【文档说明】【精准解析】甘肃省静宁县第一中学2020届高三第七次模拟考试数学（理）试题.doc，共(22)页，1.831 MB，由小赞的店铺上传

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静宁一中2020届高三级模拟训练卷（七）数学一、选择题1.已知全集UR，{|1}Mxx，{|20}Nxxx，则图中阴影部分表示的集合是()A.{|10}xxB.{|10}xxC.{|21}xx

D.{|1}xx【答案】A【解析】【分析】通过韦恩图，可知所求集合为UNCM，求解出集合N，利用集合运算知识求解即可．【详解】由2020xxx，即20Nxx图中阴影部

分表示的集合为：UNCM又1UCMxx10UNCMxx本题正确选项：A【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题．2.若复数z满足12zii，则z（）A.2B.3C.2D.5【答案】A【解析】【分

析】根据12zii，求出z，然后根据复数模的公式求出||z．【详解】解：因为复数z满足12zii所以()()()()2i2i1i2i2z1i1i1i1i2所以||112z，故选A．【点睛】本题考

查了复数的四则运算和复数模的运算，求解复数模的前提是将复数表示为abi的标准形式，然后根据模的公式求解．3.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已

知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A.6500元B.7000元C.7500元D.8000元【答案】D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．

【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x＝8000．故选D．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．4.过椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点与右顶点的直线方程为240xy，则椭圆C的

标准方程为（）A.221164xyB.221204xyC.221248xyD.221328xy【答案】A【解析】【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，得椭圆的,ab，从而得椭圆方程．【详解】在直线方程240xy中，令x=0，得y=2，得到椭圆的

上顶点坐标为（0,2），即b=2，令y=0，得x=4，得到椭圆的右顶点坐标为（4,0），即a=4，从而得到椭圆方程为：221164xy.故选：A.【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆的几何性质．属于基础题．5.已知向量3,1

a，3,3b，则向量b在向量a方向上的投影为（）A.3B.3C.-1D.1【答案】A【解析】【分析】根据投影的定义和向量的数量积求解即可．【详解】解：∵3,1a，3,3b，∴向量b在向量a方向上的投影cos,abbaba223331313，

故选：A．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题．6.将函数()sin23fxx的图象向左平移m(0)m个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数(

)gx的图象,若对任意的xR均有()12gxg成立,则m的最小值为（）A.2324B.1112C.12D.24【答案】D【解析】【分析】直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数()gx的解析式，对任意的xR均有()12gxg

，说明函数()gx在12x时，取得最大值，得出m的表达式，结合已知选出正确答案.【详解】因为函数()sin23fxx的图象向左平移m(0)m个单位长度,所以得到函数sin223yxm，再将图象上各点的横坐标

伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()gx的图象,所以()sin23gxxm，对任意的xR均有()12gxg成立，所以()gx在12x时，取得最大值，所以有22()()123224m

kkZmkkZ而0m，所以m的最小值为24.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.7.已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且

AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为A.25B.35C.115D.15【答案】C【解析】【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【

详解】解：在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则△ABC为直角三角形，且∠B为直角．则△ABC的面积S＝1512302，若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B，C的距离不小于2，则该点位于

阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝2222，则阴影部分的面积S＝302，则对应的概率P＝ABCSS阴影＝30-230＝1-15，故选C．【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区

域的面积是解决本题的关键．8.设01ab，bxa，ayb，logbza，则（）A.xyzB.yxzC.zxyD.zyx【答案】A【解析】【分析】根据条件01ab，令11,32ab，代入,xy中并取相同

的正指数，可得,xy的范围并可比较,xy的大小；由对数函数的图像与性质可判断z的范围，进而比较,,xyz的大小.【详解】因为01ab令11,32ab则1213bxa1312ayb12loglog13baz将式子变形可得

61321113327，6123111224因为111274所以xy由对数函数的图像与性质可知112211loglog132综上可得xyz故选：

A.【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题.9.若3sin()63，则sin(2)6（）A.63B.223C.33D.13【答案】D【解析】【分析】由题意，根据诱导公式，化简得sin(

2)cos(2)63，再由余弦的倍角公式，得到2cos(2)12sin()36，代入即可求解.【详解】由题意，根据诱导公式可得sin(2)cos[(2)]cos(2)6263，又由余弦的倍角公式，可得2231c

os(2)12sin()12()3633，即1sin(2)63，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理应用三角函数的诱导公式，熟记余弦的倍角公式，合理准确运算是解答的关键

，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10.已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，12,4AABCBAC，则三棱柱111ABCABC外接球的体积为（）A.123B.83C.63D.43【答案】D【

解析】【分析】设ABC的外接圆圆心为1111OABC，的外接圆圆心为2O，根据题意可得球心为12OO的中点，在1ORtOC中求解球的半径，从而可得球的体积．【详解】解：设ABC的外接圆圆心为1O，111ABC的外接圆圆心为2O，球的球心为O，因

为三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，所以球的球心为12OO的中点，且直线12OO与上、下底面垂直，且12222sin4OC，11OO，所以在1ORtOC中，123OC，即球的半径为3，所以球的体积为34433R

，故选D．【点睛】本题考查了柱体外接球的体积问题，解决问题的关键是要能准确想象出三棱柱各点、各棱、各面与外接球的位置关系，从立体图形中构建出平面图形，从而解得球的半径，属于中档题．11.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F作圆222x

ya的切线，交双曲线右支于点M，若1245FMF，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.2D.5【答案】A【解析】【分析】设切点为N，连接ON，作2F作2FNMN，垂足为A，由ONa，得到

12FAb，在直角三角形2MFA中，可得222MFa，得到122MFba，再由双曲线的定义，解得2ba，利用双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】设切点为N，连接ON，作2F作2FNMN，

垂足为A，由ONa，且ON为12FFA的中位线，可得22212,FAaFNcab，即有12FAb，在直角三角形2MFA中，可得222MFa，即有122MFba，由双曲线的定义可得1222222MFMFbaaa，可得2ba，所以223caba

，所以3cea，故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,ac，代入公式cea；②只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，转化为,ac的齐次式，然后转化为关于

e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)．12.已知函数fx是定义域在R上的偶函数，且11fxfx，当0,1x时，3fxx，则关于x的方程cosfxx在15,22上所有实数解之和为（）A.1B.3C.6D.7【答

案】D【解析】【分析】由11fxfx可知fx为周期函数，再根据fx为偶函数可得fx在15,22的图像，再根据cosgxx在15,22上的图像得到所有的fxgx的实根之和.【详解】因为11fxfx

，则2fxfx，所以fx的最小正周期为2，又由111fxfxfx得fx的图像关于直线1x对称.令cosgxx，则gx的图像如图所示，由图像可得，yfx与cosgxx的图像在15,22有7个交点且实数

解的和为2317,故选D.【点睛】一般地，方程fxgx的解的性质的讨论，可以通过构建新函数Fxfxgx来讨论，也可以通过考虑yfx和ygx的图像的交点性质来讨论.二、填空题13.在ABC

中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3C，2b，3c，则A__________．【答案】512【解析】【分析】根据正弦定理求得B，再利用三角形内角和求得角A.【详解】因为3C，2b，3c由正弦定理sinsincbCB得：

32sinsin3B2sin2B又bc，所以BC4B所以53412A本题正确结果：512【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题.14.若二项式62313xx的展开式中的常数项为m，则213=mxdx______.【答案】

124【解析】【分析】先根据二项展开式求得常数项项数，即得常数项，再根据定积分得结果.【详解】因为66212316631333rrrrrrrTCxCxx，所以由1230r得24634,53rm

C,因此1122335533|51=1241mxdxxdxx.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某

项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15.已知直线l、m与平面、，l，m，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序

号）.①若lm，则∥②若lm，则③若l，则④若，则m【答案】③【解析】【分析】①②列举反例，③利用面面垂直的判定定理，④利用面面垂直的性质定理，即可判断．【详解】①如图所示，设α∩β＝c，l∥c，m∥c满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设α∥β，l′

⊂β，l′∥l，l′⊥m，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确；③由面面垂直的判定定理，若l⊥β，则α⊥β，故③正确；④若α⊥β，α∩β＝n，由面面垂直的性质定理知，m⊥n时，m⊥α，故④不正确．综上可知：只有③正确．故答案为③．【点睛】熟练掌握线面、面面垂直与平行的判

定与性质定理是解题的关键．否定一个命题，只要举出一个反例即可，属于中档题．16.将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任意取两个，这两个都恰是两面涂色的概率是______.【答

案】22117【解析】【分析】先由题意，确定小正方体中，两面涂色的个数，再由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，则这些小正方体中，恰有两面涂色的小正方体位于原正方体的各个棱上（不包括各端点对应的小正方体），共有12个小正方体

，因此从这27个小正方体中任意取两个，这两个都恰是两面涂色的概率是212227121122227261172CC.故答案为：22117.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.三、解答题17.设数列na的前n项和为nS，若12nnSanN

．(1)求出数列na的通项公式；(2)已知1211nnnnbnNaa，数列nb的前n项和记为nT，证明：2,13nT．【答案】（1）2nna（2）

见解析【解析】【分析】（1）利用11nnnSSa，列出1112nnSa后与12nnSa作差，可得12nnaa，从而得到na为等比数列，利用1112Sa求出1a后，可得到通项公式；（2）写出nb的通项公式，采用裂项相消的方法可得11121nnT，可知1n时，

nT最小且1nT，从而证得结论.【详解】（1）因为12nnSa，所以1112nnSa两式相减可得1102nnnnSSaa12nnaa，即12nnaa在12nnSa中，令1n可得：12a所以数列na是首项为2，公比为2的等比数列2

nna（2）1121121212121nnnnnnb所以：1223111111111...121212121212121nnnnT所以nT是一个单调递增的数列当

1n时，1min2121213nTT当n时，1nT所以2,13nT【点睛】本题考查利用递推关系求解数列通项公式、裂项相消法求和，关键在于能够利用1nnnSSa得到na为等比数列；在进行数列求和时，要根据通项公式所满足的形式选取合适的方法，对于分

式且分母为乘积形式的通项公式，求和时多选取裂项相消的方法.18.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，//ADBC，3ABADAC，4PABC==，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点.（1）证明//

MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）8525.【解析】【分析】（1）取BP的中点T，连接,ATTN，证得//TNAM且TNAM，得到四边形AMNT为平行四边形，证明//MNAT，

证得//MN平面PAB；（2）以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，求得面PMN的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由已知得223AMAD，取BP

的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知//TNBC，122TNBC，又ADBC∥，故//TNAM且TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是//MNAT，因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以//MN平面P

AB.（2）取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且222252BCAEABBEAB.以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz

，由题意知，0,0,4P，0,2,0M，5,2,0C，5,1,22N，0,2,4PM，5,1,22PN，5,1,22AN，设,,nxyz为平面PM

N的一个法向量，则00nPMnPN，即2405202yzxyz，令1z，可得0,2,1n，于是85cos,25nANnANnAN，所以AN与平面PMN所成角的正弦值为8525.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查

学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量

的夹角公式求解.19.在直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab的离心率为12，抛物线E：24yx的焦点F是椭圆C的一个焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆上

异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线4x于点Q，求证：A，N，Q三点在同一条直线上.【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）依题意得到12ca，1,0F，求

出,ab，即可得出椭圆C的方程；（2）先由（1）得到2,0A，2,0B，设11,Mxy，22,Nxy，直线MN的方程为1xmy，与椭圆联立，根据韦达定理，得到122634myym，122934yym，再求出点Q的坐标，根据向

量共线的坐标表示，判断//ANAQ，即可证明结论成立.【详解】（1）依题意，12ca，1,0F，所以1c，2a，2223bac，所以椭圆C的方程为22143xy；（2）证明：由（1）知，2,0A，2,0B，设11,

Mxy，22,Nxy，直线MN的方程为1xmy，由方程组221,1,43xmyxy消去x，并整理得2234690mymy，因为22636340mm，所以122634myym，122934y

ym，因为直线BM的方程可表示为1122yyxx，将此方程与直线4x联立，可求得点Q的坐标为1124,2yx，所以222,ANxy，1126,2yAQx，因为

2112211212211161221162222622212ymyymyyxyxyyxxxmy221212119646463434011mmmyy

yymmmymy，所以//ANAQ，又向量AN和AQ有公共点A，故A，N，Q三点在同一条直线上.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及证明椭圆中三点共线的问题，涉及向量共线的

坐标表示，属于常考题型，计算量较大.20.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于n份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检

验n次．二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总共为1k

次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为223P．（Ⅰ）求把2份血液样

本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．【答案】（Ⅰ）19；（Ⅱ）选择方案三最“优”，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据独立事件和对立事件概率公式可计算求得结果；（Ⅱ）确定方案二和方案三检验次数所有可能

的取值，并求得每个取值对应的概率，进而得到分布列，由数学期望的计算公式计算得到期望，与方案一的期望4进行比较，得到最优方案.【详解】（Ⅰ）该混合样本阴性的概率为：222839，根据对立事件原理，阳性的概率为：81199．

（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4．方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检验次数为1，概率为89；若阳性则检验次数为3，概率为19，设方案二的检验次数记为，则的可能取值为2,4,6，28642981P；12181649981P

C；11169981P，则的分布列如下：246P64811681181可求得方案二的期望为6416119822246818181819E．方案三：混在一起检验，设方案三

的检验次数记为，的可能取值为1，5，422641381P，6417518181P，则的分布列如下：15P64811781可求得方案三的期望为641714915818181E．比较可得4EE，故

选择方案三最“优”．【点睛】本题考查独立事件和对立事件概率问题的求解、离散型随机变量的数学期望的求解问题；关键是能够通过题意准确确定不同方案随机变量所有可能的取值，并准确求得对应的概率，考查学生的分析和解决问题、运算和求解能力.21.已知函数22()(),axafxexa，其中0a．(Ⅰ

)求曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的倾斜角；(Ⅱ)若函数()fx的极小值小于0，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）倾斜角为0(Ⅱ)(,2)(0,)【解析】【分析】（Ⅰ）先对函数fx求导，得到'1f，进而可得出切线的倾斜角；(Ⅱ)先由0fx

得到122,1axxa，分别讨论0a、1a、10a和1a，即可得结果.【详解】解：（Ⅰ）因为22eaxafxxa，所以2'e22axfxaxxa,所以'10f所以曲线yfx在点1,1f处切线的倾斜

角为0（Ⅱ）因为2'e22e21axaxfxaxxaaxax令0fx，得到122,1axxa当0a时，x，'fx，fx的变化情况如下表:x1,x1x1,1x11,fx

0-0fx极大值极小值2221e1e11e0aaaafaaa，符合题意当1a时，1221axxa，2'e10axfxx,fx没有极值，不符合题意当1

0a时，11x，'fx，fx的变化情况如下表x,1111,x1x1,xfx-00-fx极小值极大值而21e0afa，不符合题意当1

a时，11x，'fx，fx的变化情况如下表:x1,x1x1,1x11,fx-00-fx极小值极大值所以22122e0aaaaafxaa，解得2a综上，a的取值范围是

,20,【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，熟记导数几何意义，会用导数的方法研究函数的单调性、极值等即可，属于常考题型.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3cos,42sin,4xtyt

(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为24cossin.（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）过点(3,2)P作直线l的垂线，交曲线C于,MN两点，求||||PMPN.【答案】（1）

10xy，24yx；（2）16【解析】【分析】（1）消去参数可得普通方程，由公式cossinxy可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）可所作直线的参数方程为23,222,2xtyt，代入抛物线方程24yx，由t的

几何意义易求得PMPN.【详解】（1）直线l的参数方程为3cos,42sin,4xtyt(t为参数)，消去参数可得10xy，曲线C的极坐标方程为24cossin，即2sin4cos，化为24yx.（2）过点(3,

2)P与直线l垂直的直线的参数方程为23,222,2xtyt(t为参数)，代入24yx，可得282160tt，∴1216tt，故12||||16PMPNtt.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直

角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用。(1)直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为max()fx(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题

中经常用到：①t0＝max()fx；②|PM|＝|t0|＝max()fx；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[注意]在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意

义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.23.已知函数211fxxx.（1）解不等式3fx；（2）记函数fx的最小值为m，若,,abc均为正实数，且122abcm，求222abc

的最小值.【答案】（1）(,1][1,).（2）37.【解析】【分析】（1）由题意结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为{|1xx或1}x.（2）由题意结合(1)中函数的解析式可得13222abc，结合柯西不等式的结论可得222abc的最小值

为37.【详解】（1）3,112,1213,2xxfxxxxx，所以3fx等价于133xx或11223xx或1233xx，解得1x或1x，所以不

等式的解集为{|1xx或1}x.（2）由（1）可知，当12x时，fx取得最小值32，所以32m，即13222abc，由柯西不等式2222222119122224abcabc

，整理得22237abc，当且仅当22cab时，即124,,777abc时等号成立，所以222abc的最小值为37.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意

在考查学生的转化能力和计算求解能力.