【文档说明】江西省2023届高三教学质量监测数学（理）试题 含解析.docx，共(22)页，2.881 MB，由小赞的店铺上传

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2023年江西省高三教学质量监测卷理科数学一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2R|4Axx=，|39xBx=，则（）A.ABB=B.{|02}ABxx=C.A

BA=D.AB=R【答案】C【解析】【分析】首先解出不等式39x，根据交集与并集的定义，求出AB和AB即可作出判断．【详解】因为2{|22},|33{|2}xAxxBxxx=−==，所以,ABAABB

==，故选：C．2.已知复数z满足()1i2iz+=−（i为虚数单位），则复数z的模等于（）A.102B.322C.3D.52【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再求模长即可.【详解】因为()1i2iz+=−，所以()()()()2

2i1i2i22iii13i13i1i1i1i2222z−−−−−+−=====−++−所以221310222z=+−=.故选：A.3.若0π，则“2sin12”是“tan1”的（）A.充要条件B.充分不必

要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合0π，解出不等式2sin12和tan1，即可判断出答案．【详解】因为0π，所以2sin12等价于πππ3π,,4224

，tan1等价于ππ,42，故“2sin12”是“tan1”的必要不充分条件，故选：C．4.在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图

，下列结论中正确的是（）A.估计该校有40%的学生在2小时内完成课后作业B.抽取的学生中有10人不能在4小时内完成课后作业C.抽取学生课后完成作业时间的100个数据的中位数在区间()2,2.5内D.抽取学生课后完成作业时间的100个数

据的众数一定在区间()2,2.5内【答案】B【解析】【分析】根据频率分布直方图得数字特征逐项判断即可.【详解】估计该校在2小时内完成作业的学生占比是0.10.50.30.50.2020%+==，故A错误；抽取的学生不能在4小时内完成课后作业的人数是()1000.10.50

.10.510+=（人），故B正确；抽取学生课后完成作业时间的100个数据中，第一、第二、第三组频率和为0.10.50.30.50.50.50.450.5++=，前四组频率和为0.450.40.50.650.5+=，所以中位数在区间()2.5,3内

，故C错误；抽取学生课后完成作业时间的100个数据的众数不能由直方图确定，故D错误.故选：B.5.已知抛物线24xy=的焦点为F，点M在抛物线上，且3MF=，则点M到y轴的距离为（）A.4B.23C.22D.3【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义可得2MpMFy

=+求出点M的纵坐标，求出其横即，即可求解.【详解】由24xy=，得2p=，根据抛物线的定义，知132MMpMFyy=+=+=，解得2My=，代入24xy=，得22Mx=.所以点M到y轴的距离为22.故选：C.6.函数()sin23cos2

1fxxx=−+在区间0,π内的零点个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式可得()π2sin213fxx=−+，令()0fx=，从而解得()fx在[0,]的零点个数.【详解】

由()π2sin2103fxx=−+=，得π1sin232x−=−，又0πx，所以ππ5π2333x−−，所以ππ236x−=−或7π6解得π12t=或3π4.所以函数()f

x在0,π的零点个数是2.故选：A.7.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰

好经过冰块的球心O（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（）A.1B.12C.13D.16【答案】D【解析】【分析】如图，设球的半径为r，根据勾股定理求得23rOC=，结合圆锥和球的体积公式计算即可求解.【详解】如图，圆O与AB切于点D，设球的半径为r，则2OAr=，且2AC

OC=，有222ACOAOC=+，即22244OCrOC=+，得23rOC=，所以水的体积2331122223393rVrrr=−=，所以水的体积与球的体积之比是33219463rr=.故选：D.

8.已知函数()32fxaxbxcxd=+++的大致图象如图所示，则（）A.0,0,0abcB.0,0,0abcC.0,0,0abcD.a0,b0,c0【答案】B【解析】【分析】根据

图形，结合函数的单调性和极值点的概念以及韦达定理，计算即可求解.【详解】由图可知，函数()fx有两个递增区间，一个递减区间，所以函数()232fxaxbxc=++图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，故0a

；又函数()fx的极大值点在y轴左侧，极小值点在y轴右侧，且极大值点离y轴较近，所以方程()2320fxaxbxc=++=的两根12,xx满足12120,0xxxx+，即20,033bcaa−，得0,0bc，因此0,0,0abc

.故选；B.9.已知函数()()()33log3log13fxxxx=−−+−+，则函数()fx的图象与两坐标轴围成图形的面积是（）A.4B.4ln3C.6D.6ln3【答案】A【解析】【分析】根据函数的对称性及函数的单调性，即可确定与坐标轴围成的面积.【详解】已知函数(

)()()33log3log13fxxxx=−−+−+，定义域为()1,3−，又()()()()()()()33332log1log323log3log134fxfxxxxxxx−+=+−−−−++−−+−+=.因此函数()fx的图象关于点()1,2成中心对称，又()(

)04,20ff==，且点()0,4与点()2,0也关于点()1,2成中心对称，由基本初等函数的单调性可得函数()fx在区间()0,2上单调递减，因此与坐标轴围成图形的面积是12442=.故选：A.10.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别

是1F，2F，P是双曲线右支上一点，且212PFFF⊥，I和G分别是12PFF△的内心和重心，若IG与x轴平行，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由重心坐标求得I的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G的坐标，再根据IG与x轴平行，由IGy

y=求解.【详解】解：如图所示：由题意得：()()2121,0,,0,,bFcFcPca−，则2,33cbGa，由圆的切线长定理和双曲线的定义得122AFAFa−=，所以(),0Aa，则(),Iaa

，因为IG与x轴平行，所以IGyy=，即23baa=，则223ba=，即224ca=，解得2e=，故选：B11.如图，直三棱柱111ABCABC-中，12,1,ABACAAABAC===⊥，点1,EE分别是棱11,BCBC的中点，点G在棱11AB上，且12GB=，截面11AAEE内的动点P满足

1GBPE⊥，则1PEPB+的最小值是（）A.22+B.6C.5D.2【答案】C【解析】【分析】设点G在平面11AAEE内的投影为1H、点H在线段AE上且1HE=，根据题意和线面垂直的判定定理与性质可知点P的轨迹是正

方形11HHEE的对角线1HE，将1HEE与11HBE展开，如图，则1PEPB+的最小值是1BE，结合余弦定理计算即可求解.【详解】由题意知，1,AEBCEEBC⊥⊥，1111122AEBC==，又11,AEEEEAEEE=、平面11AAEE，所以BE⊥平面11AA

EE.设点G在平面11AAEE内的投影为1H，则点1H在线段11AE上，且221112AGAH=，即()22111122221AHAH−==−，所以1111111EHAEAH=−=，设点H在线段AE上，且1HE=，则四边形11HHEE是一个正方形，点P的轨迹是

其对角线1HE.将1HEE与11HBE展开到一个面内，得到如图图形，因此1PEPB+的最小值是1BE，由余弦定理，得222121221252BE=+−−=，所以15BE=.故选：C.12.若函数

()()1eln2(0)axfxxxa+=−−存在单调递减区间，则正数a的取值范围是（）A.()e0,e−B.()20,e−C.()2e,+D.()ee,+【答案】B【解析】【分析】根据题意转化为()0fx有解，进而得到()()ln1ln1lnelneaxaxaa

xaax++++++有解，构造函数()etgtt=+，根据()gt单调递增，转化为ln1xax−有解，设()ln1xhxx−=，利用导数求得函数()hx单调性与最值，即可求解.【详解】由函数()()1eln2axfxxx+=−−，可得()1eln21axfxax+=−+−，因为函数()f

x存在单调递减区间，即()0fx有解，即1lneln1axax++−，即1ln1lnelnlnaxaaxaxaxa+++++++，即()()ln1ln1lnelneaxaxaaxaax++++++有解，构造函数()etgtt=+，可得()01etgt=+，所以

()gt单调递增，因此不等式转化为()1lnlnaxaax++，即ln1xax−有解，设()ln1xhxx−=，可得()22lnxhxx−=，令()0hx=，解得2ex=，当2(0,e)x时，()0hx，()hx单调递增；当2(e,)x+时

，()0hx，()hx单调递减，所以()()22eehxh−=，即()(2,ehx−−，又因为0a，所以20ea−.故选：B.【点睛】方法规律总结：对于已知函数的单调性求参数问题：（1）已知可导函数()fx在区间D上单调递

增，转化为区间D上()0fx恒成立；（2）已知可导函数()fx在区间D上单调递减，转化为区间D上()0fx恒成立；（3）已知可导函数()fx在区间D上存在增区间，转化为()0fx¢>在区间D上有解；（4）已知可导函数()fx在区间D上存在减区

间，转化为()0fx在区间D上有解.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,ab的夹角为π,3,23ab==，则2()ab+等于___________.【答案】19【解析】【分析】利用向量数量积的定义及向量数量积的运算法

则即可求出结果.【详解】因为222()2abaabb+=++，又向量,ab的夹角为π,3,23ab==，所以2π()9232cos4964193ab+=++=++=.故答案为：19.14.已知圆C的方程为22(3

)(4)25xy−+−=，若直线:3450lxy+−=与圆C相交于,AB两点，则ABC的面积为___________.【答案】12【解析】【分析】根据直线与圆相交弦长公式确定弦长AB及圆心到直线AB得距离，即可求ABC的面积

.【详解】圆C：22(3)(4)25xy−+−=，得圆心为()3,4C，半径为=5r，圆心到直线的距离4d=，因此222225166ABrd=−=−=，所以11641222ABCSABd===.故答案为：12.15.已知()

522100121023xxaaxaxax++=++++，则1a等于___________.【答案】810【解析】【分析】根据题意，两边同时求导数得到()()422912310523231022xxaaxaxxxa++=+++++，令0x=，即可求解.【详

解】由()522100121023xxaaxaxax++=++++，两边同时求导数，可得()()422912310523231022xxaaxaxxxa++=+++++，令0x=，可得1810a=.故答案

为：810.16.毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，ABC为锐角三角形，面积为π1,6ACB=，以ABC的三边为边长的正方形中心分别为123,,MMM，则222

122331MMMMMM++的最小值为___________.【答案】2243−##4322−+【解析】【分析】根据题意和三角形的面积公式可得4ab=，由余弦定理得22243cab−=+，进而得223MM2222bc+=+.同理得22222212312,222abacMMMM

++=+=+，则()222221223312643MMMMMMab++=++−，结合基本不等式计算即可求解.【详解】由题意知，π1,6ABCSACB==，又1sin2ABCSabACB=，即11122

ab=，得4ab=，由余弦定理，得222222cos43cababACBab=+−=−+，在23MAM中，232322π,,222AMbAMcMAMBAC===+，由余弦定理可得22222231122π2cos

sin222222bcMMcbcbBACbcBAC+=+−+=+，又1sin12ABCSbcBAC==，所以sin2bcBAC=，则223MM2222bc+=+.同理22222212312,222abacMMMM++=+=+，故()22222

22212233162643MMMMMMabcab++=+++=++−.因为2228abab+=，当且仅当2ab==时等号成立，故2221223312243MMMMMM++−.故答案为：2243−.三､解答

题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.如图数表，在第()1,2,3,,iin=行中，共有12i−个数，第k个数为12ik−)1(1,2,3,,2ik−=．（1）求第n行

所有数的和；（2）求前10行所有数的和.【答案】（1）2122n−+（2）10332【解析】【分析】（1）将第n行所有数相加得1112322nn−−++++，由等差数列前n项和公式计算分子，化简即可得出答案；（2）设第n行所有数和为na，由（1）得2122nna−=+，计算1

210aaa+++，分组求和即可．【小问1详解】第n行所有数的和为：()1112111221232122222nnnnnn−−−−−−+++++==+．【小问2详解】设第n行所有数的和为na，由（1）得2122nna−=+，前10行所有数的和为：()1010812101(12)10103

3222252122aaa−−+++=++++=+=−，所以前10行所有数的和为10332．18.某集市上有摸彩蛋的游戏，在不透明的盒中装有9个大小､形状相同的彩蛋，其中黄色､红色､蓝色各3个.游戏规则如下：玩游戏者先交10元游戏费，然后随机依次不放回地摸3个彩蛋，根据彩蛋的颜色决定是否得到奖

励，若摸到的3个彩蛋颜色都相同，获得奖金100元，若摸到3个彩蛋颜色各不相同，获得奖金10元，其他情况没有奖励.（1）记某游戏者第一次摸到黄色彩蛋为事件A，该游戏者这次游戏获奖100元为事件B，求()(),PAPB，并判断事件,AB是否相互独立；（2）判断是否应该玩这个游戏，

并说明理由.【答案】（1）()()11,328PAPB==，事件,AB相互独立（2）不应该参与该游戏，理由见解析的【解析】【分析】（1）分别求出()()(),,PAPBPAB，证明()()()PABPAPB=，即可得出结论；（2）设一次游戏获利X元，

求出X的所有可能取值，冰球出对应概率，从而可求出X的数学期望，再根据数学期望即可得出结论.小问1详解】()()393131,93C28PAPB====，()3911C84PAB==，因此()()()PA

BPAPB=，所以事件,AB相互独立；【小问2详解】设一次游戏获利X元，则X的可能取值有90,0,10−，()()()()111333391919990,0,1012828282814CCCPXPBPXPXC=======−=−−=，因此()199459001028281414EX=

+−=−（元），所以不应该参与该游戏.19.如图，已知菱形ABCD中，4,60ABBAD==，点E为边CD的中点，沿BE将CBE△折起，得到PBE△且二面角PBEA−−的大小为120，点F在棱PA上，PE//平面BDF.（1）求AFFP的

值；（2）求二面角AFDB−−的余弦值.【答案】（1）2AFFP=（2）6513【解析】【【分析】（1）首先通过面面平行的性质证明//PEFH，则AFAHFPHE=，再利用三角形相似即可得到答案；（2）利用

二面角定义得到120DEP=，建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，求出平面AFD和平面BFD的法向量，利用空间向量法求出二面角余弦值即可.【小问1详解】连接AE，设AEBDH=，连接FH，取BC中点G点，分别连接EG,PG,则//EGDB，DB平面B

DF，EG平面BDF，则//EG平面BDF，又因为PE//平面BDF，且PEEGE=，,PEEG平面PEG，所以平面//PEG平面BDF，又因为平面APE与平面,PEG平面BDF相交，则交线//PEFH，故AFAHFPHE=，因为E为DC中点，且底面ABCD为菱形，故2A

BDE=，又在菱形ABCD中，ABHEDH，所以2AHABHEDE==，所以2AFFP=.【小问2详解】因为60BCDBAD==，4BCCD==，所以三角形BCD为等边三角形，所以BECD⊥，而根据折叠过程可知,BEEDBEEP⊥⊥，且平面BEP平面ABEBE

=，DE平面ABE，PEBEP，因此DEP是二面角PBEA−−平面角，则120DEP=，如图，以点E为原点，,EDEB所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Exyz−.依据题意()1,0,3P−，()()()4,23,0,0,23,0,2,0,0ABD的从而

()()()2,23,0,3,0,3,2,23,0DADPDB==−=−设平面AFD的法向量()111,,mxyz=r，由mDA⊥得到111122303xyxy+==−，由mDP⊥得到11113303xzzx−+==

.令()11113,3,3,1,3yxzm==−=−=−−设平面BFD的法向量()222,,nxyz=r，由nDB⊥得到222222303xyxy−+==，由nHFnEP⊥⊥得到2222303xzxz−+==.令()22213,1,3,1,1yxzn====.因此3

1365cos,13135mnmnmn−+−===−，所以，所求二面角的余弦值是6513.20.已知函数()()311e(e,e3xfxxaxa=−−是自然对数的底数).（1）讨论函数()fx的极值点的个数；（2）证明：函数()fx在区间()0,+内有且只有一个零点

.【答案】（1）()fx在R上有且仅有3个极值点.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导并利用()0fx=，得到0x=或e0xax−=，根据根的个数可得极值点的个数，设()exgxax=−，利用导数分析单调性并利用零点存在定理求

出根的个数即可.（2）根据导函数零点1201xx，分析()fx单调性，可得()fx在区间()0,+内的极大值为()1fx，极小值为()2fx，再利用零点存在定理分析可证.【小问1详解】()()2eexxfxxaxxax

=−=−，令()00fxx==或e0xax−=.设()exgxax=−，则()exgxa=−，令()0lngxxa==，且lnxa时，()0gx，()gx单调递减；lnxa时，()0gx，()gx单调递增，所以()()min()lnln1lngxgaaaaa

a==−=−，因为ea，则min0()gx，此时()gx在R上有且仅有两个零点，记为()1212,xxxx，因为()010g=，()1e0ga=−，x→+时()0gx，所以1201xx，所以()fx在R上有且仅有3个极值点.【小

问2详解】()()exfxxax=−，当0,exa时，()fx在R上有3个极值点：0，1x，2x，其中1201xx，且()010f=−，当10xx时，()0gx，则()0fx¢>，()fx单调递增；当12xxx时，()0gx，则()0fx，()fx单调递减

；当2xx时，()0gx，则()0fx¢>，()fx单调递增.所以()fx在区间()0,+内的极大值为()1fx，极小值为()2fx，且12121212eee,e,xxxxaxaxaaxx====.所以()()()()222

2223322222222e11e1e1e1e333xxxxxxfxxaxxxxx=−−=−−=−−的()2222222ee33330,3324xxxxx=−+−=−−−同理()1211e330324xfxx

=−−−，而当x→+时()0fx，因此函数()fx在区间(20,x内无零点，在区间()2,x+上有且只有一个零点.综上所述，ea时，()fx在区间()0,+内有且仅有一个零点.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左顶点()2,0A−，点

,PQ是椭圆C上关于原点对称的两个动点（点,PQ不与点A重合），APQ△面积的最大值是2.（1）求椭圆C的方程.（2）若直线,APAQ与y轴分别相交于点,DE，是否存在定点R，总有0DRER=？若存在，求出定点R的坐标；若不存在

，说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）存在，点()1,0R−或()1,0【解析】【分析】（1）设椭圆C的右顶点为B，根据题意可得122APQAPBPSSayab==，求出b，即可求解；（2）设()()(

)0,,0,,,DmEnRst，由向量的坐标表示可得()220stmntmn+−++=，设:PQxky=，表示出直线,APAQ的方程，联立直线PQ与AP、AQ方程，求出点P坐标，代入椭圆方程得24440mkm+

−=、24440nnk+−=，结合韦达定理，即可求解.【小问1详解】由题意知2a=，设椭圆C的右顶点为B，AOQPOBSS=，所以122APQAPBPSSayab==，即APQS的最大值为2，所以1b=，所以椭圆C的方程为2

214xy+=；【小问2详解】设()()()0,,0,,,DmEnRst，由0DRER=得到：()()20stmtn+−−=，即()220stmntmn+−++=，设:(0)PQxkyk=，直线,APAQ

的方程分别是()()2,222mnyxyx=+=+，联立()22xkymyx==+，解得22,22kmmxymkmk==−−，即点P的坐标为22,22kmmmkmk−−，因为点P在椭圆上，所以2222241

(2)(2)kmmkmkm+=−−，化简得24440mkm+−=；同理，24440nnk+−=，所以m、n是方程24440xkx+−=的两个异根，得,1mnkmn+=−=−.有2210stkt++−=，当且

仅当22010ktst=+−=，即0,1ts==时0DRER=恒成立，因此，存在点()1,0R−或()1,0R使得0DRER=恒成立.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为6,xtyt=+=−（t为参数），以坐标原点O为极

点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22312sin=+．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）点,PQ分别是直线l､曲线C上的动点，求PQ的最小值．【答案】（1）60xy+−=，22

13xy+=（2）22【解析】【分析】（1）将直线l的参数方程消去参数即可得出直角坐标方程；将曲线C的极坐标方程化为2222sin3+=，将222xy=+，siny=代入即可得出曲线C的直角坐标

方程；（2）由曲线C的直角坐标方程写出参数方程，分析得出PQ的最小值即为动点Q到直线l距离的最小值，由点到直线的距离公式写出PQ的表达式，即可求出最小值．【小问1详解】直线l的参数方程为6,xtyt=+=−（t为参数），消去参数t，得直线l的直角方程

为：60xy+−=；曲线C的极坐标方程22312sin=+可以化为2222sin3+=，将222xy=+，siny=代入得曲线C的直角坐标方程为：22223xyy++=，即2213xy+=．小问2详解】由（1）得直线l的直

角方程为：60xy+−=，曲线C的直角坐标方程为：2213xy+=，所以曲线C的参数方程为3cossinxy==（为参数），由曲线C的参数方程，可设()3cos,sinQ，因为PQ的最小值即为动点Q到直线l距离的最小值，故π2s

in()63cossin63112PQ+−+−==+，因为π2sin()[2,2]3+−，所以π62sin32PQ−+=,当πsin13+=时，PQ取得最小值22．23.已知函数()1212xxfxxx+−=+的

最小值为m.（1）求m的值；【（2）若0,0,ababm+=，求4abab+的最大值.【答案】（1）4m=（2）49【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解；（2）由（1），根据基本不等式“1”的用法计算，即可求解.【小问1详

解】()111122224fxxxxx=++−+−−=，当11220xx+−上式取到等号，因此4m=.【小问2详解】由（1）知，4m=，所以4ab+=()1444441441495245abbaabababa

bab====+++++++，.当且仅当4,4,abbaab+==即84,33ab==时，上式取等号，所以4abab+的最大值是49.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xi

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