【文档说明】重庆市西南大学附属中学2022届高三上学期开学考试数学试题含答案.docx，共(13)页，566.875 KB，由小赞的店铺上传

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西南大学附属中学校高2022级开学考试数学试题（总分：150分考试时间：120分钟）2021年8月注意事项：1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目

的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4

0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．若()()2346zzzzi++−=+，则z的虚部为()A．1B．-1C．iD．-i2．等差数列na的前n项和为Sn，若S9=81，则258aaa++=()A．

26B．27C．28D．293．已知向量a，b满足3a=，2b=，且a⊥(a-b)，则a在b方向上的投影为()A．3B．3C．-3D．324．下列正确命题的序号有()A．若随机变量X～B(100，p)，且E(X)=

20，则1182DX+=B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与BCD是互斥事件，也是对立事件C．在独立性检验中，K2的观测值越小，则认为“这两个分类变

量有关”的把握越大D．由一组样本数据()11,xy，()22,xy，…(),nnxy得到回归直线方程ˆˆˆybxa=+，那么直线ˆˆˆybxa=+至少经过()11,xy，()22,xy，…(),nnxy中的一个点5．已知函数()2sin

43fx=−，则①()yfx=的图象关于点,06−对称；②()yfx=在,126−上的值域为2,3−；③()yfx=的图象关于直线1324x=对称；④若12()()4fxfx=−，则12min4xx−=．其中正确的有()个A．1B．2C．3

D．46．A，B，C，D，E，F六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A，B，C去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B说：“你的名次在C之前．”对C说：“你不

是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有()种.A．108B．120C．144D．1567．定义在R上的函数()fx的导函数为()fx．若对任意实数x，有()()fxfx，且()

2022fx+为奇函数，则不等式()20220xfxe+的解集是()A．(),0−B．(),ln2022−C．()0,+D．()2022,+8．已知双曲线22413yx−=的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一

点，满足120MFMF=，点N是F1F2线段上一点，满足112FNFF=．现将ΔMF1F2沿MN折成直二面角F1-MN-F2，若使折叠后点F1，F2距离最小，则()A．23B．35C．413D．913二、多选题：本大

题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知全集2log3UxNx=，1,2,3A=，()1,2,4,5,6,7UCAB=，则集合

B可能为()A．3,5,6B．2,3,4C．3,4,5D．4,5,610．下列结论正确的是()A．若ab，则3311abB．xR，12xx+C．若(2)0xx−，则()2log0,1xD．若22ab，则ab11．“内卷”是指一类文化模式

达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形

EFGH，且使得∠BEF=15°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN=15°；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为na（其中第1个正方形ABCD的边长为1aA

B=，第2个正方形EFGH的边长为2aEF=，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为nS（其中第1个直角三角形AEH的面积为1S，第2个直角三角形EQM的面积为2S，…），则()A．数列na是公比为23的等比数列B．1112S=C．数列na是公比为49的等比

数列D．数列nS的前n项和14nT数学第3页（共4页）12．已知函数sincos()xxfxee=−，其中e是自然对数的底数，下列说法正确的有()A．()fx在0,2是增函数B．()4fx+是奇函数C．(

)fx在()0,上有两个极值点D．若0x为()fx在()0,上的一个极值点，且当()0,x时，0cos0()tanxaefxx−+恒成立，则1a−三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．已知抛物线

28yx=的焦点为F，P是抛物线上一点，若3PF=，则P点的横坐标为_________．14．在naxx+的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含6x的项的系数为___________．15．已知ΔABC外接圆的圆心为O，半径为2．设点O到边BC，C

A，AB的距离分别为1d，2d，3d．若4OAOBOBOCOCOA++=−，则222123ddd++=___________．16．设数列na满足12a=，26a=，312a=，数列na前n项和为nS，且21131nnnn

SSSS+−+−=−+（nN且2n）．若x表示不超过x的最大整数，2(1)nnnba+=，数列nb的前n项和为nT，则2022T的值为___________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文

字说明、证明过程或演算步骤．17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求二面角E-BC1-F的余弦值．18．在ΔABC中，内A，B，C角的对边分别为a，b，

c，请在①222433ABCacbS+−=；②cos3sinaaBbA+=；③()2coscoscaBbA−=这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：(1)求∠B的大小；(2)若b=2，求ΔABC面积的取值范围.19

．在数列na中，已知12a=，112nnnnaaaa++=−(nN)．(1)证明：数列11na−为等比数列；(2)记12nnnaab+=，数列nb的前n项和为nS，求使得1.999nS

的整数n的最小值.20．“T2钻石联赛”是国际乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5”模式．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局

比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局．24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．若某位选手率先在7局比赛中拿下4局，则比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现

，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局．已知在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13；在“FAST5”模式中，每局比赛双方获胜的概率都为12，每局比赛结果相互独立．(1)若甲乙24

分钟内可以完整打满2局，求4局比赛决出胜负的概率；(2)若甲乙24分钟内可以完整打满3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望．21．椭圆E：22221xyab+=(1ab)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率12e=，过的直线交椭圆于两点，

且ΔABF2的周长为8．(1)求椭圆E的方程．(2)设动直线l：ykxm=+与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数()lnfxaxx=−，21()2

gxxax=−，aR．(1)若()fx存在唯一的零点，求a的取值范围；(2)若()()fxgx=有两个不同的解1x，2x，求证122xx+.高2022级开学考试数学答案选填：12345678ABDBCACB9101112131415ACADBDABD14542023解答题：17（1

0分）.（1）证明见解析；（2）539.（1）连接BD1，由E，F分别为DD1，DB的中点，∴EF∥BD1，又面EFABC1D1，BD1面ABC1D1∴EF∥平面ABC1D14分（2）构建以D为原点，DA，DC，1DD为x、y、z轴

正方向的空间直角坐标系，∴D(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(0，0，1)，∴DB=(2，2,0)，1DC=(0，2，2)，EB=(2，2，-1)，1EC=(0，2，1)，6分又二面角E-BC

1-F即为二面角E-BC1-D，若111(,,)mxyz=是面BDC1的一个法向量，则1111220220xyyz+=+=，若11x=，即(1,1,1)m=−，7分若222(,,)nxyz=是面EBC1的一个法向量，则222222

2020xyzyz+−=+=，若21y=，即(2,1,2)n=−−，8分∴553cos,933mnmnmn===，则锐二面角E-BC1-F的余弦值为539.10分18（12分）．（1）条件选择见解析，∠B=3；(2)(0,3（1）若选①，222433ABCacbS+−=，则

有4312coscos32acBacB=，3分∴tan3B=，()0,B，所以∠B=3.6分若选②，由正弦定理：sinsincos3sinsinAABBA+=，又sin0A，∴1cos3sinBB+=，则1sin62B−=且()0,B

，即∠B=3.若选③，由正弦定理：(2sinsin)cossincosCABBA−=∴整理得2sincossincossincossinCBABBAC=+=，又sin0C，∴1cos2B=即∠B=3.（2）由222abcab+−=，得到224abab+=+.8

分由不等式222abab+，得到42abab+，∴4ab10分从而113sinsin34234SabCabab===，当且仅当2ab==时取等号.所以ΔABC面积的范围为(0,3.12分19（12分）．（1）证明见解析；（2）10（1）证明：由112nnnnaaaa+

+=−，得121nnnaaa+=+，从而11111222nnnnaaaa++==+，2分，∴11111111222nnnaaa+−=−=−4分又111102a−=−，故数列111a−为等比数列；5分（2）解：由(1)得111111222nnna−−=−=−

，故221nnna=−，7分所以()()11112112221212121nnnnnnnnnaab++++===−−−−−，8分，122311111111222...2221212121212121nnnn

S++=−+−++−=−−−−−−−−10分令1221.99921n+−−，则122001n+，解得2log20011n−，∵210log200111，∴29log2001110−.故使得1.999

nS的整数n的最小值为10；12分20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分布列见解析，13724.（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为()1,2iAi=，乙胜出分别为(1,2)iBi=，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为C，4局比赛决出胜负记为事件D.2222121221115()()323236PDP

AACCBBCC=+=+=4分（Ⅱ）的可能取值为4、5、6、73321111(4)32326PX==+=；5分32222232223321211211111(5)32332332324PXCC

==+++=；6分322223332321121323322121121111121(6)3233233232332P

XCCCCC==++++2313121733224C+=；8分3424243434211233

33212112111111(7)323323323232PXCCCC==++++242434211233331211

212173323323224CCCC+++=；10分所以，随机变量X的概率分布列为：X4567P1614724724的数学期望为EX=1177137456764242424+++=.

12分21．（1）22134xy+=；（2）存在，定点M(1，0).（1）因为228ABAFBF++=，即11228AFFBAFBF+++=，又12122AFAFFBBFa+=+=，所以48a=，2a=.2分又因为12

e=即12ca=所以c=1，所以223bac=−=，故椭圆E的方程是22134xy+=.4分（2）解法一：由22134ykxmxy=++=得()2224384120kxkmxm+++−=.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P()00,xy，所以0m

且Δ=0，即2222644(43)(412)0kmkm−+−=化简得22430km−+=.(*)5分此时024443kmkxkm=−=−+，003ykxmm=+=所以43,kPmm−，由4xykxm==+得Q()4,4k

m+.7分假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上.8分设M1(,0)x，则0MPMQ=对满足(*)式的恒成立.因为143,kMPxmm=−−，()14,4MQxkm=−+，由0MPMQ=得211141

612430kxkkxxmmm−+−+++=整理得()211144430kxxxm−+−+=.(**)10分由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以1211440430xxx−=−+=，解得11x=故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.12分解法二：接：

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上.8分取k=0，3m=，此时P(0，3)，Q(4，3)以PQ为直径的圆为()()22234xy−+−=交x轴于点M1(1，0)，M2(3，0)取12k=−，m=2，此时31,2P，Q(4，0)，以PQ为直径的圆为225345

2416xy−+−=交x轴于点M3(1，0)，M4(4，0)所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1，0).10分因为M的坐标为(1，0)，所以431,kMPmm=−−，(

)3,4MQkm=+而1212330kkMPMQmm=−−++=，故恒有MPMQ⊥，即存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.12分解法三：由对称性可知设()()000,0Pxyy与(),0Mx2220203331334443434xxyxyxykyx

+==−=−=−−6分直线l：00000033(1)()4,4xxyyxxQyy−−=−−8分00003(1)0()(4)0xMPMQxxxyy−=−−+=9分0(1)(1)(3)xxxx−

=−−对0(2,2)x−恒成立，所以x=1，得M(1，0).12分22．(1)0a或ae=；(2)见解析.(1)解法一：由题，()axfxx−=①当0a时，()0fx恒成立，所以()fx在()0,+上为减函数，当0x→，()fx→+；当x

→+，()fx→−.所以()fx在()0,+上一定存在唯一的零点，符合题意；②当0a=，()fxx=−，不符合题意；③当0a时，由()0fx=得xa=，当xa时，()0fx，()fx递减；当0xa时，()0fx，()fx递增，所以当xa=时，()fx取

得极大值()fa，因为()fx存在唯一的零点，则()ln0faaaa=−=，解得ae=因此a的取值范围为0a或ae=.4分解法二：()lnfxaxx=−存在唯一的零点等价于lnxax=只有一个解（显然x=1不是零点）令()lnxhxx=，2ln1()(ln)xhxx−=，

令()0hx=，得xe=，因此()hx在(0，1)，(1，e)上单调递减，在(),e+上单调递增，所以当xe=时，()hx取得极小值()hee=，当0x→，()0hx→；当1x−→，()hx→−；当1x+→，()hx→+；当x→+，()hx→+；()hx简图如下：因此的

取值范围为0a或ae=.4分(2)令21()()()ln(1)2Fxfxgxaxxax=−=−+−，则2(1)(1)()()1(0)axaxaxaxFxxaxxxx−+−++−=−+−==5分①当0a时，()0Fx恒成立，所以()Fx在()0,+上为减函数，不

符合题意；6分②当0a时，由()0Fx=得xa=，当xa时，()0Fx，所以()Fx为减函数；当0xa时，()0Fx，所以()Fx为增函数，所以当xa=时，()Fx取得极大值()Fa.7分又因为存在两个不同零点1x，2x，所以()0Fa，即21ln(1)02aa

aaa−+−整理得1ln12aa+，显然1a，8分作()yFx=关于直线xa=的对称曲线()(2)GxFax=−，令2()()()(2)()ln22axHxGxFxFaxFxaaxx−=−=−−=−+.9分当()0,2xa，

222222()220(2)()aaHxaxxxaa=−=−−−−+，所以()Hx在()0,2a上单调递减，10分不妨设1202xaxa，（因为若22xa，则1222xxa+显然成立）则1()()0HxH

a=，即1112()(2)()()GxFaxFxFx=−=，11分又因为12(0,2)axa−，2(0,2)xa，且()Fx在(0,2)a上为减函数，故122axx−，即122xxa+，又a，故122xx+.12分