【文档说明】《精准解析》广东省信宜市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1004.850 KB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位畺上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线22xy=的准

线方程是（）A.12x=−B.14x=−C.18x=−D.116x=−【答案】C【解析】【分析】化为标准形式求解即可.【详解】解：22xy=可化为212yx=，所以抛物线22xy=的准线方程为18x=−．故选：C2.(1,1,3),(1,4,2),(1,5,)=−=−−=a

bcx，若,,abc三向量共面，则实数x=（）A.3B.2C.15D.5【答案】D【解析】【分析】利用向量共面坐标运算进行求解即可.的【详解】∵(1,1,3),(1,4,2)=−=−−ab，∴a与b不共线，又∵abc、、三向量共面，则存在实数m，n使cmanb=+即14532mnmnmn

x−=−+=−=，解得2,3,5===nmx．故选：D．3.若等轴双曲线C过点()1,3，则双曲线C的顶点到其渐近线的距离为（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线C的标准方程，再求顶点到其渐近线的距离.【详解】设等轴双曲线C的

标准方程为()220xykk−=，因为点()1,3在双曲线上，所以()2213k−=，解得2k=−，所以双曲线C的标准方程为22122yx−=，故上顶点()0,2到其一条渐近线yx=的距离为2221

11d==+.故选：A．4.等差数列na的前n项和nS，若132,12aS==，则6a=A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】【详解】试题分析：假设公差为d,依题意可得1323212,22dd+==.所以62(61)212a=+−=.故选C.考点：

等差数列的性质.5.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若90ABF=，则椭圆C的离心率为（）A.312−B.512−C.314+D.514+【答案】B【解析】【分析】

表示出各点坐标，由90ABF=可得0BABF=，得出,,abc的等式，变形后可求离心率．【详解】由题意(,0),(0,),(,0)AaBbFc−，则(,),(,)BAabBFcb=−−=−，90ABF=，∴20BABFacb=−+=，即220acac−−=，可得2()10ccaa+−=

，∴152cea−+==或152−−（舍去）．故选：B．6.设a，b为实数，若直线1axby+=与圆221xy+=相交，则点(),Pab与圆的位置关系是（）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定【答案】B【解析】【

分析】根据直线与圆的位置关系，求得,ab满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.【详解】根据题意2211ab+，即221ab+，故点(),Pab在圆221xy+=外.故选：B.7.如图，在ABC中，AC，AB所在直线方程分别为43

130xy−−=和34160xy+−=，则A的角平分线所在直线的方程为（）A.730−+=xyB.7290xy+−=C.30xy−+=D.50xy+−=【答案】A【解析】【分析】求出A点的坐标，根据题意可得ABAC⊥，设A的角平分

线所在直线的倾斜角为，直线AC的倾斜角为，从而可得()tantan45=−，再根据直线的点斜式方程即可得解.【详解】解：联立4313034160xyxy−−=+−=，解得41xy==，即()4,1A，因为43

340−=，所以ABAC⊥，即90BAC=，设A的角平分线所在直线的倾斜角为，直线AC的倾斜角为，则4tan3=，则()4113tantan454713−=−==+，即A的角平分线所在直线的斜率为17，所以A的角平分线所在直线的方程为()1147yx

−=−，即730−+=xy.故选：A.8.已知数列na是以1为首项，2为公差的等差数列，nb是以1为首项，2为公比的等比数列，设nnbca=，()12NnnTcccn=+++，则当2022nT时，n的最大值是（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】【分析】先

求出数列na和nb的通项公式，然后利用分组求和求出nT，再对n进行赋值即可求解.【详解】解：因为数列na是以1为首项，2为公差的等差数列所以()11221nann=+−=−因为nb是以1为首项，2为公比的等比数列所

以12nnb−=由nnbca=得：2121nnncb=−=−()()()21231122222121222NnnnnnTccnncnn+=+++=++++−−=−−=−−当2022nT时，即1222022nn+−−120242nn+

+当9n=时，1023203当10n=时，11220483420=所以n的最大值是9.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出nT，再通过赋值法即可求出使不等式成立的n的最大值.二、多项选择题：

共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线32()yaxaaR=−+必过定点()3,2B.直线32yx=−在y轴上的截距为2−C.直线310xy++=的倾斜角为

60D.圆225xy+=的过点()1,2-的切线方程为250xy−+=【答案】ABD【解析】【分析】选项A将直线化为点斜式可判断；选项B根据截距的定义可判断；选项C先求出直线的斜率可得倾斜角从而判断；选项D先判断点在圆上，然后由切线的几何性质求出切线

方程，从而判断.【详解】选项A.直线32yaxa=−+化为()23yax−=−，所以直线过点()3,2，故正确.选项B.直线32yx=−在y轴上的截距为2−,正确.选项C.直线310xy++=的斜率3k=−，倾斜角为1

20，故不正确.选项D.由()22125−+=，则点()1,2-在圆225xy+=上所以圆225xy+=的过点()1,2-的切线的斜率为12，所以切线方程为()1212yx−=+，即250xy−+=，故正确.故选：ABD10.已知曲线C的方程为22126xykk+=−−（Rk，且

2k，6k），则下列结论正确的是（）A.当4k=时，曲线C为圆B.若曲线C为椭圆，且焦距为22，则5k=C.当2k或6k时，曲线C为双曲线D.当曲线C为双曲线时，焦距等于4【答案】AC【解析】【分析】写出当4k=时的曲线方程，即可判断A

;分情况求出当曲线表示椭圆时k的值，可判断B；当2k或6k时，判断2,6kk−−的正负，即可判断C;当曲线C为双曲线时,确定k的范围，求得焦距，可判断D.【详解】当4k=时,方程为22122xy+=，即222xy+=，表示圆，故A正确；若曲线C为椭圆，且焦距为22，则当焦点在x轴上，260kk

−−且2(6)2kk−−−=，解得5k=；当焦点在y轴上，620kk−−且6(2)2kk−−−=，解得3k=,故此时5k=或3k=，故B错误；当2k时，20,60kk−−，曲线22126xykk+=−−表示的是焦点位于y轴上的双曲线；当6k时，20,60kk−−，

曲线22126xykk+=−−表示的是焦点位于x轴上的双曲线；故C正确；当曲线C为双曲线时，(2)(6)0kk−−，即2k或6k，当2k时，20,60kk−−，焦距2282ck=−，当6k时，20,60kk−−，焦距2228ck=−，故D错误，故选：AC11.已知空间中三点

(0,1,0),(2,2,0),(1,3,1)ABC−，则下列结论正确的有（）A.ABAC⊥B.与AB共线的单位向量是(1,1,0)C.AB与AC夹角的余弦值是5511D.平面ABC的一个法向量是(1,2,5)m=−【答案】AD【解析】【分析】对于A，通过计算ABACu

uuruuur来判断，对于B，利用共线单位向量的定义求解，对于C，利用向量的夹角公式求解，对于D，利用法向量的定义求解.【详解】对于A，因为(0,1,0),(2,2,0),(1,3,1)ABC−，所以(2,1,0),(1,2,1)ABAC==−，所以220ABA

C=−+=，所以ABAC⊥，所以A正确，对于B，因为(2,1,0)AB=，所以与AB共线的单位向量为221255(2,1,0),,05521ABAB==+，或221255(2,1,0),

,05521ABAB−=−=−−+，所以B错误，对于C，因为(2,1,0),(1,2,1)ABAC==−，所以220cos,056ABACABACABAC−++===，所以C错误，对于D，因为(1,2,5)m=−，(2,1,0),(1,2,1)ABAC==−，所以2200,14

50mABmAC=−+==−−+=，所以,mABmAC⊥⊥，所以平面ABC的一个法向量是(1,2,5)m=−，所以D正确，故选：AD.12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱

的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆

交于点B，则（）A.椭圆的长轴长为22B.AFG的周长为442+C.线段AB长度的取值范围是4,222+D.ABF△面积的最大值是42【答案】BC【解析】【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆定义可判断B；由椭圆性质可判断

C；设AB所在直线方程为ykx=，分别联立椭圆、圆的方程，求出A，B两点的横坐标，得出ABFS△根据单调性可得最大值判断D.【详解】对于A，由题知，椭圆中2bc==，得2222abc=+=，则242a=，故A错误；对于B，由椭圆定义知，242AFAG

a+==，所以AFG的周长42442LFG=+=+，故B正确；对于C，2ABOBOAOA=+=+，由椭圆性质可知222OA，所以4222AB+，故C正确；对于D,设AB所在直线方程为ykx=，联立22148ykxxy=+=可得282Axk=+，联立224ykxx

y=+=可得241Bxk=+，则221184||||||||2221ABFAOFOBFABSSSOFxOFxkk=+=+=+++△△△，显然当20k时，函数228421ykk=+++是减函数，所以当0k=时，ABFS△有最大值4，故D错误.故选：BC第二部分非选择题（共90分）三、

填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.法国数学家蒙日(),17461818Monge−发现：双曲线()2222:10xyabab=−的两条互相垂直切线的交点P的轨迹方程为：2222xyab+=−，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲

线()22210xyaa−=对应的蒙日圆方程为223xy+=，则=a___________.【答案】2【解析】【分析】根据题意写出双曲线()22210xyaa−=对应的蒙日圆方程，可得出关于a的等式，即可求得正数a的值.【

详解】由双曲线()22210xyaa−=的方程可得21b=，由蒙日圆的定义可得双曲线()22210xyaa−=对应的蒙日圆方程223xy+=，所以223ab−=，即213a−=，可得2a=.故答案为：2.14.在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________.

【答案】27【解析】【分析】设公比为q，利用已知条件求出2q，然后根据通项公式可求得答案【详解】设公比为q，插入的三个数分别为234,,aaa，因为151,9aa==，所以49q=，得23q=，所以()3233232341111327aaaaqaqaqa

q====，故答案为：2715.已知等差数列na满足266aa+=，请写出一个符合条件的通项公式na=______．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】由已知条件结合等差数列的性质可得43a=，则133ad+=，从

而可写出数列的一个通项公式【详解】因为na等差数列，且266aa+=，所以426a=，43a=．是当公差为0时，3na=；公差为1时，1nan=−；…故答案为：3（答案为唯一）16.已知过椭圆()22:151xyEmmm+=−上的动点P作圆C（C为圆心）：2220xxy−+=

的两条切线，切点分别为,AB，若ACB的最小值为23，则椭圆E的离心率为______．【答案】13【解析】【分析】由椭圆方程和圆的方程可确定椭圆焦点、圆心和半径；当ACB最小时，可知3ACP=，此时min2PC=；根据椭圆性质知min1PCm=−，解方

程可求得m，进而得到离心率.【详解】由椭圆E方程知其右焦点为()1,0；由圆C的方程知：圆心为()1,0C，半径为1；当ACB最小时，则ACP最小，即3ACP=，此时PC最小；此时11cos2ACACPPCPC===，min2PC=；P为椭圆右顶点时，min12PCm

=−=，解得：9m=，椭圆E的离心率113em==.故答案为：13.四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等比数列na满足3128aaa==．（1）求na的通项公式；（2）记na的前n项和为nS，证明：4nS−，2nS+

，16nS+成等差数列．【答案】（1）2nna=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等比数列na的公比为q，根据3128aaa==，求得1,aq的值，即可求得数列na的通项公式；（2）由等比数列的求和公式求得122nnS+=−，

得到2122nnS++=−，3222nnS++=−，化简得到12462nnnSSS++−+=，即可求解．【小问1详解】解：设等比数列na的公比为q，因为3128aaa==，所以22118aqaq=

=，解得12aq==，所以111222nnnnaaq−−===，所以数列na的通项公式2nna=．【小问2详解】解：由（1）可得()()11121222112nnnnaqSq+−−===−−−，2122nnS++=−，3222nnS++=−，所以()()()123422622

2220nnn+++−−+−−−=，所以12462nnnSSS++−+=，即4nS−，2nS+，16nS+成等差数列．18.已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为33yx=．（1）求C的标准方程；（2）若直线1:12lyx=−与双曲线C

交于A，B两点，求||AB．【答案】（1）2213xy−=（2）103【解析】【分析】（1）焦点在x轴上，设方程为22221(0,0)xyabab−=根据题意求出,ab即可（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后

利用弦长公式计算即可【小问1详解】因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为22221(0,0)xyabab−=，由题意得24c=，所以2c=，①又双曲线C一条渐近线为33yx=，所以33ba=，②又22

2+=abc，③联立上述式子解得3a=，1b=，故所求方程为2213xy−=；【小问2详解】设11(,)Axy，22(,)Bxy，联立2211213yxxy=−−=，整理得213604xx+−=，由2

134()(6)1504=−−=，所以1212xx+=−，1224xx=−，即2212121()4ABkxxxx=++−2211()(12)4(24)1032=+−−−=19.已知数列na满足3122462naaaann+++

+=.的（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）2nan=（2）4(1)nnSn=+【解析】【分析】（1）根据所给式子得到3112124622naaaann−++++=−−()2n，作差即可得到2nan=，()2

n，再计算1a，即可得解；（2）由（1）可得11141nbnn=−+，利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】解：因为3122462naaaann++++=，所以2n时，3112124622naa

aann−++++=−−，两式作差得，12nan=，所以2n时，2nan=，又1n=时，112a=，得12a=，符合上式，所以na的通项公式为2nan=．【小问2详解】解：由（1）知1111111122(1)4(1)41nnnbaannnnnn+====−+++

，所以123nnSbbbb=++++1111111114223341nn=−+−+−++−+1111111111(1)(1)422334141

4(1)nnnnn=−+−+−++−=−=+++，即数列nb的前n项和4(1)nnSn=+．20.已知圆C经过点()0,2A，()6,4B，且圆心在直线340xy−−=上.（1）求圆C的方程；（2）若平面上有两个点()6

,0P−，()6,0Q，点M是圆C上的点且满足2MPMQ=，求点M的坐标.【答案】（1）()22420xy−+=（2）10411,33或10411,33−【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得

圆的方程.（2）根据已知条件求得M满足的方程联立即可求得M的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340xy−−=上，设圆心()34,Caa+，已知圆C经过点()0,2A，()6,4B，则由CACB=，得()()()()22223423464aaaa++−=+−+−解得0a=，所以圆心C

为()4,0，半径()()22400225rCA==−+−=，所以圆C的方程为()22420xy−+=；【小问2详解】设(),Mxy，∵M在圆C上，∴()22420xy−+=，又()6,0P−，()6,0Q，由2MPMQ=可得：()()

2222646xyxy++=−+，化简得()221064xy−+=，联立()()22224201064xyxy−+=−+=解得10411,33M或10411,33−.21.ABC是边长为2的等边三角形，M为AB边上的动点，且MNBC

∥，O为MN的中点，P为BC的中点.将ABC沿MN进行折起，使得平面AMN⊥平面BCNM.（1）求证：MNAP⊥；（2）求平面AMB与平面AMN夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】

（1）根据面面垂直可得AO⊥平面BCNM，据此证出MN⊥平面AOP，可得线线垂直；（2）以O为原点，,,OMOPOA→→→所在方向分别为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz−，利用向量法求解即

可.【小问1详解】连接OP，如图，由题意可知，//MNBC，且AMAN=，又O为MN的中点，则AOMN⊥，而平面AMN⊥平面BCNM，且交于MN，AO平面AMN，所以AO⊥平面BCNM.因为OBOC=，所以由直角三角形AOB，AOC

全等可得ABAC=，故ABC是等腰三角形，P为BC边上中点，则OPBC⊥，由//MNBC可知OPMN⊥，又AOAPA=，,AOAP平面AOP，则MN⊥平面AOP，因为AP平面AOP，所以MNAP⊥.【小问2详解】以O为原点，,,OMOPOA→→→所在方向分别为,

,xyz轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz−.设()||||01MNBC→→=，则(0,0,0)O，(,0,0)M，(0,0,3)A，(1,33,0)−B，(1,33,0)−−C，(),0,3

AM→=−，()1,33,3AB→=−−设平面AMB的法向量为n(x,y,z)→=，则由00nAMnAB==，即303(1)30xzxyz−=+−−=，令3x=，则1,1yz=−=，即平面AMB的一个法向量为(3,1,1)n→=−，因为y轴与平面AMN

垂直，所以平面AMN的一个法向量为(0,1,0)m→=，所以5cos,5||||nmnmnm→→→→→→==−，所以平面AMB与平面AMN夹角的余弦值为55.22.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab），四点()12,2P，()20,2P，()32,2P−，()42,2P中恰

有三点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过2P点且与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，若222AMPABP=，试问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22184xy+=的（2）直线l恒过定点，定点坐标为20,3

−【解析】【分析】(1)根据题意椭圆过点P2、3P、4P，代入椭圆方程列出方程组，解之即可求解；(2)根据角、线段之间的数量关系可得220PAPB=，设直线l方程ykxm=+，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量的坐标表示可得22PAPB()()()2222228401222121

mkmkkmmkk−=++−−+−++=，求出m的值，即可得出直线恒过的定点.【小问1详解】由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点又由22222222222(2)abab++知，C不经过点P1，

所以点P2在C上.因此()22222221,221,bab=+=解得228,4.ab==故C的方程为22184xy+=.【小问2详解】在2△ABP中，222AMPABP=，222AMPABPBPM=+，所

以22ABPBPM=，从而2PMBM=，又M为线段AB的中点，即12BMAB=，所以212PMAB=，因此290APB=，从而220PAPB=，根据题意可知直线l的斜率一定存在，设它的方程为ykxm=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立22184ykxmxy=++

=消去y得()222214280kxkmxm+++−=①，.()()()2224428210kmmk=−−+，根据韦达定理可得122421kmxxk+=−+，21222821mxxk−=+，所

以()()()()()()222211221212,2,2122PAPBxyxykxxkmxxm=−−=++−++−()()()222222841222121mkmkkmmkk−=++−−+−++

所以()()()2222228412202121mkmkkmmkk−++−−+−=++，整理得()()2320mm−+=，解得2m=或23m=−又直线l不经过点()0,2，所以2m=舍去，于是直线l的方程为23ykx=−，恒过定点20,3−，该点在椭圆C内，满足关于x的方

程①有两个不相等的解，所以直线l恒过定点，定点坐标为20,3−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com