【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期入学检测数学试题 含解析.docx，共(27)页，2.238 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2023年下学期入学检测试题高二数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()()1i1iz=−++是纯虚数，则实数=（）A.2−B.1−C.0D

.1【答案】B【解析】【分析】由纯虚数的定义得出实数.【详解】()()i11z+−=+，因为复数()()1i1iz=−++是纯虚数，所以10+=，且10−，解得1=−.故选：B2.已知集合(),Axyxy==，(),8Bxyyx==

−，则AB=（）A.4B.()4,4C.1,4D.()()1,1,4,4【答案】B【解析】【分析】由已知联立方程组，可得两个集合的交集．【详解】(),Axyxy==，(),8Bxyyx==−，则()(),|4,48xyABx

yyx====−，故选：B3.已知Rx，则1x且4y是5xy+且4xy成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分不必要条件的定义和不等式的性质进行判断可得答案.【详解】因为1x

且4y，所以5xy+且4xy；取0.5x=，16y=，则5xy+且4xy，但不满足1x，所以前者是后者的充分不必要条件.故选：A.4.有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）.A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶【答案】C

【解析】【分析】根据对立事件的概念可得结果.【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.故选：C.5.已知样本数据1x，2x，…，2022x的平均数和方差分别为3和56，若()2

31,2,,2022iiyxi=+=，则1y，2y，…，2022y的平均数和方差分别是（）A.12，115B.12，224C.9，115D.9，224【答案】D【解析】【分析】根据平均数和方差的性质求解：若数据1x，2x，…，nx的平均数和方差分别为x和2s，则数据1axb+，2a

xb+，…，naxb+的平均数和方差分别为axb+和22as.【详解】若数据1x，2x，…，nx的平均数和方差分别为x和2s，则数据1axb+，2axb+，…，naxb+的平均数和方差分别为axb+和22as.题中，样本数据1x，

2x，…，2022x的平均数和方差分别为3和56，()231,2,,2022iiyxi=+=，则1y，2y，…，2022y的平均数为2339+=，方差为2256224=.故选：D.6.某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，

将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间)75,80内的学生有（）A.15名B.20名C.25名D.40名【答案】B【解析】【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得a的值，再根据样本中成绩

在区间)75,80内的频率×参赛的100名学生即可求解．【详解】由频率分布直方图可知()0.050.060.030.010.0151a+++++=，得0.04a=，所以成绩在区间)75,80内学生有1000.04520=名．故选：B．7.已知函数()fx的定义域为R，且()(

)()(),(1)1fxyfxyfxfyf++−==，则221()kfk==（）A.3−B.2−C.0D.1【答案】A【解析】【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,

2,,6fff的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()fxyfxyfxfy++−=，令1,0xy==可得，()()()2110fff=，所以()02f=，令0x=可得，()()()2fyfyfy+−=，即()()fyfy=−，

所以函数()fx为偶函数，令1y=得，()()()()()111fxfxfxffx++−==，即有()()()21fxfxfx++=+，从而可知()()21fxfx+=−−，()()14fxfx−=−−，故()()24fxfx+=−，即()()6fxfx=+，所以函数()

fx的一个周期为6．因为()()()210121fff=−=−=−，()()()321112fff=−=−−=−，()()()4221fff=−==−，()()()5111fff=−==，的()()602ff==，所以一个周期内的()()()1260fff+++=．由于22除以6

余4，所以()()()()()221123411213kfkffff==+++=−−−=−．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()fxyfxyfxfy++−=，联想到余弦函数

和差化积公式()()coscos2coscosxyxyxy++−=，可设()cosfxax=，则由方法一中()()02,11ff==知2,cos1aa==，解得1cos2=，取3=，所以()2cos3fxx

=，则()()()()2cos2cos4coscos333333fxyfxyxyxyxyfxfy++−=++−==，所以()2cos3fxx=符合条件，因此()fx的周期263T==，()()02,11ff==，且()()()()()

21,32,41,51,62fffff=−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff+++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213kfkffff==+++=−−−=−．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是

该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.8.如图，正方体1111ABCDABCD−中，点E，F，分别是AB，BC的中点，过点1D，E，F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个

部分的体积分别为()1212,VVVV，则12:VV=（）A.13B.35C.2547D.79【答案】C【解析】【分析】如图所示，过点1D，E，F的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部

分体积即可.【详解】作直线EF，分别交,DADC于,MN两点，连接11,DMDN分别交11,AACC于,HG两点，如图所示，过点1D，E，F的截面即为五边形1DHEFG，设正方体的棱长为2a，因为点E，F，分别是AB，BC的中点所以1,1AEAMCNCFBEBFBEBF====，即

AMCNa==，因为1111,33AMAHCNCGMDDDDNDD====，所以23aAHCG==则过点1D，E，F的截面下方体积为：3111112253322323239=−=aVaaaaaa，∴另一部分体积为33322547899=−=Vaaa，∴12:2547VV

=.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知236ab==，则a，b满足（）A.abB.111ab+C.4abD.4ab+【

答案】ACD【解析】【分析】由对数与指数的互换公式可得23log6,log6ab==，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D.详解】

由236ab==，则23log6,log6ab==，则0,0ab，所以()23lg6lg3lg2lg6lg6log6log60lg2lg3lg2lg3ab−−=−=−=，所以A正确；6611log2log31ab+=+=，所

以B不正确；由11112abab=+，(因为ab¹，故等号不成立)，则4ab，故C正确；()142122abbabaabababab+=++=+=++(因为ab¹，故等号不成立)，故D正确.故

选：ACD.10.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.10,45,60bAC===B.15,4,60bcB===【C.3,2,45abA===D.8,4,80abA===【答案】BC【解析】【分析】对于A，直接判断即可；对于

B，34sin22sin1155cBCb===，结合bc即可判断；对于C，22sin22sin33bABa===，结合223223即可判断；对于D，sin4sin801sin82bABa

==，结合ba即可判断.【详解】对于A，因为10,45,60bAC===，所以75B=，所以ABC只有一解；故A错误；对于B，因为15,4,60bcB===，所以由正弦定理得34sin22sin1155cBCb===，因为bc

，即BC，所以60C，所以ABC有两解（6090B，或90120B），故B正确；对于C，因为3,2,45abA===，所以由正弦定理得sinsinabAB=，即22sin22sin33bABa===，因为223223，所以ABC有两解（4560B

，或，120135B），故C正确；对于D，因为8,4,80abA===，所以由正弦定理得sin4sin801sin82bABa==，由于ba，故80B，所以ABC只有一解，故D错误；故选：BC11.下列四

个命题中，假命题有（）A.对立事件一定是互斥事件B.若,AB为两个事件，则()()()PABPAPB=+C.若事件,,ABC彼此互斥，则()()()1PAPBPC++=D.若事件,AB满足()()1PAPB+=，则,AB是对立事件【答

案】BCD【解析】【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，D,【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确；对B，当且仅当A与B互斥时才有()()()PABPAPB=+，

对于任意两个事件,AB，满足()()()()PABPAPBPAB=+-，B不正确；对C，若事件,,ABC彼此互斥，不妨取,,ABC分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出3点”，则()12PABC=，所以C不正确；对于D，例如，袋中有大小相同的

红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球），满足()()()()11122PAPBPAPB===，，+，但事件A与B不互斥，也不对立，D错误，故选：BCD.12.如图

，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点，则（）A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1AG与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为98D.点C与点

B到平面AEF的距离相等【答案】BCD【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C选项.【详解】以点D为坐标原点，DA、D

C、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示空间直角坐标系，则()1,0,0A、()1,1,0B、()0,1,0C、()0,0,0D、()11,0,1A、()11,1,1B、()10,1,1C、()10,0,1D、1,1,02E、10,1,2F、11,1,2G

，对于A选项，()10,0,1DD=，11,1,2AF=−，则1102DDAF=，所以直线1DD与直线AF不垂直，故A错误；对于B选项，设平面AEF的法向量为(),,mxyz=，1,1,02AE=−，11,0,22EF

=−，则10211022mAExymEFxz=−+==−+=，取2x=，可得()2,1,2m=，110,1,2AG=−，所以1110AGm=−=，即1AGm⊥，的因为1AG平面AEF，

1//AG平面AEF，故B正确；对于C选项，连接1AD、1DF、1BC，因为E、F分别为BC、1CC的中点，则1//EFBC，11//ABCD且11ABCD=，所以四边形11ABCD为平行四边形，则11//ADBC，所以1//EFAD，所以E、

F、A、1D四点共面，故平面AEF截正方体1111ABCDABCD−所得截面为1ADFE，且2222EFCECF=+=，同理可得152AEDF==，12ADEF=，所以四边形1ADFE为等腰梯形，分别过点E、F在平面

1ADFE内作1EMAD⊥，1FNAD⊥，垂足分别为M、N，如下图所示：因为1AEDF=，1EAMFDN=，190EMAFND==，所以1RtRtAEMDFN△≌△，故1AMDN=，EMFN=，因为//

EFMN，EMMN⊥，ENMN⊥，则四边形EFNM为矩形，所以22MNEF==，11224ADEFAMDN−===，故22324EMAEAM=−=，故梯形1ADFE的面积为()11928ADFEEFADEM

S+==梯形，故C正确；对于D选项，1,0,02CE=，则点C到平面AEF的距离为113CEmdm==，()0,1,0AB=，则点B到平面AEF的距离为213ABmdm==，所以点C与点B到平面AEF的距离相等，故D正确.故选：BCD.三、填空题

：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量

为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取______人.【答案】10【解析】【分析】根据高一年级教师所占比例抽取即可.【详解】高一年级教师所占

的比例为：8018072883=++，则高一年级应抽取的教师人数为：130103=.故答案为：10.14.在平行六面体1111ABCDABCD−中，1111,60ABADAAAABAADBAD======°，

则1AC=___________．【答案】6【解析】【分析】利用空间向量基本定理，得到11ACABADAA=++，即可求出16AC=.【详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中，11ACABBCCC=++.因为11,ADBCAA

CC==，所以11ACABADAA=++.所以11ACABADAA=++()21ABADAA=++222111222ABADAAABADABAAADAA=++++++222111211cos60211cos60211cos60=+++++

+6=.的故答案为：615.已知()32,,xxafxxxa=，若存在实数b，使函数()()gxfxb=−有两个零点，则a的取值范围是________．【答案】()(),01,−+【解析】【分析】由()()gxfxb=−有两个零点可得()

fxb=有两个零点，即()yfx=与yb=的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【详解】()()gxfxb=−有两个零点，()fxb=有两个零点，即()yfx=与yb=的图象有两个交点，由32xx=可得，0x=或1x=

①当1a时，函数()fx的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故1a满足题意②当1a=时，由于函数()fx在定义域R上单调递增，故不符合题意③当01a时，函数()fx单调递增，故不符合题意④0a=时，()fx单调递增，故不符合题意⑤当a

<0时，函数()yfx=的图象如图所示，此时存在b使得，()yfx=与yb=有两个交点综上可得，a<0或1a故答案为：()(),01,−+【点睛】本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．16.如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和

高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F（可与端点重合），则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是___________.【答案】8,19【解析】【分析】首先证明一个结论：在三棱锥SABC−中，棱SA

，SB，SC上取点1A，1B，1C，则111111SABCSABCVSASBSCVSASBSC−−=，再设设PExPB=，PFyPD=，分析可得pAEFV−，PMEFV−，PAFMV−，PAEMV−与x，y间的关系，再由换元法结合对勾函数的

单调性求得答案．【详解】首先证明一个结论：在三棱锥SABC−中，棱SA，SB，SC上取点1A，1B，1C，则111111SABCSABCVSASBSCVSASBSC−−=，设SB与平面SAC所成角为，则111

11111111111sinsin3211sinsin32SABCBSACSABCBSACSASCSBASCVVSASBSCVVSASBSCSASCSBASC−−−−===;再来解答本题：设PExPB=，PFyPD=，184233

PABCDV−==,则43PAEFPABDVxyVxy−−==，1223PMEFPBCDVxyVxy−−==，223PAFMPACDyVVy−−==，223PAEMPABCxVVx−−==，22()3PAEMFPAEFPMEFP

AFMPAEMVVVVVxyxy−−−−−=+=+==+，则3xyxy+=，31yxy=−，010131xyyxy=−，则112y，22223()()3331331PAEMFyyVxyyyy−=+=+=−−，令31ty=−，

则22(1)11(2)3199yttytt+==++−，1[2y，1]，1[2t，2]，当112t时，函数1ytt=+单调递减，当12t时，函数1ytt=+单调递增，故1ytt=+最小值为2，当1,22t=时

，1ytt=+都取到最大值52，则22(1)114(2)[31999yttytt+==++−，1]2（当且仅当1t=时，取最小值），282[319PAEMFyVy−=−，1]，故答案为：8[9，1]．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()()(sin0,0,)fxAxA=+的部分图像如图所示.（1）求()fx的解析式及对称中心；（2）先将()fx的图像纵坐标缩短到原来的12

倍，再向右平移π12个单位后得到()gx的图像，求函数()ygx=在π3π,124x上的单调减区间和最值.【答案】（1）()2sin23fxx=−，对称中心为,023k−，Zk．（2）

单调递减区间为423,；max()1gx=，min3()2gx=−．【解析】【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得()fx的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．（2）由题意利用函

数sin()yAx=+的图像变换规律，求得()gx的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．【小问1详解】解：根据函数()sin()(0fxAxA=+，0，||)的部分图像，可得2A=，32541

23=+，2=．再根据五点法作图，52122+=，3=−，故有()2sin23fxx=−．根据图像可得，,03−是()fx的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为,023k−，Zk．【小问2详解】解：先将()fx的图

像纵坐标缩短到原来的12，可得sin23yx=−的图像，再向右平移12个单位，得到sin2sin(2)cos21232yxxx=−−=−=−的图像，即()c

os2gxx=−，令222kxk−，Zk，解得2kxk−，Zk，可得()gx的减区间为,2kk−，Zk，结合3,124x，可得()gx在3,124

上的单调递减区间为423,．又32,62x，故当2x=，2x=时，()gx取得最大值，即max()1gx=；当26x=，12x=时，()gx取得最小值，即min3()2gx=−．18.如图，在

正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别是棱BCDC，的中点.（1）求证：1DE⊥1AB；（2）若点MN，分别在1CDAF，上，且1MNCDMNAF⊥⊥，.求证：1MNDE//；（3）棱1CC上是否存在

点P，使平面1CDE⊥平面AFP？若存在，确定点P位置，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，点P为棱CC1的中点【解析】【分析】（1）根据正方体的特征得到AB1⊥B1A和BC⊥平

面11ABBA，进而得到，利用线面垂直的判定得到AB1⊥平面A1D1CB，从而得到1DE⊥1AB；（2）连接DE，CD1，利用三角形全等得到DE⊥AF，然后根据正方体的特征得到DD1⊥平面ABCD，进而得到AF⊥DD1，利用线面垂直的判定得到AF⊥平面D1DE，从而得到AF⊥

D1E，结合（1）的结论和线面垂直的判定得到D1E⊥平面AB1F和MN⊥平面B1AF，进而得到1MNDE//；（3）连接FP，AP，利用中位线定理得到FP∥C1D，再利用正方体的特征得到FP与AB1共面于平面AB1PF.结合（2）的结论，利用

面面垂直的判定即可求证.【小问1详解】如图，连接A1B，CD1∵正方体1111ABCDABCD−的∴四边形11ABBA为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵正方体1111ABCDABCD−，∴BC⊥平面11ABBA，AB1⊂平面11ABBA，所以BC⊥AB1，又BC∩A1

B＝B，1,BCAB平面11ADCB∴所以AB1⊥平面A1D1CB，又∵D1E⊂平面A1D1CB，∴AB1⊥D1E；【小问2详解】如图，连接DE，CD1在正方形ABCD中，E，F分别为棱BCDC，的中点∴AD＝DC，DF＝EC，∠ADF＝∠DCE，∴△AD

F≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE.∵∠CDE+∠ADE=90，所以∠DAF+∠ADE=90，即DE⊥AF.又∵正方体1111ABCDABCD−中，DD1⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴AF⊥DD1，∵DD1∩DE＝D，D1D，DE⊂平面D1DE∴AF

⊥平面D1DE.又∵D1E⊂平面D1DE，∴AF⊥D1E.由（1）可知AB1⊥D1E又∵AB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F∴D1E⊥平面AB1F.又∵1MNCD⊥，，AB1//C1D∴MN⊥AB1，又∵MN⊥AFAB1∩AF＝A，AB1，AF⊂平面AB1F所以MN⊥平面B1AF，所以1M

NDE//.【小问3详解】存在.如图，当点P为棱CC1的中点时，平面1CDE⊥平面AFP.连接FP，AP，∵点P，F分别为棱CC1，CD的中点∴FP∥C1D，∵正方体1111ABCDABCD−，∴AD∥B1C1，∴11ABCD，∴C1D∥AB1，∴FP∥AB1，∴F

P与AB1共面于平面AB1PF.由（2）知D1E⊥平面B1AF，即D1E⊥平面AFP.又因为D1E⊂平面CD1E.∴平面1CDE⊥平面AFP.19.某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规

则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员

罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为12,乙队每位球员罚进点球的概率均为23.假设每轮罚球中,两队进

球与否互不影响,各轮结果也互不影响.（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;（2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需

出场罚球的概率.【答案】（1）12（2）49【解析】【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球.(2)甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分

可能为2:1或2:2或3:2.【小问1详解】设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为A,未罚进点球的事件为A;乙队球员罚进点球的事件为B,未罚进点球的事件为B.设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,则

()()()()()1212111112323632PCPAPBPAPB=+=−−+=+=,故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为12.【小问2详解】因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超

过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.①比分为2:1的概率为()()()()()()()()PAPBPAPBPAPBPAPB+121212121111111112323232318189=−−−+−−

−=+=.②比分为2:2的概率为()()()()121211123239PAPBPAPB=−−=.③比分为3:2的概率为()()()()()()()()

PAPBPAPBPAPBPAPB+121221223239=−=.综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为11249999++=.20.如图，四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足ABCD∥，90BCD=，且2PDADDC===，3A

B=，E为PC中点，13PFPB=，2PGGA=.（1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求二面角FDEP−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标即可得到DE，DF，DG，

令DFxDEyDG=+，依题意得到方程组，解得x、y，即可得证；（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【小问1详解】证明：以点C为坐标原点，向量CD､CB､DP方向分别为x､y､z轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D，()2,0,2P，(

)0,0,0C，()0,3,0B，()3,3,0A，()1,0,1E，所以()2,3,2PB=−−，因为13PFPB=，设(),,Fabc，则()2,,2PFabc=−−，所以()()32,3,212,,2abc−−−−=，解

得433343abc===，所以434,,333F，同理可得8232,,333G，∴()1,0,1DE=−，234,,333DF=−，2232,,333DG=，令DFxDEy

DG=+，则()23422322232,,1,0,1,,,333333333xyxyyxy−=−+=−+++，∴2233323334233xyyxy−=−+==+，∴112xy

==，∴12DFDEDG=+，∴D､E､F､G四点共面.【小问2详解】解：由（1）可知()2,0,0D，()1,0,1E，434,,333F，∴()1,0,1DE=−，234,,333DF=−

.设平面DEF的一个法向量为(),,nxyz=，则00nDEnDF==，即02340333xzxyz−+=−++=，则3232xyzy=−=−，令2y=，则()3,2,3n=−−.取平面PDE的一个法向量为()0,3,0CB=，则2310

cos,5103nCBnCBnCB===，所以215sin,1cos,5nCBnCB=−=，∴二面角FDEP−−的正弦值为155.21.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按

AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点M在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知6AB=米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP与EB的夹角为

（0π），AQ与AB的夹角为（π02）．（1）若两机器人运动方向的夹角为π3，AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍．（i）若π3=，AD足够长，机器人乙挑战成功，求sin．（ii）

如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？【答案】（1）6；（2）（i）34；（ii）AD至少为2米.【解析】【分析】（1）用余弦定理列方程，结

合基本不等式求得6MAME+，也即两机器人运动路程和的最大值.（2）（i）利用正弦定理求得sin；（ii）设EMx=，利用余弦定理求得cos，求得sinx的最大值，由此求得AC的最小值.【详解】（1）如图，在AEM△中由余弦定理得，2222

πcos93AEMAMEMAME=+−=，所以()2293932MAMEMAMEMAME++=++所以6MAME+，（当且仅当3MAME==时等号成立）故两机器人运动路程和的最大值为6（2）（i）在AEM△中由于机

器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故2AMEM=，由正弦定理可得()sinπsinAMEM=−所以()113sinsin2sinππsin234EMAM====−（ii）设EMx=，则22AMEMx==，()1,3x由余弦定理可得()()22232

3cos2322xxxxx+−−==−，所以3cos22xx=−所以()()22222231sin1cos152442xxxxxx=−=−−=−−+由题意得sinADx对

任意()1,3x恒成立，故()maxsin2ADx=，当且仅当5x=时取到等号．答：矩形区域ABCD的宽AD至少为2米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲．【点睛】正弦定理、余弦定理是解题的重要数学知识，二次函数最值

的求法在本题中是重要的方法.22.定义：()()()222102001sinsinsinnn=−+−++−为实数12,,,n对0的“正弦方差”.（1）若1232,,33===，证明：实数123,,对0的“正弦方差”的值是与0无关的定值；

（2）若123,,,,,(,2)42===，若实数123,,对0的“正弦方差”的值是与0无关的定值，求,值.【答案】（1）见解析；（2）11121912==或7122312==

.【解析】【分析】（1）直接由公式计算可得解；（2）将条件代入公式可得00(sin2sin21)sin2(cos2c12os262)cos++==++−，进而得cos2cos20sin2sin21+=+=−，由cos2cos20+=，得52+=或2

−=，由22(cos2cos2)(sin2sin2)1+++=得3−=或23−=或43−=，进而列方程求解即可.【详解】（1）因为1232,,33===，所以()222000312sinsinsin

33=−+−+−2222200000111313(cossinsin(sincos2))32232+=+==+，所以正弦方差”的值是与0无关的定值12，（2）因为123,,,

,,(,2)42===，所以()()2220001sinsin3sin4=−+−+−0001cos(21cos())221cos(2212[]2232)

−−−−−−=++00000(cos2cos2sin2sin2)(cos2cos2sin2ssiin226)n21=+−+++00(sin2sin21)sin21(cos2cos2)cos226++=++−，因为实数123,,对0的“正弦方差

”的值是与0无关的定值，所以cos2cos20sin2sin21+=+=−，因为,,(,2)2，所以()2,2,2(2,4)，由cos2cos20+=，得225+=或22−=，即52+

=或2−=由22(cos2cos2)(sin2sin2)1+++=，得1cos(22)2−=−，又因为22(0,3)−，所以2223−=或4223−=或8223−=，即3−=或23−=

或43−=，当523+=−=时，解得13121712==，经检验不符合题意；当5223+=−=时，解得11121912==，经检验符合题意；当5243+=−=时，解得71

22312==，经检验符合题意.综上可知：11121912==或7122312==【点睛】关键点点睛：本题的难点在第二问，解题的关键是根据题中公式得到00(sin2sin21)sin2(cos2c12os262)co

s++==++−，进而得cos2cos20sin2sin21+=+=−，从而再由两个式子求解即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com