【文档说明】北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(22)页，1.259 MB，由小赞的店铺上传

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顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．一.选择题（本大题共10小题，共40分）1.设集合10Axx

=−，集合03Bxx=，则AB=（）A.()1,3B.(1,3C.()0,+D.()1,+【答案】C【解析】【分析】集合的基本运算问题.【详解】因为10Axx=−，所以1Axx=，且03Bxx=，所以0ABxx==()0,+.故选：C2.若复数z满足

()1i2iz+?，则z的共轭复数=z（）A.1i−B.1i+C.i−D.1i−+【答案】A【解析】【分析】由()1i2iz+?知2i1+iz=，运用复数的除法即可求出z，根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为()1i2iz+?，所以()()()2i1i2i2+2

i===1+i1+i1+i1i2z--=，所以=1iz-.故选：A3.如图所示，直线123,,lll的斜率分别为123,,kkk，则下列结论正确的是（）A.123kkkB.312kkkC.213

kkkD.231kkk【答案】C【解析】【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断．【详解】由tank=，结合tanyx=的函数图象，直线3l对应的倾斜角为钝角，则30k，直线1l与2l都为锐角，且2l的倾斜角大于1l的倾斜角，则210kk，故2

13kkk．故选：C．4.已知角的终边经过点()3,4−，则()cosπ+=（）A.45−B.35-C.35D.45【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数定义、结合诱导公式计算即得.【详解】由

角的终边经过点()3,4−，得该点到原点距离22(3)45r=−+=，33cos5r−==−，所以()3cosπcos5+=−=.故选：C5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+上单调递减的是（）A.3yx=B.cosyx=C.||2xy=D.21lnyx=【答案】

D【解析】【分析】根据幂函数，指数函数，余弦函数，对数函数的单调性逐项判断即可.【详解】对于A，由幂函数的单调性可知3yx=在(0,)+上单调递增，故A不正确；对于B，由余弦函数的单调性可知cosyx=在区间

(0,)+上单调递减不成立，故B不正确；对于C，2,021,02xxxxyx==，由指数函数的单调性可知，当(0,)x+时，2xy=单调递增，故C不正确；对于D，()21lnyfxx==的定义域为()(),00,−+，定义域关于原点

对称，()()()2211lnlnfxfxxx−===−，所以21lnyx=是偶函数，又因为当(0,)x+，21ln2lnyxx==−，由对数函数的单调性可知2lnyx=−在(0,)+上单调递减，故D正确；故选：D.6.在ABCV中，若7a=，8b=，1cos7B=，则A

的大小为（）A.π6B.π3C.5π6D.π3或2π3【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理结合三角形的特点计算即可.【详解】因为在ABCV中，()0,πAB、，所以2143cossin1cos77BBB==−=，由正弦定理可知sin3πsin23aBAAb

===或2π3，又abAB，所以2π3A=不成立.故选：B7.设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||ABACABAC+−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】将向量的模用向量的数量积来

表示，化简后结合向量夹角的范围，即可判断.【详解】||||ABACABAC+−22||||ABACABAC+−()()22ABACABAC+−0ABACcos,0ABAC由题意知A，B，C不共

线，所以(),0,πABAC，所以cos,0ABACAB与AC的夹角为锐角，故“AB与AC的夹角为锐角”是“||||ABACABAC+−”的充分必要条件；故选：C.8.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴

含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若30mAB=，10mBCAD==，且等腰梯形所在的平

面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.100mB.112mC.117mD.132m【答案】D【解析】【分析】先根据面面角的定义求得5tantan14E

MOEGO==，再依次求得EO，EG，EB，EF，最后把所有棱长相加，即可求解．【详解】如图，过E作EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别作EGBC⊥，EMAB⊥，垂足分别为G，M，连接OG，OM，因为EO⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以EOBC⊥，又EGBC⊥，且

EO，EG平面EOG，EOEGE=，所以⊥BC平面EOG，因为OG平面EOG，所以BCOG⊥，所以等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角为EGO，同理可得OMBM⊥，又EMAB⊥，所以等腰梯形所在的平面与平面ABCD所成角为EMO，所以5tantan14EMOEGO==，又BCOG

⊥，所以四边形OMBG是矩形，又10BC=，则5OM=，所以14EO=，所以5OG=，所以在RtEOG△中，()222214539EGEOOG=+=+=，在RtEBG△中，5BGOM==，()22223958EBEGBG=+=+=，又因为55305520EFAB=−−=−−=，故该五面体的

所有棱长之和为2302102048132m+++=．故选：D．9.函数()sin2fxx=图象上存在两点(),Pst，()(),0Qrtt满足6rs−=，则下列结论成立的是（）A.162fs+=B.362fs+=C.

162fs−=−D.362fs−=−【答案】B【解析】【分析】根据(),Pst()(),0Qrtt在()sin2fxx=上可得出222,rskkZ+=+再根联立6rs−=得到s的值根据0t缩小s的取值范围进而

代入,66fsfs+−求值即可.【详解】解:由题知()sin2fxx=T=()(),,,PstQrt均在()sin2fxx=上sin2sin20srt==644Trs−=

=0222Trs−故有:222,Zrskk+=+两等式联立有2226rskrs+=+−=解得2,Z3skk=+sin20st=1122,Z3skk=+3sin2sin

2sin2663332fsssk+=+=+=++=sin2sin2sin2066333fsssk−=−=−=+−

=综上选项B正确.故选:B10.已知函数()22,,xaxxafxxaxa−+=+，若对于任意正数k，关于x的方程()fxk=都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（）A.0B.1C.2D.无数【答案】B【解析】【分析】分0a=、

0a、0a三种情况讨论，作出函数()fx的图象，根据已知条件可得出关于实数a的等式与不等式，进而可求得实数a的取值.【详解】当0a=时，()22,0,0xxfxxx+=，作出函数()fx的图象如下图所示：由图可知，当02k

时，关于x的方程()fxk=有且只有一个实根，不合乎题意；当0a时，()22,,,xaxxafxxaaxaxaxa−+=+−−−−，如下图所示：函数()fx在(),a−−上单调递减，在(),aa−上单调递增，在(),a+上单调递增，由题意可得22222aaaa−+==

，解得1a=；若0a，则()22,,xaxxafxxaxa−+=−−，如下图所示：函数()fx在(),a−单调递减，在,2aa上单调递减，在,2a+上单调递增，

由题意可得2222280aaaa−+=−=−，此时a无解.综上所述，1a=故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分

离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二.填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数2ln(12)yxx=−+的定

义域是______.【答案】()1,00,2−【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得120x−、0x，故12x且0x，故该函数定义域为()1,00,2

−.故答案为：()1,00,2−..12.首项为1的等比数列na中，14a，22a，3a成等差数列，则公比q=______.【答案】2【解析】【分析】根据等差中项可得21344aaa=+，利用等比数列通项公式代入即可求.【详解】设

等比数列na的公比为q，因为14a，22a，3a成等差数列，所以21344aaa=+，所以211144aqaaq=+，因为首项为1，所以2440qq−+=，所以()220q−=，故2q=.故答案为：213.能说明“若sincos=，则36090k+=+

，其中Zk”为假命题的一组，的值是___．【答案】答案不唯一，如110=，20=【解析】【分析】即举满足条件sincos=但不满足36090k+=+的例子.【详解】110=，20=时，满足sincos=，但36090k+=+不成立故答案为答案不唯一，如

110=，20=【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查基本分析求解能力，属基础题.14.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则AP

AB的取值范围为______.【答案】8,24−【解析】【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使AP在AB方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得APAB的取值范围.【详解】如图，以点A为原点，分别以,ABAD所在直线为,xy轴建立坐标系.因||||cos,4|

|cos,APABAPABAPABAPAPAB==，而||cos,APAPAB表示AP在AB方向上的投影向量的数量，由图不难发现，设过正方形的中心作与x轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点12,PP，则当点P与点1P重合时，投影向量的数量最大，当点P与点2P重合时，投影向量的

数量最小.易得12(6,2),(2,2)PP−，则||cos,APAPAB的最大值为6，最小值为2−，故824APAB−.故答案为：8,24−.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M，N分别在线段1AD和11BC上．给出下列四个结论：①MN的最

小值为2；②四面体NMBC的体积为43；③有且仅有一条直线MN与1AD垂直；④存在点M，N，使MBN△为等边三角形．其中所有正确结论的序号是____．【答案】①②④【解析】【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以M为顶点，NBC为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断

；对于④，利用空间坐标即可求解.【详解】对于①，由于M在1AD上运动，N在11BC上运动，所以MN的最小值就是两条直线之间距离11DC，而112DC=，所以MN的最小值为2；对于②，111233MBNCBNCBN

CVSDCS−==，而12222BNCS==，所以四面体NMBC的体积为43；对于③，由题意可知，当M与1D重合，N与1C重合时，111DCAD⊥，又根据正方体性质可知，111ADABCD⊥，

所以当M为1AD中点，N与1B重合时，此时1MNAD⊥，故与1AD垂直的MN不唯一，③错误；对于④，当MBN△为等边三角形时，BMBN=，则此时1AMBN=.所以只需要BM与BN的夹角能等于π3即可.以D为原点，DA、DC、1DD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图，设1AM

BNn==，则由题意可得2,0,22nnM−，()2,2,0B，()2,2,2Nn−，则可得,2,22nnBM=−−，(),0,2BNn=−，则22212cos24nnBMBNMBNnBMBN+===+，整理可得22122202nn−−+

=，该方程看成关于n的二次函数，24412282402=−−=−，所以存在n使得MBN△为等边三角形.故答案为：①②④三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知函数()1sincoscos22fx

xxx=+．（1）若π02，且4sin5=，求()f的值；（2）求函数()fx的最小正周期，及函数()fx的单调递减区间．【答案】（1）1750（2）最小正周期π，π5ππ,π88kk+

+，kZ【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系得到3cos5=，由余弦二倍角公式得到7cos225=−，从而得到()1750f=；（2）利用三角恒等变换得到()2πsin224fxx=+，利用2πT

=得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间.【小问1详解】因为π02，且4sin5=，所以23cos1sin5=−=，227cos2cossin25=−=−，所以()1431717sincoscos225522550f=+=+−=．

【小问2详解】()112πsin2cos2sin22224fxxxx=+=+，所以函数()fx的最小正周期2ππ2T==．由ππ3π2π22π242kxk+++，kZ，解得π5πππ88kxk+

+，kZ．所以函数()fx的单调递减区间π5ππ,π88kk++，kZ．17.在ABCV中，已知33sin14C=，请从下列三个条件中选择两个，使得ABCV存在，并解答下列问题：（1）求A的大小；（2）求cosB

和a的值．条件①：73ac=；条件②：1ba−=；条件③：5cos2bA=−．【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）若选择①②：利用正弦定理可得3sin2A=，结合1ba−=可知ab，则π02A，即可得结果；若选择①③：由正弦定理可得3sin2A=，由5cos2bA

=−可知ππ2A，即可得结果；若选②③：根据三角形的性质分析得出矛盾；（2）由（1）可知：不能选②③.只能选择①②或选择①③，利用同角三角关系以及两角和差公式求cosB，再利用正弦定理求a的值.【小问1详解】若选择①②

：73ac=，1ba−=，在ABCV中，由正弦定理sinsinacAC=得3sinsin2aACc==．因为1ba−=，即ab，可知π02A，所以π3A=；若选择①③：73ac=，5cos2bA=−，在ABC

V中，因为由正弦定理sinsinacAC=得3sinsin2aACc==．在ABCV中，5cos02bA=−，即cos0A，可知ππ2A，所以2π3A=；若选②③：1ba−=，5cos2bA=−，因为1ba−=，即ab，可知π0

2A；又因为5cos02bA=−，即cos0A，可知ππ2A；两者相矛盾，故不成立.【小问2详解】由（1）可知：不能选②③.若选择①②：在ABCV中，73ac=，即ac，可知π02C，且33sin14C=，可得2

13cos1sin14CC=−=，则3331131coscos()sinsincoscos2142147BACACAC=−+=−=−=−，可知ππ2B，则243sin1cos7BB=−=，由正弦定理sinsinabAB=可得43sin8

7sin732aaBbaA===，又因为17aba−==，所以7a=；选择①③：在ABCV中，73ac=，即ac，可知π02C，且33sin14C=，可得213cos1sin14CC=−=，则33311311coscos()sinsincoscos2142141

4BACACAC=−+=−=+=，且0πB，可得253sin1cos14BB=−=，又因为15cos22bAb=−=−，则5b=，由正弦定理sinsinabAB=可得35sin27sin5314bAaB===．18.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步

数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（3）如图是校工会根据3月1日至3

月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明）【答案】（1）37；（2）分布列见解析，()87EX=；（

3）3月3日.【解析】【分析】（1）根据古典概型求解即可；（2）X的可能取值为012，分别求出每种情况的概率，再写出分布列并求期望即可；（3）根据频率分布直方图算出每个步数区间内的人数，再结合甲乙二人的排名，确定甲乙各自步数的范围，进而确定日期.【小问1详解】设“职

工甲和职工乙微信计步数都不低于10000”为事件A从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以()37PA=．【小问2详解】由图可知，7天中乙的步

数不低于10000步的天数共4天.X的所有可能取值为0,1,2，()()()21123434222777CCCC1420,1,2C7C7C7PXXX=========，X的分布列为X012P174727()1428012.7777EX=++

=【小问3详解】3月3日由直方图知，微信记步数落在))))20,25,15,20,10,15,5,10,0,5（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530,2000.25502000.360===，，2000.240,2000.120==.由甲的排名为第68

，可知当天甲的微信步数在15000-20000之间，据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000-10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6

日.所以只有3月3日符合要求．19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面CDE⊥平面ABCD，//AFDE，DECD⊥，336DEAF==.（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求平面BEF与平面BDE夹角的余弦值；（3）线段C

E上是否存在点P，使得//AP平面BEF？若存在，指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）1313（3）存在，点P为CE中点，证明见解析【解析】【分析】（1）先利用面面垂直的

性质可得DE⊥平面ABCD，再根据线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BEF与平面BDE的法向量，利用空间向量法求解即可；（3）设CPCE=(01)，由APACCP=+求出AP，再利用空间向量法求解即可.【小问

1详解】因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE平面ABCDCD=，DECD⊥，DE平面CDE所以DE⊥平面ABCD，因为AC平面ABCD，所以DEAC⊥，因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD⊥，因为BDDED

=，DB平面CDE，DE平面CDE，所以AC⊥平面BDE.【小问2详解】由（1）得DE⊥平面ABCD，因为,DADC平面ABCD，所以DA，DC，DE两两垂直，以B为原点，,,DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因336DEAF==，3AD=，所以32BD=，6A

F=.则()3,0,0A，()3,0,6F，()0,0,36E,()3,3,0B，()0,3,0C，所以()0,3,6BF=−，()3,0,26EF=−，设平面BEF的一个法向量为(),,nxyz=，则3603260nBFyznEFxz

=−+==−=，取6z=得()4,2,6n=，因为AC⊥平面BDE，所以CA为平面BDE的一个法向量，()3,3,0CA=−，所以12613cos,132632CAnCAnCAn−===，设平面BEF与平面BDE夹角为，所以1

3coscos,13CAn==，所以平面BEF与平面BDE夹角的余弦值1313．【小问3详解】线段CE上存在点P，点P为CE中点，满足//AP平面BEF，证明如下：设CPCE=(01)，因为()0,3,36CE=−，()3,

3,0AC=−为所以()0,3,36CP=−，()3,33,36APACCP=+=−−由（2）知平面BEF的一个法向量为()4,2,6n=，因//AP平面BEF，所以()()343323660APn=−+−+=，解得12

=，所以线段CE上存在点P，点P为CE中点，满足//AP平面BEF.20.已知函数()()ln1fxaxxx=+−+.（1）若曲线()yfx=在点()()e,ef处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）当0a=时，求证：()0fx；（3）若函数𝑓(𝑥)在

区间()1,+?上存在极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）0a=（2）证明见解析（3）(),0-?【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数得出函数𝑓(𝑥)的单调性，进

而得出其最小值，即可证明()0fx；（3）分类讨论a的值，利用导数得出𝑓(𝑥)的单调性，结合题意，即可得出实数a的取值范围.【详解】解：（1）因为()()ln1fxaxxx=+−+，所以()lnafxxx=+.由题知()elne1eaf=+=，解得0a=

.（2）当0a=时，()ln1fxxxx=−+，所以()lnfxx=.当()0,1x时，()0fx¢<，𝑓(𝑥)在区间()0,1上单调递减；当()1,+x时，()0fx¢>，𝑓(𝑥)在区间

()1,+?上单调递增；为所以()10f=是𝑓(𝑥)在区间()0,+?上的最小值.所以()0fx.（3）由（1）知，()lnlnaxxafxxxx+=+=.若0a，则当()1,+x时，()0fx¢

>，𝑓(𝑥)在区间()1,+?上单调递增，此时无极值.若0a，令()()gxfx=，则()21agxxx=−.因为当()1,+x时，()0gx¢>，所以𝑔(𝑥)在()1,+?上单调递增.因为()10ga=，而()()eee10aa

agaaa−=−+=−，所以存()01,eax−，使得()00gx=.()fx¢和𝑓(𝑥)的情况如下：x()01,x0x()0,eax−()fx¢−0+𝑓(𝑥)极小值因此，当0xx=时，𝑓(𝑥)有极小值()0fx.综上，a的取值范围是(,0)−.【点

睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.21.已知数列na，对于任意的*nN，都有212nnnaaa+++，则称数列na为“凹数列”.（1）已知数列na

，nb的前n项和分别为nA，nB，且21nan=−，12nnb−=−，试判断数列nA，数列nB是否为“凹数列”，并说明理由；在（2）已知等差数列nb，首项为4，公差为d，且nbn为“凹数列”，求d的取值范围；（3）证明：数列nc为“凹数列”的充要条件是“对

于任意的k，m，*nN，当kmn时，有()()()knmnmcmkcnkc−+−−”.【答案】（1）数列nA是为“凹数列”，数列nB不是为“凹数列”，理由见解析（2）(,4)−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据通项公式判断数列{𝑎𝑛}为等差数列，{𝑏𝑛

}为等比数列，进而求得前n项和nA，nB，再根据“凹数列”的定义判断即可；（2）根据数列{𝑏𝑛}为等差数列可得通项公式nb，再根据“凹数列”的定义得11211nnnbbbnnn−++−+对任意2n，*nN恒成立，进而解出d的范围即可；（3）先证明必要性，

放缩得到1nmmmccccnm+−−−，故1mknmmmccccccmknm+−−−−−，再证明充分性，取1mk=+，2nk=+，则有12111kkkkcccc+++−−，进而得证.【小问1详解】由于21nan=−为等差数列，所以2(121)2nnnAn+−==

，12nnb−=−为等比数列，121212nnnB−=−=−−，任意的*nN，都有222212(2)2(1)20nnnAAAnnn+++−=++−+=，故212nnnAAA+++，所以数列nA是为“凹数列”，任意的*nN，都有12212222022nnn

nnnnBBB++++=−−+=−+−，故212nnnBBB+++，所以数列nB不是为“凹数列”，【小问2详解】因为等差数列{𝑏𝑛}的公差为d，14b=，所以1(1)4(1)nbbndn

d=+−=+−，因为数列nbn是凹数列，所以11211nnnbbbnnn−++−+对任意2n，*nN恒成立，即4(2)44(1)211ndndndnnn+−++−+−+，所以444211ddddddnnn−−−++++−+，即112(4)011dnnn

−+−−+，因为()2211222201111nnnnnnnn+−=−=−+−−，解得4d.所以d的取值范围为(,4)−.【小问3详解】先证明必要性：因为nc为“凹数列”所以对任意*nN，都有212nnnccc+++，即211nnnncccc+++−−，所以对任意的

k，m，*nN，当kmn时，有()()()()11211()nmnnnnmmmmccccccccnmcc−−−++−=−+−++−−−，所以1nmmmccccnm+−−−，又()()()()()112111()()mkmmmmkkmmmmccccccccmk

ccmkcc−−−+−+−=−+−++−−−−−，所以1mknmmmccccccmknm+−−−−−，所以()()()knmnmcmkcnkc−+−−，必要性成立；再证明充分性：对于任意的k，m，

*nN，当kmn时，有mknmccccmknm−−−−，取1mk=+，2nk=+，则有12111kkkkcccc+++−−，即212kkkccc+++，所以nc为“凹数列”.【点睛】方法点睛：本题是数列新定义问题，主要考查了等差数列，等比数列，递推公式和求和公式等的综合运用，

对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.的