【文档说明】湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.284 MB，由管理员店铺上传

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湖南高二年级期末联合考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，第二册至5.2一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．1.某物体运动st后，其位移（单位：m）为2122ytt=+．在24t这段时间里，该物体的平均速度为（）A.5m/sB.6m/sC.8m/sD.10m/s【答案】A【解析】【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案.【详解】当2t=时，位移为212

2262+=，当4t=时，位移为21424162+=，在24t这段时间里，该物体的平均速度为：1665m/s42−=−．故选：A.2.直线:2210lxy+−=的倾斜角为（）A.45B.60C.120

D.135【答案】D【解析】【分析】根据直线方程求斜率，进而可得倾斜角.【详解】设l的倾斜角为，则0180，由题可知l的斜率为tan1k==−，所以l的倾斜角为135．故选：D.3.在数列{}na中，已

知11a=，112nnnaaa+=+，若17ma=，则m=（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】通过取倒数的方法，证得数列1{}na是等差数列，求得121nna=−，进而求出121nan=−，解决问题即可.【详解】由112nnnaaa+=+，11a=，取倒数得：1112nnaa+

=+，则1{}na是以111a=为首项，2为公差的等差数列．所以11(1)221nnna=+−=−，所以121nan=−；由于11217mam==−，故4m=．故选：C4.在三棱锥−PABC中，M为AC的中点，则PM=（）A.11

22BABCBP++B.1122BABCBP+−C.111222BABCBP+−D.111222BABCBP++【答案】B【解析】【分析】连接BM，根据空间向量的运算法则，准确化简，即可求解..【详解】连接BM，根据向量的

运算法则，可得1122PMBMBPBABCBP=−=+−.故选：B.5.过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB中点的坐标为(4,22)，则p=（）A.4B.3C.2D.1

【答案】A【解析】【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线AB的斜率，可建立关于p的方程，求解可得.【详解】设11(,)Axy，22(,)Bxy，则2112222,2,ypxypx==，两式作差得

，2212121212()()2()yyyyyypxx−=+−=−，当12xx=时，则AB中点坐标为焦点,02pF，不满足题意；当12xx时，得1212122yypxxyy−=−+．设线段AB中点M，因为M坐标(4,22)，且过焦点F

，所以1242yy+=，则AB的斜率22204242ABFMpkkp−===−，解得4p=．故选：A.6.若三条不同的直线1:20laxy++=，2:10lxy+−=，3:30lxy−+=不能围成一个三角形，则a的取值集合为（）A.{1,1}−B.{4,1}C.1

,12−D.{4,1,1}−【答案】D【解析】【分析】分线线平行和三线共点讨论即可.【详解】若12//ll，则1a−=−，解得1a=．若13//ll，则1a−=，解得1a=−．若1l，2l，3l交于一点，联

立方程组1030xyxy+−=−+=，解得得12xy=−=，代入20axy++=，得220a−++=，解得4a=，故a的取值集合为{4,1,1}−．故选：D.7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长

的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（）A.34米B.38米C.316米D.332米【答案】B【解析】【分析】根据题意，构造正三角形周长满足的等比数列，结合等比数列前n项和公式及指数不等式进

行求解.【详解】由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，12为公比的等比数列.设最小正三角形的边长为1132n−米，则191217112n−−，则11218n，即218n，得4n，故最小的正三角

形的边长为313328=米.故选：B8.已知双曲线C：221xy−=的左、右焦点分别为1F，2F，直线l：2yxm=−与C相交于A，B两点，若1FAB的面积是2FAB面积的3倍，则m=（）A.2B

.42C.2或42D.2或22【答案】B【解析】【分析】设1F到直线AB的距离为1d，2F到直线AB的距离为2d，根据题意得到123dd=，列出方程求得m，结合0，即可求解.【详解】依题意，双曲线C：221xy−=的左、右焦点分别为()12,0F−，()22

,0F，设1F到直线AB的距离为1d，2F到直线AB的距离为2d，则1225md−−=，2225md−=，因为1FAB的面积是2FAB面积的3倍，所以123dd=，即22322mm−−=−，解得2m=或42，联立方程组2221yxmxy=−

−=，整理得223410xmxm−++=，则()22Δ161210mm=−+，解得23m，所以42m=．故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将面积比转化为距离的比，从而得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题的.目要求．全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.等差数列{}na的前n项和为nS，若79a=，443Sa=，则（）A.{}na的公差为1B.{}na的公差为2C.418S=D.20232025a=【答案】ACD【解析】【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A，B；根据等差数列通

项公式以及前n项和公式即可判断C，D.【详解】设{}na的公差为d，由79a=，443Sa=，得111694639adadad+=+=+，解得131ad==，故A正确，B错误；414618Sad=+=，2023120222025aad=+=，C，D正确.故选：ACD10.下列

结论正确的是（）A.若sin2yxx=−，则cos2yx=−−B.若(1)lnyxx=+，则1ln1yxx=++C.若23exxy−=，则23(23)exxyx−=−D.若21exxy+=，则2(1)exxy−−=【答案】B

CD【解析】【分析】由导数的四则运算和复合函数的导数公式计算.【详解】对A,若sin2yxx=−，则()()sin2cos2yxxx==−−，A选项不正确；对B,若(1)lnyxx=+，则()1(1)ln(1)lnln1yxxxxxx=+++=++，

B选项正确；对C,若23exxy−=，则()222333e(23)exxxxyxxx−−=−=−，C选项正确．对D,若21exxy+=，则()()()()22221e1e(1)eexxxxxxxy+−+−−==，D选项正确．

故选：BCD11.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，,EE分别为棱1,ADDD的中点，G为线段1BC上的一个动点，则（）A.三棱锥DEFG−的体积为定值B.存在点G，使得平面//EFG平面11ABDC.当113CGCB=时，直线EG与1BC所成角的余弦值为3520D.当G为1BC

的中点时，三棱锥1AEFG−的外接球的表面积为22π3【答案】ABD【解析】【分析】对于A项，由等体积法DEFGGDEFVV−−=即可判断，对于B项，运用空间向量坐标法计算两个平面法向量平行求解即可，对于C项，运用空间向量坐标公式计算异面直线所成角余弦值即可，对于D项，由1||||||

||OAOEOFOG===列方程求解即可.【详解】对于A项，因为平面11BCCB//平面DEF，1BC平面11BCCB，所以1BC//平面DEF，所以点G到平面DEF的距离h为定值，又13DEFGGDEFDEFVVSh−−==△，DEF的面积为定值，所以三棱锥DEFG−的

体积为定值，故A项正确；建立如图1所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A，1(0,0,2)D，()()()()()()112,0,2,0,2,0,1,0,0,0,0,1,2,2,2,2,2,0,ACEFBB()10,2,2C

，对于B项，()10,2,2AB=，()12,0,2AD=−，()()()12,0,2,1,0,1,1,2,0CBEFEC==−=−，设()12,0,2,01CGtCBttt==，则()21,2,2EGECCGtt=+=−．设平面EFG的法向量为()111

,,nxyz=，由()11111021220nEFxznEGtxytz=−+==−++=，令12x=，可得()2,14,2nt=−．设平面11ABD的法向量为()222,,mxyz=，由122122

220220mAByzmADxz=+==−+=，令21x=，可得()1,1,1m=−．若平面EFG∥平面11ABD，则2142111t−==−，解得3t4=，故B项正确；对于C项，建立如图1所示的空间直角坐标系，当112

2,0,333CGCB==时，()()122121,2,0,0,,2,,2,0,23333EGBC=−+=−=−．设直线EG与1BC所成的角为，则112382cos8241229EGBCEGBC===，即直

线EG与1BC所成角的余弦值为38282，故C项错误；对于D项，如下图，当G为1BC的中点时，()()()()12,0,2,1,0,0,0,0,1,1,2,1AEFG．设三棱锥1AEFG−的外接球的球心为(),,Oxyz，半径为r，则2222222222222222(2)(2)(1)(1)(1)(

2)(1)rxyzrxyzrxyzrxyz=−++−=−++=++−=−+−+−，解得2762376116xyzr====，所以三棱锥1AEFG−的外接球的表面积为2224π3r=，故D项正确．故选

：ABD.12.已知F是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点，直线ykx=与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为AF，BF的中点，O为坐标原点，若60MON=，则椭圆C的离心率可能为（）A.32B.9

10C.12D.134【答案】BD【解析】【分析】根据题意，先画出图象，然后判断四边形1AFBF为平行四边形，由60MON=可得1120FAF=，进而结合椭圆的定义与基本不等式可得有关,ac的不等式，解不等式得到离心率的取值范围，从而逐项判断四个选项即可得到答案.【详解】根据题

意，图象如图所示：设1F为椭圆C左焦点，因为直线ykx=与椭圆C交于A，B两点，所以由椭圆的对称性得OAOB=，又1OFOF=，于是四边形1AFBF为平行四边形.因为M，N分别为AF，BF的中点，O是1FF中点

，所以1//AFOM，1//BFON，平行四边1AFBF中160AFBMON==,1120FAF=，在1AFF中，2221112cos120FFAFAFAFAF=+−()()()()222211111344AFA

FAFAFAFAFAFAFAFAF++=+−+−=.因为直线ykx=斜率存在，所以A，B两点不在y轴上，即1AFAF，又在2222:1(0)xyCabab+=中，112,2AFAFaFFc+==，所

以，()221134AFAFFF+，即2243ca，又ac，所以22314ca，即3e<12.综上所述，3,12e；因为313,,1222，故A，C错误；的223758191210010010==，即93,1102

，故B正确；312131244=，即133,142，故D正确.故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点A是点(2,1,2)A−在坐标平面Ox

y内的射影，则OA=__________．【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，求出点A的坐标，再利用向量模的坐标表示即得.【详解】由点A是点(2,1,2)A−在坐标平面Oxy内的射影，得(2,1,0)A−，即(2,1,0)OA=−，所以5OA=.故

答案：514.已知()fx是函数()fx的导函数，且0()3fx=，则000()(2)limxfxxfxxx→−−+=__________．【答案】9−【解析】【分析】根据题意结合导数的定义运算求解.【详解】由题意可得：0000000()(2)()(2)lim3lim3()93xx

fxxfxxfxxfxxfxxx→→−−+−−+=−=−=−−．故答案为：9−.15.若直线310xy+−=是圆22280xyax+−−=的一条对称轴，则点(2,3)P与该圆上任意一点的距离

的最小值为__________．【答案】1【解析】【分析】利用圆关于直线对称可知该直线过圆心(,0)a，可得1a=，再利用定点到圆上点距离的最值的求法即可求得结果.【详解】由题可知，该圆的圆心为(,0)a，直线310xy+−=过圆心，则1

0a−=，解得1a=，为则该圆的方程转化为22(1)9xy−+=，该圆圆心为()1,0，半径为3，易知圆心与(2,3)P的距离为()()222132−+=，故点(2,3)P与该圆上任意一点的距离的最小值为321−=．故答案为：116

.在数列na中，11a=，1ennnaa++=，其中e是自然对数的底数，令1232111ee1ennnSaaaa−=++++，则()1lneennSna+−=____________．【答案】1n−【解析】【分析】根据题意，得到123211eeeenn

nSaaaa−=++++，两式相加，结合等比数列的求和公式和对数的运算法则，即可求解.【详解】由1232111ee1ennnSaaaa−=++++，得123211eeeennnSaaaa−=++++，

则()()()()112231211111eeeeennnnnnSaaaaaaaa−−−+=++++++++，则()111eeennnSna−+=+，故()1eeln1nnSnna+−=−．故答案为：1n−.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17

.已知数列{}na满足14a=，且对于任意m，*nN，都有mnmnaaa+=．（1）证明{}na为等比数列，并求{}na的通项公式；（2）若21lognnba=，求数列1{}nnbb+的前n项和nS．【答案】（1）证明见解析，4nna=（2）4

4nn+【解析】【分析】（1）取1m=，得到14nnaa+=，得到{}na是4为公比的等比数列，求出通项公式；（2）裂项相消得到111141nnbbnn+=−+，再进行求和即可.【小问1详解】取1m=，则由mnmnaaa+=，得11n

naaa+=．因为14a=，所以14nnaa+=，所以{}na是以4为首项，4为公比的等比数列，故114nnnaaq−==．【小问2详解】由（1）可知22111loglog42nnnban===，则111

114(1)41nnbbnnnn+==−++，故11111114223144nnSnnn=−+−++−=++．18.已知四边形ABCD的三个顶点(1,0)A，(3,2)B−，(4,1)C−．（1）求过A，B，C三点的圆的

方程．（2）设线段AB上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形ABCD的面积．若四边形ABCD为平行四边形，求直线l的方程．【答案】（1）22515222xy−++=（2）

550xy−−=【解析】【分析】（1）方法一：根据斜率分析可知ABBC⊥，结合直角三角形的外接圆的性质分析求解；方法二：设圆的一般方程，代入A，B，C三点运算求解即可；（2）利用向量关系求得52,33E−.方法一：根据题意可知直线l过线段AC的中点51,22M

−，再利用直线的两点式方程运算求解；方法二：设l与CD相交于点()22,Fxy，可知13CFDC=−uuuruuur，利用向量关系求得点101,33F−，再利用直线的两点式方程运算求解.【小问1详解】方法一：因为(1,0)A，(3,2)B−，(4,1)C−，则2

0131ABk−−==−−，1(2)143BCk−−−==−，由1ABBCkk=−，得ABBC⊥，则过A，B，C三点的圆的圆心为线段AC的中点51,22M−，半径221110(41)(10)222rAC==−+−−=，所以过A，B，C三点的圆的方程为22515222xy

−++=；方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为220xyDxEyF++++=，则10133201740DFDEFDEF++=+−+=+−+=，解得514DEF=−==，故过A，B，C三点的圆的方程为22540xyxy+−+

+=，即22515222xy−++=.【小问2详解】设()11,Exy，由题意可得：(2,2)DCAB==−uuuruuur，()111,AExy=−，因为线段AB上靠近点A的三等分点为E，则122,333AEAB==−，则1121323xy−==−

，解得115323xy==−，即52,33E−．方法一：直线l平分四边形ABCD的面积，可知直线l过线段AC的中点51,22M−，所以直线l的方程为253312552323yx+−=−+−，整理得550xy−−=；方法二：设l与CD相交于点()

22,Fxy，则()224,1CFxy=−+，由直线l平分四边形ABCD的面积，可得122,333CFDC=−=−，则22243213xy−=−+=，解得2210313xy=

=−，即101,33F−，所以直线l的方程为2533121053333yx+−=−+−，整理得550xy−−=.19.已知函数32()fxxaxbx=++的图象经过点(1,1)A，且在点A处的切线与直线:0lx

y+=垂直．（1）求a，b的值；（2）求经过点(2,4)且与曲线()yfx=相切的切线方程．【答案】（1）22ab=−=（2）20xy−=或680xy−−=【解析】【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义分析列式求解；（2）

设切点320000(,22)xxxx−+，切线斜率()2000342kfxxx=−=+，求直线方程并代入点(2,4)运算求解即可.【小问1详解】由32()fxxaxbx=++，则2()32fxxaxb=++，因为()fx的图象在点

(1,1)A处的切线与直线:0lxy+=垂直，则()()1111321fabfab=++==++=，解得22ab=−=.【小问2详解】由（1）可设切线与曲线()yfx=相切于点320000(,22)xxxx−+，则切线斜率()2000342kfx

xx=−=+，则切线的方程为322000000(22)(342)()yxxxxxxx−−+=−+−，将点(2,4)代入方程整理得3220000044(2)0xxxxx−+=−=，解得00x=或02x=．当00x=

时，切线方程为20xy−=．当02x=时，切线方程为680xy−−=．故经过点(2,4)且与曲线()yfx=相切的切线方程为20xy−=或680xy−−=．20.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥平面ABC，ABBC⊥，

24ACBC==，F是PC的中点，且⊥AFPB．（1）求AP的长;（2）求二面角BAFC−−的正弦值.【答案】（1）23AP=（2）74【解析】【分析】（1）结合垂直关系，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，利用⊥AFPB计算出AP的长度即

可；（2）利用向量法求出平面ABF的法向量与平面AFC的法向量，进而求出二面角BAFC−−的正弦值即可.【小问1详解】因为PA⊥平面ABC，ABBC⊥，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．设APa=，由24ACBC==，得(0,0,0)B

，(0,23,0)A，(0,23,)Pa，(2,0,0)C．因为F是PC的中点，所以1,3,2aF，则1,3,2aAF=−，(0,23,)BPa=．又⊥AFPB，所以2602aAFBP=−

+=，解得23a=，故23AP=．【小问2详解】由（1）可知，(1,3,3)F，则(1,3,3)AF=−，(0,23,0)AB=−，(2,23,0)AC=−．设平面ABF的法向量为111(,,)mxyz=，则1111330

230xyzy−+=−=，令11z=，得(3,0,1)m=−．设平面AFC的法向量为222(,,)nxyz=，则222223302230xyzxy−+=−=，令21y=，得(3,1,0)n=．所以3cos,4mnmnmn==−，

故二面角BAFC−−的正弦值为237144−−=．21.已知{}na是首项为1的等差数列，{}nb是公比为2的等比数列，且12ba=，24ba=．（1）求{}na和{}nb的通项公式；（2）在{}na中，对

每个正整数k，在ka和1ka+之间插入k个kb，得到一个新数列{}nc，设nT是数列{}nc的前n项和，比较66T与20000的大小关系．【答案】（1）nan=，2nnb=（2）6620000T【解析】【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列的通项公式运算求解；（2）根据题意分析可

知6612111210()(210)Taaabbb=+++++++，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式以及错位相减法运算求解.【小问1详解】设数列{}na的公差为d，因为1224baba==，则111213bdbd=+=+，解得112db==，所以

11nann=+−=，1222nnnb−==．【小问2详解】因为(1)1232kkk+++++=，当10k=时，(1)552kk+=，可知6612111210()(210)Taaabbb=+++++++，且1211(111)11662aaa++++==，

令nnb的前n项和为nS，则234122232422nnSn=+++++，可得234512122232422nnSn+=+++++，两式相减得()231112(21)22222212221n

nnnnnSnnn+++−−=++++−=−=−−−，即1(1)22nnSn+=−+，可得111210210922bbb+++=+，所以1166922661850020000T=++=．22.已知椭圆22122:1(0)xyCabab+

=与双曲线22222:1(0)xyCabab−=的焦距之比为12．（1）求椭圆1C和双曲线2C的离心率；（2）设双曲线2C的右焦点为F，过F作FPx⊥轴交双曲线2C于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆1C的左、右顶点，AP与椭圆1C交于另一点Q，O为坐标原点，证明：BPOPOQOPk

kkk=+．【答案】（1）椭圆1C的离心率105，双曲线2C的离心率2105（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解；（2）由（1）可知2103,55Paa，联立方程求点Q的坐标，结合斜率公式分析证明.【小问1详解】椭圆1C的焦距

22122cab=−，双曲线2C的焦距22222cab=+，则22222122abab−=+，整理得2235ba=，从而2222125caba=−=，2222285caba=+=，故椭圆1C的离心率11105cea==，双曲线2C的离心率222105cea==．【小问2详解】由（

1）可知2103,55Paa，椭圆22122:135xyCaa+=，因为(,0)Aa−，所以直线AP的方程为2105()5yxa−=+．联立方程组22222105()5135yxaxyaa−=

++=，整理得22(8210)(13410)(5210)0xaxa−+−+−=，则252108210Qaxa−−=−，则21058210Qxa−=−，可得21053(2105)()55(8210)QQyxaa−−=+

=−，即21053(2105),82105(8210)Qaa−−−−，因为33521021055BPakaa==−−，3352102105OPaka==，35QOQQykx==，则91

231020401010BPOPkk+==−，3312310520210OQOPkk++=+=，故BPOPOQOPkkkk=+．【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100

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