【文档说明】《精准解析》广东省高考研究会高考测评研究院2023届高三上学期阶段性学习效率检测调研卷数学试题（解析版）.docx，共(29)页，1.600 MB，由小赞的店铺上传

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广东省高考研究会高考测评研究院2020级高三第一学期阶段性学习效率检测分阶考数学本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡相应位置上填涂考生号.2

.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U，集合A和集合B都是U的非空子集，且满足ABB=，则下列集合中表示空集的是（）A.()UABðB.ABC.()()UUAB痧D.()UAB∩ð【答案】D【

解析】【分析】利用Venn图表示集合,,UAB，结合图像即可找出表示空集的选项.【详解】由Venn图表示集合,,UAB如下：，由图可得()UBABA=痧，ABA=，()()UUUABB=痧?，()UAB=ð，故选：D2.已知复数z满足()1i32iiz+

=−，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A.15,22−B.15,22C.51,22D.51,22−【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算解出5i22z=+，则得到51i22z=−，则得到对应的点.

【详解】(1i)32iiz+=−，i(32i)(3i2)(1i)5i1i(1i)(1i)22z−+−===+++−,则51i22z=−,其对应点为51,22−,故选：D.3.函数()()31lncos31xxx

y−=+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过函数的奇偶性可排除AC，通过0x+→时函数值的符号可排除D，进而可得结果.【详解】令()()()31lncos31xxxfx−=+，其定义域为ππ2π,2

π,Z22kkk−++关于原点对称，()()()()()31lncos13lncos3113xxxxxxfxfx−−−−−−===−++，所以函数()fx为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC，当0x

+→时，310x−，310x+，lncos0x，即()0fx，故排除D，故选：B.4.已知6baxx+的展开式中32x项的系数为160，则当0a，0b时，ab+的最小值为（）A.4B.22C.2D.2【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过32x

幂指数为160，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．【详解】6baxx+的展开式中32x项的系数为160，所以()36662166CCrrrrrrrrbTaxabxx−−−+==，令33622r−=，解得3r=所以3336

C160ab=，所以2ab=，∵0a，0b，222abab+=，当且仅当2ab==时等号成立，∴ab+的最小值为22，故选：B.5.已知4ea=，()34loglnb=，1.713c=，则a，b，c大小关系为（）A.abc

B.bacC.<<cabD.<<bca【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的性质，中间数0、幂函数、对数函数的单调性可得a，b，c的大小关系.的【详解】根据指数函数的单调性可得04ee1a==，1.70103113c

==，根据对数函数的单调性可得()3344loglnlog10b==，所以<<bca，故选：D.6.若数列na满足1110nnnnaaaa+++−+=，1a=（0，且1），记12nn

Taaa=，则2023T=（）A.-1B.1C.11−+D.()11−+【答案】C【解析】【分析】通过递推式1110nnnnaaaa+++−+=得出数列na是以4为周期的数列，进而可得结果.【详解】由1110nnnnaaa

a+++−+=得111nnnaaa+−=+，所以121111111111nnnnnnnnaaaaaaaa+++−−==−++=−−++，则421nnnaaa++−==，所以数列na是以4为周期的数

列，因为1a=，所以211a−=+，31a=−，411a−−=−，则12341aaaa=，所以202312311Taaa−==+，故选：C.7.已知椭圆E：221164xy+=的左右顶点分别为1A，2A，圆1O的方程为()2231124xy++−=

，动点P在曲线E上运动，动点Q在圆1O上运动，若12AAP△的面积为43，记PQ的最大值和最小值分别为m和n，则mn+的值为（）A.7B.27C.37D.47【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再结合圆外的

点与圆上的点距离最大与最小值的求解作答.【详解】椭圆E：221164xy+=中，12(4,0),(4,0)AA−，设00(,)Pxy，因12AAP△的面积为43，则12001||||4||432AAyy==，解得03y=−或03y=，当03y=−时，02x=，当03y=时，02x=，

即点(2,3)P−或(2,3)P−−或(2,3)P或(2,3)P−，圆21231(1)()24:yOx++−=圆心13(1,)2O−，半径12r=，此时17||2PO=或131||2PO=或139||2PO=或137||2PO=，显

然73139372222r，又点Q在圆1O上运动，则有max1max37||||2PQPOrr=+=+，此时点()2,3P−，min1min7||||2PQPOrr=−=−，此时()2,3P−，即377,22mrnr=+=−，所以27mn+=.故

选：B8.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和(),,,Ndabcdc+，则bdac++是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道52.236067=，令1112555，则第

一次用“调日法”后得2310是5的更为精确的过剩近似值，即11235510，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到5的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为（）A.五B.四C.三D.二【答案】B【解析】【分析】根据定义逐次求算，直到满足近似分数与实际值误差小于0.01即可.详解】第一次用“

调日法”后得112352.3510=，不合题意；【第二次用“调日法”后得113452.26515=，不合题意；第三次用“调日法”后得114552.25520=，不合题意；第四次用“调日法”后得115652.24525

=，合乎题意，即用“调日法”得到5的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为四次，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.近年来国家教育系统全

面加快推进教育现代化，建设教育强国，各级各类教育事业发展取得了新进展.根据2021年国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》中的数据，作出如下柱状图，则下列叙述正确的是（）A.2017-2021年，普通本专科招生人数逐年增加B.普通本专科招生人数

在2017-2018年增长最多C.2017-2021年，普通高中招生人数在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数中所占比例逐年下降D.2017-2021年，中等职业教育平均招生人数大约为608万【答案】AD【解析】【分析】从柱状图的数据分析可

得A正确，B错误；计算出2017-2021年普通高中招生人数在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数中所占比例，2021年的比例大于2020年的比例，故C错误；计算出平均数，得到D正确.【详解】由柱状图可知，2017年-2021年普通本专科招生人数依次为761，791，915，9

67，1001，人数逐年增加，A正确；2017-2021年普通本专科招生人数761，791，915，967，1001，增长人数为30，124，52，34，即2018-2019年增长人数最多，所以B错误.2017-2021年普通高中招生人数在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数

中所占比例分别为8000.373761582800++，7930.370791557793++，8390.356915600839++，8760.352967645876++，9050.3531001656905+++，所以C错误.中等职业教育平均招生人数58255760064

56566085++++=万，所以D正确.故选：AD.10.一般地，如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为mn，则以下结论正确的是（）A.三棱锥的直度的最大值为1B.直度为34的三棱锥只有一种C.四棱锥的直度的最大值为1D

.四棱锥的直度的最大值为45【答案】AD【解析】【分析】先分析出三棱锥的直度最大为1，在画出三棱锥，得到4个面都是直角三角形，直度为1，A正确；画出图形，得到直度为34的三棱锥不止一个，B错误；分析出四棱锥的直度最大为45，C错误

，画图图形得到直度为45的四棱锥，D正确.【详解】三棱锥共4个平面，这4个平面均有可能是直角三角形，故1mn，如图1，借助长方体模型，可知三棱锥DABC−的4个面都是直角三角形，直度为1，故A正确；如图2，借助长方体模型，三棱锥DABC−的3个

面，平面DAB，平面DBC，平面ABC是直角三角形，平面ADC不是直角三角形，故直度为34，而图1中的三棱锥EBCD−，平面EBC，平面DBC，平面ECD是直角三角形，平面BDE不是直角三角形，故直度也为34，故B错误；四棱锥共有5个面，其中4个侧面为三角形，底面为四边形，故直度

最大为45，C错误；如图3，借助长方体模型，四棱锥PABCD−的4个侧面是直角三角形，底面是矩形，直度为45，故D正确.故选：AD.11.已知函数()1sinsinfxxx=+，则下列说法正确的是（）A.函数()fx的一个周期为2πB.函数()fx的图像关于π2x=对称C.函数(

)fx在区间3π,2π2上单调递增D.函数()fx的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】A选项，计算出()()2πfxfx+=，A正确；计算出()()πfxfx−=，故函数()fx的图像关于π2x=对称，B正确；令sintx=，3π,2π2x，得到sintx=

在3π,2π2上单调递增，又1ytt=−在()1,0−上单调递增，由复合函数的单调性满足同增异减得到C正确；去掉绝对值，得到()1sin,0sin1sin1sin,1sin0sinxxxfxxxx+=−−，当1sin0−时，1sin

sinyxx=−的值域为)0,+，故D错误.【详解】()()()()112πsin2πsinsinsin2πfxxxfxxx+=++=+=+，所以选项A正确；()()()()1πsinπsinπfxxfxx−=−+=−，所以选项B正确；当3π,2π2x

时，sin0x，所以()1sinsinfxxx=−，令sintx=，()1,0t−，易知sintx=在3π,2π2上单调递增，1ytt=−在()1,0−上单调递增，根据复合函数单调性可得函数()fx在区间3π,2π2

上单调递增，所以选项C正确；因为()1sin,0sin11sinsin1sinsin,1sin0sinxxxfxxxxxx+=+=−−，当0sin1x时，1sin2sinxx+，当且仅当sin1x=时等号成立；当1sin0x−时，令sintx=，)1,

0t−，1ytt=−在)1,0−上的值域为)0,+，所以函数()fx的值域为)0,+，所以选项D错误.故选：ABC.12.已知函数()()2lnxkfxx+=（k为常数），其导数为()fx，且()11f=，设()()gxxfx

=，则下列说法正确的是（）A.()0fxB.()0fxC.任意1x，()22e,x+，都有()()121222fxfxxxf++D.若曲线()ygx=上存在不同两点A，B，且在点A，B处的切线斜率均为k，则实数k的取

值范围为10,e【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据()11f=即可判断；对于B，直接求导，根据导数运算即可判断；对于C，设()()()1122fxfxxxhxf++=−，21exx，确定函数的单调性，即可

判断；对于D，将问题转化为yk=与()ygx=应有两个不同的交点，确定导函数()gx的增减性与取值情况，分析图像，即可判断.【详解】函数的定义域为()0,+，由题意得，()11fk==，所以()()2ln1xfxx+=，A正确；令()()()()2222ln2ln1ln1xxxxfx

xx−+−==−=−，则()0fx，B不正确；()()()32ln1ln2xxxx−−=，当2ex时，()0x，()fx单调递增，设()()()1122fxfxxxhxf++

=−，21exx，则()()1122xxhxffx+=−，因为21exx，所以21e2xxx+，()()11022xxhxffx+=−，()hx单调递减，()()10hxhx=，C正确

；因为()()()2ln1gxxfxx==+，所以()2lnxgxx=，令()2lnxxx=，则()222lnxxx−=，令()0x，解得0ex；令()0x，解得ex画出()ygx=的图像如图

：因为曲线()ygx=上存在不同两点A，B且点A，B处切线斜率均为k，所以yk=与()ygx=应有两个不同的交点，所以20,ek，D正确；故选:AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC中，O为BC的中点，向量OA，OB的夹角

为60，22OAOB==，则线段AC的长度是______.【答案】7【解析】【分析】根据条件可得OBOACA=+，结合向量的模长公式以及数量积的运算，即可得到结果.【详解】CACOOAOBOA=+=+，2222124122172CAOBOAOBOAOAOB=+

=++=++=，7CA=.故答案为:7.14.如图，在三棱台111ABCABC-中，面11ACCA⊥面ABC，ABBC⊥，且1124ACAC==，侧面11ACCA是面积为62的等腰梯形，则侧棱1BB的长度为______.【答案

】3【解析】【分析】根据已知条件及等腰梯形的性质，利用面面垂直的性质及梯形的面积公式，结合勾股定理即可求解.【详解】分取AC，11AC的中点O和1O，连接1OO，BO，11BO，如图所示∵四边形11ACCA是等腰梯形，∴1OOAC⊥,又面11ACCA⊥面ABC，面11ACCA面ABC

AC=，1OO面11ACCA,∴1OO⊥面ABC∴()111142622ACCASOO=+=梯，∴122OO=又ABC和111ABC△是直角三角形，4AC=，112AC=，∴2OB=，111OB=在直角梯形11OBBO中，2111183BBOO=+=+=.故答

案为：3.15.已知函数()()π2cos0,2fxx=+图象的两条相邻对称轴间的距离为1，点1,22A在函数()fx的图象上，若关于x的方程()π2sin33fxx++=在区间(),mnmn上至少有2022个实数解，则nm−的最

小值是______.【答案】60623##220203【解析】【分析】根据题意得到2ππ2==，π2=−，得到()2sinπfxx=，解方程得到2xk=或223xk=+Zk，相邻两个零点之间的距离是23或43，区间nm−最

小，则m，n都是方程的实数解，故,2020mm+上有2021个解，从而在区间(2020,mn+上至少有一个实数解，列出不等式220203nm−−，解出答案.【详解】由题意得：最小正周期2T=，故2π

π2==，所以()()2cosπfxx=+，又π22cos2=+，所以πcos12+=，π2π2k=−，Zk，因为π2，所以只有当0k=时满足要求，π2=−，故()2sinπf

xx=.所以π2sinπ2sinπ33xx++=，3sinπ3cosπ3xx+=，化简得：π1sinπ62x+=，此时：πππ2π66xk+=+，或π5ππ2π66xk+=+，得2xk=或223xk=+Zk.相邻两个零点之间的距离是23或43，区间nm−最小，则m，n都是

方程的实数解，此时在区间,2mm+，,4mm+，,6mm+，,2020mm+上分别有3，5，7，9…2021个实数解，故在区间(2020,mn+上至少有一个实数解.则220203nm−−，解得：60623nm−，故答案为：60623.16.双曲线定位是通过测定待定点到

至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．定位参数是距离差，位置线是双曲线，定位时需由至少三个已知点的组合，在待定点到三个已知点的三个距离中，取其中两个距离差，此时形成两条位置双曲线，两者相交便可确定待定点的位置．例如图所示，1F，2F，3F为三个已知点，点M即为两条位

置双曲线1C，2C确定的待定点．现海上有三个两两相距180公里的岸台A，B，C三个岸台同时发射电磁波，远离岸台A，B，C的船只S同时接收到了来自岸台A，B的电磁波信号，而接收到岸台C的信号比接收到岸台A，B的信号早了2003微秒（已知1微秒

等于610−秒，且电磁波在空气中1微秒传播距离为300米），则船只S与岸台C的距离为______公里．【答案】243【解析】【分析】以CA所在直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由

题意可得603SASC−=，则船只S在以C，A为焦点的双曲线的左支上，结合双曲线的定义可求出其标准方程，船只S也在线段AB的垂直平分线390xy=−上，联立方程组可点S的坐标，进而求得船只S与岸台C的距离．【详解】以CA所在直线为x轴，

以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图，180ABBCCA===,(90,0),(90,0)AC−，船只S距离岸台C比岸台A，B近2003300600003=米，即603公里，即船只S到岸台C比到岸台A的距离近603公里，即603SASC−=，则船只S在

以C，A为焦点的双曲线的左支上，设双曲线的方程为()222210,0xyabab−=，则2603,2180ac==，故2225400cab=−=，则船只S的位置双曲线的方程为()221027005400xyx−=，又因为船只S到岸台A

，B距离相等，所以船只S也在线段AB的垂直平分线上，设线段AB的中点D，则30DCA=，3tan303CDk==，则线段AB的垂直分线CD的方程为3(90)3yx=+，即390xy=−，联立22127005400390xyxy−==−，解得54123xy=−=

或90603xy==（舍），故(54,123)S−，所以船只S到岸台C的距离为()()225490123243CS=−++=公里．故答案为：243．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17

.在①()2,macb=−，()cos,cosnCB=，//mn；②πsincos6bAaB=−；③()()()ababacc+−=−三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足______.注：如果选择多个条件分别

解答，按第一个解答计分.（1）求B；（2）若2b=，求ABC周长的取值范围.【答案】（1）π3B=（2）(4,6【解析】【分析】（1）选①：根据向量平行得到()2coscos0acBbC−−=，结合正弦定理和正弦和角公式得到1cos2B=，结合()0,πB，求出π3B=；选

②：由正弦定理和余弦差角公式，辅助角公式得到πsin03B−=，结合()0,πB，求出π3B=；选③：由余弦定理得到1cos2B=，结合()0,πB，求出π3B=；（2）由余弦定理和基本不等式，结合三角形两边之和大于第三边，得到24ac+，得到周长的取

值范围.【小问1详解】若选①：因为()2,macb=−，()cos,cosnCB=，//mn，所以()2coscos0acBbC−−=，由正弦定理得()2sinsincossincos0ACBBC−−=，即(

)2sincossincossincos0ABCBBC−+=，所以()2sincossinsinABBCA=+=，因为()0,πA，所以sin0A，所以1cos2B=，因为()0,πB，所以π3B=，若选②：由正弦定理得πsinsinsincos6BAA

B=−，故3131sinsinsincossinsincossinsin2222BAABBABAB=+=+，所以13sinsinsincos22BAAB=，因为()0,πA，sin0A，所以13πsincossin0223B

BB−=−=，因为()0,πB，所以π3B=；若选③：由()()()ababacc+−=−得222acbac+−=，由余弦定理得：2221cos222abcacBacac+−===，因为()0,πB，所以π3B=.【小问2详

解】由（1）可知，π3B=，222acbac+−=，又2b=，所以224acac+=+，由基本不等式得：222acac+，即42acac+，所以4ac，当且仅当2ac==时，等号成立.又()22223416acacacac+=++=+，即04ac+，又2ac+，所以24ac+

，所以46abc++，即ABC周长的取值范围是(4,6.18.已知数列na的前n项和为nS，且232−=nnnS，*Nn.（1）求数列na的通项公式；（2）设集合*,NnPxxan==，*62,NQxxnn==−，等差数列nc

的任一项()ncPQ，其中1c是PQU中的最小元素，126470c，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）32nan=−，*Nn（2）232nTnn=−【解析】【分析】（1）根据11,1

,2nnnSnaSSn−==−求出通项公式；（2）在第一问基础上得到PQP=，11c=，()*1213Ncmm=+，根据126470c求出22m=，1267c=，求出等差数列nc的公差，及通项公式65ncn=−，从而求出nT.【小问1详解】由232−=nnnS，*

Nn得：当2n时，()()22131133222nnnnnnnaSSn−−−−−=−=−=−，当1n=时，111aS==符合上式，所以数列na是首项为1，公差为3的等差数列.故32nan=−，*Nn；【小问2详解】因为*32,NPxxn

n==−，*62,NQxxnn==−，∴PQP=，又∵ncPQ，其中1c是PQU中的最小元素，∴11c=，∵nc的公差是3的倍数，∴()*1213Ncmm=+.又∵126470c，∴641370Nmm+，解得：22m=，

所以1267c=，设等差数列nc的公差为d，则121671612111ccd−−===−，所以()16165ncnn=+−=−，所以nc的通项公式为65ncn=−.因此数列nc的前n项和()2161322

nnnTnnn−=+=−.19.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，AFDE∥，AFEF⊥，222AFDEEF===，2AD=.（1）证明：ADCF⊥；（2）若面ADEF⊥面ABCD，且直线BE与平面ABF所成角的正弦值为13，求此时矩形ABCD的

面积.【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】【分析】(1)根据线面垂直的的判定定理证明线面垂直，进而可得线线垂直；(2)由面面垂直可得线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算表示线面夹角的正弦值，即可求出AB长度，

从而可求解矩形ABCD的面积.【小问1详解】证明：由题意得，四边形ADEF为直角梯形，又1DEEF==，2AF=，易知2DF=，2AD=，所以222DFADAF+=，所以ADDF⊥.又因为ADDC⊥，DCDFD=，,DCDF

平面DCF，所以AD⊥平面DCF，CF平面DCF，所以ADCF⊥.【小问2详解】因为平面ADEF⊥平面ABCD且交线为AD，ADDF⊥,DF平面ADEF，所以DF⊥平面ABCD.以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴建立如图所示坐标系，设ABa=，(

)2,0,0A，()2,,0Ba，()0,0,2F，122,0,222DEAF==−，22,0,22E−，所以322,,22BEa=−−，设平面ABF的法向量(),,nxyz=，()0,,0A

Ba=，()2,0,2AF=−，则00nABnAF==，得0220ayxz=−+=，设1x=则0,1yz==，所以()1,0,1n=.设直线BE与平面ABF所成角为，则221

sincos,325BEnBEnBEna====+.解得2a=，所以2AB=.所以22ABCDS=矩形.20.已知函数()()322Rfxxbxxb=++.（1）判断函数()fx零点的个数；（2）若函数()ecosxgxxx=++，且对任意()0,x+

，都有()()()lngfxgx恒成立，求实数b的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）3−【解析】【分析】（1）化简得到()()221fxxxbx=++，得到有一个零点为0，再根据的正负得到2210xbx++=的零点个数，从而求出函数()fx零点的个数；（2）求出()e

1sin0xgxx=+−，故()gx在R上是增函数，得到()lnfxx，参变分离得到32ln2xxxbx−−在()0,+上恒成立，构造()32ln2xxxhxx−−=，0x，求导得到()3322ln1xxxhxx−

+−+=，令()322ln1mxxxx=−+−+，求导后结合基本不等式得到()22321161611360mxxxxxx=−+−=−−−+−，结合()10m=，得到单调性，求出()()max13hxh==−，求出3b−，

得到答案.【小问1详解】因为()()221fxxxbx=++，()fx必有一个零点为0，当方程2210xbx++=有两个相等的实数根时，280b=−=，22b=，此时()fx有两个不同零点，当方程2210xbx++=有两个不相等的实数根时，280b=−

，即22b−或22b，此时()fx有三个不同零点，当方程2210xbx++=没有实数根时，280b=−，∴2222b−，此时()fx有一个零点；【小问2详解】因为()e1sin0xgxx=

+−，所以()gx在R上是增函数，因为()()()lngfxgx在()0,+上恒成立，所以()lnfxx在()0,+上恒成立，则32ln2xxxbx−−在()0,+上恒成立，令()32l

n2xxxhxx−−=，则()3322ln1xxxhxx−+−+=，令()322ln1mxxxx=−+−+则()22321161611360mxxxxxx=−+−=−−−+−.所以()mx在()0,+上减函数且()10m=.则当()0,1x

时，()0mx，()0hx，()hx在()0,1上是增函数，当()1,x+时，()0mx，()0hx，()hx在()1,+上是减函数，所以()()max13hxh==−，故3b−，∴min3b=−【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：第一步：首先对待含参

的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.21.如图，在平面直角坐

标系xOy中，已知点()1,0F，直线l：=1x−，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，分别以PQ，PF为直径作圆1C和圆2C，且圆1C和圆2C交于P，R两点，且PQRPFR=.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若直线1l：xmya=+交轨迹E于A，B

两点，直线2l：1x=与轨迹E交于M，D两点，其中点M在第一象限，点A，B在直线2l两侧，直线1l与2l交于点N且MABNANMB=，求MAB△面积的最大值.是【答案】（1）24yx=；（2）3239.【解析】【分析】（1）设点(,)Pxy

，根据正弦定理得||||PQPF=，则22(1)|1|xyx−+=+，化解即可；（2）首先求出(1,2)M，根据正弦定理得AMNBMN=，设()()1122,,,AxyBxy，通过0AMBMkk+=的化简得到124yy+=−，再代入计算得1ABk=−，然后再联立直线与抛物

线方程得到韦达定理式，计算12||2421AByya=−=+，点M到直线1l的距离为|3|2ad−=，得到面积表达式，再利用导数求出其最大值.【小问1详解】设点(,)Pxy,因为PQRPFR=,由正弦定理知||||PQPF=,所以22(1)|1|xy

x−+=+,解得24yx=,所以曲线E的方程为24yx=.【小问2详解】直线1x=与曲线E在第一象限交于点(1,2)M,因为||||||||MABNANMB=,所以||||||||MAMBANBN=,由正弦定理得:sinsinsinsinANMBNMAMNBMN=,所以A

MNBMN=设()()1122,,,AxyBxy，所以121222121212222244011221144AMBMyyyykkyyxxyy−−−−+=+=+=+=−−++−−,得124yy+=−所以2121222121124144AByyy

ykyyxxyy−−====−−+−，.,所以直线1l方程为:xya=−+,联立24yxxya==−+，得2440,16(1)0,1yyaaa+−==+−由韦达定理得12124,4yyyya+=−=−,又因为点M在直线1l的上方

,所以21a−+,所以13a−,所以()2121212||224421AByyyyyya=−=+−=+,又因为点M到直线1l的距离为|3|2ad−=,所以11|3|||421222ABMaSABda−==+22(1)(3)aa=+−方法一：令2()(1)(3),13faaa

a=+−−,则()(31)(3)faaa=−−,所以当113a−时,()0,()fafa单调递增,当133a时,()0,()fafa单调递减,所以max1256()327faf==，所以当13a=时,面

积最大,此时最大值为2563232279ABMS==.方法二：ABMS△最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:32122333232(1)(3)2239ABMaaaSaa++−+−=+−=

，当且仅当223aa+=−,即13a=时,等号成立.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用正弦定理得到AMNBMN=，则得到相关直线的斜率和为0，通过计算得到124yy+=−，再代回计算得1ABk

=−，从而减少直线1l里的变量，这样再联立抛物线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式得到AB表达式，再利用点到直线的距离得到三角形高的表达式，从而得到面积表达式，再求导，得到其最值即可.22.随着5G网络信号的不断完善，5G手机已经成为手机销售市场的明星.某地区手机专卖商场对已

售出的1000部5G手机的价格数据进行分析得到如图所示的频率分布直方图：（1）某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500元以下的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层抽样的方式提供了14部手机让其从中购买，假定选择每部手机是等可能的，求这两人至少选择一部价位在3500~4500元

的手机的概率；（2）该商场在春节期间推出为期三天的“中奖打折”活动，活动规则如下：在一个不透明的容器中装有一白一黄两个除颜色外完全相同的乒乓球，顾客每次限抽一球，抽完后放回容器中摇晃均匀后再抽取下一次.若抽中白球得2分，抽中黄球得1分，得分为9分或10分时停止抽

取，其中得9分为中奖，享受标价打n折（*Nn）优惠，得10分则未中奖按标价购买.设得i分的概率为iP（1i=，2，…，10），其中01P=.（i）证明1iiPP−−（10i，且*Ni）是等比数列；（ii）假定厂家在出售手机时的标价为进价的2倍，则厂家至少打几

折才不致亏损?【答案】（1）8191（2）（i）证明见解析（ii）至少打3折才不致亏损【解析】【分析】（1）先由频率分布直方图性质得出a的值，再由分布图确定分层抽样在15∼25，25∼35，35∼45百元范围内的各抽取的手机数量，即

可由古典概型概率计算即可得出答案；（2）（i）分析各种情况，确定iP的等式，即可由等比数列定义证明；（ii）通过（i）与等比数列性质得出购买概率，再通过离散型随机变量的期望得出结论.【小问1详解】由题意()100.00520.0450.011a+++=，所以0

.02a=.由频率分布直方图知，商场工作人员选取14部手机的抽样比为1:4:9，所以提供的这部手机在15∼25，25∼35，35∼45百元范围内的手机分别为1部，4部，9部，设“至少选择一部价位在3500~4500元的手机”为事件A，则()112959214CCC81C91

PA+==.【小问2详解】（i）证明：第一次抽中黄球得1分，概率为12，即112P=，得分为()29ii分有以下两种情况：先得2i−分，又抽中白球，其概率为212iP−；先得1i−分，又抽中黄球，其概率为112iP−，所以211122iiiPPP

−−=+，即()11212iiiiPPPP−−−−=−−，且1012PP−=−，所以当10i时，数列1iiPP−−是首项1012PP−=−，公比为12−的等比数列，（ii）1112P−=−，12212PP−=−，33212PP−=−，…，112iiiPP−

−=−，以上各式相加，得21111222iiP−=−+−++−，所以21111211122232iiiP+=+−+−++−=−−

（0i=，1，…，9）.所以享受打折的概率为101092121113232P=−−=−，按原来标价的购买概率为9910811211111223232PP==−−=+

，假设手机出售价格为X，手机进价为a，则()10921112121103232nEXaaa=−++，109212111153232n−++，910112252.5112n−

−，又∵Nn+，∴3n，所以至少打3折才不致亏损.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com