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专练28复数授课提示：对应学生用书59页[基础强化]一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若zz－1＝1＋i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i答案：C解析：由zz－1＝1＋i，可得z－1＋1z－1＝1＋i，即1＋1

z－1＝1＋i，所以1z－1＝i，所以z－1＝1i＝－i，所以z＝1－i，故选C.2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z＝－1－i，则|z|＝()A．0B．1C．2D．2答案：C解析：由z＝－1－i，得|z|＝（－1）2＋（－1）2＝2.故选C.3．[20

23·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象

限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z＝1－i2＋2i，则z－z－＝()A．－iB．iC．0D．1答案：A解析：因为z＝1－i2＋2i＝（1－i）22（1＋i）（1－i）＝－12i，所以z－＝12i，所以z－z－＝－12i－12i＝－i.故选A.

5．|2＋i2＋2i3|＝()A．1B．2C．5D．5答案：C解析：|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5.故选C.6．设z＝2＋i1＋i2＋i5，则z－＝()A．1－2iB．1＋2iC．2－iD．2＋i答案：B解析：z

＝2＋i1＋i2＋i5＝2＋i1－1＋i＝－i()2＋i－i2＝1－2i，所以z－＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z＝－1＋3i，则zzz－－1＝()A．－1＋3iB．－1－3iC．－13＋33iD．－13－33i答案：C解析：因为

z＝－1＋3i，所以zzz－－1＝－1＋3i（－1＋3i）（－1－3i）－1＝－1＋3i1＋3－1＝－13＋33i.故选C.8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i3）（2＋i）（2－i）＝()A．－1B．1C．1－

iD．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i3）（2＋i）（2－i）＝5（1－i）22－i2＝5（1－i）5＝1－i，故选C.9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z＝cosθ＋isinθ－π2<θ<π

2(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B．|z|＝cosθC．z·z－＝1D．z＋1z为实数答案：CD解析：复数z＝cosθ＋isinθ－π2<θ<π2(其中i为虚数单位)，复数z在复

平面上对应的点(cosθ，sinθ)不可能落在第二象限，所以A不正确；|z|＝cos2θ＋sin2θ＝1，所以B不正确；z·z－＝(cosθ＋isinθ)(cosθ－isinθ)＝cos2θ＋sin2θ＝1，所以C正确；z＋1z＝cosθ＋isinθ＋1cosθ＋isinθ＝cosθ＋isi

nθ＋cosθ－isinθ＝2cosθ为实数，所以D正确.二、填空题10．若a＋bii(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________．答案：－7解析：a＋bii＝i（a＋bi）i2＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为

这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.11．i是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________．答案：4－i解析：6＋7i1＋2i＝（6＋7i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝6－12i＋7i＋145＝20－5i5＝4－i.12．

设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________．答案：23解析：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2

＝(a＋c)＋(b＋d)i＝3＋i，∴a＋c＝3，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝（a

－c）2＋（b－d）2＝a2＋b2＋c2＋d2－（2ac＋2bd）＝8－（－4）＝23.[能力提升]13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z，w均不为0，则()A．z2＝|z|2B．zz－＝z2|z|2

C．z－w＝z－－w－D．zw＝||z||w答案：BCD解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，w＝c＋di(c，d∈R)；对A：z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝(a2＋b2)2＝a2＋b2，故A错误；对B

:zz－＝z2z－·z，又z－·z＝||z2，即有zz－＝z2|z|2，故B正确；对C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，则z－w＝a－c－(b－d)i，z－＝a－bi，w－＝c－di，则z－－w－＝a－bi－c＋di＝a－c－(b－d)i，即有z－w＝z－－w－，故C正确；对

D：zw＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝ac＋bd－（ad－bc）ic2＋d2＝（ac＋bdc2＋d2）2＋（ad－bcc2＋d2）2＝a2c2＋2

abcd＋b2d2＋a2d2－2abcd＋b2c2（c2＋d2）2＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2（c2＋d2）2＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2c2＋d2，||z||w＝a2＋b2c2＋d2＝a2＋b2×c2＋d2c2＋d2＝（a2＋b2）（c2＋d2）c2＋d2＝a2c2＋

b2c2＋a2d2＋b2d2c2＋d2，故zw＝||z||w，故D正确．故选BCD.14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b为实数，则()A．a＝1，b＝－2B．a＝－1

，b＝2C．a＝1，b＝2D．a＝－1，b＝－2答案：A解析：由z＝1－2i可知z－＝1＋2i.由z＋az－＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得1＋a＋b＝0，2a－2＝0，解得a＝1，b＝－2.故选A.15．[

2023·全国甲卷(理)]设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝()A．－2B．－1C．1D．2答案：C解析：∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.16．已知z(1＋i)＝1＋ai，i为虚数单位

，若z为纯虚数，则实数a＝________．答案：－1解析：方法一因为z(1＋i)＝1＋ai，所以z＝1＋ai1＋i＝（1＋ai）（1－i）（1＋i）（1－i）＝（1＋a）＋（a－1）i2，因为z为纯虚数，所以1＋a2＝0且a－12≠0，解得a＝－1.方法二因为z为纯虚数，所以可设z＝

bi(b∈R，且b≠0)，则z(1＋i)＝1＋ai，即bi(1＋i)＝1＋ai，所以－b＋bi＝1＋ai，所以－b＝1b＝a，解得a＝b＝－1.