【文档说明】吉林省长春市九台区师范高级中学2021-2022学年高二上学期期初考试数学试题 含答案.doc，共(16)页，1.353 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-2297aa4ac861226ca6a45f0956ed5423.html

以下为本文档部分文字说明：

九台师范高中2021-2022学年度高二上学期期初测试高二数学试题本次考试时间110分钟满分150分一、（每小题6分，共48分）单选题（1—8小题）1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取

一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．110、110B．310、15C．15、310D．310、3102．如果复数z满足()1i2iz−=−，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D

．第四象限3．已知数据12,,,nxxx的平均数为x，方差为2s，则123x+，223x+，…，23nx+的平均数和方差分别为（）A．x和2sB．23x+和24sC．23x+和2sD．23x+和24129ss++4．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队

人数012345概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A．0.16B．0.26C．0.56D．0.745．在OAB中，P为线段AB上的一点，OPxOAyOB=+，且2BPPA=，则A．23x=，13y=B．13x=，2

3y=C．14x=，34y=D．34x=，14y=6．下列叙述不正确的是（）A．已知a，b是空间中的两条直线，若ab=，则直线a与b平行或异面B．已知l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若l，则l或l与只有一个公共点C．已知，是空间

两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线D．已知直线l与平面相交，且l垂直于平面内的无数条直线，则l⊥7．已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的23，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）A．16B．27C．36D．548．若随机事

件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且()2PAa=−，()45PBa=−，则实数a的取值范围是（）A．5,24B．53,42C．54,43D．53,42

多选题（9—12小题）9．下面是关于复数21iz=−+的四个命题，其中真命题为（）A．22iz=B．2z=C．z的虚部为-1D．z的共轭复数为1i+10．下面结论正确的是（）A．若()()1PAPB+=，则事件A与B是互为对立事件B

．若()()()PABPAPB=，则事件A与B是相互独立事件C．若事件A与B是互斥事件，则A与B也是互斥事件D．若事件A与B是相互独立事件，则A与B也是相互独立事件11．如图，AC为圆O的直径，45PCA=

，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，ASPC⊥于S，ANPB⊥于N，则下列选项正确的是（）A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PAC1

2．在ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．0ABACAD+−=B．0DAEBFC++=C．若3||||||ABACADABACAD+=，则BD是BA在BC的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足BPBABC=+，则的最大值为18二、填空题（每小

题5分，共15分）13．总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成.现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若千个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据(如下)，则选出来的第5个个体的编号为___________.8442178315745568877744

77217633506314．已知O为坐标原点，向量()1,2OA=，()2,1=−−OB，若2=APAB，则=OP________.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，①若sinA＞sin

B，则A＞B；②若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；③若222coscoscos1ABC+−=，则△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，则sinA<cosB．以上结论中正确的有___

_________.（填正确结论的序号）16．（此小题填对一个3分，填对两个5分。有错的0分）已知一个高为3的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为23的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有一

个体积为V的球，则V的最大值为______.三、解答题（每个大题12分，共60分，每个题按照完整的步骤累计给分）17．已知平面向量a，b满足1a=，2b=，()()223abab+−=−.（1）求ab−rr；（2）若向量b与ab+的夹角为锐角，求实数的取值范围.18．如图，四边形A

BCD是矩形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，3BC=，22DECDFB===.（1）证明：平面//AED平面BCF.（2）求三棱锥BCEF−的体积.19．设a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若3cossin3baCaC−=.

（1）求角A；（2）若2a=，ABC的周长为6，求ABC的面积.20．如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）求成绩在80~90这一

组的频数；（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；（3）从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率.21．如图，在三棱柱111ABCABC−中，1190ABBACCA

CB===，点O为1AB的中点，2ACBC==，123AA=．（1）证明：平面11ACCA⊥平面ABC．（2）求点1B到平面11OAC的距离．参考答案1．A【分析】根据抽样中，每个个体在每一次被抽到的概率都是相

等的，由此可得出结果.【详解】在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，故选：A．【点睛】本题考查抽样中概率的计算，属于基础题.2．A【分析】由给定复数等

式求出复数z，进而求得z在复平面内对应点的坐标即可得解.【详解】因()1i2iz−=−，则2i(2i)(1i)3i31i1i(1i)(1i)222z−−++====+−−+，于是得在复平面内，复数z对应点的坐标为31(,)22，所以z在复平面内对应的点

在第一象限.故选：A3．B【分析】根据平均数和方差的性质直接求解.【详解】因为数据12,,,nxxx的平均数为x，方差为2s，所以123x+，223x+，…，23nx+的平均数和方差分别为23x+和24s故选：B4．

D【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：1(0)(1)PPXPX=−=−=10.10.16=−−0.74=．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求

解能力，是基础题．5．A【分析】根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出OP，利用平面向量基本定理求出x，y的值【详解】由题意，∵2BPPA=，∴22BOOPPOOA+=+，即32OPOBOA=+，∴2133OPOAOB=+，即2133xy==，故选A．【

点睛】本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．6．D【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对各选项逐一判断作答.

【详解】对于A，空间两直线没有公共点，由空间两直线位置关系的分类知，两直线平行或是异面直线，A正确；对于B，直线与平面有公共点，由直线与平面位置关系的分类知，直线与平面有无数个公共点(直线在平面内)或仅只一个，即B正确

；对于C，两个不重合平面有公共点，由平面基本性质知，它们有且只有一条经过公共点的公共直线，即C正确；对于D，正三棱锥的侧棱垂直于底面三角形与该棱相对的边，而在底面三角形所在平面内与该边平行的直线都垂直于这条棱，正三棱锥侧

棱不垂直于底面，即D不正确.故选：D7．D【分析】设圆柱的底面半径为R，高为h，则由题意得，()22232424RhRhRhR=++=，解方程组，再根据圆柱的体积公式求解即可．【详解】设圆柱的底面半径为R，高为h，∵圆柱的侧面积等于表面积的23，且其轴截面的周

长是24，∴()22232424RhRhRhR=++=，解得36Rh==，∴圆柱的体积为254VRh==，故选:D．【点睛】本题主要考查圆柱的表面积公式与体积公式，属于基础题．8．C【分析】利用互斥事件

的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.【详解】因随机事件A，B互斥，则()()()33PABPAPBa+=+=−，依题意及概率的性质得0()10()10()1PAPBPAB+，即02104510331aaa−−−

，解得5443a≤，所以实数a的取值范围是54,43.故选：C9．AC【分析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】()()()2121111iziiii−−===−−−+−+−−，所以()221i2iz=−−=，故A正确；2z=，故B错误；z的虚部为-1，故C正确；z的共轭

复数为1i−+，故D错误.故选：AC10．BD【分析】根据互斥事件、对立事件的知识判断AC两个选项的正确性，根据相互独立事件的知识判断BD两个选项的正确性.【详解】对于A选项，要使,AB为对立事件，除()()1PAPB+=还需满足()0PAB=，也即,AB不能同时发生，所以A选项错误.对于

C选项，A包含于B，所以A与B不是互斥事件，所以C选项错误.对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.故选：BD【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立

事件，考查相互独立事件，属于基础题.11．ACD【分析】由AN⊥平面PBC可判断A正确；因无法判断PBNS⊥可判断B错误；由BC⊥平面PAB可判断C正确；由PA⊥平面ABC可判断D正确.【详解】对于A，PA⊥平面ABC，PA⊥BC，圆中，AC是直径，BCAB⊥，PAABA=，BC⊥平

面PAB，BCAN⊥，ANPB⊥，PBBCB=，AN⊥平面PBC，AN平面ANS，平面ANS⊥平面PBC，故A正确；对于B，ANPB⊥，则要使平面ANS⊥平面PAB，则必有PB⊥平面ANS，但无法判断PBNS⊥，故无法判断平面ANS⊥平面PAB，故B错误；对于C，由A选

项知BC⊥平面PAB，BC平面PBC，平面PAB⊥平面PBC，故C正确；对于D，PA⊥平面ABC，PA平面PAC，平面ABC⊥平面PAC，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查面面垂直的判断，属于基础题.12．BCD【分析】对选项A，B，利用平面

向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC的平分线，即ADBC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,APD三点共线，设(1)BPtBAtBD=+-，01t，再根据已知得到12tt=−=，从而得到2111

1()()2228tyttlm-===--+，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：对选项A，20ABACADADADAD+−=−=，故A错误.对选项B，111()()()222DAEBFCABACBABCCACB++=−+−+−+111111222222ABACBABCCA

CB=−−−−−−1111110222222ABACABBCACBC=−−+−++=，故B正确.对选项C，||ABAB，||ACAC，||ADAD分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，由平面向量加法可知：||||ABA

CABAC+为BAC的平分线表示的向量.因为3||||||ABACADABACAD+=，所以AD为BAC的平分线，又因为AD为BC的中线，所以ADBC⊥，如图所示：BA在BC的投影为cosBDBABBABDBA=?，所以BD是BA在BC的投影

向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：因为P在AD上，即,,APD三点共线，设(1)BPtBAtBD=+-，01t.又因为12BDBC=，所以(1)2tBPtBABC-=+.因为BPBABC=+，则12tt=−=，01t.令211

11()2228tyttlm-==?--+，当12t=时，取得最大值为18.故选项D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.13．31【分析】根据随机抽样中利用随机数法获取个体编号的规律即可得解.【详解】随机

抽样中，随机数法获取个体编号在指定编号范围内，遇到大于总体编号或者重复号码舍去不要，由给定的数据，从8数起至第5个仍是8，重复，舍去，第5个编号为31，所以选中的第5个个体的编号为31.故答案为：3114．22【分析】首先设P点坐标为(),xy，分别求出

AB和AP的坐标，根据2=APAB即可得到P点的坐标，再求OP即可.【详解】设P点坐标为(),xy，()()()2,11,23,3=−=−−−=−−ABOBOA，()1,2=−−APxy.因为2=APAB，所以()()

21,23,3−−=−−xy.即223243xy−=−−=−，解得1212xy=−=，112=442=+OP.故答案为：22【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题.15．①③【分

析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案.【详解】对于①，由正弦定理sinsinabAB=，所以由sinA＞sinB，可推出ab，则AB，即①正确；对于②，取15,75AB==，则sin2si

n2AB=，而△ABC不是等腰三角形，即②错误；对于③，()()()222222coscoscos1sin1sin1sin1ABCABC+−=−+−−−=，则222sinsinsinABC+=，由正弦定理

可得222+=abc，故△ABC为直角三角形，即③正确；对于④，若△ABC为锐角三角形，取80,40AB==，此时sin80cos40sin50=，即sincosAB，故④错误.故答案为：①③.【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，

考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.16．934327【分析】画出图形，取BC的中点E，连接AE、PE，设ABC的中心为O，连接PO，由题意结合正三棱锥的几何特征可得PEBC⊥、2PE=，进而可求得

的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径，即可得解.【详解】由题意，三棱锥PABC−如图所示：取BC的中点E，连接AE、PE，由正三角形的性质可得ABC的中心O在线段AE上，且13133OEAE

CE===，连接PO，则PO即为该三棱锥的高，即3PO=，所以222PEOEPO=+=，又PBPC=，所以PEBC⊥，所以1232PBCSBCPE==△，又1332ABCSBCAE==△，所以三棱锥的表面积33332393A

BCPBCSSS=+=+=△△；所以该三棱锥的体积111333333ABCVSPO===△,当球与三棱锥PABC−内切时，体积最大，设三棱锥PABC−的内切球的半径为R，则()111393333ABCPBCVS

SRR=+==△△，解得33R=，则33max4434333327VR===.故答案为：93；4327.【点睛】本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.17．（1）3；（2）()()4,00

,−+U.【分析】(1)由给定条件求出ab，再根据向量模的计算公式即可得解；(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.【详解】（1）依题意，()()2222242363ababaababbab+−=−+−=−=−，

得1ab=，()22221423abababab−=−=+−=+−=，所以3ab−=；（2）由向量b与ab+的夹角为锐角，可得()0bab+，即有40+，解得4−，而当向量b与ab+同向时，可知0=，综上所述的取值范围为()()4,00,−+U.18

．（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）要证面面平行，只要证一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面即可得解；（2）通过转体积法由BCEFEBCFVV−−=即可得解.【详解】（1）因为ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，所以BFDE，又因为DE平面

ADE，BF平面ADE，所以BF∥平面ADE.在矩形ABCD中，BCAD∥，AD平面ADE，BC平面ADE，所以BC∥平面ADE..又BCBFB=，所以平面AED∥平面BCF.（2）因为FB⊥平面ABCD，所以FBCD⊥，在矩形ABCD中BCCD⊥，又FBBCB=，所以CD

⊥平面FBC.易证EDP平面BCF，所以点E到平面BCF的距离为CD，所以1113121332BCEFEBCFBCFVVSCD−−====.19．（1）3；（2）3.【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和公式可得3sinsinsincos3ACCA=，进而可

得tan3A=，即求.（2）由余弦定理可得4bc=，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由3cossin3baCaC−=及正弦定理可得3sinsincossinsin3BACAC−=.由sinsin()si

ncossincos=+=+BACACCA带入上式，整理得3sinsinsincos3ACCA=.因为sin0C，所以tan3A=.因为()0,A，所以角3A=.（2）∵ABC的周长为6，得4bc

+=，由2222cosabcbA=+−.可得224bcbc=+−即()234bcbc+−=.解得4bc=，∴1sin32bcB=.所以ABC的面积为3.20．（1）4；（2）平均数为68.5，40百分位数为66；（3）815.【分析】(1)由给定的频率分布直方图，求出成绩在80~90这一组

频率即可得解；(2)利用频率分布直方图求平均数及百分位数的方法计算即得；(3)先求出给定两段的学生总数，再用列举法求概率的方法求解即得.【详解】（1）依题意50~60这一组的频率为0.015100.15=，60~70这一组的频率为0.025100.2

5=，70~80这一组的频率为0.035100.35=，90~100这一组的频率为0.005100.05=，则80~90这一组的频率1(0.150.250.350.05)20.1−+++=，其频数为4；（2）这次竞赛成绩的平均数为450.1550.15650.25750.358

50.1950.0568.5+++++=，40~50这一组的频率为0.1，50~60这一组的频率为0.15，40~60的频率为0.25，60~70这一组的频率为0.25，因此40百分位数在60~70这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，所以40百分位数为()60100.15

0.2566+=；（3）记选出的2人不在同一分数段为事件E，40~50之间的人数为400.14=人，设为a，b，c，d，90~100之间有400.052=人，设为1，2，从这6人中选出2人，有(),ab，(),ac，(),ad，

(),1a，(),2a，(),bc，(),bd，(),1b，(),2b，(),cd，(),1c，(),2c，(),1d，(),2d，()1,2共15个样本点，其中事件E包括(),1a，(),2a，(),1b，(),2b，(),1c，(),2c，(),1d，(),2d，共8个

基本事件，于是得()815PE=，所以不在同一分数段的概率815.21．（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）由题意得1ACCC⊥，1ABCC⊥，从而1CC⊥平面ABC，由此证得平面11ACCA⊥平面ABC；（2）设点O到平面111ABC的距离为h，点B

1到平面11OAC的距离为d，易得1132hAA==，根据棱锥的体积公式求出11111113OABCABCVSh−=△，求出111112OACBACSS=△△，再根据等体积法求出答案．【详解】（1）证明：因为

1190ABBACC==，所以1ABBB⊥，1ACCC⊥，在三棱柱111ABCABC−中，11//BBCC，所以1ABCC⊥，又因为ABACA=，所以1CC⊥平面ABC，又因为1CC平面11ACCA，所以平面11ACCA⊥平面

ABC；（2）解：设点O到平面111ABC的距离为h，点B到平面11OAC的距离为d，因为点O为1AB的中点，所以1132hAA==，111111111232233323OABCABCVSh−===

△，因为2ACBC==，1123CCAA==，所以22114BCCCBC=+=，则1111111111242244ABAOCCSSACBC====△△，因为1111112333BOACOACVSd−==，所以3d=，

即点1B到平面11OAC的距离为3