【文档说明】江苏省盐城市、南京市2021届高三年级第二次模拟考试数学试题（全解析）.docx，共(12)页，103.481 KB，由小赞的店铺上传

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南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学试题(总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证

号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3＋4i，则z1z2＝A．25B．

－25C．7－24iD．－7－24i【答案】A【解析】因为z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，所以z2＝－z1＝3－4i，所以z1z2＝(3＋4i)(3－4i)＝32＋42＝25，故选择A.2．设集合A，B是全集U的

两个子集，则“A∩B＝”是“A∁UB”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由韦恩图，A∩B＝，而显然可得A∁UB，又A∁UB，可得A∩B＝，所以“A∩B＝”是“A∁UB”的充要条件，故选择

C.3．已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为A．1【答案】DB．2C．2D．22【解析】不妨设a，b分别为平面直角坐标系中x轴，y轴上的单位向量，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，设c＝(x,y)，则a·c＝x＝2，b·c＝y＝2，所以

c＝(2,2)，所以|c|＝22＋22＝22，故选择D.4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数

．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(V称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为NR0(N－V)．已知新冠N病毒在某地的基本传染数R0＝2.5，为了使1个感染

者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为()A．40%【答案】CB．50%C．60%D．70%R0V【解析】为使1个感染者传染人数不超过1，即(N－V)≤1，即R0(1－)≤1，由题R0＝NN2.5，所以2.5(1－V)≤1V

60%，即接种率至少为60%，故选择C.，所以可解得N≥N2cos10º－sin20º5．计算所得的结果为cos20ºA．1B．2C．3D．2【答案】C【解析】cos10°＝cos(30°－20°)＝cos30°cos20°＋sin30°sin20°＝3cos

20°＋1sin20°.故222cos10°－sin20°3cos20°＝＝3，故选择C.cos20°cos20°6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位

制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．1周角等于6000密位，记作71周角＝60-00，1直角＝15-00．如果一个半

径为2的扇形，它的面积为π，则其圆心角用密6位制表示为A．12-50B．17-50C．21-00D．35-00【答案】B7π67πS7【解析】面积6，半径为2的扇形所对的圆心角弧度大小为θ＝2π·πr2＝2π·4π＝12π，由题7π12意，其

密位大小为6000×2π＝1750，故用密位制表示为17-50.故选择B.x2y27．已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角1为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在

第一象限，且cosθ＝4．若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为3A．4B．15C．2D．2【答案】D1【解析】由双曲线的性质，|AF1|－|AF2|＝2a即|AB|－|AF2|＝|BF2|＝2a，由cosθ＝知B点的4a215(c－2)(

－a)221a15横坐标为c－2a·4＝c－2，纵坐标为－a，代入到双曲线方程可得－＝1，2a2b2c结合c2＝a2＋b2消去b2即离心率为2.故选择D.，可得a＝f(x)8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x＞0时，f′(x)·lnx0

，＋＞x则不等式(x2－1)f(x)＜0的解集为A．(－1，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)D．(－1，0)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】设g(x)＝f(x)·lnx，则g'(x)＝f'(x)·lnx＋f(x)·1(x＞0)，则由题意g

(x)在(0,＋∞)单调递x，增，且由g(1)＝0知，当x∈(0,1)时g(x)＜0，当x∈(1,＋∞)时g(x)＞0，又由g(x)＝f(x)·lnx，故有x∈(0,1)或(1,＋∞)时f(x)＞0.因为f(x)为奇函数，所以x∈(－∞,－1)或(－1,0)时f(x)＜0.综上(x2－1)f(

x)＜0的解集为(－∞,－1)∪(0,1).故选择B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.对于两条

不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nB．若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n或m//nC.若m//α，α//β，则m//β或mβD.若m⊥α，m⊥n，则n//α或nα【答案】ACD【解析】略10．已知a＞b＞0，下列选项中正确的为A

．若a－b＝1，则a－b＜1B．若a2－b2＝1，则a－b＜1C．若2a－2b＝1，则a－b＜1D．若log2a－log2b＝1，则a－b＜1【答案】BCa2－b21【解析】a－b＝(a－b)(a＋b)＝a＋

b＞a－b＝1，A错误；a－b＝a＋b＝a＋b1＜，a－b＜1，B正确；2a－2b＝1＝2b(2a－b－1)＞2a－b－1，a－b＜1，C正确；log2aa－b－log2b＝1＝loga，a＝2b，a－b无法判断，D错误；故选择BC.2b11．已知函数f(x)＝|sinx|＋|cos

x|，则A．f(x)是周期函数B．f(x)的图象必有对称轴π，k∈ZD．f(x)的值域为[1，48]C．f(x)的增区间为[kπ，kπ＋2]【答案】ABD【解析】A显然正确；注意到f(－x)＝|sin(－x)|＋|

cos(－x)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，π＝1，π＝48，C错误；f(x)＝|sinx|故y轴为f(x)的一条对称轴，B正确；注意到f(0)＝f(2)f(4)kππ(k∈Z)时，取“＝”，又f(x)＝＋|cosx|≤(1＋1)(sinx＋cosx)≤

48，当且仅当x＝＋24|sinx|＋|cosx|≥|sinx|2＋|cosx|2＝|sinx|＋|cosx|≥1，当且仅当x＝kπ(k∈Z)时，取2“＝”，D正确；故选择ABD.k*k2n－k12．已知n∈N，n≥2，p，q＞0，p

＋q＝1．设f(k)＝Cpq，其中k∈N，k≤2n，则2n2nA．∑f(k)＝1k=02nB．∑kf(k)＝2npqk=0n1nC．若np=4，则f(k)≤f(8)D．∑f(2k)f(2k－1)＜＜∑2k=0k=1【答案】AC2n2n2n2n－1kk－kk2nk－1k

2nk－pkq2n－1－k＝【解析】A显然正确；∑kf(k)＝∑kCpq＝∑2nCpq＝2np∑C2n2n－12n－1k=0k=0k=1k=0kk2nk－f(k)Cpqp(2n＋1－k)f(k＋1)p(2n－k)p(2n－k)2n2np，B错误；＝＝，＝，≤1≤k－qkf(k)f(k－

1)1k—＋－12n1kq(k＋1)q(k＋1)Cpq2np(2n＋1－k)1n，2np－p≤k≤2np＋q，8－p≤k≤8＋q，k＝8，C正确；当p＝q＝2时，∑f(2k)qkk=01n＝＝∑f(2k－1)，D错误；故选AC.2k=1三、填空题(本大题共4小题，

每小题5分，共20分)13．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有【答案】36▲种．（用数字填写答案）【解析】依题意，四名同学可分为(1，1，2)，有C2A3＝6×6＝36种.43x2y214．已知椭圆4＋3＝1的右顶点为A，右焦点为F，以

A为圆心，R为半径的圆与椭圆相交于B，C两点．若直线BC过点F，则R的值为▲．13【答案】2【解析】A(2,0),F(1,0),B，C两点关于x轴对称，即横坐标为1，代入椭圆方程，得B,C坐31332＝.标为(1，±2）,R＝(2－1)2＋(0－2)215．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD

，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA＝2．若点E，F分别为AB，AD的中点，则直线EF被四棱锥P－ABCD的外接球所截得的线段长为▲．【答案】6【解析】注意到△PAC，△PBC，△PDC均为以PC为斜边的直角三角形，故外接球球心O6为PC中点，R＝2PC＝3，取EF中点G，又AC＝O

C＝2，故GO⊥PC，d＝GO＝1PCGC62，l＝2R2－d2＝6.16．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f(x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近

似值，过点(x0，f(x0))作曲线y＝f(x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点(x1，f(x1))作曲线y＝f(x)的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．

一般的，过点(xn，f(xn))(n∈N)作曲线y＝f(x)的切线ln＋1，记ln＋1与x轴交点的横坐标为xn＋1，并称xn＋1为r的n＋1次近似值．设f(x)＝x3＋x－1(x3x3＋xnn，n∈N*，数列{an

}≥0)的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为▲；设an＝2x3＋1n的前n项积为Tn．若任意n∈N*，Tn＜λ恒成立，则整数λ的最小值为▲．3【答案】4，2【解析】(1)f'(x)＝3x2＋1，取x

0＝0，f(0)＝－1，f'(0)＝1，即过点(0，－1)作曲线y＝f(x)的切线l1斜率为1，l1方程为y＝x－1,交x轴点横坐标为1，即x1＝1，f(1)＝1，f'(1)＝4，过点(1，1)作曲线y＝f(x)的切线l2斜率为4，l2方程为y＝4x－3交x轴点

横坐标为3(2)f(x0)＝；42x3＋10x3＋x－1，f'(x)＝3x2＋1，切线方程为y＝(3x2＋1)(x－x)＋x3＋x－1,即x＝,可得出0000000013x2＋103232x＋1n－113x＋1xn－1n－13x＋xn－1xn－1n－1,即a

＝，所以n∈N*{x}的递推关系式为x＝,＝,＝nnn－13x＋1xn2x＋123xn3xn2x＋1n－1n－1n－1x1131，因为f'(x)＞0，且f()＝－，f(1)＝1，所以f(x)的有唯一零点x'∈(，1)，所以时Tn＝282xn＋11x1当n≥

1时，x∈(x'，x)(2，1)，所以T＝∈(1，2).故λ的最小值为2.n＋11nxn＋1四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在①b＝3a；②a＝3cosB；③a

sinC＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB－sin(A－C)＝3sin

C，c＝3，?解：因为A＋B＋C＝π，所以sinB＝sin(A＋C)，所以sinB－sin(A－C)＝(sinAcosC＋cosAsinC)－(sinAcosC－cosAsinC)＝2cosAsinC＝3sinC

，因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以cosA＝3π2，又A∈(0，π)，所以A＝6.3若选①，由正弦定理，sinB＝3sinA＝π2π2，所以B＝3或3，ππ33若B＝3，则C＝π－A－B＝2，所以b＝ccosA＝，21133193S△ABC＝2bcsinA＝2××3×2＝;

282ππ若B＝3，则C＝π－A－B＝6，所以a＝c＝3，11393S△ABC＝2acsinB＝2×3×3×2＝.4若选②，因为c＝3，由正弦定理，sinA＝sinCcosB，又因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(C＋B)＝sinCcosB＋cosCsinB，所以cosCsinB＝

0，又B∈(0，π)，所以sinB≠0，π33，所以cosC＝0，C＝2，所以b＝ccosA＝21133193S△ABC＝2bcsinA＝2××3×2＝.281若选③，由正弦定理csinA＝asinC＝1，由c＝3，sinA＝2，矛盾，所以这样的三角形不存

在.18．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．(1)求r的值；(2)设bn＝2(1＋log2an)，若数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求c1＋c2＋c3＋···＋c100的值

．解:(1)n＝1时，a1＝S1＝2＋r，－1n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以a2＝2，a3＝4，a22＝1，即2＋r＝1，所以r＝－1，因为{an}为等比数列，所以a1＝a3an此时，对任意n∈N，a＝2，所以n≥2时

，a*n1－≠0，＝2，故{a}为等比数列，所nn－1nan－1以r＝－1．(2)bn＝2(1＋log2an)＝2n，bn＋1－bn＝2，所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列．数列{bn}前100项为2，4，6，8，…，20

0，其中2，4，8，16，32，64，128为数列{an}中的项，所以{cn}前100项为{bn}中前107项去除2，4，8，16，32，64，128后按原来顺序构成的数列．故c1＋c2＋c3＋···＋c100＝(b1＋b2＋…＋b107)－(a2＋

a3＋…＋a8)107(2＋214)＝－2(2－1)＝11556－256＋2＝11302．7219．(本小题满分12分)某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；(

2)该公司计划用7百万元对A，B两个项目进行投资．若公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万元所获得的利润y近似满足：y＝0.16x－0.49＋0.49，求对A，B两个项目投资金额分别x＋1为多少时，获得的总利润最大？附：①对于一组数据(x1

，y1)，(x2，y2)，···，(xn，yn)，其回归直线方程^y＝b^x＋a^的斜率和项目A投资金额x（单位：x百万元）12345所获利润y（单位：y百万元）0.30.30.50.91nxiyi－nx·y—－i=1，a^＝－y－b^－x．截距的最小二乘法估计公式

分别为：b^＝nx2－n－x2ii=1nxiyi－nx·yi=1—－②线性相关系数r＝．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以n(nxi－nx)(yi－ny2－22－2)i=1i=1上(含0.95)认为线性相关性较强；

否则，线性相关性较弱．nn参考数据：对项目A投资的统计数据表中xy＝11，y＝2.24，4.4≈2.1．2iiii=1i=1解(1)由已知数据得：￣x＝(1＋2＋3＋4＋5)÷5＝3，￣y＝(0.3＋0.3＋0.5＋0.9＋1)÷5＝0.6，5xiyi－5￣x·

￣y＝11－5×3×0.6＝2，i＝15xi-5￣x＝(1＋4＋9＋16＋25)－5×9＝10，22i=15yi－5￣y＝2.24－5×0.36＝0.44，22i=15xiyi－5x·y—－i=1则b^＝^

－^^－＝0.2，a＝y－bx＝0.6－0.2×3＝0，则有y＝0.2x，5x2－5－x2ii=15xiyi－5x·y—－22＝＝≈0.9524＞0.95，i＝1r＝2.15510×0.44xi－5x)(yi－5y2－22－2()i＝1i＝1答：线性回归方程为：^y＝0.2x；y与x线性相

关性较强．(2)由于对项目B投资x(1≤x≤6)百万元，则对项目A投资(7－x)百万元，则总利润为：y＝0.16x－0.49＋0.49＋0.2(7－x)，(1≤x≤6)x＋1y＝1.89－0.04x－0.49＝1.93－[0.04(x＋1)＋0.49]

x＋1≤1.93－0.28＝1.65x＋1当且仅当x＋1＝3.5，即x＝2.5时，取到最大值1.65百万元，答：投资A项目4.5百万元，B项目2.5百万元，利润最大值为1.65百万元．20．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1

C1的所有棱长都为2，B1C＝6，且AB⊥B1C．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；4（2）若点P在棱BB1上且直线CP与平面ACC1A1所成角的正弦值为，求BP的长．5zC1C1B1B1A1A1PxCBCBOAy（第20题图）A（第20题图）解(1)证明：取AB中点O

，连结B1O，CO，在正三角形ABC中，CO⊥AB，且CO＝3，因为AB⊥B1C，CO∩B1C＝C，所以AB⊥平面B1CO，所以AB⊥B1O，因为BO＝1，BB1＝2，所以B1O＝3，因为B1O2＋CO2＝6＝B1C2，所以B1O⊥CO，因为C

O∩AB＝O，所以B1O垂直平面ABC，又B1O平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)由(1)，OC，OA，OB1两两垂直，故可分别以OC，OA，OB1方向为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，所以A(0，1，0)，C(3，0，0)，B(0，－1，0)，B1(0，0，3)，→→-→-→所以AC＝(3，－1，0)，CB＝(－3，－1，0)，AA1＝BB1＝(0，1，3)，设BP＝λBB1＝(0

，-→→λ，3λ)，则CP＝CB＋BP＝(－3，λ－1，3λ).设平面ABB1A1的一个法向量为n＝(x，y，z)，→y＝3则AC·n＝3x－y＝0，取x＝1，得，→z＝－1AA1·n＝y＋3z＝0所以n＝(1，3，－1)，设直线CP与

平面ACC1A1所成角的大小为θ，→则sinθ＝|cos<n，CP>|＝(1，3，－1)·(－3，λ－1，3λ)||12＋(3)2＋(－1)2×(－3)2＋(λ－1)2＋(3λ)2＝23114＝，得4λ－2λ＋＝0，解得λ＝，24455×4λ2－2λ＋411所以BP＝BB1＝

.4221.已知直线l:y＝x＋m交抛物线C:y2＝4x于A，B两点．-→(1)设直线l与x轴的交点为T，若AT＝2TB，求实数m的值；(2)若点M，N在抛物线C上，且关于直线l对称，求证:A，B，M，N四点共圆．解:(1)在y＝x＋m中令y＝0，可得T(－

m，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，-→-→→因为AT＝2TB，所以OA＝3OT－2OB，即(x1，y1)＝(－3m－2x2，－2y2)，所以y1＝－2y2，将y＝x＋m代入y2＝4x可得y2－4y＋4m＝0，所

以y1＋y2＝4，y1y2＝4m，所以y1＝8，y2＝－4，m＝－8，所以实数m的值为－8．(2)证法1：设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为点M，N在抛物线C上，且关于直线l对称，所以可设直线MN:x＋y＋n＝0，代入y2＝4x得y2＋4y＋4n＝0，所

以y3＋y4＝－4，y3y4＝4n，x＋x34所以MN中点为(，－2)，2y2＋y2x3＋x434＝(y3＋y4)2－2y3y4因为＝＝2－n，288所以MN中点为(2－n，－2)，所以－2＝2－n＋m，即m－n＝－4，y3－y44(y3－y4)

4因为kMN＝＝＝，y2－y2x3－x434y3＋y4416所以kAM·kBM＝4·＝，y2＋(y1＋y2)y3＋y1y2y3＋y1y3＋y23因为y1＋y2＝4，y1y2＝4m，164所以kAM·kBM＝16＝＝＝－1，y2＋4y3＋4m4x3＋4y3＋4mm－

n3所以∠AMB＝90º，同理∠ANB＝90º，所以A，B，M，N都在以AB为直径的圆上，所以A，B，M，N四点共圆．证法2：因为点M，N在抛物线C上，且关于直线l对称，所以可设直线MN:x＋y＋n＝0，所以A，B，M，N满足方程(x－y＋

m)(x＋y＋n)＋2(y2－4x)＝0，即x2＋y2＋(m＋n－8)x＋(m－n)y＋mn＝0，所以A，B，M，N四点共圆．注：圆锥曲线上四点共圆的充要条件是两条对棱斜率相反或斜率均不存在，参考我拙作《高中数学－解析几何系统解析》.22．(本小题满分12分)已知

函数f(x)＝ex－axsinx－x－1，x∈[0，π]，a∈R．1(1)当a＝2时，求证：f(x)≥0；(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．11解：(1)当af(x)=ex－2xsinx－x－1，＝2时，1f'(x)＝ex－2(sinx＋xcosx)－1，11f'(x)＝ex－2(

cosx＋cosx－xsinx)＝(ex－1)＋(1－cosx)＋2xsinx≥0(因为x∈[0，π])，所以f'(x)在区间[0，π]为单调递增函数，所以f'(x)≥f’(0)＝0，所以f(x)在区间[0，π]为单调递增函数，所以f(x)≥f(0)＝0．11≤2时，f(x)≥ex－2xsinx

(2)由(1)知，当a－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号，此时函数f(x)仅有1个零点．1当a＞2时，因为f(x)＝ex－axsinx－x－1，所以f′(x)＝ex－a(xcosx＋sinx)－1，f′′(x)＝ex＋a(xsinx－2cosx)．当x∈π[2，

π]时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．π时，f′′′(x)＝ex＋a(3sinx＋xcosx)．当x∈[0，2]因为ex＞0，a(3sinx＋xcosx)≥0，所以f′′′(x)＞0，所以f′′(x)单调

递增．πππ又f′′(0)＝1－2a＜0，f′′(2)＝e2＋2a＞0，ππ因此f′′(x)在[0，]上存在唯一的零点x0，且x0∈(0，)．2当x∈(0，x0)时，f′′(x)＜0，所以f′(x)单调递减；2π当x∈(x0，)时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．2又f′(0)＝

0，f′(x0)＜f′(0)＝0，f′(π)＝eπ＋aπ－1＞0，因此f′(x)在[0，π]上存在唯一的零点x1，且x1∈(x0，π)．当x∈(0，x1)时，f′(x)＜0，所以f(x)单调递减；当x∈(x1，π)时，f′

(x)＞0，所以f(x)单调递增．又f(0)＝0，f(x1)＜f(0)＝0，f(π)＝eπ－π－1＞0，所以f(x)在(x1，π)上存在唯一零点，因此f(x)在[0，π]上有两个零点．综上，a的取值范围是1(2，＋∞)．