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专练47抛物线授课提示：对应学生用书99页[基础强化]一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为()A．1B．2C．12D．18答案：B解析：y＝14x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为12×4＝2.2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1

，1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)答案：B解析：∵y2＝2px的准线为x＝－p2，又准线过点(－1，1)，∴－p2＝－1，∴p＝2，故其焦点坐标为(1，0).3．动点M到点F(2，1)

的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线B．直线C．线段D．射线答案：B解析：∵F(2，1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()

A．－4B．4C．－2D．2答案：B解析：∵x23－y2＝1的右焦点为(2，0)，∴p2＝2，p＝4.5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()A.2B．22C．3D．32答案：B解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F

(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2x0).根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝（1－3）2＋（2－0）2＝22.故选B.6．若抛物线y2＝2px(p>

0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8答案：D解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p，0)，所以p2＝2p，解得p＝8，故选D.7.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点

A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x答案：B解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|B

F|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝43，∵AE∥FG，∴FGAE＝CFAC，即p4＝48，得p＝2.∴

抛物线方程为y2＝4x.故选B.8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA→·OB→等于()A．34B．－34C．3D．－3答案：B解析：当AB与x轴垂直时，A12，1，B12，－1

，OA→·OB→＝12×12＋1×(－1)＝－34；当AB与x轴不垂直时，设l：y＝kx－12，由y＝kx－12，y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋k24＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由韦达

定理得x1＋x2＝k2＋2k2，x1x2＝14，∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2x1－12x2－12＝(1＋k2)x1x2－12k2(x1＋x2)＋k24＝－34.9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点

A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3，y0)时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为()A．433B．3C．233D．33答案：A解析：不妨设点A在第一象限，如图所示，过点F作AE的垂线，垂足为H，由题知当A的坐标为(3，y0)

时△AEF为正三角形，此时H为AE的中点，|AE|＝3＋p2，|EH|＝p，∴2p＝3＋p2，解得p＝2，∴y2＝4x，A(3，23)，F(1，0)，∴kAF＝3，直线AF的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程得3(x－1)2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＝3，x2＝13

，此时y1＝23，y2＝－233，∴S△AOB＝S△OFB＋S△OFA＝12×1×(233＋23)＝433，故选A.二、填空题10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与

x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．答案：x＝－32解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点Fp2，0，∵P为C上一点，PF与x轴垂直，所以P的横坐标为p2，代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p，不妨设P(p2，p)，因为Q为x轴上

一点，且PQ⊥OP，所以Q在F的右侧，又∵|FQ|＝6，∴Q(6＋p2，0)，∴PQ→＝(6，－p)因为PQ⊥OP，所以PQ→·OP→＝p2×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，所以C的准线方程为x＝－32.11．已知点A()1，5在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．

答案：94解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－54，所以A到准线的距离为1－－54＝94.12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．答案：0或1解析：由y＝kx＋2，y2

＝8x，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，满足题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.[能力提升]13．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于

M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝83C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形答案：AC解析：由题意，易知直线y＝－3(x－1)过点(1，0).对于A，因为直线经过抛物线C的焦点

，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p＝2，所以A选项正确．对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程得y＝－3（x－1）y2＝4x，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝13，x2

＝3.所以M(13，233)，N(3，－23)，所以由两点间距离公式可得|MN|＝（3－13）2－（－23－233）2＝163，故B选项错误．对于C，由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为(53，－233)，半径r＝12|MN|＝83＝53＋1，所以以MN

为直径的圆与l相切，故C选项正确．对于D，由两点间距离公式可得|MN|＝163，|OM|＝133，|ON|＝21，故D选项错误．综上，选AC.14．(多选)[2024·新课标Ⅱ卷]抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点，过P作

⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B.则()A．l与⊙A相切B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝15C．当|PB|＝2时，PA⊥ABD．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个答案：ABD解析：∵y2＝4x

，∴准线l为直线x＝－1，∵⊙A圆心为A(0，4)，半径为1，作出抛物线C与⊙A如图所示．∴l与⊙A相切，故A正确．当P，A，B三点共线时，∵A(0，4)，∴P点坐标为(4，4),∵|PA|＝4，|AQ|＝1，∴|PQ|＝42－1＝15，故B正确．当|PB|＝2时，P点坐标为(1，2)或

(1，－2).当P点坐标为(1，2)时，点B坐标为(－1，2)，|PA|＝12＋（4－2）2＝5＝|AB|，而|PB|＝2，|PA|2＋|AB|2≠|PB|2，此时PA与AB不垂直；当P点坐标为(1，－2)时，B点坐标为(－1，－2)

，|PA|＝12＋（4＋2）2＝37＝|AB|，而|PB|＝2，则|PA|2＋|AB|2≠|PB|2，此时PA与AB不垂直，故C错误．对于D，设点P的横坐标为m(m>0)，则点P坐标为(m，2m)或(m，－2m)，|PB|＝m＋1.当P点坐标为(m，2m)时，|PA|＝m2＋（2

m＋4）2，∵|PA|＝|PB|，∴|PA|2＝|PB|2，即m2＋4m＋16－16m＝m2＋1＋2m，化简得2m＋15－16m＝0，解得m1＝492＋434，m2＝492－434，当P点坐标为(m，－2m)时，|PA|＝m2＋（2m＋4）2，同理，由|PA|＝|PB|，得2m＋16m＋15＝0

，解得m＝－8＋342<0或m＝－8－342<0，不符合题意，因此满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个，故D正确．故选ABD.15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有

一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为43，则p＝________．答案：2解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛物线的定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2

p，故34(2p)2＝43，∴p＝2.16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则|AF||BF|＝________.答案：3解析：如图所示，由题意得准线l：x＝－p2.作AC

⊥l于点C，BD⊥l于点D，BH⊥AC于点H，则|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因为在Rt△AHB中，∠HAB＝60°，所以cos60°＝|AH

||AB|＝|AF|－|BF||AF|＋|BF|，即12(|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得|AF||BF|＝3.