【文档说明】天津市五区重点校联考2023-2024学年高三上学期期中考试+数学+含答案.docx，共(16)页，2.637 MB，由小赞的店铺上传

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2023～2024学年度第一学期期中重点校联考高三数学命题学校：静海一中外院附中一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}3,2,1{=A，},12|{AxxyyB−==，则AB=A．}3,2{B．}2,1

{C．}3,1{D．}3,2,1{2．已知在△𝑨𝑩𝑪中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin2sin2AB=”是“ab=”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知4a=5，lo

g89=b，则22a-3b=A．95B．5C．925D．254．已知x=1.20.9，y=1.10.8，𝒛=𝒍𝒐𝒈𝟏.𝟐𝟎.𝟗，则A．𝒙>𝒛>𝒚B．𝒚>𝒙>𝒛C．𝒚>𝒛>𝒙D．𝒙>𝒚>𝒛5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时

少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数()yfx=的部分图象如图所示.则()yfx=的解析式可能是A．()()()cosπ2eexxxfx−=+B．()()()cosπ2eexxxfx−=−C．

()()()eecosπ2xxxfx−−=D．()()()eesinπ2xxxfx−+=6．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体FEABCD−的形状（如图②），若四边形ABCD

是矩形，ABEF∥，且AB=2EF=2BC=8，EA=ED=FB=FC=3，则三棱锥F－ADE的体积为A．38B．3C．34D．3167．函数𝒇(𝒙)=𝑨𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒙+𝝋)(𝝎>𝟎,𝟎<𝝋<𝝅)的部分图象如图所示，则A．的单调递增区间是Zkkk

++，，858B．()fx图象的一条对称轴方程是5π8x=−C．()fx图象的对称中心是ππ,08k−，ZkD．函数()fx的图象向左平移𝟕𝝅𝟖个单位后得到的是一个奇函数的图象8．已知在ABC所在平面内，2BDAB=，E、F分别为线段AC、AD的中点，直线EF

与BC相交于点G，若DGBC⊥，则A．tanBAC的最小值为34B．tanBAC的最小值为43C．tanBAC的最大值为34D．tanBAC的最大值为43)(xf9．已知函数()2221,0log,0xxfxxx+−=，若关于x的

方程02)()(2=++xmfxf恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是A．(−∞,−𝟏𝟏𝟑)∪[−𝟑,−𝟐√𝟐)B．(−𝟏𝟏𝟑,−𝟐√𝟐)C．(−∞,−𝟏𝟏𝟑)∪(−𝟏𝟏𝟑,−𝟐√𝟐)D．[−𝟑,−𝟐√𝟐)二、填空题（本

题6小题，每题5分，共30分）10．复数z在复平面内对应的点为()2,1-，则𝟑𝒊+𝟏𝒛−𝟏的共轭复数的模为________11．在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知32a=，3c=，3cos3A=，则ABC的面积为

________.12．设向量a、b满足π,3ab=，且2ab=，若c为b在a方向上的投影向量，并满足ca=，则=________13．在等比数列na中，3a，7a是函数()3214913fxxxx=++−的两个不同极值点，则5

a=________．14．设𝒙>𝟎，𝒚>𝟎，当x=________时,)21(yxxy－－取最大值，最大值为________.15．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子

，如图1．其展开几何图是如图2的扇形AOB，其中120AOB=，2OC=，5OA=，点E在𝑪𝑫⏜上（包含端点），则EAEB的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．

（本小题满分14分）已知函数()π32cossin2232fxxx=−+，0，()fx图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．（1）求()fx的单调递减区间；（2）若𝒇(𝜽𝟐)=−𝟑𝟓，𝜽∈[−𝝅𝟔,𝟓𝝅𝟔]，求𝐬𝐢𝐧(�

�−𝟓𝛑𝟔)的值．17．（本小题满分15分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.cossin2cossin23ABcCBab+=（1）求角B的大小；（2）设3a=，4c=，（i）求b，（ii）求()cos2AB+的值.18．（本小题满分15分）在四棱锥PABCD−

中，PA⊥底面ABCD，且2PA=，四边形ABCD是直角梯形，且ABAD⊥，//BCAD，2ADAB==，4BC=，M为PC中点，E在线段BC上，且1BE=.（1）求证：//DM平面PAB；（2）求直线PB与平面PDE所成角的正弦值；（3）求点E到PD的距离

.19．（本小题满分15分）已知数列na的前n项和𝑺𝒏=𝒏𝟐+𝒏𝟐，数列nb满足：13b=，()*121Nnnbbn+=−．（1）证明：1−nb是等比数列；（2）设数列{}nc的前n项和为𝑻𝒏，

且𝒄𝒏=(−𝟏)𝒏𝟐𝒂𝒏+𝟏(𝒂𝒏+𝟏)𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒃𝒏−𝟏),求𝑻𝒏（3）设数列{𝒅𝒏}满足：𝒅𝒏={𝐚𝐧+𝟏𝐚𝐧𝟐𝐚𝐧+𝟐𝟐,𝐧为奇数𝐚𝟐𝐧𝐛𝐧,𝐧为偶数．证明：49dn21k＜=k．2

0．（本小题满分16分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+(𝑎+1)𝑥+1，aR.()xgxxe=.（1）若曲线𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线的斜率为3，求𝒂的值；（2）当2－

x时，函数()2ygxm=−+有两个不同零点，求m的取值范围；（3）若∀𝒙∈(𝟎,+∞)，不等式()()xgxfxe−恒成立，求实数𝒂的取值范围.2023～2024学年度第一学期期中重点校联考高三数学参考答案一、选

择题（本题共9小题，每题5分，共45分.）1-5CBADC6-9ABDA二、填空题（本题共6小题，共30分，每空5分，14题前空3分，后空2分）10．√𝟓11．𝟓√𝟐𝟐12．𝟏𝟒13．−𝟑14．𝟏𝟒，√𝟐𝟏𝟔15．[−𝟑

𝟕𝟐,−𝟐𝟕𝟐]三、解答题（本题共5小题，共75分）16．（本小题满分14分）（1）解：由()π31332cossin2cos(sincos)2232222222xxxxfxx=−+=−+3πcossin()i2s31n2xxx

=−=−，…………3分因为()fx图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，可得π22T=，即πT=，所以2π2T==，可得()πsin(2)3fxx=−，…………5分令𝝅𝟐+𝟐𝒌𝝅≤𝟐𝒙−𝝅𝟑≤𝟑𝝅𝟐+𝟐𝒌𝝅，Zk

，解得𝟓𝝅𝟏𝟐+𝒌𝝅≤𝒙≤𝟏𝟏𝝅𝟏𝟐+𝒌𝝅，Zk，即()fx的单调递增区间为[𝟓𝝅𝟏𝟐+𝒌𝝅,𝟏𝟏𝝅𝟏𝟐+𝒌𝝅]，Zk.…………8分（2）解：由()πsin(2)3fxx=−，可得𝒇(𝜽𝟐)=𝒔�

�𝒏(𝟐×𝜽𝟐−𝝅𝟑)=𝒔𝒊𝒏(𝜽−𝝅𝟑)=−𝟑𝟓，因为𝜽∈[−𝝅𝟔,𝟓𝝅𝟔]，可得πππ,322−−，所以𝒄𝒐𝒔(𝜽−𝝅𝟑)=𝟒𝟓，…………11分所以𝐬𝐢𝐧（𝛉−𝟓𝛑

𝟔）=𝒔𝒊𝒏[(𝜽−𝝅𝟑)−𝝅𝟐]=−𝒄𝒐𝒔(𝜽−𝝅𝟑)=−𝟒𝟓.…………14分（注：丢掉Zk扣1分）17．（本小题满分15分）解：（1）根据正弦定理得√𝟑𝐬𝐢𝐧𝐁=𝟐𝐬𝐢𝐧𝐀𝐬𝐢𝐧𝐁𝐜𝐨𝐬𝐂+𝟐𝐬𝐢�

�𝐂𝐬𝐢𝐧𝐁𝐜𝐨𝐬𝐀，…………1分即√𝟑𝐬𝐢𝐧𝐁=𝟐𝐬𝐢𝐧𝐁(𝐬𝐢𝐧𝐀𝐜𝐨𝐬𝐂+𝐬𝐢𝐧𝐂𝐜𝐨𝐬𝐀)=𝟐𝐬𝐢𝐧𝐁𝐬𝐢𝐧(𝐀+𝐂)，因为𝒔𝒊𝒏𝑩>𝟎，所以

𝒔𝒊𝒏(𝑨+𝑪)=√𝟑𝟐，𝒔𝒊𝒏𝑩=𝒔𝒊𝒏(𝑨+𝑪)=√𝟑𝟐，且△𝑨𝑩𝑪为锐角三角形，…………4分所以𝑩=𝝅𝟑；…………5分（2）（i）在△𝑨𝑩𝑪中，由余弦定理及3a=，4c=，3B=，有2222cos1

3bacacB=+−=，故13b=.…………8分（ii）由𝒂𝐬𝐢𝐧𝑨=𝒃𝐬𝐢𝐧𝑩，可得33sin213A=.…………9分∵ac，故5cos213A=，…………10分则335153sin

22sincos226213213AAA===，…………12分21cos22cos126AA=−=−，…………14分∴()23cos2cos2cossin2sin26ABABAB+=−=−.…………15分18．（本小题满分15分）解：（1）方法一：如图，取BC中点F

，连接,MFDF因为F为BC中点，//BCAD，2ADAB==，4BC=，所以BFAD=，//BFAD所以四边形ABFD为平行四边形，所以//ABDF，…………2分又DF平面PAB，AB平面PAB，所以//DF平面PAB，…………3分因为F为BC中点，M为PC中

点，则//MFPB，又MF平面PAB，PB平面PAB，所以//MF平面PAB，…………4分因为,,MFDFFMFDF=平面MDF，所以平面//MDF平面PAB，又DM平面MDF，故//DM平面PAB．…………5分方法二根据题意，

分别以,,ABADAP所在直线为,,xyz轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，𝐀(𝟎,𝟎,𝟎),𝐏(𝟎,𝟎,𝟐),𝐁(𝟐,𝟎,𝟎),𝐃(𝟎,𝟐,𝟎),𝐄(𝟐,𝟏,𝟎)，𝐌(𝟏,𝟐,𝟏)，则…………2分（建系和对

一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）𝐃𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝟏,𝟎,−𝟏)由题意得，平面PAD的一个法向量𝐦⃗⃗⃗=(𝟎,𝟏,𝟎)…………3分𝐃𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐦⃗⃗⃗=𝟎，所以𝐃𝐌⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐦⃗⃗⃗，…………4分又因为𝐃𝐌⊄平

面PAB,所以//DM平面PAB．…………5分（2）𝑷𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝟐,𝟎,−𝟐),𝑷𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝟎,𝟐,−𝟐),𝑷𝑬⃗⃗⃗⃗⃗=(𝟐,𝟏,−𝟐)，…………6分设平面PDE的法向量为𝒏⃗⃗=(𝒙

,𝒚,𝒛)，则220220PDnyzPEnxyz=−==+−=，解得2yzyx==，取2y=，则1,2xz==，所以平面PDE的一个法向量为()1,2,2n=，…………8分设直线PB与平面PDE所成角为，则𝐬𝐢𝐧𝛉=|𝐜𝐨𝐬<�

�𝐁⃗⃗⃗⃗⃗,𝐧⃗⃗>|=|𝐏𝐁⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐧⃗⃗||𝐏𝐁⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐧⃗⃗|=|𝟐−𝟒|𝟐√𝟐×𝟑=√𝟐𝟔.…………10分所以直线PB与平面PDE所成角的正弦值为26.…………11分（设角和作答具备其一即可，均不写扣一分）（3）由（2）可知，()(

)0,2,2,2,1,2PDPE=−=−，…………12分设点E到PD的距离为𝒅𝒅=√(𝑷𝑬⃗⃗⃗⃗⃗)𝟐−(𝑷𝑬⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑷𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑷𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)𝟐=√𝟗−(𝟔𝟐√𝟐)𝟐=𝟑√�

�𝟐.所以点E到PD的距离为𝟑√𝟐𝟐…………15分19．（本小题满分15分）解：（1）由121nnbb+=−，得()1121nnbb+−=−，所以1−nb是以2为首项，2为公比的等比数列，…………3分即21nnb=+．…………4分（2）当1n=时，有𝒂𝟏=𝑺𝟏=

𝟏，当𝒏≥𝟐时，𝒂𝒏=𝒔𝒏−𝒔𝒏−𝟏=𝒏𝟐+𝒏𝟐−(𝒏−𝟏)𝟐+(𝒏−𝟏)𝟐=𝒏，…………5分可得1n=时，𝒂𝟏=𝟏，可得𝒂𝒏=𝒏，…………6分𝒄𝒏=(−𝟏)𝒏𝟐𝒏+𝟏𝒏(�

�+𝟏)=(−𝟏)𝒏(𝟏𝒏+𝟏𝒏+𝟏)…………7分𝑻𝒏=−𝟏−𝟏𝟐+𝟏𝟐+𝟏𝟑−𝟏𝟑−𝟏𝟒+⋯+(−𝟏)𝒏𝟏𝒏+(−𝟏)𝒏𝟏𝒏+𝟏=−𝟏+(−𝟏)𝒏𝟏𝒏+𝟏…………9分（3）当n为奇数时，𝒅𝒏=�

�+𝟏𝒏𝟐(𝒏+𝟐)𝟐=𝟏𝟒[𝟏𝒏𝟐−𝟏(𝒏+𝟐)𝟐]，…………10分𝒅𝟏+𝒅𝟑+𝒅𝟓+⋯+𝒅𝟐𝒏−𝟏=𝟏𝟒[𝟏−𝟏𝟑𝟐+𝟏𝟑𝟐−𝟏𝟓𝟐+⋅⋅⋅+𝟏(

𝟐𝒏−𝟏)𝟐−𝟏(𝟐𝒏+𝟏)𝟐]211114(21)4n=−+，…………11分当n为偶数时，𝒅𝒏=𝟐𝒏𝟐𝒏+𝟏<𝟐𝒏𝟐𝒏，…………12分𝒅𝟐+𝒅𝟒+𝒅𝟔+⋅⋅⋅+𝒅𝟐𝒏<�

�𝟐𝟐+𝟖𝟐𝟒+⋅⋅⋅+𝟒𝒏𝟐𝟐𝒏=𝟏𝟒𝟎+𝟐𝟒𝟏+⋅⋅⋅+𝒏𝟒𝒏−𝟏，设01112444nnnQ−=+++，121112144444nnnnnQ−−=++++，两式相减得

12111311141...144444414nnnnnnnQ−−=++++−=−−得116341169949nnnQ−+=−，…………14分所以𝒄𝟐+𝒄𝟒+𝒄𝟔+⋅⋅⋅+𝒄𝟐𝒏<𝟏𝟔𝟗，所以2119244nkkc=+=．…………15分20．（

本小题满分16分）解：（1）因为𝒇′(𝒙)=𝟏𝒙+𝒂+𝟏所以𝒇′(𝟏)=𝟏+𝒂+𝟏=𝟑,即𝒂=𝟏。…………3分（2）𝒈(𝒙)−𝒎+𝟐=𝟎，即𝒈(𝒙)=𝒎−𝟐𝒈′(𝒙)=(𝒙+𝟏)𝒆𝒙…………

4分当𝒙>−𝟏时，𝒈′(𝒙)>𝟎，所以𝒈(𝒙)在(−𝟏,+∞)单调递增；当−𝟐≤𝒙<−𝟏时，𝒈′(𝒙)<𝟎，所以𝒈(𝒙)在(−∞,−𝟏)单调递减；…6分𝒈(𝒙)𝒎𝒊𝒏=𝒈(−𝟏)=−𝟏𝒆,𝒈

(−𝟐)=−𝟐𝒆𝟐，𝒈(𝟎)=𝟎；…………8分所以𝒎−𝟐∈(−𝟏𝒆,−𝟐𝒆𝟐],即𝒎∈(−𝟏𝒆+𝟐,−𝟐𝒆𝟐+𝟐]…………9分（3）因为𝒈′(𝒙)−𝒇(x)≥ⅇ𝒙对()0,x+恒成立，即ln1e1xxax+−−对()0,x+恒成立

.…………10分设()ln1e1xxgxx+=−−，其中0x，所以()minagx，…………11分()222lnelnexxxxxgxxx+=+=，…………12分设()2elnxhxxx=+，其中0x，则()()212e0xhx

xxx=++，所以，函数()hx在()0,+上单调递增.因为1ln204e2h=−，()1e0h=，所以，存在01,12x，使得()02000eln0xhxxx=+=，…………13分当00xx

时，𝒈′(𝒙)<𝟎，函数()gx单调递减，当0xx时，()0gx，数函()gx单调递增，所以()000min0eln11xxxgxx−−=−.因为()02000eln0xhxxx=+=，则001ln0000001111elnlnelnxxxxxxxx

=−==，由（2）得𝒈(𝒙)=𝒙𝒆𝒙，当0x时，在()0,+上为增函数，因为01,12x，则0112x，则01ln0x，由001ln001eelnxxxx=可得()001lnxx=，

所以0001lnlnxxx==−，所以()0000lnlne0xxxx+==，可得00e1xx=，…………15分所以()()0000min0011eln1110xxxxgxxx−−−−−=−=−=，所以0a.所

以实数a的取值范围为(,0−.…………16分（注：其他方法平行给分）获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com