【文档说明】吉林省长春市九台区师范高级中学2021-2022学年高二上学期期初考试数学试题 含答案.doc，共(16)页，1.353 MB，由小赞的店铺上传

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九台师范高中2021-2022学年度高二上学期期初测试高二数学试题本次考试时间110分钟满分150分一、（每小题6分，共48分）单选题（1—8小题）1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“

第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．110、110B．310、15C．15、310D．310、3102．如果复数z满足()1i2iz−=−，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三

象限D．第四象限3．已知数据12,,,nxxx的平均数为x，方差为2s，则123x+，223x+，…，23nx+的平均数和方差分别为（）A．x和2sB．23x+和24sC．23x+和2sD．23x+和24129ss++4．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数012

345概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A．0.16B．0.26C．0.56D．0.745．在OAB中，P为线段AB上的一点，OPxOAyOB=+，且2BPPA=，则A．23x=，13y=B．13x=，23y=C．14x=，34y=D．3

4x=，14y=6．下列叙述不正确的是（）A．已知a，b是空间中的两条直线，若ab=，则直线a与b平行或异面B．已知l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若l，则l或l与只有一个公共点C．已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直

线D．已知直线l与平面相交，且l垂直于平面内的无数条直线，则l⊥7．已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的23，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）A．16B．27C．36D．548．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不

等于0，且()2PAa=−，()45PBa=−，则实数a的取值范围是（）A．5,24B．53,42C．54,43D．53,42多选题（9—12小题）9．下

面是关于复数21iz=−+的四个命题，其中真命题为（）A．22iz=B．2z=C．z的虚部为-1D．z的共轭复数为1i+10．下面结论正确的是（）A．若()()1PAPB+=，则事件A与B是互为对立事件B．若()()()PABPAPB=，

则事件A与B是相互独立事件C．若事件A与B是互斥事件，则A与B也是互斥事件D．若事件A与B是相互独立事件，则A与B也是相互独立事件11．如图，AC为圆O的直径，45PCA=，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，ASPC⊥于S，ANPB⊥于N，则下列选项正确

的是（）A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PAC12．在ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．0ABA

CAD+−=B．0DAEBFC++=C．若3||||||ABACADABACAD+=，则BD是BA在BC的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足BPBABC=+，则的最大值为18二、填空题（每小题5分，共

15分）13．总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成.现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若千个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据(如下)，则选出来的第5个个体的编号为________

___.844217831574556887774477217633506314．已知O为坐标原点，向量()1,2OA=，()2,1=−−OB，若2=APAB，则=OP________.15．在△ABC中，角A，B，C所

对的边分别为a，b，c，①若sinA＞sinB，则A＞B；②若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；③若222coscoscos1ABC+−=，则△ABC为直角三角形；④若△ABC为锐角三角形，则sinA<cosB．以上

结论中正确的有____________.（填正确结论的序号）16．（此小题填对一个3分，填对两个5分。有错的0分）已知一个高为3的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为23的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有

一个体积为V的球，则V的最大值为______.三、解答题（每个大题12分，共60分，每个题按照完整的步骤累计给分）17．已知平面向量a，b满足1a=，2b=，()()223abab+−=−.（1）求ab−rr；（2）若向量b与ab+的夹角为锐角，求实数的取值范围

.18．如图，四边形ABCD是矩形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，3BC=，22DECDFB===.（1）证明：平面//AED平面BCF.（2）求三棱锥BCEF−的体积.19．设a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若3cossin3baCaC−=.（1）求

角A；（2）若2a=，ABC的周长为6，求ABC的面积.20．如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（1）求

成绩在80~90这一组的频数；（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；（3）从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率.21．如图，在三棱柱111ABCABC−中，1190ABBACCAC

B===，点O为1AB的中点，2ACBC==，123AA=．（1）证明：平面11ACCA⊥平面ABC．（2）求点1B到平面11OAC的距离．参考答案1．A【分析】根据抽样中，每个个体在每一次被抽到的概率都是相等的，由此可

得出结果.【详解】在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，故选：A．【点睛】本题考查抽样中概率的计算，属于基础题.2．A【分析】由给定复数等式求出复数z，进而求得z在复平面内对应点的坐标即

可得解.【详解】因()1i2iz−=−，则2i(2i)(1i)3i31i1i(1i)(1i)222z−−++====+−−+，于是得在复平面内，复数z对应点的坐标为31(,)22，所以z在复平面内对应的点在第一象限.故选：A3．B【分析】根据平均数和方差的性质直接求解.【

详解】因为数据12,,,nxxx的平均数为x，方差为2s，所以123x+，223x+，…，23nx+的平均数和方差分别为23x+和24s故选：B4．D【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至

少有两人排队的概率为：1(0)(1)PPXPX=−=−=10.10.16=−−0.74=．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题．5．A【分析】根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出OP，利用平

面向量基本定理求出x，y的值【详解】由题意，∵2BPPA=，∴22BOOPPOOA+=+，即32OPOBOA=+，∴2133OPOAOB=+，即2133xy==，故选A．【点睛】本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将

未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．6．D【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对各选项逐一判断作答.【详解】对于A，空间两直线没有公共点，由空间两直线位置关系的分类知，两直线平行或

是异面直线，A正确；对于B，直线与平面有公共点，由直线与平面位置关系的分类知，直线与平面有无数个公共点(直线在平面内)或仅只一个，即B正确；对于C，两个不重合平面有公共点，由平面基本性质知，它们有且只有一条经过公共点的公共直线

，即C正确；对于D，正三棱锥的侧棱垂直于底面三角形与该棱相对的边，而在底面三角形所在平面内与该边平行的直线都垂直于这条棱，正三棱锥侧棱不垂直于底面，即D不正确.故选：D7．D【分析】设圆柱的底面半径为R，高为h，则由题意得，()2

2232424RhRhRhR=++=，解方程组，再根据圆柱的体积公式求解即可．【详解】设圆柱的底面半径为R，高为h，∵圆柱的侧面积等于表面积的23，且其轴截面的周长是24，∴()22232424RhRhRhR=++=，解得36Rh==，∴圆柱的体积

为254VRh==，故选:D．【点睛】本题主要考查圆柱的表面积公式与体积公式，属于基础题．8．C【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.【详解】因随机事件A，B互斥，则()()()33PABPAPBa+=+=−，依题意及概率的性质得0()

10()10()1PAPBPAB+，即02104510331aaa−−−，解得5443a≤，所以实数a的取值范围是54,43.故选：C9．AC【分析】利用复数

的四则运算即可求解.【详解】()()()2121111iziiii−−===−−−+−+−−，所以()221i2iz=−−=，故A正确；2z=，故B错误；z的虚部为-1，故C正确；z的共轭复数为1i−+，故D错误.故选：AC

10．BD【分析】根据互斥事件、对立事件的知识判断AC两个选项的正确性，根据相互独立事件的知识判断BD两个选项的正确性.【详解】对于A选项，要使,AB为对立事件，除()()1PAPB+=还需满足()0PAB=，也即,AB不能同时发生，所以A选项错误.对于C选项

，A包含于B，所以A与B不是互斥事件，所以C选项错误.对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.故选：BD【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件，考查相互独立事

件，属于基础题.11．ACD【分析】由AN⊥平面PBC可判断A正确；因无法判断PBNS⊥可判断B错误；由BC⊥平面PAB可判断C正确；由PA⊥平面ABC可判断D正确.【详解】对于A，PA⊥平面ABC，

PA⊥BC，圆中，AC是直径，BCAB⊥，PAABA=，BC⊥平面PAB，BCAN⊥，ANPB⊥，PBBCB=，AN⊥平面PBC，AN平面ANS，平面ANS⊥平面PBC，故A正确；对于B，ANPB⊥，则要使平面ANS⊥平面PAB，则必

有PB⊥平面ANS，但无法判断PBNS⊥，故无法判断平面ANS⊥平面PAB，故B错误；对于C，由A选项知BC⊥平面PAB，BC平面PBC，平面PAB⊥平面PBC，故C正确；对于D，PA⊥平面ABC，PA平面PAC，平面AB

C⊥平面PAC，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查面面垂直的判断，属于基础题.12．BCD【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC的平分线，即ADBC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根

据,,APD三点共线，设(1)BPtBAtBD=+-，01t，再根据已知得到12tt=−=，从而得到21111()()2228tyttlm-===--+，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：对选项A，20ABACADADADAD+−=−=，故A

错误.对选项B，111()()()222DAEBFCABACBABCCACB++=−+−+−+111111222222ABACBABCCACB=−−−−−−1111110222222ABACABBCACBC=−−+−++=，故B正确.对选项C，||ABAB，||ACAC，||ADAD分

别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，由平面向量加法可知：||||ABACABAC+为BAC的平分线表示的向量.因为3||||||ABACADABACAD+=，所以AD为BAC的平分线，又因为AD为BC的中线，所

以ADBC⊥，如图所示：BA在BC的投影为cosBDBABBABDBA=?，所以BD是BA在BC的投影向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：因为P在AD上，即,,APD三点共线，设(1)BPtBAtBD=+-，01t.又因为12BDBC=，所以(1

)2tBPtBABC-=+.因为BPBABC=+，则12tt=−=，01t.令21111()2228tyttlm-==?--+，当12t=时，取得最大值为18.故选项D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本

题的关键，属于中档题.13．31【分析】根据随机抽样中利用随机数法获取个体编号的规律即可得解.【详解】随机抽样中，随机数法获取个体编号在指定编号范围内，遇到大于总体编号或者重复号码舍去不要，由给定的数据，从8数起至第5个仍是8，重复，舍去，第5个编号为31，

所以选中的第5个个体的编号为31.故答案为：3114．22【分析】首先设P点坐标为(),xy，分别求出AB和AP的坐标，根据2=APAB即可得到P点的坐标，再求OP即可.【详解】设P点坐标为(),xy，()()()2,11,23,3=−=−−−=−−ABOBOA，

()1,2=−−APxy.因为2=APAB，所以()()21,23,3−−=−−xy.即223243xy−=−−=−，解得1212xy=−=，112=442=+OP.故答案为：22【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题.15．①③

【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案.【详解】对于①，由正弦定理sinsinabAB=，所以由sinA＞sinB，可推出ab，则AB，即①正确；对于②，

取15,75AB==，则sin2sin2AB=，而△ABC不是等腰三角形，即②错误；对于③，()()()222222coscoscos1sin1sin1sin1ABCABC+−=−+−−−=，则222sinsinsinABC+=，由正弦定理可得222

+=abc，故△ABC为直角三角形，即③正确；对于④，若△ABC为锐角三角形，取80,40AB==，此时sin80cos40sin50=，即sincosAB，故④错误.故答案为：①③.【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求

解能力，属于中档题.16．934327【分析】画出图形，取BC的中点E，连接AE、PE，设ABC的中心为O，连接PO，由题意结合正三棱锥的几何特征可得PEBC⊥、2PE=，进而可求得的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即

可求得三棱锥内切球的半径，即可得解.【详解】由题意，三棱锥PABC−如图所示：取BC的中点E，连接AE、PE，由正三角形的性质可得ABC的中心O在线段AE上，且13133OEAECE===，连接PO，则PO即为该三棱锥的高，即3PO=，所以222P

EOEPO=+=，又PBPC=，所以PEBC⊥，所以1232PBCSBCPE==△，又1332ABCSBCAE==△，所以三棱锥的表面积33332393ABCPBCSSS=+=+=△△；所以该三棱锥的体积111333333ABCVSPO=

==△,当球与三棱锥PABC−内切时，体积最大，设三棱锥PABC−的内切球的半径为R，则()111393333ABCPBCVSSRR=+==△△，解得33R=，则33max4434333327VR===.故答案为：93；4327.【点睛】本题考查了正三棱锥几何

特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.17．（1）3；（2）()()4,00,−+U.【分析】(1)由给定条件求出ab，再根据向量模的计算公式即可得解；(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答

.【详解】（1）依题意，()()2222242363ababaababbab+−=−+−=−=−，得1ab=，()22221423abababab−=−=+−=+−=，所以3ab−=；（2）由向量b与ab+的夹角

为锐角，可得()0bab+，即有40+，解得4−，而当向量b与ab+同向时，可知0=，综上所述的取值范围为()()4,00,−+U.18．（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）要证面面平行，只要证一个平面内的两条相交直线分别平行

于另外一个平面即可得解；（2）通过转体积法由BCEFEBCFVV−−=即可得解.【详解】（1）因为ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，所以BFDE，又因为DE平面ADE，BF平面ADE，所以BF∥平面ADE.在矩形ABCD中，BCAD∥，AD平面ADE，BC

平面ADE，所以BC∥平面ADE..又BCBFB=，所以平面AED∥平面BCF.（2）因为FB⊥平面ABCD，所以FBCD⊥，在矩形ABCD中BCCD⊥，又FBBCB=，所以CD⊥平面FBC.易证EDP平面B

CF，所以点E到平面BCF的距离为CD，所以1113121332BCEFEBCFBCFVVSCD−−====.19．（1）3；（2）3.【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和公式可得3sinsinsincos3ACCA=，进而可得tan3A=，即求.（2）

由余弦定理可得4bc=，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由3cossin3baCaC−=及正弦定理可得3sinsincossinsin3BACAC−=.由sinsin()sincossincos=+=+BACACCA带入上式，整理得

3sinsinsincos3ACCA=.因为sin0C，所以tan3A=.因为()0,A，所以角3A=.（2）∵ABC的周长为6，得4bc+=，由2222cosabcbA=+−.可得224bcbc=+−即()234bcbc+−=.解得4bc=，∴1sin32bcB=.所以ABC的面积

为3.20．（1）4；（2）平均数为68.5，40百分位数为66；（3）815.【分析】(1)由给定的频率分布直方图，求出成绩在80~90这一组频率即可得解；(2)利用频率分布直方图求平均数及百分位数的方法计算即得；(3)先求出给定两段的学生总数，再用列举法求概率的方法求解即得.【

详解】（1）依题意50~60这一组的频率为0.015100.15=，60~70这一组的频率为0.025100.25=，70~80这一组的频率为0.035100.35=，90~100这一组的频率为0.005100.05

=，则80~90这一组的频率1(0.150.250.350.05)20.1−+++=，其频数为4；（2）这次竞赛成绩的平均数为450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5+++++=，40~50这一组的频率

为0.1，50~60这一组的频率为0.15，40~60的频率为0.25，60~70这一组的频率为0.25，因此40百分位数在60~70这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，所以40百分位数为()60100.150.

2566+=；（3）记选出的2人不在同一分数段为事件E，40~50之间的人数为400.14=人，设为a，b，c，d，90~100之间有400.052=人，设为1，2，从这6人中选出2人，有(),ab，(),ac，(),ad，(),1a，(),2a，(),bc，(),bd，(),1

b，(),2b，(),cd，(),1c，(),2c，(),1d，(),2d，()1,2共15个样本点，其中事件E包括(),1a，(),2a，(),1b，(),2b，(),1c，(),2c，(),1d，(),2d，共8个基本事件，于是得(

)815PE=，所以不在同一分数段的概率815.21．（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）由题意得1ACCC⊥，1ABCC⊥，从而1CC⊥平面ABC，由此证得平面11ACCA⊥平面ABC；（2）设点O到平面111ABC的距离为h，点B1到平面11OAC的距离为d，易得1132hAA==

，根据棱锥的体积公式求出11111113OABCABCVSh−=△，求出111112OACBACSS=△△，再根据等体积法求出答案．【详解】（1）证明：因为1190ABBACC==，所以1ABBB⊥，1ACCC⊥，在三棱柱111AB

CABC−中，11//BBCC，所以1ABCC⊥，又因为ABACA=，所以1CC⊥平面ABC，又因为1CC平面11ACCA，所以平面11ACCA⊥平面ABC；（2）解：设点O到平面111ABC的距离为h，点B到平面11OAC的距离为d，因为点O为1AB的中点，所以1132hAA==，1111

11111232233323OABCABCVSh−===△，因为2ACBC==，1123CCAA==，所以22114BCCCBC=+=，则1111111111242244ABAOCCSSACBC====△△，因为111111

2333BOACOACVSd−==，所以3d=，即点1B到平面11OAC的距离为3