【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：5.2三角函数的概念 5.2.2同角三角函数的基本关系 含解析【高考】.docx，共(6)页，307.386 KB，由管理员店铺上传

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-1-5.2.2同角三角函数的基本关系最新课标理解同角三角函数的基本关系式：22sinsincos1,tancosxxxxx+==.[教材要点]要点同角三角函数的基本关系式状元随笔(1)利用22sincos1+=可实现

的正弦、余弦的互化，利用sintancos=可以实现角的弦切互化.（2）关系式的逆用及变形用：221sincos=+，22sin1cos=−，22cos1sin=−.【教材答疑】同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三

角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如22sin3cos31+=.（2）2sin是2(sin)的简写，不能写成2sin.（3）在使用同角三角函数关系式时要注意使式子

有意义，如：式子sin90tan90cos90=不成立，再如：22sincos1+=就不一定恒成立.【基础自测】1.判断正误.(正确的画“√”，错误的画“×”)（1）因为229sincos144+=，所以22sincos1+=成立，其中，

为任意角.（×）（2）对任意角，sincostan=都成立.（×）（3）22sincos122+=.（√）（4）对任意的角，都有sintancos=成立.（×）2.若为第二象限角，且2sin3=，则cos=（

）A.53−B.13C.53D.13−-2-答案：A解答：∵为第二象限角，∴25cos1sin3=−−=−.3.已知1tan2=，且3(,)2，则sin的值是（）A.55−B.55C.255D.255−答案：A解答：∵3(,

)2，∴sin0.由sin1tancos2==，22sincos1+=，得5sin5=−.4.已知1tan2=−，则222sincossincos−的值是.答案：43解答：2222

12()2sincos2tan421sincostan13()12−===−−−−.题型一利用同角三角函数的基本关系求值——微点探究微点1已知角的某个三角函数值,求其余三角函数值例1（1）已知1sin5=−，且是第三象限角，求c

os，tan的值；（2）已知3cos5=−，求sin，tan的值.状元随笔在使用开平方关系2sin1cos=−和2cos1sin=−时,一定要注意正负号的选取,确定正负号的依据是角所在的象限.解析：（1）∵22sincos1+=，∴22212

4cos1sin1()525=−=−−=.又∵是第三象限角，∴cos0，即26cos5=−，∴sin156tan()cos51226==−−=.（2）∵3cos05=−，∴是第二或第三象限角，-3-当是第

二象限时，sin0，tan0，∴2234sin1cos1()55=−=−−=，sin4tancos3==−.当是第三象限角时，sin0，tan0，∴2234sin1cos1()55=−−=−−−=−，sin4

tancos3==.微点2利用弦化切求值例2已知tan2=，求下列各式的值.（1）2sin3cos4sin9cos−−；（2）24sin3sincos1−+解析：（1）原式2sin32tan3223cos14sin4tan94299cos−−

−====−−−−.（2）原式24sin3sincos1=−+2224sin3sincos1sincos−=++224tan3tan1tan1−=++44321341−=+=+.状元随笔所求式子都是关于sin、cos的分式齐次式(或可为分式齐次式),将其分子、分母同

除以cos的整数次幂,就是把所求式子用tan表示，再求式子的值.微点3与sincos，sincos有关的值.例3已知(0,)，1sincos2+=，求：（1）sincos；（2

）sincos−.解析：（1）∵1sincos2+=，∴21(sincos)4+=，即112sincos4+=，∴3sincos8=−.（2）∵(0,)，由（1）知sincos0−，∴2837sincos(sin

cos)12sincos12()1342−=−=−=−−=+=.-4-状元随笔此类问题求值时,若涉及开方,要注意利用角的范围确定三角函数值的符号.如改题容易忽略角的取值范围得7sincos2−=，实际上,结合0这一条件,可以确定sin

cos−的符号.跟踪训练1（1）1sin3=，(,)2，则tan=（）A.2−B.2−C.22−D.24−答案：D解答：∵1sin3=，(,)2，∴222cos1sin3=−−=−，∴1sin

23tancos4223===−−.（2）已知sincos1sin2cos2+=−，则tan的值为（）A.4−B.14−C.14D.4答案：A解答：sincostan11sin2costan22++==−−，解得tan4=−

.（3）已知1sincos5+=，且0，则sincos−=.答案：75解答：∵1sincos5+=，∴21(sincos)25+=，解得12sincos25=−，∴249(sincos)12sincos

25−=−=.∵0且sincos0，∴sin0，cos0，∴sincos0−，∴7sincos5−=.题型二利用同角三角函数关系化简——师生共研例4化简：（1）sinsin1sin

1sin−+−；（2）212sin10cos10cos101cos10++−.-5-解析：（1）sinsinsin(1sin)sin(1sin)1sin1sin(1sin)(1sin)

−−+−=+−+−222222sin2sin2tan1sincos−−===−−.（2）22(cos10sin10)12sin10cos10|cos10sin101cos10sin10cos10sin10cos

101cos10+++===+++−.方法归纳三角函数式的化简技巧（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的（3）对于化简含

高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造22sincos1+=，以降低次数,达到化简的目的.跟踪训练2（1）化简：212sin130cos130sin1301sin130−+−；（2）化简：22cos

sintan2sincostan++.解析：（1）原式222sin1302sin130cos130cos130sin130cos130−+=+|sin130cos130sin130cos

1301sin130|cos130|sin130cos130−−===+−.（2）原式22sincossin2sincoscoscossin=++4224222sin2sincoscos(sincos)sin

cossincos+++==1sincos=.题型三利用同角三角函数关系证明——师生共研例5求证：2212sincos1tancossin1tanxxxxxx−−=−+.证明：左边2222

12sincossincos2sincoscossincossin(cossin)(cossin)cossinxxxxxxxxxxxxxxxx−+−−===−−++1tan1tanxx−==+右边，∴原式成立.方法归纳-6-证明简单三角恒等式的思路（1）从

一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则.（2）证明左右两边等于同一个式子.（3）证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.（4）证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.跟踪训练3求证：2222tansintansin−=.证明：左边2222

2sintansinsincos=−=−2222222sinsincossin(1cos)coscos−−==22222sinsintansincos===右边，∴原式成立.