平面BDE，所以1CFOE⊥，因为OE∥1AC,所以11CFAC⊥，所以B正确；对于C，因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD⊥，因为1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD⊥，因为1AAACA=，所以BD⊥平面11AC

CA，所以1BDCF⊥，则当1CFOE⊥时，1CF⊥8平面BDE，因为点F在平面11ABBA内，所以点F在1AA上，在矩形11ACCA中，11CAF∽EAO，所以111ACAEAFAO=，因为11222ACAOAB===，32AE=，

所以143AF=，所以53AF=，所以点F不是线段1AA上靠近点A的三等分点，所以C错误；对于D，因为BD⊥平面11ACCA，OF平面11ACCA,AO平面11ACCA，所以,BDOFBDAO⊥⊥，所以AOF为二面角FBDA−−平面角，所以553tan13AFAOFAO

===，所以D正确，故选：ABD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．【答案】0.38【解

析】【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果.【详解】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB＋AB，∴P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P

(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.故答案为：0.38.914.已知向量a，b不平行，向量ab+与()12ab−+平行，则实数=___________.【答案】13【解析】【分析】根据ab+与()12ab−+平行即可得出()

()12abab+−+=，根据平面向量基本定理即可得出12−==，解出即可．【详解】解：因为向量a，b不平行，向量ab+与()12ab−+平行，所以()()12abaabb−+

+=+=，所以12−==，解得：132==.故答案为：13.15.已知A，B，C，D是某球面上不共面的四点，2ABBCAD===，2BDAC==，BC与AD垂直，则此球的体积为_

__________.【答案】6【解析】【分析】根据题意知，三棱锥ABCD−可以放入正方体中,故求三棱锥ABCD−的外接球即求正方体的外接球，因此求出正方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式即可求出结果.【详解】根据题意知，三棱锥ABCD−可以放入正方体中，如图所示，10故求三棱锥AB

CD−的外接球即求正方体的外接球，而正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线，由图可知2262CD=++=为球直径，所以球半径为62，所以球的体积为346632=，故答案为：6.16.在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随

机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为___________.【答

案】50.4【解析】【分析】分别计算男生平均身高、女生平均身高、50人平均身高，结合方差公式即可求解.【详解】设24名男生的身高分别为12324,,,xxxx，平均数为x，26名女生的身高分别为12326,

,,yyyy，平均数为y，样本中50人的身高平均为z，2411170.524iixx===，可得24124170.54092iix===2611160.526iiyy===，可得2612626160

.54173iiyy====115024261111111()(2426)(40924173)165.350505050iiiiiizzxyxy=====+=+=+=242422221111()1

2.962424xiiiisxxxx===−=−=，可得：24222124()ixixsx==+262622221111()36.962626yiiiisyyyy===−=−=，可得26222126()iyiysy==+502426222211111()()()5050zi

iiiiiszzxzyz====−=−+−2222124(())26(())50xysxzsyz=+−++−22124(12.96(170.5165.3))26(36.96(1

60.5165.3))50=+−++−124(12.9627.04)26(36.9623.04)50=+++()1124402660252050.45050=+==故答案为：50.4.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.17.在平面直角坐标系xOy中，已知点()1,4A，()2,3B−，()2,6C.（1）求ABAC+；（2）设实数t满足()BAtOCOC−⊥，求t的值.【答案】（1）5；（2）310.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算求得向量ABAC+的坐标，继而

求得其模；（2）由向量垂直的坐标表示可求得答案.【详解】解：（1）因为()1,4A，()2,3B−，()2,6C，所以()()311,2ABAC=−−=，，，所以()2,1ABAC+=−，5ABAC+=；（2）因为()(

)3126BAOC==，，，，所以()3216BAtOCtt−=−−，，又()BAtOCOC−⊥，∴()0BAtOCOC−=，12即12400t−=，310t=；18.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中

随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：)20,30，)30,40，，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；（2）

已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.【答案】（1）77.5；（2）160(人).【解析】【分析】（1）根据分位数的概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；（2）根据

频率分布直方图计算出样本中分数不小于70的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最后求出总体中女生的人数.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为()0.020.04100.6+=，从而有：样本中分数小于70的频率为10.60.4−=，又由频率

分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8，所以样本数据的70%分位数必定位于)70,80之间.计算为：0.70.4701077.50.80.4−+=−所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.（2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为()0

.020.041010060+=，从而有，样本中分数不小于70的男生人数为160302=，进而得，样本中的男生人数为30260=，女生人数为1006040−=，所以总体中女生人数为40400160100

=(人).19.如图所示，在三棱柱111ABCABC−中，侧棱1AA⊥底面ABC，ABBC⊥，D为AC的中点，1312AAAB==．（1）求证：1//AB平面1BCD；（2）设3BC=，求四棱锥11BDAAC−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（

1）连接1BC，交1BC于O，利用三角形中位线性质可证得1//ODAB，由线面平行的判定定理可证得结论；（2）作BEAC⊥，利用面面垂直的性质可知BE即为所求四棱锥的高，由棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）证明：连接1BC，设1BC与1BC相交于点O，连接OD，四边11BCCB是平行四

边形，点O为1BC的中点，又D为AC的中点，OD为1ABCV的中位线，1//ODAB，又OD平面1BCD，1AB平面1BCD，1//AB平面1BCD．（2）1AA⊥平面ABC，1AA平面11AACC，平面ABC⊥平面11AACC．14连接1AB，作BEAC⊥

，垂足为E，平面ABC平面11AACCAC=，BE⊥平面11AACC．12ABAA==，3BC=，ABBC⊥，在RtABC中，224913ACABBC=+=+=，613BABBEACC==．四棱锥11BAACD−的体积()111

111361323326213VACADAABE=+==．20.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积S满足222433Sabc=+−.（1）求C；（2）若ABC为锐角三角形，3c=，求2

4sinaB−的取值范围.【答案】（1）π3；（2）()2,2−.【解析】【分析】（1）先利用面积in12sSabC=和余弦定理化简已知式，得到tan3C=，再结合范围即得C；（2）先利用正弦定理解得2sinaA=，结

合2π3AB+=代入化简求得π24sin4sin3aBB−=−，再根据锐角三角形得到ππ62B，即求得24sinaB−的取值范围.【详解】解：（1）由题得222431sin32abCabc=+−，2223sincos32abcCCab+−==，tan3C=，而()0,πC，故

3C=；15（2）由正弦定理得32πsinsinsin3acAC===，2sinaA=，2π3AB+=，故2ππ24sin4sin4sin4sin4sin4sin4sin33aBABBBBB−=−=−−=+−23cos2sinBB=−4sin3B=−

，∵ABC为锐角三角形，∴π02B，2ππ032B−，∴62B，∴636B−−，11sin232B−−，故24sin23B−−，即24sinaB−的取值范围是()2,2−.21.某公司计划购买1种机器，该种

机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.该公司搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1

台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.（1）若18n=，求y与x的函数解析式；（2）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器

在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？（3）若该公司计划购买2台该机器，以上面柱状图中100台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替1台机器

在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率，求两台机器三年内共需更换的易损零件数为1636的概率.【答案】（1）3600,018,5005400,18,xyxNxx=−；（2）购买1台机器的同时应购买19个易损零件；（3）0.1584.【解析】【分析】（

1）由题意与柱状图，即可用分段函数的形式表示y与x的函数解析式；（2）分别求出买18个和19个零件所需要的平均数，比较平均数的大小即可；（3）用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的乘法公式求解即可【详解】（1）3600,018,5005400,18,xyxNxx=−

（2）若每台都购买18个易损零件，则购买易损零件费用的平均数36000.4641000.2446000.251000.14070y=+++=(元)若每台都购买19个易损零件，则购买易损零件费用的

平均数38000.743000.248000.14000y=++=(元)所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件.（3）将两台机器编号为1号､2号，设事件=iA“1号机器需要更换的易损零件为i个”，事件i

B=“2号机器需要更换的易损零件为i个”，设事件C=“两台机器三年内共需更换的易损零件数为36”，16201719181819172016CABABABABAB=++++，()()()()()()16201719181819172016PCPABPABPABPABPAB=+

+++20.060.220.160.240.240.240.1584=++=两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率为0.1584.22.如图，四棱锥P－ABCD中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，AD∥BC，且PA＝PC，PB＝PD．（1）证明

：平面PAD⊥平面ABCD；17（2）求直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）23．【解析】【分析】（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，证明PO⊥平面ABCD即可得平面PAD⊥平面ABCD；（2）过O作OH⊥PF交PF于H，求出点A到平

面PBD的距离，利用sindPA=求解即可.【详解】（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，设AC与BO交于E，CO与BD交于F，连PE，PF．在等腰梯形ABCD中，由AO∥BC且AO＝BC＝AB，故四边形AOCB为菱形，∴AC⊥BO．又PA＝PC，

且E为AC中点，∴AC⊥PE，又PE∩BO＝E，∴AC⊥平面PBO．又∵PO平面PBO，∴AC⊥PO；同理，由四边形DOBC为菱形，且PB＝PD，∴BD⊥PO．又直线AC与BD相交，∴PO⊥平面ABCD，又∵P

O平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）设POt=，过O作OH⊥PF交PF于H，由BD⊥平面POC，故BD⊥OH．又PF∩BD＝F，∴OH⊥平面PBD，1122OFAB==，故22121414ttOHtt==++．又AD＝2OD，故点A到平面PBD的距离2

2241tdOHt==+．设直线PA与平面PBD所成角的大小为．则2222sin1141ddtPAttt===+++222222231145245tttt==+++．当且仅当2214tt=，即22t=时取等号，故直线

PA与面PBD所成角的正弦值的最大值为23．【点睛】关键点点睛：根据线面角的正弦值sindPA=，即斜线端点到平面距离d与斜线段长的比值得到关于变量POt=的函数关系，利用均值不等式求最值是关键，属于中档题.18获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号ww

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