【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题9.5 统计图的相关计算大题专项训练（30道） Word版含解析.docx，共(34)页，1.518 MB，由小赞的店铺上传

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专题9.5统计图的相关运算大题专项训练（30道）【人教A版必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022·北京·统考模拟预测）某校高三共有500名学生，

为了了解学生的体能情况，采用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生进行体能测试，整理他们的成绩得到如下频率分布直方图：(1)估算：若进行高三学生全员测试，测试成绩低于50的人数；(2)已知从样本中的男同学中随机抽取1人，该同学成绩不低于70的概率为

12；从样本中成绩不低于70的学生中随机抽取1人，该学生为男生的概率也为12．试估计该校高三学生中男同学和女同学人数的比例．【解题思路】（1）从频率分布直方图中可求成绩不低于50的频率0.9，进而可求成绩低于50的频率0.1，再用500×0.1=50即可求解；（2）先求样本中成绩不低于70的人数，

再求样本中成绩不低于70的男同学人数，进而可求样本中男同学人数，易得女同学的人数，即可得出比例.【解答过程】（1）依题意，样本中成绩不低于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，所以成绩低于50的频率为0.1，所以估计总体中成绩低于50的人数为500×

0.1=50（人）．（2）样本中成绩不低于70的频率为(0.04+0.02)×10=0.6，所以样本中成绩不低于70的人数为0.6×100=60（人）．因为从样本中成绩不低于70的学生中随机抽取1人，该学生为男生的概率为12，所以样本中成绩不低于70的男同学有30人，又因为从样本

中的男同学中随机抽取1人，该同学成绩不低于70的概率为12，所以样本中有男同学60人，进而有女同学40人，所以估计总体中男同学和女同学人数的比例为3:2．2．（2023秋·四川遂宁·高二期末）某次人才招聘活动中，某公司计划招收600名新员工

.由于报名者共2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取.现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如图:已知图中左边四个小长方形的高度自左向右依次构成公比为2的等比数列

.根据频率分布直方图解答以下问题:(1)求m；(2)估计此次笔试的平均成绩.【解题思路】（1）根据频率和为1计算得到答案.（2）根据平均数的公式计算得到答案.【解答过程】（1）根据频率分布直方图各小长方形面积之和为1，(18+14+12+1)×10𝑚+0.2+0.15+0.

05=1，解得𝑚=0.032.（2）由频率分布直方图，得样本数据的平均值可估计为35×0.04+45×0.08+55×0.16+65×0.32+75×0.20+85×0.15+95×0.05=67.1，此次笔试的平均成绩可估计为67.1分.3．（

2023·高一课时练习）重庆因夏长酷热多伏旱而得名“火炉”，八月是重庆最热、用电量最高的月份．下图是沙坪坝区居民八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：[180,200)，[200,22

0)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]．(1)求直方图中的x；(2)在用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在

[240,260)的用户应抽取多少户？【解题思路】（1）根据频率之和为1求得𝑥.（2）根据分层抽样的知识求得正确答案.【解答过程】（1）依题意，(0.002+0.0095+0.011+0.0125+𝑥+0.005+0.00

25)×20=1，解得𝑥=0.0075.（2）用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]的四组用户频率的比为：0.0125:0.0075:0.005:0.0025=5:3:2:1，所以，用分层抽样

的方法抽取11户居民，则用电量在[240,260)的用户应抽取11×55+3+2+1=5户.4．（2023·甘肃武威·统考一模）为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有500名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为[60，70)，

[70，80)，[80，90)，[90，100]，并画出如图所示的频率分布直方图.(1)估计所有参赛学生的平均成绩(各组的数据以该组区间的中间值作代表)；(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表

彰的学生的最低分数线.【解题思路】(1)利用频率分布直方图频率和为1计算𝑚=0.02，再计算平均数；(2)获得表彰的学生人数的频率为50500=0.1，进而可得最低分数线在(90,100)内，再进行求解.【解答过程】（1

）由10×(0.01+0.03+𝑚+2𝑚)=1，得𝑚=0.02.这100名参赛学生的平均成绩约为0.01×10×65+0.03×10×75+0.04×10×85+0.02×10×95=82分，故估计所有参赛学生的平均成绩为82分.（2）获得表彰的学生人数的频率为50

500=0.1，设获得表彰的学生的最低分数线为𝑥，由分数在区间[90，100]的频率为10×0.02=0.2，可知𝑥∈(90,100)，由(100−𝑥)×0.02=0.1，得𝑥=95，故估计获得表彰的学生的最

低分数线为95分.5．（2023秋·江西上饶·高一期末）从某中学随机抽样1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0,2]，

(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14].(1)求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率.【解题思路】（1）

利用频率分布直方图平均数的求法求解即可；（2）结合（1）中结论，求得(8,10]，(10,12]，(12,14]频率之和即可得解n.【解答过程】（1）依题意，结合频率分布直方图，该周课外阅读时间在(8,10]的频率为：1−2×(0.025

+0.050+0.075+0.150+0.075+0.025)=0.2，所以该样本数据的平均数为2×(0.025×1+0.050×3+0.075×5+0.150×7+0.075×11+0.025×13)

+0.2×9=7.3.（2）阅读时间超过8小时的概率为0.2+2×(0.075+0.025)=0.4，所以估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率为0.4.6．（2022秋·广西·高二学业考试）某中学组织学生到某电池厂开展研学实践活动，该厂主要生产型号为2号的干电池．为了解2号干

电池的使用寿命，在厂技术员的指导下，学生从某批次2号干电池中随机抽取50节进行测试，得到每一节电池的使用寿命（单位：h）数据，绘制成如下的统计表．请根据表中提供的信息解答下列问题．使用寿命分组/h频数频率[5,10)𝑎0.08[10,15)140.28[

15,20)200.40[20,25)𝑏𝑐[25,30]40.08(1)求表中𝑎，𝑏，𝑐的值，并将如下频率分布直方图补充完整；(2)试估计该批次2号干电池的平均使用寿命．【解题思路】（1）根据：样本容量×频率=频数，结合频率和为1计算得到𝑎，𝑏，

𝑐的值，并根据频率分布表画出频率分布直方图；（2）由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，即可求出平均寿命．【解答过程】（1）𝑎=50×0.08=4，𝑐=1−(0.08+0.28+0.4+0.08)=0.16，𝑏=50×0.16=8

，所以区间[20,25)对应的频率/组距为0.165=0.032，频率分布直方图如图所示：.（2）根据频率分布直方图，计算平均寿命为：7.5×0.016×5+12.5×0.056×5+17.5×0.08×5+22.5×0.032×5+27.5×0.0

16×5=16.9，所以该批次2号干电池的平均使用寿命为16.9h．7．（2022秋·湖南永州·高二期中）心绞痛是冠状动脉供血不足，心肌急剧地暂时缺血与缺氧所引起的以发作性胸痛或胸部不适为主要表现的临床综合征．在某地随机调查10位心绞痛患者第一次出现症状的年龄，得到如图所示的样本数据频

率分布直方图．(1)求直方图中𝑎的值；(2)估计这组数据的平均数；（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可得出𝑎的值；（2）根据频率分布直方图中的数据，

列出式子，计算即可得出答案.【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，0.005×10+0.015×10+0.020×10+𝑎×10+0.015×10+0.010×10+0.005×10=1，所以𝑎=0.030.（2）由频率分布直方图可知，这组数据的平

均数为25×0.05+35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.1+85×0.05=53.5.8．（2022秋·云南楚雄·高二阶段练习）镇海中学为了学生的身心建康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门

需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数=认可程度平均分100）不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60），[

60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值和中位数（保留2位小数）；(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求

应选取评分在[60，70）的学生人数；(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.【解题思路】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可求得𝑥，在频率分布直方图中

频率0.5对应的数为中位数；（2）由低于80分的学生中三组学生的人数比例进行计算；（3）由频率分布直方图求出平均值后与认可系数比较可得．【解答过程】（1）由图可知：𝑥+0.015+0.02+0.03+0.025=110,∴𝑥=0.01，中位数：80+0.5−(0.1+0.15+0.2)0.3

×10=80+53=2453≈81.67；（2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.2=2:3:4，则应选取评分在[60,70)的学生人数为：30×32+3+4=10（人）（3）由图可知，认可程度平均分为：55×0.1+65×0.15+7

5×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85，∴“美食"工作需要进一步整改.9．（2023秋·四川凉山·高二期末）西昌邛海湿地马拉松比赛是四川省内最专业的国际马拉松赛事，42.195公里，每一步都来之不易，每一个向前奔跑的脚步，汇聚成永不停歇的力量，点亮这座城

市的精彩．为积极参与马拉松比赛，某校决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50,60)、[60,7

0)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．(1)求图中𝑎的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的中位数（结果精确到0.01）；(3)根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学

生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？【解题思路】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得实数𝑎的值；（2）设中位数为𝑚，根据中位数的定义可得出关于𝑚的等式，解之即可；（3）样本中80分钟之频率，乘以3000可得结果.【解答过程】（1）解：由频率分

布直方图中所有矩形的面积之和为1可得2𝑎×10+(0.04+0.03+0.02)×10=1，解得𝑎=0.005.（2）解：前两个矩形的面积之和为(0.005+0.04)×10=0.45<0.5，前三个矩形的面积之和为(0.005+0.04+0.03)×10=0.

75>0.5，所以，中位数𝑚∈(70,80)，所以，0.45+(𝑥−70)×0.03=0.5，解得𝑚≈71.67.（3）解：样本中80分钟之前频率为(0.005+0.04+0.03)×10=0.75，因此，估计该校3000名

学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数为3000×0.75=2250.10．（2023·福建泉州·高三阶段练习）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人

消费能力情况，对该地年龄在[60,80)的老年人的年收入按年龄[60,70)，[70,80)分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)的老年人500人．年龄在[70,80)的老年人300人．现作出年龄

在[60,70)的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数；(2)已知年龄在[60,70)的老年人年收入的方差为3，年龄在[70,80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄

在[60,80)的老年人年收入的方差．【解题思路】（1）根据频率分布直方图的数据和频率平均数法的公式：𝑥̅=∑𝑥𝑖𝑝𝑖𝑛𝑖=1，求得平均数；再先计算出第95百分位数位于[7.5,8.5)内，列出式子即可

求解；（2）设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为𝑥̅，方差记为𝑠𝑥2；年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为𝑦̅，方差记为𝑠𝑦2；年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为𝑧̅，方差记为𝑠2，根据样本中不同层的

方差公式得到𝑠2=1800×{500×[𝑠𝑥2+(𝑥̅−𝑧̅)2]+300×[𝑠𝑦2+(𝑦̅−𝑧̅)2]}，即可求解.【解答过程】（1）频率分布直方图中，该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数约为：0.04×

2+0.08×3+0.18×4+0.26×5+0.20×6+0.15×7+0.05×8+0.04×9=5.35，由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为1−0.04×1=0.96，年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1−(0.05×1+0.04×1)=0.91

，因此，第95百分位数一定位于[7.5,8.5)内，由7.5+1×0.95−0.910.05=8.3，可以估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的第95百分位数为8.3.（2）设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为𝑥̅，方差记

为𝑠𝑥2；年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为𝑦̅，方差记为𝑠𝑦2；年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为𝑧̅，方差记为𝑠2.由（1）得𝑥̅=5.35，由题意得，𝑠𝑥2=3，𝑦̅=

3.75，𝑠𝑦2=1.4，则𝑧̅=500500+300×𝑥̅+300500+300×𝑦̅=4.75，由𝑠2=1800×{500×[𝑠𝑥2+(𝑥̅−𝑧̅)2]+300×[𝑠𝑦2+(𝑦̅−𝑧̅)2]}

，可得𝑠2=1800×{500×[3+(5.35−4.75)2]+300×[1.4+(3.75−4.75)2]}=3，即估计该地年龄在[60,80)的老年人的年收入方差为3.11．（2022秋·云南玉溪·高二期末）2022年，某市教育体育局为了解九年级语文学科教育教学质量，随机抽取100名学生参

加某项测试，得到如图所示的测试得分（单位：分）频率分布直方图.(1)根据测试得分频率分布直方图，求𝑎的值；(2)根据测试得分频率分布直方图估计九年级语文平均分；(3)猜测平均数和中位数（不必计算）的大小存在什么关系？简要说明理

由.【解题思路】（1）由频率之和等于1，得出𝑎的值；（2）由频率分布直方图求平均数的方法求解；（3）观察频率分布直方图数据的分布，得出平均数和中位数的大小关系.【解答过程】（1）解：(0.003+0.005

+𝑎+0.015+0.02)×20=1解得𝑎=0.007（2）语文平均分的近似值为(0.003×30+0.005×50+0.015×70+0.02×90+0.007×110)×20=79.2，所以，语文平均分的近似值为79.2.

（3）中位数大于平均数.因为和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边.12．（2022秋·湖北宜昌·高二阶段练习）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数𝑥和样本方差𝑠

2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)产品质量指标值在185与215之间的每个盈利200元，在175与185或215与225之间的每个亏损50元，其余的每个亏损300元.该企业共生产这种产品10000个，估计这批产品可获利或亏损多少元？【解题思路】（1）根据

频率分布直方图，结合平均数和方差公式，即可求解；（2）根据频率，可计算获利或亏损.【解答过程】（1）样本平均数𝑥̅=(170×0.002+180×0.009+190×0.022+200×0.033+210×0.024+220×0.008+230×0.002)×10

=200𝑠2=(170−200)2×0.002×10+(180−200)2×0.009×10+(190−200)2×0.022×10+(200−200)2×0.033×10+(210−200)2×0.024×10+(220−200)2×0.008

×10+(230−200)2×0.002×10=150（2）由频率分布直方图可知，质量指标值在[185,215)的频率为(0.022+0.033+0.024)×10=0.79，质量指标值在[175,185)和[215,22

5)的频率为(0.009+0.008)×10=0.17，质量指标值在[165,175)和[225,235]的频率为0.002×2×10=0.04，所以10000件产品的获利情况是(200×0.79−50×0.17−300×0.04)×10000=1375000元.13．（202

2秋·贵州遵义·高一期末）某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100

]分成5组，制成如下频率分布直方图：(1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数；(2)求频率分布直方图中a的值；(3)估计当天游客满意度分值的75%分位数．【解题思路】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；（2）利用频率之和为1列出方程，求出𝑎

的值；（3）利用百分位数的定义进行求解.【解答过程】（1）老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为625:500:125=5:4:1，故抽取100人，样本中老年人数为100×55+4+

1=50人，中青年人数为100×45+4+1=40人，少年人数为100×15+4+1=10人；（2）(0.010+0.025+0.035+𝑎+0.010)×10=1，解得：𝑎=0.020；（3）设当天游客满意度分值的75%分位数为𝑥，因为(0.010+0.025+0.035)×10=0.

7<0.75，(0.010+0.025+0.035+0.020)×10=0.9>0.75，所以𝑥位于区间[80,90)内，则(𝑥−80)×0.020=0.75−0.7，解得：𝑥=82.5，所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5.14．（2023·全国·高一专题练习）某知识竞赛

组委会随机抽取200名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.组号分组频数频率第1组[160,165)100.050第2组[165,170)70a第3组[170,175)bc第4组[175,180)400.200第5组[180,1

85]d0.100合计2001.00(1)求出实数a，b，c，d的值，再画出这200名学生的笔试成绩的频率分布直方图；(2)为了解阅读时间对得分的影响程度，组委会决定在笔试成绩高的第3､4､5组中用分层抽样的方法抽取12名学生进行调查，求第3､4､5组每组

各抽取多少名学生.【解题思路】（1）根据频数和为200，频率和为1计算得到答案，再画图即可.（2）直接利用分层抽样的比例关系计算得到答案.【解答过程】（1）𝑎=70200=0.350，𝑑=200×0.100=20，𝑏=200−10−70−40−20=60，𝑐=60200=

0.300.频率分布直方图如图所示：（2）第3组抽取12×6060+40+20=6；第4组抽取12×4060+40+20=4；第5组抽取12×2060+40+20=2.所以第3､4､5组每组各抽取6名，4名，2名学生.15．（2023·全国·高一专题练习）某公司为了解所开发

APP使用情况，随机调查了100名用户.根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），...，[90，100].(1)求频率分布直方图中𝑎的值；(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，8

0），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？(3)用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分.【解题思路】（1）根据题意，由频率值和等于1，可求频率分布直方图中𝑎的值；（2）由频率分布直方图可知评分在[40,60),[60,80),[8

0,100]内的顾客人数之比，进而求出评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人；（3）根据频率分布直方图中的数据，利用平均数的求法公式即可求出结果.【解答过程】（1）由(0.004+𝑎+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1，解得𝑎=0.006（2）由

频率分布直方图可知，评分在[40,60),[60,80),[80,100]内的顾客人数之比为：(0.004+0.006):(0.022+0.028):(0.022+0.018)=1:5:4，所以评分在[40,60)内的顾

客应抽取20×11+5+4=2（人）（3）用户对该APP评分的平均分为：𝑥̅=(45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018)×10=76.2.16．（2023·全国·高二专题练习）为了让学生更多地了解冬奥知识，石家庄某中学

举行了一次“冬奥知识竞赛”，共有900名考生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率[50,60)40.08[60,70)

0.16[70,80)10[80,90)160.32[90,100]合计50(1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）.(2)补全频率分布直方图.(3)若成绩在[70,90)内的学生获得二等奖，请估计该

校获得二等奖的学生为多少人？【解题思路】（1）在频率分布表中，各组的频数=频率×样本容量，再根据频率的和等于1建立等式解之即可；（2）根据频率分布表补全频数分布直方图；（3）首先求出样本中成绩在[70,90)内的频率，结合共有900名学生参加了这次竞赛可得答案.【解答过程】（

1）解：由已知样本容量为50，故第二组的频数为0.16×50=8，第三组的频率为1050=0.20，第四组的频数为：50−(4+8+10+16)=12，频率为：1250=0.24，故频率分布表为：分组频数频率[50,60)

40.08[60,70)80.16[70,80)100.20[80,90)160.32[90,100]120.24合计501（2）解：频率分布直方图如下所示：（3）解：样本中成绩在[70,90)的频率为0.2+0.32=0.52，所以估计该校获得二等

奖的学生为900×0.52=468人.17．（2022秋·广东湛江·高二期中）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其

中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与

方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.【解题思路】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，进而设第四组、第五组的宣传使

者的年龄的平均数分别为𝑥4，𝑥5，方差分别为𝑠42，𝑠52，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为𝑧，方差为𝑠2，进而根据方差公式，代入计算即可得答案.【解答过程】(1)设这20人的平均年龄为𝑥，则𝑥=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+3

7.5×0.2+42.5×0.1=32.25.设第80百分位数为𝑎，由5×0.02+(40−𝑎)×0.04=0.2，解得𝑎=37.5.(2)由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取2

0人，第四组和第五组分别抽取4人和2人，设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为𝑥4，𝑥5，方差分别为𝑠42，𝑠52，则𝑥4=37，𝑥5=43，𝑠42=52，𝑠52=1，设第四组和第五组所

有宣传使者的年龄平均数为𝑧，方差为𝑠2.则𝑧=4𝑥4+2𝑥56=39，𝑠2=16{4×[𝑠42+(𝑥4−𝑧)2]+2×[𝑠52+(𝑥5−𝑧)2]}=10，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可

估计这𝑚人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.18．（2023秋·四川南充·高二期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了促使居民节约用水，决定在该市实行阶梯水价，为合理确定出阶梯水价的用水量标准，从该市随机调查了100户居民，

获取了他们去年的月人均用水量（单位：吨），并列出了月人均用水量的频数分布表（家庭人均用水量=家中月用水总量庭常住人口数）．月人均用水量[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)[3

.5,4)[4,4.5]频数461418𝑎16873(1)求出𝑎的值，并补全频率分布直方图；(2)市政府举行听证会后，决定实施阶梯水价：家庭人均月用水量不超过𝑏吨的部分，水价为3元/吨；超过𝑏吨但不超过3.5吨的

部分，水价为5元/吨；超过3.5吨的部分，水价为8元/吨．结合听证会上市政府的决定，为确保超过60%但不超过70%的居民只用3元/吨的水费，求𝑏的标准值（𝑏取0.5的整数倍）．(3)按照（2）中的方案，请你写

出常住人口为𝑛的家庭月用水量为𝑥吨时，应缴水费𝑓(𝑥,𝑛)的表达式．【解题思路】（1）根据样本容量及频数分布表可得𝑎=24，根据频率分布直方图的画法结合频数分布表即得；（2）根据频率分布直方图结合条件可列出关于𝑏的不等式组，进而即得；（3）根据阶梯水

价按家庭人均月用水量分类讨论结合条件即可得分段函数𝑓(𝑥,𝑛)的表达式.【解答过程】（1）由题意可知𝑎=100−(4+6+14+18+16+8+7+3)=24，用水量在[1.5,2)的频率为0.18；用水量在

[2,2.5)的频率为0.24；用水量在[2.5,3)的频率为0.16．故补全频率分布直方图如下：（2）由频数分布表易知：前4组频率之和为0.04+0.06+0.14+0.18=0.42<0.6；前5组频率之和为0.04+0.06+0.14+0.18+0.24=0.66；前6组频率之和为0.

04+0.06+0.14+0.18+0.24+0.16=0.82>0.7；所以为确保超过60%但不超过70%的居民只用3元/吨的水，需{0.48(𝑏−2)>0.6−0.420.32(𝑏−2.5)≤0.7−0.66解得

：198<𝑏≤218，即2.375<𝑏≤2.625，又∵𝑏为0.5的整数倍，∴𝑏=2.5；（3）常住人口为𝑛的家庭月用水量为𝑥吨时，其家庭人均月用水量为𝑥𝑛，所以当𝑥𝑛≤2.5时，𝑓(𝑥,𝑛

)=3𝑥；当2.5<𝑥𝑛≤3.5时，𝑓(𝑥,𝑛)=3×2.5𝑛+(𝑥−2.5𝑛)×5=5𝑥−5𝑛；当𝑥𝑛>3.5时，𝑓(𝑥,𝑛)=3×2.5𝑛+5×𝑛+(𝑥−3.5𝑛)×8=8𝑥−15.5𝑛；总数

所述：𝑓(𝑥,𝑛)={3𝑥,(0≤𝑥𝑛≤2.5)5𝑥−5𝑛,(2.5<𝑥𝑛≤3.5)8𝑥−15.5𝑛,(𝑥𝑛>3.5).19．（2023·全国·高一专题练习）某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照[120,140)

,[140,160),[160,180),[180,200]进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.(1)估计这批苹果的重量的平均数；(2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市，

据市场行情，有两种销售方案；方案一：所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费.分别估计并比较两种方案下果园销售1

0000个苹果的收入.【解题思路】（1）根据频率之和为1列出方程，求出𝑎=0.01，进而求出平均数；（2）计算出两种方案的销售收入，比较后得到结论.【解答过程】（1）由题意，得(0.016+0.015+𝑎+0.00

9)×20=1，解得𝑎=0.01，50个苹果重量的平均数为𝑥=0.2×130+0.3×150+0.32×170+0.18×190=159.6，故估计这批苹果的重量的平均数约为159.6克；（2）若采用方案一，估计销售收入约为159.6×10

000×2.51000=3990（元）若采用方案二，重量小于160克的苹果的总重量约为(10000×0.2×130+10000×0.3×150)×11000=710（千克），重量不小于160克的苹果的总重量约为(

10000×0.32×170+10000×0.18×190)×11000=886（千克）,估计销售收入约为710×2+886×3−50=4028（元）,因为3990<4028，因此，方案二的销售收入更高.20．（2022·高一课时练习

）某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元

，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某

实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的80%，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续2

0天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？【解题思路】（1）先利用不等式性质求得要使得日销售总利润高于9500元时日销售衬衫的件数的取值范围，然后根据频数分布图计算对应的天数，从而求得响应频率；.（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销

售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.分别就选择批发2小箱时和2大箱时各种情况下的日利润列举计算，并求得相应的总利润，进行比较大小即可做出判断.【解答过程】解：（1）因为试销期间每件衬衫的利润为26

0−200=60元，所以要使得日销售总利润高于9500元，则日销售衬衫的件数大于950060≈158.3，故所求频率为7+420=0.55.（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160

件.若选择批发2小箱，则批发成本为60×2×165=19800元，当日销售量为48件时，当日利润为48×360+0.8×(120−48)×165−19800=6984元；当日销售量为80件时，当日利润为48×360+0.8

×(120−80)×165−19800=14280；当日销量为128件或160件时，当日利润为120×360−19800=23400元.所以这20天销售这款衬衫的总利润为6984×3+14280×6+23400

×11=364032元.若选择批发2大箱，则批发成本为70×2×160=22400元，当日销售量为48件时，当日利润为48×360+0.8×(140−48)×160−22400=6656元；当日销售量

为80件时，当日利润为80×360+0.8×(140−80)×160−22400=14080元；当日销量为128件时，当日利润为128×360+0.8×(140−128)×160−22400=25216元.当日销售量为160件时，当日利润为140×360−22400=28000元.所以这20天销售

这款衬衫的总利润为6656×3+14080×6+25216×7+28000×4=392960元.因为392960>364032，所以该实体店应该每天批发2大箱衬衫.21．（2023秋·海南儋州·高二期

末）某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了200名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)，解答下列问题：分组频数频

率一组5≤t<15200.10二组15≤t<25ba三组25≤t<35c0.50四组35≤t≤45600.30合计2001.00(1)（直接填空）这次抽样的样本容量是？(2)分别求出表中缺失的数据a，b，c；并

将频率分布直方图补充完整；(3)用每一组的两个端点的平均值来代替这一组的数据，求这个车站每位旅客购票平均所用的时间.【解题思路】（1）根据已知条件求得样本容量；（2）根据频率、频数求得𝑎,𝑏,𝑐，根据频率分布直方图的知识补全频率分布直方图；（3

）根据由频率分布直方图求平均数的方法求得平均数.【解答过程】（1）依题意可知样本容量是200.（2）𝑎=1−0.3−0.5−0.1=0.1，𝑏=200×0.1=20,𝑐=200×0.5=100，第一组和第二组的频率相同，由此补全频

率分布直方图如下图所示：（3）每位旅客购票平均所用的时间为10×0.1+20×0.1+30×0.5+40×0.3=30分钟.22．（2022春·湖北十堰·高一阶段练习）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩

都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x的值；(2)估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数；(3)估计全校学生的平均成绩.【解题思路】（1）由频率之和为1，即可求得𝑥；（2）由百分位数的

定义即可求得样本数据的80%分位数；（3）由频率分布直方图即可求得平均数；【解答过程】（1）由(0.005+0.01+0.015+𝑥+0.04)×10=1，得𝑥=0.03；（2）低于90分的频率为1−0.4=0.6

，设样本数据的80%分位数约为𝑛分，则𝑛−90100−90=0.20.4，解得𝑛=95，（3）平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84.23．（2022春·山东聊城·高一阶段练

习）共享单车入驻某城区5年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此5周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放10000份调查

问卷，回收到有效问卷6300份，现从中随机抽取160份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表（一）使用者年龄段25岁以下26岁～35

岁36岁～45岁45岁以上人数40802020表（二）使用频率0～6次/月7～14次/月15～22次/月23～31次/月人数10204010表（三）满意度非常满意（10）满意（9）一般（8）不满意（7）人数302

02010(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口80万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数.【解题思路】（1）依据表格完成三个统计图形即可；（2）由表（一）年龄在26岁～3

5岁之间的人数占总抽取人数的比估算80万人口中年龄在26岁～35岁之间的人数即可；由表（二）年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的人数占总抽取人数的比来估算年龄在26岁～35岁之间的40万人中每月使用共享单车在7～14

次之间的人数可得答案.【解答过程】（1）（2）由表（一）可知年龄在26岁～35岁之间的有80人，占总抽取人数的12，所以80万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有80×12=40（万人）．由表（二）可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有20人，占总抽取人数的1

2，所以年龄在26岁～35岁之间的40万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有40×14=10（万人）.24．（2022秋·浙江杭州·高二期中）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160,1

80),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如下图：(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的中位数；(3)在月平均用电量为[220,240),[240,26

0),[260,280),[280,300)的四组居民中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则在月平均用电量为[220,240)的居民中应抽取多少户？【解题思路】对于（1），由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案；对于（2），在频率

分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积相等，据此可得答案;对于（3），利用频率估计月平均用电量为[220,240)的居民在四组中所占比例，即可得答案.【解答过程】（1）因直方图中，各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1，则(0.002+

0.0025+0.005+𝑥+0.0095+0.011+0.0125)×20=1，得𝑥=0.0075.（2）因前3个矩形面积之和为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5.前4个矩形面积之和

为(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.5.则中位数在[220,240)内，设为𝑦，则(𝑦−220)×0.0125=0.5−0.45，得𝑦=224.即中位数为224.（3）月平均用电量为[220,

240)的居民对应的频率为：0.0125×20=0.25.又由（2）分析可知，月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组居民对应频率之和为：1−0.45=0.55.则应抽取居民的户数为：11×0

.250.55=5.25．（2022秋·北京·高一阶段练习）研究表明，在中学阶段阅读的书籍往往能够对学生产生更深刻的影响.因此，提高中学生的课外阅读能力也成为我们在中学教学中极为重要的活动.某校学生共2000人，为了解该校学生的

课外阅读情况，随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1[0,2)62[2,4)83[4,6)164[6,8)235[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16

)29[16,18)2合计100(1)求频率分布直方图中的a，b的值：(2)根据频率分布直方图，估计样本的众数和中位数：(3)为鼓励学生们开展课外阅读，学校决定根据一周课外阅读时间的长短设一、二、三等奖，并为每位同学购买书籍作为奖励，如下表：阅读时间（单位：小时）[0

，6）[6，12）[12，18）奖项三等奖二等奖一等奖奖品（单位：本）123用样本估计总体，学校需购置多少本书籍？【解题思路】（1）直接计算即可.（2）前3组的频率和为0.3，前4组的频率和为0.53，根据公式计算得到答案.（3）分别计算各个级

别的概率，再计算得到答案.【解答过程】（1）𝑎=16100÷2=0.08，𝑏=25100÷2=0.125.（2）样本的众数为：8+102=9；前3组的频率和为：0.06+0.08+0.16=0.3，前4组的频率和为：0.06+0.08+0.16+0.23=0.53样本的中位数为

：0.5−0.30.23×2+6=17823.（3）三等奖的概率为：6+8+16100=0.3；二等奖的概率为：23+25+12100=0.6；一等奖的概率为：6+2+2100=0.1；故需要准备的书共：2000×0.3×1+2000×0.

6×2+2000×0.1×3=3600.26．（2022秋·陕西榆林·高三阶段练习）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的月均用电量都在50kW⋅h至350kW⋅h之间，进行适当分组后，画出的频率

分布直方图如图所示.(1)求图中a的值；(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质

量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：kW⋅h）.【解题思路】（1）根据频率之和为1可求出𝑎；（2）从最低频率开始找出一个最接近85%的直方图右端点，然后对下一个直方图中找出大致的85%所对

应的数值即可.【解答过程】（1）由频率分布直方图的性质，可得(0.0024+0.0036+𝑎+0.0044+0.0024+0.0012)×50=1，解得𝑎=0.006.（2）∵前四组的频率之和为(0.0024+0.0036+0

.006+0.0044)×50=0.82<0.85，前五组的频率之和为(0.0024+0.0036+0.006+0.0044+0.0024)×50=0.94>0.85，∴频率为0.85时对应的数据在第五组，∴第一档月均用电量的最低标准值为250

+0.85−0.820.94−0.82×50=262.5kW⋅h.27．（2022·云南玉溪·模拟预测）全民健身，强国有我，某企业为增强广大职工的身体素质和健康水平，组织全体职工开启了“学习强国”平台的强国运动项目，为了解他们的具体运动情况，企业工会从

该企业全体职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：(1)求直方图中a的值；(2)估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(3)若该企业恰好有15的职工的日均运动步数达到了企业制定的优秀强国运动者

达标线，试估计该企业制定的优秀强国运动者达标线是多少？【解题思路】（1）由频率和为1列式求解，（2）（3）由频率分布直方图数据求解，【解答过程】（1）由频率分布直方图得2(𝑎+0.1+5𝑎+0.1

2+𝑎)=1，解得𝑎=0.04．（2）设平均数为𝑥̅，则𝑥̅=5×2×0.04+7×2×0.1+9×2×5×0.04+11×2×0.12+13×2×0.04=9.08．所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．（3）

日均运动步数在[4,10]的频率为0.68，日均运动步数在[4,12]的频率为0.92，则80%位数在[10,12]内，为10+2×0.8−0.680.92−0.68=11，该企业制定的优秀强国运动者达标线是11千步.28．（2022秋·黑龙江佳木斯·高二开学考试）某大学艺术专业400名学生参加

某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，⋯，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知样本中分数在[40,50)的学生有5人，试估

计总体中分数小于40的人数；(2)试估计测评成绩的第三四分位数；(3)已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差.【解题思路】（1）（2）由频率分布直方图数据求解，（3）由平均数与方差的

计算公式求解，【解答过程】（1）由频率分布直方图知，分数在[50,90)的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50,90)的人数为100×0.9=90（人），在样本中分数在[40,90)的人数为95人，所以估计总体中分数在[40,90

)的人数为400×0.95=380（人），总体中分数小于40的人数为20人（2）测试成绩从低到高排序，样本中分数在[40,70)的频率为0.4，样本中分数在[40,80)的频率为0.8，则75%分位数在[70,80)之间，所以估计测评成绩的

75%分位数为70+10×0.75−0.40.8−0.4=70+8.75=78.75.（3）总样本的均值为34×70+14×80=72.5，所以总样本的方差为𝑠总⬚2=34[10+(72.5−70)2]+14[12+(72.5−80)2]=1

174.29．（2022·上海·高二专题练习）某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数𝑥𝑖(𝑖=1,2,3,⋯,200)全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：[45，55)，[55，65)，…，

[85，95]，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求𝑚的值，并估计此次校内测试分数的平均值𝑥̅；(2)试估计这200名学生的分数𝑥𝑖(𝑖=1,2,3,⋯,200)的方差𝑠2，并判断此次得分为52分和94分的两名

同学的成绩是否进入到了[𝑥̅−2𝑠,𝑥̅+2𝑠]范围内？（参考公式：𝑠2=1𝑛∑𝑓𝑖𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥̅)2，其中𝑓𝑖为各组频数；参考数据：√129≈11.4)【解题思路】（1）由各组的频率和为1，可求出𝑚的

值，再根据平均数的定义可求出𝑥̅；（2）利用方差公式求出方差𝑠2，然后计算出[𝑥̅−2𝑠,𝑥̅+2𝑠]，再判断即可.【解答过程】（1）∵(0.006+0.014+𝑚+0.036+0.020)×10=1．∴𝑚=0.024.∴该次校内考试测试分数的平均数的估

计值为：50×0.06+60×0.14+70×0.24+80×0.36+90×0.2=75分.（2）∵𝑠2=1𝑛∑𝑓𝑖𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥̅)2=0.06×(50−75)2+0.14×(60

−75)2+0.24×(70−75)2+0.36×(80−75)2+0.2×(90−75)2=129．∴𝑠=√129≈11.4，∴𝑥̅−2𝑠=52.2,𝑥̅+2𝑠=97.8．∴得分为52分的同学的成绩没有进

入到[52.2，97.8]内，得分为94分的同学的成绩进入到了[52.2，97.8]内．30．（2023·全国·高二专题练习）某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一第一学期期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩的分组区

间为：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中𝑎的值；(2)利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分（同一分组的成绩用该组区间的中点值做代表）；(3)若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用

样本估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线.【解题思路】（1）由频率分布直方图的所有长方形的面积之和等于1，即可求出答案；（2）由频率分布直方图的平均数的求法，即可求出答案；（3）由频率分布直方图可知，区间[90,100]占5%，区

间[80,90)占20%，估计“优秀”档次的分数线在[80,90]之间，由此即可求出答案.【解答过程】（1）由题意得，(2𝑎+0.02+0.03+0.04)×10=1，解得：𝑎=0.005；（2）估计该校此次期中考试平均分为55×0.05+65×0.4+75

×0.3+85×0.2+95×0.05=73；（3）由频率分布直方图可知，区间[90,100]占5%，区间[80,90)占20%，估计“优秀”档次的分数线为：80+10×0.050.2=82.5.