【文档说明】江苏省新高考基地学校2021届高三下学期4月第二次大联考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.060 MB，由小赞的店铺上传

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2021届新高考基地学校高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非

选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩(RB)＝A．{x|4＜x≤

5}B．{x|4＜x＜5}C．{x|2＜x≤4}D．{x|2＜x＜4}2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一

定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．

2023B．2026C．2029D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径

之比约为A．3：1B．3：2C．1：3D．2：35．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是A．[0，4]B．(4，6)C．[4，6]D．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝

Blog2(1＋SN)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降

为A．0.1WB．1.0WC．3.2WD．5.0W7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，右焦点为F，过C上一点P作直线x＝32c的垂线，垂足为Q．若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为A．23B．63C．4－23D．3－

18．已知函数f(x)＝x－aex，且ea＝lnb＝c，则A．f(a)＜f(b)＜f(c)B．f(b)＜f(c)＜f(a)C．f(a)＜f(c)＜f(b)D．f(c)＜f(b)＜f(a)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，d＜0，则A．数列{an}单调递减B．数列{an}没有最小值C．数列{Sn}单调递减D．数列{Sn}有最大值10．已知a，b均

为正数，且a－b＝1，则A．2a－2b＞1B．a3－b3＜1C．4a－1b≤1D．2log2a－log2b<211．已知函数f(x)＝sin3xx2＋1，x∈(－π，π)，则A．∀x∈(－π，π)，f(x)f(－x)≥0B．∀x∈(－π，π)，|f(x)|≤

1C．x1，x2∈(－π，π)，x1≠x2，f(x1)＝f(x2)D．x0∈(－π，π)，∀x∈(－π，π)，|f(x)|≤f(x0)12．由倍角公式3cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在一个n(n∈N*

)次多项式Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则A．P3(t)＝4t3－3tB．当n≥3时，a0＝0C

．|a1＋a2＋a2＋…＋an|≤2D．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方

形ABCD的边长为2，当点P满足_______时，→AP·→AC＝4．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)15．设(x－1x)(x＋1x)6＝1470iiiax−=，则(a0＋a2＋a4＋a6

)－(a7＋a9＋a11＋a13)＝_______．16．已知等边三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AC，BC上，且DE//AB，将△CDE沿DE折起，则四棱锥C－DABE的体积的最大值为_______，此时四棱锥C－DABE的外接球的表面积为

_______．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在①4asinBcosA＝3b，②bsin2B＋csin2C＝(b＋c)sin2A，③3sinA＋cosA＝ba＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC＝13，．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{an}满足a1＝2，(n

＋2)an＝3(n＋1)an＋1．(1)求数列{an}的通项公式(2)设Sn为数列{an}的前n项和，求证Sn＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄

湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：规格中蟹大蟹特大蟹重量(单位：克)[160，180)[180，200)[200，220)[220，240)[240，260)[260，280]数量(单位：只)32152073(1)试用组中值来估

计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X，求X的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A、B的一点

，点P到A，B，C的距离均为23.设二面角P－AC－B与二面角P－BC－A的大小分别为α，β．(1)求1tan2a＋1tan2β的值；(2)若tanβ＝3tanα，求二面角A－PC－B的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，过点M(0，－1)的直

线交抛物y2＝4x于A，B两点．(1)设OA，OB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；(2)过点A，B分别作直线x＝－4的垂线，垂足为C、D，试探究∠AOB和∠COD的关系，并说明理由．POCBA22．(12分)已知函数f(x)＝－32x2＋

6x＋3logax(a＞0，且a≠1)为单调减函数，f(x)的导函数f′(x)的最大值不小于0．(1)求a的值；(2)若f(x1)＋f(x2)＝9，求证：x1＋x2≥2．2021届新高考基地学校高三第二次大联考数学解析版2021年4月注意事项：1．答卷前，

考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝

{x|2x＞16}，则A∩(RB)＝A．{x|4＜x≤5}B．{x|4＜x＜5}C．{x|2＜x≤4}D．{x|2＜x＜4}【答案】C【考点】集合的运算、解指数不等式【解析】由题意可知，B＝{x|x＞4}，所以RB＝{x|x≤

4}，则A∩(RB)＝{x|2＜x≤4}，故答案选C.2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不

是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽【答案】D【考点】逻辑推理题【解析】由题意可知，小王的搭档可以是小芳、小丽，小张的搭档可以是小红、小芳，小李的搭档可以是小红、小丽，所以①当小王的搭档

是小芳时，小张的搭档是小红，小李的搭档是小丽，满足题意；②当小王的搭档是小丽时，小张的搭档是小芳，小李的搭档是小红，满足题意；则选项A、B、C均错误，故答案选D.3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比

重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．2023B．2026C．2029D．2032【答案】C【考点】线性回归方程的实际应用【解析】法一：由题意可令y＜50，即－0.74

x＋1551＜50，解得x＞2028.38，则x＝2029，故答案选C.法二：可代入选项验证，即y＝－0.74×2029＋1551＝49.54＜50，即从2029年开始16~59岁人口比重低于50%，故答案选C.4．碌碡(liùzhóu)是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加

工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A．3：1B．3：2C．1：3D．2：3【答案】B【考点】新情景问题下的立

体几何问题【解析】由题意可设圆柱形碌碡的高为h，其底面圆的直径为d，则有2πh＝πd×3，所以h：d＝3：2，故答案选B.5．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是A．[0，

4]B．(4，6)C．[4，6]D．(6，＋∞)【答案】C【考点】复数的运算【解析】由题意可设z＝a＋bi，则有a2＋(b－1)2＝1，又因为|z－3＋3i|＝t，即|a－3＋(b＋3)i|＝t，所以t＝(a－3)2＋(b＋3)2，可设a＝cosθ，b＝sinθ＋1，(

θ为任意角)，则t＝(a－3)2＋(b＋3)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝26＋8sinθ－6cosθ＝26＋10sin(θ＋φ)(tanφ＝34)∈[4，6]，当θ＋φ＝π2时取到最大值；当θ＋φ＝3π2时取到最小值，所以实数t的取

值范围是[4，6]，故答案选C.6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝Blog2(1＋SN)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)．已

知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A．0.1WB．1.0WC．3.2WD．5.0W【答案】A【考点】新情境问题下的对数运算【解析】

由题意可得S＝1000W，N＝10W，则在信道容量未增大时，信道容量为C1＝Blog2(1＋SN)＝Blog2101，信道容量增大到原来的2倍时，C2＝Blog2(1＋1000N′)＝2C1，则log210

12＝log2(1＋1000N′)，即1＋1000N′＝1012，解得N′≈0.1W，故答案选A.7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，右焦点为F，过C上一点P作直线x＝32c的垂线，垂足为Q．若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为A．23B．63C．4

－23D．3－1【答案】D【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用【解析】法一：由题意可知|PQ|＝|OP|＝|OF|＝c，而xP＝32c－c＝12c，所以yP＝32c，则△OPF为正三角形，设椭圆的左焦点为F1，则PF1⊥PF，且PF＝c，PF1＝3c，所

以由椭圆的定义可得PF＋PF1＝2a，即c＋3c＝2a，解得离心率为3－1，故答案选D.法二：由题意可知|PQ|＝|OP|＝|OF|＝c，而xP＝32c－c＝12c，所以yP＝32c，即P(12c，32c)，代入椭圆方程可得

，14c2a2＋34c2b2＝1，又a2＝b2＋c2，则化简为14c2a2＋34c2(a2－c2)＝1，即14e2＋34e21－e2＝1，解得e2＝4－23＝(3－1)2，则e＝3－1，故答案选D.8．已知函

数f(x)＝x－aex，且ea＝lnb＝c，则A．f(a)＜f(b)＜f(c)B．f(b)＜f(c)＜f(a)C．f(a)＜f(c)＜f(b)D．f(c)＜f(b)＜f(a)【答案】A【考点】利用函数的单调性判断函数值

大小【解析】由题意f′(x)＝1＋a－xex，所以f(x)在[1＋a，＋)上单调递减，而ea＝lnb＝c，所以c＝ea≥a＋1，b＝ec≥c＋1≥a＋2，则有b＞c≥a＋1，又因为f(a)＝0，f(b)，

f(c)均大于0，所以f(a)＜f(b)＜f(c)，故答案选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，a1

＞0，d＜0，则A．数列{an}单调递减B．数列{an}没有最小值C．数列{Sn}单调递减D．数列{Sn}有最大值【答案】ABD【考点】等差数列的单调性与前n项和的最值【解析】由题意，对于无穷等差数列

{an}，因为d＜0，所以数列{an}单调递减，且无穷递减，所以没有最小值，故选项A、B均正确；对于数列{Sn}，Sn＝na1＋12nd(n－1)＝12dn2＋(a1－12d)n，为关于n的二次函数，其对称轴为n

＝－a1－12dd，因为a1＞0，d＜0，所以该二次函数的图象开口向下，则有最大值，所以选项C错误，选项D正确；故答案选ABD.10．已知a，b均为正数，且a－b＝1，则A．2a－2b＞1B．a3－b3＜1C．4a－1b≤1D．2log2a－log2b<

2【答案】AC【考点】不等关系、对数运算与应用【解析】由题意，对于选项A，因为a－b＝1，所以2a－2b＝2b＋1－2b＝2b(2－1)＝2b＞1，故选项A正确；对于选项B，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a2＋ab＋

b2＝(b－1)2＋(b－1)b＋b2＝3b2＋3b＋1＞1，故选项B错误；对于选项C，4a－1b＝(4a－1b)(a－b)＝4＋1－ab－4ba＝5－(ab＋4ba)≤5－2ab·4ba＝1，当且仅当ab＝4ba，且a－b＝1，即a＝2，b＝1时取等

号，故选项C正确；对于选项D，2log2a－log2b＝log2a2－log2b＝log2a2b＝log2(b＋1)2b＝log2(b＋1b＋2)≥log24＝2，当且仅当b＝1b，即b＝1时取等号，故选项D错误；故答案选AC.11．已知函数f(x)＝sin3xx2＋1，x∈(－π，π)，则

A．∀x∈(－π，π)，f(x)f(－x)≥0B．∀x∈(－π，π)，|f(x)|≤1C．x1，x2∈(－π，π)，x1≠x2，f(x1)＝f(x2)D．x0∈(－π，π)，∀x∈(－π，π)，|

f(x)|≤f(x0)【答案】BCD【考点】函数的性质综合应用【解析】法一：由题意可知，f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(－x)＝－f(x)2≤0，故选项A错误；对于选项B，|f(x)|＝|sin3x|x2＋1≤1

x2＋1≤1，故选项B正确；对于选项C，可取x1＝0，x2＝π，则f(x1)＝f(x2)，即满足题意，故选项C正确；对于选项D，当x∈(0，π)时，f(x)＞0，而f(0)＝f(π)，所以|f(x)|存在最大值，故选项D正确；故答案选BCD.法二：由题意可知，f

(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(－x)＝－f(x)2≤0，且|f(x)|＝|sin3x|x2＋1≤1x2＋1≤1，故选项A错误，B正确；因为f(x)＝sin3xx2＋1，所以f′(x)＝3sin2x·cosx()x2＋1－2xsin3x()x2＋12＝

sin2x[]2cosx()x2＋1－2xsinx()x2＋12，可设g(x)＝3cosx(x2＋1)－2xcosx，则g′(x)＝－3sinx(x2＋1)＋6xcosx－2sinx－2cosx＝－3sinx(x2＋1)＋4xcosx－2sinx

≤0在区间[0，π]上恒成立，所以g(x)在[0，π]上单调递减，且g(0)＝3，g(π)＝－3(π2＋1)＜0，所以存在唯一的x0∈(0，π)，使得g(x)＝0，而当0＜x＜x0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增；当x

0＜x＜π时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，所以f(x)在(x0，π)上单调递减，则当x∈(0，π)时，f(x)在x＝x0处取到唯一的极大值，也是最大值，故选项C、D正确；故答案选BCD.12．由倍角公式3cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．一般地，存在

一个n(n∈N*)次多项式Pn(t)＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋antn(a0，a1，a2，…，an∈R)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．则A．P3(t)＝4t3－3tB．当n≥3时，a0＝0C．|a

1＋a2＋a2＋…＋an|≤2D．sin18°＝5－14【答案】ACD【考点】新情境下问题下的三角函数的综合应用【解析】法一：∵cos3x＝4cos3x－3cosx，∴cos3x＝P3(cosx)，则P3(t)＝4t2－3t，故选项A正确；由cos4x＝2cos22x－1＝2

[2cos2x－1]2－1，可得常数项为1不为0，故选项B错误；对于选项C，由Pn(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝1，且Pn(0)＝±1，∴|a1＋a2＋…＋an|≤2，故选项C正确；对于选项D，因为cos72°＝sin18°，所以2cos236°－1＝cos

72°＝sin18°，所以2(1－2sin218°)－1＝sin18°，可设sin18°＝t，则2(1－2t2)－1＝t，解得t＝5－14，故选项D正确；综上，答案选ACD.法二：因为cos3x＝cos2xcosx－sin2

xsinx＝2cos3x－cosx－2sin2xcosx，所以cos3x＝2cos3x－cosx－2(1－cos2x)cosx＝4cos3x－3cosx，即选项A正确；令x＝π2，则t＝cosπ2＝0，则a0＝cosmπ2，则a0＝0，±1，即选项B错误；令x＝0，则t＝cosx＝

1，可得a0＋a1＋…＋an＝1，所以a1＋…＋an＝0，1，2，则选项C正确；设sin18°＝x，则x＝cos72°＝2cos236°－1＝2(1－2x2)2－1，将x＝5－14代入，方程成立，即选

项D正确；综上，答案选ACD．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_____

__．【答案】35【考点】随机事件的概率求解【解析】由题意，由插空法得3天中恰有2天连排的概率为P＝A23C35＝35，故答案选C.14．已知正方形ABCD的边长为2，当点P满足_______时，→AP·→AC＝4．(注：填上你认为正确的一种条

件即可，不必考虑所有可能的情况)【答案】点P在直线BD上(或点P在经过BD且垂直于平面ABCD的面上)【考点】平面向量的数量积【解析】由题意，当点P为AC的中点时，→AP·→AC＝2×22×cos0°＝4，可满足题意，，故答案可为：AC的中点.15．设(x－1x)(x＋

1x)6＝1470iiiax−=，则(a0＋a2＋a4＋a6)－(a7＋a9＋a11＋a13)＝_______．【答案】20【考点】二项式定理展开式的应用【解析】法一：由题意可得，(x－1x)(x＋1x)6＝1470iiiax−=＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋…＋a14x－7，则(x

＋1x)6(x－1x)＝[(1x)6＋61x4＋151x2＋20＋12x2＋6x4＋x6](x－1x)＝x7＋5x5＋9x3＋5x－5x－1－9x－3－5x－5－x－7，所以a0＝1，a2＝5，a4＝9，a6＝5，a7＝a9＝a11＝

a13＝0，所以(a0＋a2＋a4＋a6)－(a7＋a9＋a11＋a13)＝20，故答案选20.法二：由题意可得，(x－1x)(x＋1x)6＝1470iiiax−=＝a0x7＋a1x6＋a2x5＋…＋a14x－7，所以a0＝1，a2＝－C46＋C

56，a4＝－C56＋C46，a6＝－C46＋C36，且a7＝a9＝a11＝a13＝0，所以(a0＋a2＋a4＋a6)－(a7＋a9＋a11＋a13)＝20，故答案选20.16．已知等边三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AC，BC上，且DE//

AB，将△CDE沿DE折起，则四棱锥C－DABE的体积的最大值为_______，此时四棱锥C－DABE的外接球的表面积为_______．【答案】239，4(17－43)π9．【考点】立体几何的体积与外接

球问题【解析】(1)设M，N分别为DE，AB的中点，DE＝x，则AD＝BE＝2－x，VC－DABE≤13S等腰梯形DABE×CM＝13×34(22－x2)·32x＝12x－18x3，其中0＜x＜2．记f(x)＝12x－18x3，0＜x＜2，

则f′(x)＝12－38x2＝18(2＋3x)(2－3x)，令f′(x)＝0，得x＝23，此时f(x)max＝239，所以四棱锥C－DABE的体积的最大值为239.(2)设O1，O2分别为△CDE，等腰梯形DABE的外接圆的圆心，则O1为CM

的三等分点(靠M)，O2在直线MN上．设过O1，O2分别与△CDE，等腰梯形DABE垂直的直线交于点O(四棱锥C－DABE的外接球的球心)，连接O2A，O2D，O2O，O1O，由(1)知，等腰梯形DABE中，AB＝2，DE＝23，AD＝

BE＝2－23，MN＝3－1，则O2在线段MN的延长线上，O2O＝O1M＝13CM＝13.设O2N＝y，由AO22＝DO22得，AN2＋O2N2＝DM2＋MO22，即12＋y2＝(13)2＋(3－1＋y)2，解得y＝2－33.则AO2＝AO22＋OO2

2＝12＋(2－33)2＋(13)2＝17－439.所以四棱锥C－DABE的外接球的表面积S＝4π×AO2＝4(17－43)π9.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在

①4asinBcosA＝3b，②bsin2B＋csin2C＝(b＋c)sin2A，③3sinA＋cosA＝ba＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

c，已知cosC＝13，．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用【解析】选①：因为4asinBcosA＝3b，由正弦定理得4sinAsinBcosA＝3sinB，……2分所以B∈(0，π

)，所以sinB≠0，所以4sinAcosA＝3，sin2A＝32，……3分又A∈(0，π)，2A∈(0，2π)，所以2A＝π3或2π3，即A＝π6或π3．……5分因为cosC＝13，C∈(0，π)，所以sinC＝1－cos2C＝223.……6分当A＝π6时

，cosB＝－cos(A＋C)＝－cos(π6＋C)＝－(32×13－12×223)＝22－36，……8分当A＝π3时，cosB＝－cos(A＋C)＝－cos(π3＋C)＝－(12×13－32×223)＝

26－16，因此cosB的值为22－36或26－16．……10分选②：因为bsin2B＋csin2C＝(b＋c)sin2A，由正弦定理得b3＋c3＝(b＋c)a2，……2分因为b＋c＞0，所以b2＋c2－bc＝a2，……4分所以cosA＝b2＋c2－a2

2bc＝12，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.……6分因为cosC＝13，C∈(0，π)，所以sinC＝1－cos2C＝223，……7分所以cosB＝－cos(A＋C)＝－cos(π3＋C)＝－(12×13－32×223)＝26－16，因

此cosB的值26－16.……10分选③：因为3sinA＋cosA＝ba＋ab，所以2sin(A＋π6)＝ba＋ab，……2分因为2≥2sin(A＋π6)＝ba＋ab≥2ba×ab＝2，……4分于是ba＋ab＝2，即a＝b；且2sin(A＋π6)＝2，即sin(A＋π6)＝

1，……6分注意到A∈(0，π)，A＋π6∈(π6，7π6)，因此A＋π6＝π2，即A＝π3，……8分于是△ABC为等边三角形，因此cosC＝12与cosC＝13相矛盾，故△ABC不存在．……10分18．(12分)已知数列{an}满

足a1＝2，(n＋2)an＝3(n＋1)an＋1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，求证Sn＜154．【考点】数列求通项公式、利用数列错位相减法或裂项相消法求和证明不等式【解析】(1)法一：由(n＋2)an＝3(n＋1)an＋1

，得an＋1n＋2＝13·ann＋1，……2分因为a1＝2，所以a11＋1＝1≠0，所以an＋1n＋2ann＋1＝13，所以{ann＋1}是首项为1，公比为13的等比数列，……4分所以ann＋1＝(13)n－1，即an＝(n＋1)·(13)

n－1(n∈N*).……6分法二：由(n＋2)an＝3(n＋1)an＋1，an＋1an＝13·n＋2n＋1，……2分所以a2a1＝1332，a3a2＝1343，a4a3＝1354，…，anan－1＝13n＋1n(n≥

2)，所以a2a1a3a2a4a3…anan－1＝(13)n－1324354…n＋1n(n≥2)，……4分即an＝(n＋1)(13)n－1(n≥2)．由于a1＝2符合上式，所以an＝(n＋1)(13)n－1(n∈N*)．……6分(2)法一：由Sn＝23

0＋331＋432＋…＋n＋13n－1，得13Sn＝231＋332＋433＋…＋n3n－1＋n＋13n，两式相减，得23Sn＝2＋131＋132＋…＋13n－1－n＋13n－1……9分＝2＋13[1－(13)n－1]1－13－n＋13n＝

52－2n＋52·3n，所以Sn＝154－6n＋154·3n＜154，得证．……12分法二：由an＝(n＋1)(13)n－1＝32n＋943n－1－32(n＋1)＋943n，……9分所以Sn＝(32×1＋9430－32×2＋9431)＋(32×2＋9431－32×3＋9432)＋(32×

3＋9432－32×4＋9433)＋…＋[32×n＋943n－1－32×(n＋1)＋943n]＝32×1＋9430－32×(n＋1)＋943n＝154－6n＋154·3n＜154，得证．……12分19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹

身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：规格中蟹大蟹特大蟹重量(单位：克)[160，180)

[180，200)[200，220)[220，240)[240，260)[260，280]数量(单位：只)32152073(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的

大闸蟹数量为X，求X的概率分布和数学期望．【考点】随机变量的概率分布与期望【解析】(1)50只大闸蟹的平均重量为：150×(170×3＋190×2＋210×15＋230×20＋250×7＋270×3)＝224，……3分所以水产品超市购

进的100千克大闸蟹只数约为100000÷224≈446．……5分(2)X的可能取值为0，1，2，3，……6分概率分别为：P(X＝0)＝C03C47C410＝16；P(X＝1)＝C13C37C410＝12；P(X＝2)＝C23C27C410＝31

0；P(X＝3)＝C33C17C410＝130X0123P1612310130……10分所以E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65．……12分20．(12分)已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A、B

的一点，点P到A，B，C的距离均为23.设二面角P－AC－B与二面角P－BC－A的大小分别为α，β．(1)求1tan2a＋1tan2β的值；(2)若tanβ＝3tanα，求二面角A－PC－B的余弦值．【考点】立体几何中位置关系的证明、求二面角、与三角函

数的综合应用【解析】(1)连结PO，OC．因为PA＝PB，O为AB的中点，所以PO⊥AB．因为C是圆O上异于A，B的一点，AB是圆O的直径，所以AC⊥BC，从而AO＝CO．又因为PA＝PC，PO＝PO，POCBAABPzM所以△PAO≌△PC

O，所以∠POC＝∠POA，即PO⊥AC.因为AO，CO平面ABC，AO∩CO＝O，所以PO⊥平面ABC．……2分分别取AC，BC的中点M，N，连接PM，OM，PN，ON，则在圆O中，OM⊥AC．由PO⊥平面ABC，得PO⊥AC．又PO∩OM＝O，故AC⊥平面

PMO，所以AC⊥PM．所以∠PMO＝α．同理，∠PNO＝β．于是1tan2α＋1tan2β＝(OMOP)2＋(ONOP)2＝(OCOP)2＝OC2AP2－OA2＝12.……6分(2)因为tanβ＝3tanα，所

以BC＝3AC＝23.在圆O中，CA⊥CB，以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系C－xyz.则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，23，0)．又

因为PO⊥平面ABC，所以OP//z轴，从而P(1，3，22).则→CA＝(2，0，0)，→CB＝(0，23，0)，→CP＝(1，3，22)．……8分设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·→CA＝0，m·→CP＝0

，即2x＝0，x＋3y＋22z＝0，不妨取y＝22，则x＝0，z＝－3，此时m＝(0，22，－3).同理，平面PBC的一个法向量n＝(22，0，1)．……10分所以cos＜m，n＞m·n|m||n|＝－311×3＝－3333.又二面角A－PC－B为钝二面角，所以二面角A－PC－

B的余弦值为－3333.……12分21．(12分)xyO在平面直角坐标系xOy中，过点M(0，－1)的直线交抛物y2＝4x于A，B两点．(1)设OA，OB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；(2)过点A，B分别作直线x＝－4的垂线，垂足为C、D，试探究∠AOB

和∠COD的关系，并说明理由．【考点】圆锥曲线中双曲线与直线的位置关系解决斜率之和为定值、角度与斜率的关系【解析】(1)设A(y124，y1)，B(y224，y2)因为直线AB过点M(0，－1)，所以y1＋1y124＝y2＋1y224，

整理得y1＋y2＝－y1y2，……2分所以k1＋k2＝4y1＋4y2＝4·y1＋y2y1y2＝－4.……4分(2)①当A，B两点在x轴的异侧时，∠AOB＋∠COD＝π；②当A，B两点在x轴的同侧(只能同在下方)时，∠AOB＝∠COD．……6分

理由如下：①当A，B两点在x轴的异侧时，不妨设y1＞0，y2＜0，直线OA，OB的斜率分别为k1＝4y1，k2＝4y2，tan(π－∠AOB)＝k2－k11＋k2k1＝4y2－4y11＋16k2k1＝4(y1－y2)y1y2＋16.由题意，C(－4，y1)，D(－4，y2)，所以直线OC

，OD的斜率分别为kOC＝－y14，k2＝－y24，tan(π－∠COD)＝kOC－kOD1＋kOCkOD＝－y14＋y241＋y1y216＝4()y2－y1y1y2＋16．所以tan(π－∠AOB)＝－tan(π－∠COD

)＝tan∠COD．因为∠AOB，∠COD∈(0，π)，所以π－∠AOB＝∠COD，即∠AOB＋∠COD＝π．……9分(2)当A，B两点在x轴的同侧(只能同在下方)时，不妨设y2＜y1＜0，tan∠AOB＝k2－k11＋k2

k1＝4y2－4y11＋16y1y2＝4(y1－y2)y1y2＋16，tan∠COD＝kOD－kOC1＋kOCkOD＝－y24＋y141＋y1y216＝4()y1－y2y1y2＋16，所以tan∠AOB＝tan∠COD．因为∠AOB

，∠COD∈(0，π)，所以∠AOB＝∠COD．……12分22．(12分)已知函数f(x)＝－32x2＋6x＋3logax(a＞0，且a≠1)为单调减函数，f(x)的导函数f′(x)的最大值不小于0．(1)求a的值；(2)若f(x1)＋f(x2)＝9，求证：x1＋x2≥2

．【考点】函数与导数：恒成立问题、利用单调性证明不等式【解析】(1)因为f(x)为单调减函数，所以f′(x)＝－3x＋6＋3xlna≤0恒成立，所以1lna≤x2－2x在x∈(0，＋∞)上恒成立．……2分由于当x＝1时，(x2－2x)min＝－1，所以1lna≤－1，解得1e≤a＜

1.……4分因为f′(x)＝－3[x＋1x(－lna)]＋6≤－6－1lna＋6，当x＝－1lna时，f′(x)的最大值为－6－1lna＋6，由题意，－6－1lna＋6≥0，所以0＜a≤1e.综上，a＝1e.……6分(2)由(1)知，f(x)＝－32x2＋6x－3lnx，所

以f(1)＝92.因为f(x1)＋f(x2)＝9，f(x)为(0，＋∞)单调减函数，可设0＜x1≤1≤x2.……8分令F(x)＝f(x)＋f(2－x)，0＜x≤1．所以F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝[6－3(x＋1x)]－[6－3(2－x＋12－x)]＝6(x－1)3

x(2－x)≤0，所以F(x)在(0，1]上单调递减，所以F(x)≥F(1)＝2f(1)＝9，所以f(x)＋f(2－x)≥9，0＜x≤1．……10分因为0＜x1≤1，所以f(2－x1)≥9－f(x1)＝f(x2)．因为f(x)为(0，＋∞)

单调减函数，所以2－x1≤x2，即x1＋x2≥2．……12分