【文档说明】备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题05 三角函数 Word版含解析.docx，共(63)页，3.455 MB，由小赞的店铺上传

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专题05三角函数易错点一：三角函数值正负判断不清导致错误（任意角、弧度制及任意角的三角函数）1．角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的

角，连同角α在内，构成的角的集合是ZkkS+==，360．（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐

标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数

是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad180=，rad1801=，=180rad1．（3）扇形的弧长公式：rl=，扇形的面积公式：22121rlrS==．3．任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终

边与单位圆交于点)(yxP，时，则y=sin，x=cos，)0(tan=xxy．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P)(yxP，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则ry=sin，rx=cos

，)0(tan=xxy三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinR＋＋－－cosR＋－－＋tan}2|{Zkk+，＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三

角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线易错提醒：（1）利用终边相同的角的集合可以

求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数()kkZ赋值来求得所需的角．（2）确定()*,kkNk的终边位置的方法先写出k或k的范围，然后根据k的可能取值确定k

或k的终边所在位置．（3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置．（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略

角的终边在坐标轴上的情况.例如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，设两质点运动sx时这两质点间的距离为()fx．(1)求()fx的解析式；(2)求这两质点从点P出发

后第n次相遇的时间nx（单位：s）．【详解】（1）由质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，得sx时质点A，B的坐标分别为()cos3,sin3xx，()cos5,sin5xx，则()()()22cos3cos5sin

3sin522cos3cos52sin3sin5fxxxxxxxxx=−+−=−−22cos22sinxx=−=，所以()fx的解析式为()()2sin0fxxx=.（2）因为两质点从点P出发后每相遇一次即对应函数()f

x的一个零点，因此nx为()fx在区间()0,+上第n个零点，由()2sin0nnfxx==，得sin0nx=，解得*)π(Nnxnn=，所以两质点从点P出发后第n次相遇的时间()()*πNsnxnn=.变式1．如图，在平面直角

坐标系xOy中，锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,Pxy，5cos5=.(1)求1y的值；(2)射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点22(,)Mxy，点N与M关于x轴对称，求tanMON的值.【详解】

（1）解：因为锐角的终边与单位圆交于点()11,Pxy，5cos5=，所以2125sin1cos5y==−=.（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则()1,0Q−，设MOQ=，则22=−+=−

，所以sincos12tantan2sin2cos2−=−===−，所以22122tan42tantan21tan3112MON====−−.变式2．角α的终边与单位圆交于点125

,1313P−，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角π−，−，π+，2π−的正弦函数值、余弦函数值．【详解】点P关于x轴对称的点的坐标1125,1313P−−，点P关于y轴对称的点的坐

标2125,1313P，点P关于原点对称的点的坐标3125,1313P−.易知角π−的终边经过点2125,1313P，根据三角函数的定义可知，()5sinπ13−=，()12cosπ13

−=；角−的终边经过点1125,1313P−−，根据三角函数的定义可知，()5sin13−=−，()12cos13−=−；角π+的终边经过点3125,1313P−，根据三角函数的定义可知

，()5sinπ13+=−，()12cosπ13+=；角2π−的终边经过点1125,1313P−−，根据三角函数的定义可知，()5sin2π13−=−，()12cos2π13−=−.变式3．如图，已知OPQ是半径为1，圆

心角为ππ42的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，设(0)POC=.(1)若5ππ,124==，求线段OA的长；(2)已知当π6=时，矩形ABCD的面积S最大.求圆心角的大小，并求此时矩形ABCD面

积S的最大值是多少？【详解】（1）πsinsin45πtantantantan12ADBCOCOA====，ππ3tantan15πππ463tantan23ππ124631tantan1463++=+===+−−，622OA=−.（2

）由题意知sinBC=，()sin1cossincoscossintansinABOBOA=−=−=−，()sinsincoscossinsinSBCAB==−()21sin

sin22cossin2sin=−()1sinsin2coscos2cos2sin=+−，()()1cos2cos2sinS=−−，所以当()cos2=1−，即π23==时，面积S最大，最大值为36.1．已知角的

始边为x轴的非负半轴，终边经过点(3,4)P−，则sincos22sin2cos22−=+（）A．2B．12−C．12或2D．14【答案】D【分析】先确定2所在的象限，再根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求出tan2，再根据商数关系化弦为切即可得解.【详解】由题意，得角是第二象

限角，则π2π,π2π,Z2kkk++，故πππ,π,Z242kkk++，当2,Zknn=时，ππ2π,2π,Z242nnn++，2为第一象限角，当21,Zknn=+时，5π3π2π,2π,Z242nn

n++，2为第三象限角，所以2是第一象限角或第三象限角，则tan02，又因为22tan42tan31tan2==−−，所以tan22=或1tan22=−（舍去），所以sincostan1211222224sin2cos

tan2222−−−===+++．故选：D．2．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点(),6m，且()tan3−+=−，则cos=（）A．105−

B．1010−C．105D．1010【答案】B【分析】用终边经过的点求出2m=−即可求解.【详解】因为角的终边经过点(),6m，且()tantan3−+==−，所以63m=−，解得2m=−，所以()22210cos1026−==−−+．故选：B3．在平面直角坐标系xOy中

，若角以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边，且终边过点32,12，则sin()yx=+取最小值时x的可能取值为（）A．4π3B．π3−C．5π6−D．π3【答案】A【分析】利用三角函数的定义可得，再结合三角函数的性质计算即可.【详解

】∵角θ的终边经过点32,12，∴1sin2=，3cos2=，∴π2π6n=+，Zn，由正弦函数的性质可知在()sinyx=+取最小值时．3π2π2xk+=+，Zk，即()44π2π2ππ2πZ33xknxmknm=+−=+、、，0m=时A正确；对于B，π45π

2π336mm−=+=−，不符合；对于C，5π413π2π6312mm−=+=−，不符合；对于D，π41π2π332mm=+=−，不符合；故选:A．4．已知是第三象限角，则点()cos,sin2Q

位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.【详解】因为是第三象限角，故sin0,cos0，则sin22sincos0

=，故()cos,sin2Q在第二象限，故选：B5．已知角终边上有一点2π2πsin,cos33P，则π−为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【分析】根据终边相同角的定义即可求解.【详解】已知角终边上有一点2π2πsi

n,cos33P，即点31,22P−，()π2π6kk=−+Z，()7ππ2π6kk−=−Z为第三象限角.故选：C.6．已知角()0,2π，终边上有一点()cos2sin2,cos2sin2−−−，则=（）A．2B．3π24+C

．7π24−D．π22+【答案】C【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得3π2π4k=−+，结合角的范围即可求解.【详解】πtantan2cos2sin21tan24tanπcos2sin21tan21tantan24+−−+==−=−−−

−ππ3πtan2tanπ2tan2444=−+=−+=−，故3π2π4k=−+，kZ．又cos2sin20−，πcos2sin22sin204−−=−+，故在第三象限，故1k=，7π24=−

．故选:C．7．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两个点()1,Aa，()2,Bb，且2cos23=，则ab−=（）A．55B．55−C．55或55−D．255或255−【答案】C【分析】根据三角函数的定义式可得tan2ba==，又结合二倍角的余弦公式及齐

次式的原因可得221213aa−=+，接方程组即可.【详解】由已知可得tan2ba==，2ba=，又222cos2cossin3=−=，2222cossin2c3ossin−=+，221tan21tan3−=+

，即221213aa−=+，联立得2221213baaa=−=+，解得55255ab==或55255ab=−=−，55ab−=，故选：C.8．已知角的终边落在直线2yx=−上，则2cos2sin23++的值为（）A．1−

B．1C．1D．3【答案】B【分析】利用三角函数的定义以及同角三角函数关系和二倍角公式即可解决.【详解】因为角的终边落在直线2yx=−上，所以tan2=-.则()22222cossin2sincos2cos2sin233sincos−+++=++2222ta

n2tan3tan1−+=++()224223141−+−=+=+.故选：B9．已知角的终边与单位圆的交点为3,2Px，则cos2=（）A．12B．12−C．32−D．32【答案】B【分析】先求出x，利用三角函数定义求出co

s的值，再利用二倍角余弦公式求解即可.【详解】由题得2314x+=，所以12x=，所以112cos12==或112cos12−==−，所以211cos22cos12142=−=−=−.故选：B10．下列说法正确的是（）A．若sinsin=，则与是终边相同的角B．若角的终边过

点()()3,40Pkkk，则4sin5=C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D．若sincos0，则角的终边在第一象限或第三象限【答案】CD【分析】举反例+=判断A；由三角函数的定义

判断B；由弧长公式判断C；由sin与cos同号判断D.【详解】对于A：当+=时，sinsin=，但终边不同，故A错误；对于B：22(3)(4)5||rkkk=+=，当0k时，4sin5=−，故B错误；对于C：由23,1r

lr+==，得1,1llr===，故C正确；对于D：sincos0，即sin与cos同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；故选：CD11．如图所示，角的终边与单位圆O交于点13,2

2P，将OP绕原点O按逆时针方向旋转2后与圆O交于点Q.(1)求Qy；(2)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a=，2b=，sinQAy=，求ABCS.【答案】(1)12Qy=(2)312ABCS+=△或312ABCS−=△.【分析】（1）根据三角

函数的定义及诱导公式直接得解；（2）由已知可得A，再利用余弦定理可得c，进而可得面积.【详解】（1）由题知1cos2=，3sin2=，所以1sincos22Qy=+==；（2）由题知2a

=，2b=，1sin2A=，(),0,AB，且ab，所以AB，而1sin2A=，则6A=，故3cos2A=，由正弦定理可知2222cosabcbcA=+−，整理得22320cc−+=，解得3

1c=，故131sin22ABCSbcA+==△，或312ABCS−=△.易错点二：诱导公式认识不清导致变形错误（同角三角函数的基本关系与诱导公式求值问题）1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：1cossin22=+．（2）

商数关系：)2(tancossink+=；2．三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Zkk++−−−2+2正弦sinsin−sin−sincoscos余弦coscos−coscos

−sinsin−正切tantantan−tan−口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限题型1．同角三角函数关系齐次化（1）利用方程思想，对于sin,cos,tan，由公式22sinsin

cos1,tancos+==，可以“知一求二”．对于sincos,sincos，由下面三个关系式222(sincos)12sincos,(sincos)(sincos)2=++−=，可以“知一求二”．（2）sin,cos的齐次式的应用：分式中分子与分

母是关于sin,cos的齐次式，或含有22sin,cos及2sincos的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sincos1+=”代换后转化为“切”求解．题型2．利用诱导公式化简及其计算（1）诱导公式的两个应用①求值

：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．（2）学会诱导公式的逆用，如sinsin(),coscos()=−=−−等，再如2sinsin33yxx=−=+

，能将sin3yx=−中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．（3）学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为2的整数倍．技巧：1．利用1cossin22=+可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tancossin=可以实

现角的弦切互化．2．“cossincossincossin−+，，”方程思想知一求二．222(sincos)sincos2sincos1sin2+=++=+222(sincos)sincos2sincos1sin2−=+−=−22

(sincos)(sincos)2++−=易错提醒：奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n所处的象限，并判断题设三角函数在该象

限的正负；（3）当n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可。例．已知4tan3=−．(1)求22sin2cos−的值．(2)求()()oπ2sinsin23cscos2π

π+−−+−−的值．【详解】（1）22222222sin2costan22sin2cossincostan125−−−===−++；（2）()()2sinsin2sincos2tan1523sincos1tan7coscosπ2ππ

+−++===−−+−−+−−.变式1．已知,均为锐角，且310sin,sin()510=−=−．(1)求tan()−的值；(2)求cos(2)−的值．【详解】（1）π,0,2，ππ2

2−−，又sin()1010−=−，π02−−，310cos()10−=，1tan()3−=−.（2）Q为锐角，3sin5=，4cos5=．cos(2)cos[()]coscos()sin

sin()−=+−=−−−431031031051051010=−−=．变式2．已知1cos3=，且π02−，化简并求()()()cosπsin2πtan2π3ππsincos22−−

+−−+的值.【详解】解：因为1cos3=，且π02−，则22122sin1cos133=−−=−−=−，所以，sin22tan322cos3==−=−，故()()()()()()()cosπsin2πtan2πcossintanta

n223ππcossinsincos22−−+−−−===−−−−+.变式3．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点()3,4P−.(1)求()πcosπsin2−−+

的值；(2)若锐角满足()12cos13+=，求sin的值.【详解】（1）由题设知：3,4,5xyrOP==−==，则3cos5xr==，又()πcosπcos,sincos2−=−+=，()π6cosπsin2cos25

−−+=−=−；（2）由（1）知：43sin,cos55=−=，且()()25sin1cos13+=−+=，又为锐角，为第四象限角，所以+为第四象限角或第一象限角.当+为第一象限角时()5sin13

+=，则()()()5312463sinsinsincoscossin13513565=+−=+−+=−−=，当+为第四象限角时()5sin13

+=−，则()()()5312433sinsinsincoscossin13513565=+−=+−+=−−−=.1．若1tan3=，则sin2cos2−=（）A．15−B．14C．12D．75【答案】A【分析】根据题意，结合正弦、余弦

的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.【详解】由1tan3=，则22222sincoscossinsin2cos2sincos−+−=+2211212tan1tan1391tan1519−+−+

===−++.故选：A.2．已知()π1530,cos,sin2175−==，则cos=（）A．8485B．3685C．1385D．7785【答案】B【分析】将所求角通过拆角、变角，利用两角和的余弦公式求解即可.【详解】π02

，所以π02−−，π02−，因为3sin5=，所以24cos1sin5=−=，因为()15cos17−=，所以()()28sin1cos17−=−−=，()()()1548336coscoscoscossinsin17517585

=−+=−−−=−=，故选：B．3．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点(),6m，且()tan3−+=−，则cos=（）A．105−B．1010−C．105D．1010【答案】B【分析】用终边经过的点求出2

m=−即可求解.【详解】因为角的终边经过点(),6m，且()tantan3−+==−，所以63m=−，解得2m=−，所以()22210cos1026−==−−+．故选：B4．已知1sincos

3−=，则222π2sin4ππcossin44−=−−−（）A．23−B．19−C．89D．18【答案】D【分析】方法一：根据平方关系、二倍角公式化简已知可得8sin2

9=，结合诱导公式化简可得所求；方法二：利用辅助角公式化简已知可得π2sin46−=，再根据二倍角公式化简可得所求.【详解】方法一：1sincos3−=，()21sincos9−=，82sincos9=，即8si

n29=，222ππ82sin1cos211sin214298πππsin28cossincos29442−−−−−====−−−−

.方法二π1sincos2sin43−=−=，即π2sin46−=，2π12sin49−=，222πππ8cossin12sin4449−−−=−−=，222π12sin1498π

π8cossin944−==−−−.故选：D.5．已知为锐角，π3sin35+=，则sin=（）A．34310−B．43310−C．34310+D．34310+−【答案】C【分析】根据两角和差的正弦公式求解即可.【

详解】因为π3sin35+=所以2ππ4cos1sin335+=−+=，当π4cos35+=时，ππππππsinsinsincoscossin333333=+−=+−+

31433430525210−=−=，为锐角，不合题意，舍去；当π4cos35+=−时，ππππππsinsinsincoscossin333333=+−=+−+31433430

525210+=+=，满足题意；所以sin=34310+.故选：C6．已知π(,0)2−，且πtan()3cos24−=，则sin2=（）A．16−B．13−C．23−D．56−【答案】C【分

析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的正余弦公式求解即得.【详解】由πtan()3cos24−=，得πsin()πππ43sin(2)6sin()cos()π244cos()4−=−=−−−，而π(,0)2−，则ππ3π(,)444−，πs

in()04−，因此2π12cos()43−=，即有π1()231cos2−=+，所以π2sin2cos(2)23=−=−.故选：C7．若()0,π，且1cossin2−=，则tan=（）A．475+B．475−C．473+D．473−【

答案】D【分析】先左右两边平方，得出3sincos8=，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值．【详解】∵1cossin2−=，∴21(cossin)4−=，即112sincos4−=，∴3sincos8=，∴22sincos3sincos8=+，

得2tan31tan8=+，∴23tan8tan30−+=，∴47tan3−=或47tan3+=，∵()0,π，且1cossin02−=，∴由三角函数定义知π0,4，∴0tan1，故47tan3

−=．故选：D.8．已知1sincos5+=，(0,π)，则（）A．3tan4=−B．7cos225=−C．tan22=D．π2cos410+=【答案】BC【分析】先将1sincos5+=两边平方，结合2

2sincos1+=，得出242sincos25=−，结合(0,π)得出π(,π)2，再计算出7sincos5−=−，即可求出sin和cos，根据同角三角函数的商数关系，二倍角的余弦公式和正切公式，两角的余弦

公式分别计算即可判断各选项．【详解】由1sincos5+=得，21(sincos)25+=，则242sincos25=−，因为(0,π)，242sincos025=−，所以π(,π)2，所以247sincos12sin

cos1255−=−=+=，由1sincos57sincos5+=−=，解得4sin53cos5==−，对于A，4sin45tan3cos35===−−，故A错误；对于B，2

222347cos2cossin()()5525=−=−−=−，故B正确；对于C，因为π(,π)2，所以(,)242ππ，则θtan02>，22tan42tan31tan2==−−，即()(2

tan2tan122)0−+=，解得tan22=或1tan22=−（舍去），故C正确；对于D，π22324272coscossin422525210+=−=−−=−，故D错误，故选：BC．9．已知ππsinc

os3cossin66+=+，则tan=.【答案】3−【分析】利用弦切互化和两角和的正切公式求解即可.【详解】因为ππsincos3cossin66+=+，所以πtan3t

an6=+，所以3tan3tan31tan3+=−，所以2tan23tan30++=，即()2tan30+=，所以tan3=−.故答案为：3−.10．已知是第四象限角，且满足7si

ncos13+=，则tan=．【答案】512−【分析】根据得到sin0,cos0，利用三角函数的基本关系式，求得1202sincos169=−，进而求得17sincos13−=−，联立方程组，求得sin,cos的值，即可求解.【详解】由是第四象限角，可得sin0,

cos0，则sincos0−，因为7sincos13+=，可得()2sincos12sincos69491+=+=，可得1202sincos169=−，又由()2289sincos12sincos169

−=−=，因为sincos0−，可得17sincos13−=−，联立方程组，可得512sin,cos1313=−=，所以sin5tancos12==−.故答案为：512−.11．若π02，且tan2=，则sincoscos2−=．【答案】5

3−/153−【分析】结合角的范围和同角三角函数的基本关系，先求出角的正弦与余弦，再将所求式子利用二倍角公式转化为角的正余弦，代入求值即可.【详解】因为πtan2,02=，联立22sin2cossincos1

=+=，解得25sin55cos5==，则22sincossincos15cos2cossinsincos3−−==−=−−+．故答案为：53−.易错点三：

忽视三角函数图象变换研究对象选取（三角函数的图象和性质）1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数xysin=，]20[，x的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22−，，，

，，，，，，．（2）在余弦函数xycos=，]20[，x的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22−，，，，，，，，，．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中Zk）注：正

（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T；函数xysin=xycos=xytan=图象定义域RR}2|{+kxRxx，值域]11[，−]11[，−R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间]2222[+−kk，]22[k

k，+−)22(+−kk，递减区间]23222[++kk，]22[kk+，无对称中心)0(，k)02(，+k)02(，k对称轴方程2+=kxkx=无正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T；3．)sin(+=wxAy与)0,0)(cos(

+=wAwxAy的图像与性质（1）最小正周期：wT2=．（2）定义域与值域：)sin(+=wxAy，）+=wxAycos(的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设00wA，．①对于)sin(+

=wxAy，−+−=++=+;)(22;)Z(22AZkkwxAkkwx时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当②对于）+=wxAycos(，−+=+=+;)(2;)Z(2AZkkwxAkkwx时，函数

取得最小值当时，函数取得最大值当（4）对称轴与对称中心．假设00wA，．①对于)sin(+=wxAy，+==+=+=+==++=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(200000

0xwxywxZkkwxxxwxywxZkkwx的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当②对于）+=wxAycos(，+==++=+=+==+=+).0,()co

s(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000xwxywxZkkwxxxwxywxZkkwx的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置．（5）单调性．假设0

0wA，．①对于)sin(+=wxAy，+++++−+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；ZkkkwxZkkkwx②对于）+=wxAycos(，+++−+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；

ZkkkwxZkkkwx（6）平移与伸缩由函数xysin=的图像变换为函数3)32sin(2++=xy的图像的步骤；方法一：)322(+→+→xxx．先相位变换，后周期变换．⎯⎯⎯⎯⎯→⎯=个单位向左平移的图像3sinxy

的图像)3sin(+=xy12⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变的图像)32sin(+=xy2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变的图像)32sin(2+=xy⎯⎯⎯⎯⎯→⎯个单位向上平移33)32sin(2++=xy方法二：)322(+→+→x

xx．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．的图像xysin=12⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变⎯⎯⎯⎯⎯→⎯=个单位向左平移的图像62sinxy的图像)22sin()6(2sin+=+=xxy2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→所

有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变⎯⎯⎯⎯⎯→⎯+=各单位向上平移的图像3)32sin(2xy3)32sin(2++=xy结论：关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数sinyx=的对称轴为()2xkkZ

=+，对称中心为(,0)()kkZ；（2）函数cosyx=的对称轴为()xkkZ=，对称中心为(,0)()2kkZ+；（3）函数tanyx=函数无对称轴，对称中心为(,0)()2kkZ；（4）求函数sin()(0)yAwxbw

=++的对称轴的方法；令()2wxkkZ+=+，得2()kxkZw+−=；对称中心的求取方法；令()wxkkZ+=，得kxw−=，即对称中心为()kbw−，．（5）求函数

)0()cos(++=wbwxAy的对称轴的方法；令)(Zkkwx=+得wkx−+=2，即对称中心为))(,2(Zkbwk−+题型1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函

数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）sin()yAwx=+或cos()yAwx=+，常见方法有：（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角

和、差公式或辅助角公式sincosawxbwx+将已给函数化成同函．题型2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述sin()yAwx=+或cos()yAwx=+的形式，

有时会化简为二次函数型：22sinsinyaxbxc=++或22coscosyaxbxc=++，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意sincosxx或的取值范围．若将已给函数化简为更高次的函数，如22(1sin)cos(1sin)(1-sin)yxxxx=+=+

，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有sincosxx和sincosxx，令t=sincosxx，由关系式22sincos12sincostxxxx==（）得到sincosxx关于t的函数表达式．题型3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为

下列基本类型：（1）sinyaxb=+，令sintx=，则,(1,1)yatbt=+−；（2）sincosyaxbxc=++，引入辅助角tanba=（），化为22sin()yabxc=+++；（3）2sinsinyaxbxc=++，令sintx=，则2,(1,1)yatbt

ct=++−；（4）sincossincosyaxxbxxc=++（），令t=sincosxx，则22sincos12sincostxxxx==（），所以21()2tyabtc−=++；（5）sincosaxbycxd+=+，根据正弦函数的有界性，既可用分析

法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．易错提醒：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x

”发生多大变化，而不是“角+wx”变化多少.例．定义在R上的函数()()π2sinN3fxx=+满足在区间ππ,66−内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确．．．的是（）A．()fx的最

小正周期为π2B．将()fx的图象向右平移π3个单位长度后关于原点对称C．()fx图象的一个对称中心为π,06D．()fx在区间π,06−上单调递增【详解】依题可知π23TT，于是36，于是πππ0263ππ3ππ632−

−++，∴45，又N，∴5=，∴()π2sin53fxx=+，对于A，由2π2π==5T，则()fx的最小正周期为25，故A错误；对于B，因为ππ4π4π2π2sin52sin52sin52π2sin533333xxxx

−+=−=−+=+，所以将()fx的图象向右平移π3个单位长度后得()2π2sin53gxx=+，则()2π02sin33g==，所以()gx不关于原点对称，故B错误；对于C，由π7π2sin166f

==−，所以π,06不是()fx图象的一个对称中心，故C错误；对于D，由π,06x−，则πππ5,323x+−，所以()fx在区间π,06−上单调递增，故D正确．故选：ABC．变式1．已知函数π3sincos34

yxx=+−，把函数的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()gx的图象，若π0,3x时，方程()0gxk+=有实根，则实数k的取值可以为（）A．12B．14C．13−D．14−【详解】因为π3133si

ncossincoscos34224yxxxxx=+−=+−()2213313sincoscossin22cos122444xxxxx=+−=+−131πsin2cos2sin24423xxx=+=+，将函数1πsin223yx

=+的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()gx的图象，则()1ππ1sin2sin22632gxxx=−+=，当π0,3x时，2π023x，则0sin21x，由()0gxk+=得1sin202xk+=，可得2sin2kx−=，所以，021k

−，解得102k−，故选：CD.变式2．已知函数()()3sin2fxx=+的初相为π6，则下列结论正确的是（）A．()fx的图象关于直线π3x=−对称B．函数()fx的一个单调递减区间为5ππ,6

3−−C．若把函数()fx的图象向右平移π12个单位长度得到函数()gx的图象，则()gx为偶函数D．若函数()fx在区间ππ,64−上的值域为333,22−【详解】由题意知π6=

，所以()π3sin26fxx=+．对于选项A，π33f−=−，所以()fx的图象关于直线π3x=−对称，故A项正确；对于选项B，由ππ3π2π22π262kxk+++，Zk，得π2πππ63kxk

++，Zk，则当1k=−时，函数()fx的一个单调递减区间为5ππ,63−−，故B项正确；对于选项C，()fx的图象向右平移π12个单位长度得到函数()ππ3sin23sin2126gxxx=−+=

的图象，所以()gx为奇函数，故C项错误；对于选项D，因为ππ64x−，所以ππ2π2663x−+，所以1πsin2126x−+，所以π3sin23263x−+，即：()fx在区间ππ[,]64−上的值域为3[,3]2

−，故D项错误．故选：AB.变式3．已知函数21()3sincoscos2fxxxx=−+，则下列说法正确的是（）A．()sin26πfxx=−B．函数()fx的最小正周期为πC．函数()fx的图象的对称轴方程为()π

πZ12xkk=+D．函数()fx的图象可由cos2yx=的图象向左平移π12个单位长度得到【详解】2131cos21()3sincoscossin22222xfxxxxx+=−+=−+31πsin2cos2sin

2226xxx=−=−，故A正确；函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，故B正确；由ππ2π()62xkkZ−=+，得ππ(Z)32kxk=+，故C错误；由cos2yx=的图象向左平移π1

2个单位长度，得ππcos2cos2cos212623ππyxxx=+=+=−−2πsinsinπ2π2π223sin33xxx==−+=

+−，故D错误.故选：AB1．为了得到函数()π32cos213fxx=−+的图象，可将函数()π32sin214gxx=−+的图象（）A．向右平移π12个单位长度B．向左平移π12个单位长度C．向右平移5π24个单位长度D．向左平移5π24

个单位长度【答案】D【分析】将函数()fx变为()gx的同名函数，然后利用函数图象的平移变换法则即可得解.【详解】()32cos2132sin2132sin213326fxxxx=−+=−++=++ππππ，所以将函数()gx的图象向左平移

5π24个单位长度后得到()fx的图象.故选：D．2．要得到函数()sin26fxx=+的图象，可以将函数()cos23gxx=+的图象（）A．向右平移3个单位长度B．向左平

移3个单位长度C．向右平移6个单位长度D．向左平移6个单位长度【答案】A【分析】利用诱导公式化简得到()5sin26gxx=+π，然后根据图象的平移变换判断即可.【详解】()πsin212fxx=+，()55sin2sin2612gxxx

=+=+ππ，5πππ12123−=，所以()gx的图象向右平移π3得到()fx的图象.故选：A.3．函数()sin(0)fxx=在区间ππ22−，上为单调函数，且图

象关于直线2π3x=对称，则（）A．将函数()fx的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y轴对称B．函数()fx在π2π，上单调递减C．若函数()fx在区间14π(,)9a上没有最小值，则实数a的取值范围是2π14π(,)99−D．若函数()fx在区间14π(,)9a上有且仅有

2个零点，则实数a的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB【分析】根据函数单调性及对称轴求出函数解析式，由函数的平移判断A，根据单调性判断B，由函数的图象与性质可判断CD.【详解】由题意ππππ,2222−−且2πππ,Z32kk

=+，可得01，33,Z24kk=+，故当0k=时，34=，3()sin4fxx=.对A，函数()fx的图象向右平移2π3个单位长度可得i2π33π3sinsncos44432yxxx=−=−=−

，故函数图象关于y轴对称，故A正确；对B，当π2πx，时，33π3π,442x，所以函数3()sin4fxx=单调递减，故B正确；对C，当14π(,)9xa时，337π,446ax，函数()fx在区间14π(,)9a上没有

最小值，则需π37π246a−，即2π14π39a−，故C错误；对D，由C，函数()fx在区间14π(,)9a上有且仅有2个零点，则3π04a−，即4π03a−，故D错误.故选：AB4．已知函数()()πsin0,2fxx=+

的最小正周期是π，把它图象向右平移π3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（）A．函数()fx的图象关于直线5π12x=对称B．函数()fx的图象关于点π,012对称C．函数()fx在区间ππ,212−−上单调递减

D．函数()fx在π3π,42上有3个零点【答案】AC【分析】根据周期及奇函数的性质求出()πsin23fxx=−，再利用正弦函数性质逐项判断即可.【详解】因为函数()()πsin0,2fxx=+的最小正周期是π，所以

2π2π==，则()()sin2fxx=+，把它图象向右平移π3个单位后得到的图象所对应的函数为2πsin23yx=+−，因为2πsin23yx=+−为奇函数，所以2ππ3k−=，Zk，即2ππ3k=+，Zk，因为π2，所以1k=−，π3=

−，所以()πsin23fxx=−，对于A，5π5ππsin2112123f=−=，所以函数()fx的图象关于直线5π12x=对称，故A正确；对于B，ππππ1sin2sin01212362f

=−=−=−，所以函数()fx的图象不关于点π,012对称，故B错误；对于C，当ππ,212x−−时，π4ππ3ππ2,,33222x−−−−−，函数sinyx=在3ππ,

22−−上单调递减，所以函数()fx在区间ππ,212−−上单调递减，故C正确；对于D，由()πsin203fxx=−=，得π2π3xk−=，即ππ,Zkxk=+2

6，令πππ3π4262k+，解得1863k，又Zk，所以1k=或2k=，所以函数()fx在π3π,42上有2个零点，分别为2π3，7π6，故D错误.故选：AC.5．已知函数()π2cos(03)3fxx=+，且对xR，都有()π3f

xfx=−，且把()fx图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把图象右移π3，得到函数()gx的图像，则下列说法正确的是（）A．1=B．()5π6gxgx=−−C．π6gx+为奇函数D．(

)gx在π0,2上有两个零点【答案】AB【分析】对于A，求导得()π2sin3fxx=−+，由()π3fxfx=−可得()fx关于直线π6x=对称，从而可得ππππ,632kk+=+Z，结合03

求得即可判断；对于B，由题意()π2cos23gxx=−，计算5π012g=即可判断；对于C，计算π2cos26gxx+=，从而可判断；对于D，由π0,2x可得ππ2π2,33

3x−−，从而可判断零点的个数，从而可判断.【详解】对于A，()π2sin3fxx=−+，()()π,3fxfxfx=−关于直线π6x=对称，ππππ,632kk+=+Z，61,Zkk=+，又03,

当0k=时，1=，故A为正确；对于B，()π2cos3fxx=+，由题意()π2cos23gxx=−，当5π12x=时，5π5πππ2cos2cos012632g=−==，∴()gx关于点5

π,012对称，满足()5π6gxgx=−−，B正确；对于C，∵πππ2cos22cos2663gxxx+=+−=为偶函数，C不正确；对于D，当π0,2x时，ππ2π2,333x−−

，则()gx在π0,2上只有一个零点，D不正确.故选：AB．6．将函数()2sinfxx=的图象向右平移π6个单位长度，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的1（0），纵坐标不变，得到函数()gx的图象，若在π0,3上有且仅有两个不同实数12,xx满足(

)()124gxgx=−，则的取值可以是（）A．5B．6C．7D．8【答案】ABC【分析】由图象变换得到()gx解析式，再根据三角函数的有界性，将()()124gxgx=−条件转化为()gx在π0,3上最值的取值情况，将π6x−看作整体角

，根据函数图象得到不等关系求解即可.【详解】由题意得()ππ2sin66gxfxx=−=−，maxmin()2,()2gxgx==−,由()()124gxgx=−，得()()1222gxgx==−或()()1222gxgx=−=

，由已知在π0,3上有且仅有两个不同实数12,xx满足()()124gxgx=−，则()gx在π0,3上只取得一次最大值和一次最小值，π0,,03x，令π6tx=

−，则πππ,636t−−，由2sinyt=图象可知，3πππ5π2362−，解得58，即的取值范围是)5,8，故选：ABC．7．已知函数()cos4fxx=+，()cos4gxx=−，其中0，则

（）A．()fx与()gx的图像关于直线πx=对称B．()fx与()gx的图像关于点,02对称C．当()fx与()gx在区间π0,2上单调性相反时，的最大值为1D．当()fx与()gx在区间π,π2上单调性相同时，的最大值为34【答案】ABD【分

析】根据余弦函数的单调性、对称性、图象变换逐项判断即可.【详解】()229coscoscoscos4444fxxxxxgx−=−+=−=−=−=

，所以()fx与()gx的图像关于直线πx=对称，故A正确；()5coscoscoscos4444fxxxxxgx−=−+=

−=−−=−−=−，()fx与()gx的图像关于点,02对称，故B正确；如图，函数()fx的图像为函数cosyx=的图像向左平移48T=得到，函数()g

x的图像为函数cosyx=的图像向右平48T=得到，所以()fx与()gx的图像关于y轴对称，且()fx的每一个极值点对应()gx的一个零点，易知()gx在y轴右侧的第一个极大值点为4；若()fx与()gx在区间0,2上单调性相反,则有42

，即12，故C不正确；若函数()fx在y轴右侧的第一个极小值点为34上单若()fx与()gx在区间,2ππ上单调性相同，则有42，且3π4，即1324，故D正确.故选：ABD.8．已知函数()223sinco

s2sin2fxxxx=+−，以下说法中，正确的是（）A．函数()fx关于点π,012对称B．函数()fx在ππ,66−上单调递增C．当π2π,63x时，()fx的取值范围为(2,1−D．将函数()fx的图像向左平移π12

个单位长度，所得图像的解析式为()2sin21gxx=−【答案】BCD【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为()2π23sincos2sin23sin2cos212sin216fxxxxxxx=+−=−−=−−，对于A，

由2,6xkk−=Z，即ππ,Z122kxk=+，所以对称中心为()ππ,1Z122kk+−，令0k=，得到一个对称中心为π,112−，所以A错误；对于B，当ππ,66x−时，πππ2,626x−−，由sin

yx=的图像与性质知，()fx在ππ,66−上单调递增，所以B正确；对于C，当π2π,63x时，ππ7π2,666x−，所以π1sin2,162x−−，所以()(2,1fx−，所以C正确；对于

D，将函数()fx的图像向右平移π12个单位长度，得到图像对应的解析式为()ππ2sin212sin21126gxxx=+−−=−，所以D正确.故选：BCD.9．已知()()coscos3sinfxxxx=+，下列结论正确的是（）A．()fx的最小正周期为2πB．把()

fx的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象关于y轴对称C．若()fx在区间π,6m−上的最大值是32，则m的最小值为π3D．若125π6xx+=，则()()121fxfx+=【答案】BD【分析】先化简函数，得π1()

sin262fxx=++，根据正弦型函数的图像性质研究周期性、平移、值域等问题.【详解】21cos23π1()cos3sincossin2sin22262xfxxxxxx+=+=+=++，所以()fx的最小正周期为π，故A错误；把()fx的图象向

左平移π6个单位长度，所得函数为ππ11sin2cos23622yxx=+++=+，是偶函数，所以图象关于y轴对称，故B正确；当π6xm−，时，πππ22666xm+−+，，当ππ262

m+，即π6m时，()fx最大值为32，所以m的最小值为π6，故C错误；令π2π6xkk+=Z，，解得ππ122kxk=−+Z，，当1k=时，()fx的一个对称中心为5π1122，，故125π6xx+=时，有12()()1fxfx+=，故D正确

.故选：BD.10．已知函数()π2sin24fxx=+，下列结论中正确的有（）A．若()()12fxfx=，则12xx−是π的整数倍B．函数()fx的图象可由函数()π2sin6gxx=−的图象上所有

点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移5π12单位得到C．函数()fx的图象关于点3π,08对称D．函数()yfx=在ππ,48−上单调递增【答案】CD【分析】利用诱导公

式可判断A选项；利用三角函数图象变换可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，若()()12fxfx=，则()12ππ222π44xxkk+−+=Z或()12π

π222ππ44xxkk+++=+Z，可得()12πxxkk−=Z或()12ππ4xxkk+=+Z，A错；对于B选项，因为()5ππ2sin2246fxx=+−，所以，函数()fx的图象可由

函数()π2sin6gxx=−的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移5π24个单位得到，B错；对于C选项，因为3π3ππ2sin2sinπ0844f=+==，所以，函数()fx的图象关于点3π,08对称，C对

；对于D选项，当ππ48x−时，πππ2442x−+，所以，函数()yfx=在ππ,48−上单调递增，D对.故选：CD.11．已知()()()πcos2,cos,3fxxgxxhx=−=是()fx的导函数（）A．(

)hx是由()gx图象上的点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12得到的B．()fx是由()gx图象上的点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6得到的C．()hx的对称中心坐标是ππ,0,Z26kk+D．42yx=−+是()hx

的一条切线方程.【答案】BC【分析】由三角函数的平移和伸缩变换可判断A，B；由三角函数的性质可判断C；由导数的几何意义可判断D.【详解】()()π2ππππ2sin22sin22sin22cos233626hxfxxxxx==−−=+=++=+

，()hx是由()gx横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移π12，故A错误；函数()cosgxx=图象将横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得cos2yx=，再向右平移π6个长度单位，得πco

s26yx=−，即()πcos23fxx=−，故B正确；因为()π2cos26hxx=+，令ππ2π62xk+=+，Zk则ππ,Z26kxk=+，则()hx的对称中心坐标是ππ,0,Z26kk+，故C正确；因为()π2cos26hx

x=+，所以()π4sin26hxx=−+，由导数的几何意义令()π4sin246hxx=−+=−，可得：πsin216x+=，即ππ22π,Z62xkk+=+，解得:ππ,6

xk=+πππ2cos2π0666hkk+=++=，所以切点为ππ,06k+，而ππ,06k+不在42yx=−+上，故D错误.故选：BC.易错点四：求φ时忽略升降零点的区别（函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用）函数

sin()(0,0)yAxA=+的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式sin(),[0,)yAxx=++，其中0,0A．在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离

开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是2T=，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式1fT=给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x+称为相位；0x=时的相位称为初相．题型1．已知()()sin(0

,0)fxAxA=+的部分图象求A的方法：（1）利用极值点的纵坐标求A；（2）把某点的坐标代入求A．题型2．已知()()sin(0,0)fxAxA=+的部分图象求的方法：由2T=

，即可求出．常用结论：（1）相邻两个极大（小）值点之间的距离为T；（2）相邻两个零点之间的距离为;2T（3）极值点到相邻的零点，自变量取值区间长度为4T．题型3．已知()()sin(0,0)fxAxA=+的部分图象求的方法：求的值时最好选用最值点求．峰点：22xk+=+；谷

点：22xk+=−+．也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点．升零点（图象上升时与x轴的交点）：2xk+=；降零点（图象下降时与x轴的交点）：2xk+=+（以上kz）．易错提醒：求

的值时若用零点求时一定要明确该零点是升零点，还是降零点.例．已知函数()3πtan82fxx=+满足π13f=．(1)求函数()fx的解析式及最小正周期；(2)函数()ygx=的图象是由函数()yfx=的图象向左平

移(0)个单位长度得到，若()π04gf=−，求的最小值．【详解】（1）∵tan138f=+=，∴84k+=+，而π||2，∴π8=，即()3πta

n88fxx=+，∴()fx的最小正周期为：π8π3T==；（2）由题意，33π()tan()888gxx=++，∵ππ(0)tantan()88f−=−=−，∴()330tantan432888gf=−++=−由，得，∴37

8328kk+=−+，Z，∴1180123kkZ=−+，，又，∴的最小值为7π4．变式1．已知函数()()213sinsin2,022fxxx=−+的最小正周期为4π．(1)求的值，并写出()fx的对称轴方程；(

2)在ABC中角,,ABC的对边分别是,,abc满足()2coscosacBbC−=，求函数()fA的取值范围．【详解】（1）()2213131cos2sin2sin213sin222222sinsin22fxxxxxxx=−−+=+−=+−31πsin2cos2sin(2

)226xxx=+=+．2π4π2T==，14=．故()1πsin()26fxx=+令1πππ,Z262xkk+=+，解得2π2π,Z3xkk=+，故对称轴方程为：2π2π,Z3xkk=+（2）由()2coscosacBbC−=得(2sinsin)cossincosACB

BC−=，2sincossincoscossinsin()sinABBCBCBCA=+=+=．sin0A，1cos2B=，()0,πB,π3B=．1π2π()sin(),0263fAAA=+，πππ6262A+，1πsin()1226A+，1(),12fA

变式2．已知函数()()sin0,0,2πfxAxA=+的部分图象如图所示.(1)求函数()fx的解析式；(2)若函数()2yfxm=−在区间π0,3上恰有两个零点12,xx，求12xx+的

值.【详解】（1）设()fx的最小正周期为T，则2πππ2362T=−=，可得2ππT==,且0，解得2=，由图象可知：当2ππ5π36212+==x时，()fx取到最大值，且0A，则5π5π

sin126=+=fAA，可得5ππ2π,62+=+kkZ，解得π2π,3=−kkZ，又因为ππ22−，可得π0,3k==−，则()()πsin203=−fxAxA，且()fx的图象

过点()0,3−，则()π3sin3302=−=−=−fAA，解得2A=，所以()π2sin23fxx=−.（2）令()()π22sin43==−gxfxx，由()20=−=yfxm，可得()2fxm=，可知()2yfxm=−的零点等价于()ygx=

与ym=的图象交点横坐标，且()π5πππ02sin3,2sin2,2sinπ032423=−=−====ggg，作出()ygx=在π0,3内的图象，不妨设12xx，如图所示：由图象可知：02m，且()()()()

1122,,,xgxxgx关于直线5π24x=对称，所以125π5π22412+==xx.变式3．如图为函数()()2cosfxx=+π02,的部分图象，且π4CD=，5π,212A−−．(1)求，的值；(2)

将()fx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移3π4个单位长度，得到函数()gx的图象，讨论函数()ygxa=−在区间ππ,2−的零点个数．【详解】（1）根据题意得，π44T=，故πT=，2π2T==，故()()

2cos2fxx=+．将5π,212A−−代入，得()5π2π2πZ12kk−+=−+，解得()π2πZ6kk=−+，又π2，故π6=−．（2）依题意，()23ππ22π2cos2cos34633g

xxx=−−=−．函数()ygxa=−在区间ππ,2−的零点个数即为函数()gx的图象与直线ya=在ππ,2−上的交点个数．当ππ,2x−时，22π4ππ,3333x−−−，结合余弦函数图象可知，当ππ,2

x−−时，()gx单调递减，当ππ,22x−时，()gx单调递增，且()π1g−=−，π12g=，π22g−=−，作出函数()gx在ππ,2−上的大致图象如图所示．观察可知，当2a=−或11a−时，()ygxa=−有1个

零点；当21a−−时，()ygxa=−有2个零点；当2a−或1a时，()ygxa=−有0个零点．1．将函数2π()cos3fxx=+图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)，纵坐标不变，所得图象在区间2π0,3上恰有两个零点，且在ππ,1212

−上单调递减，则的取值范围为（）A．9,34B．9,44C．11,44D．11,64【答案】C【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在2π0,3上恰有两个零点以及在ππ,1

212−上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案.【详解】依题意可得2πcos3yx=+，因为20π3x，所以2π2π22ππ3333x++，因为2πcos3yx=+

在2π0,3恰有2个零点，且1πcosπ02k+=，1Zk，所以5π22π7ππ2332+，解得1117<44，令222π2ππ2π3kxk++，2kZ，得222π2π2ππ33kkx−++，2kZ，令20k

=，得2πcos3yx=+在2ππ,33−上单调递减，所以ππ,1212−2ππ,33−，所以2ππ312ππ312−−，又0，解得04．综上所述，1144，故的取值范围是11,44．故

选：C.2．已知函数()()πsin02||0fxAxA=+,,的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．π3=B．函数()fx的图象关于1,06对称C．函数()fx在12,63

的值域为[2,3]−D．要得到函数()()cosgxAx=+的图象，只需将函数()fx的图象向左平移14个单位【答案】ACD【分析】先由图象信息求出()fx表达式，从而即可判断A；注意到()0,0x是()π2sin2π3fxx=+

的对称中心当且仅当()00π2sin2π03fxx=+=，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.【详解】如图所示：由图可知11

12,43124TA==−=，又2πT=，所以1,2πT==，所以()()2sin2πfxx=+，又函数图象最高点为1,212，所以1π2sin2126f=+=，即πsin16

+=，所以ππ2π,Z62kk+=+，解得ππ,Zkk=+23，由题意π||2，所以只能π0,3k==，故A选项正确；由A选项分析可知()π2sin2π3fxx=+，而()0,0x是()π2sin2π3fxx=+的对称中心当且仅当()00π2sin2

π03fxx=+=，但1ππ2sin30633f=+=，从而函数()fx的图象不关于1,06对称，故B选项错误；当12,63x时，π4π2π,33x，π2π5π2π,333t

x=+，而函数2sinyt=在2π3π,32上单调递减，在3π5π,32上单调递增，所以当12,63x时，()()3221232fx−=−=，所以函数()fx

在12,63的值域为[2,3]−，故C选项正确；若将函数()π2sin2π3fxx=+的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为()()1ππππ2sin2π2sin2π2cos2π43323hxxxxgx

=++=++=+=，故D选项正确.故选：ACD.3．函数()()()sin0,0,ππfxAxA=+−的部分图像如图所示，()fx在5π7

π,66−上的极小值和极大值分别为.()1fx.，()2fx，下列说法正确的是（）A．()fx的最小正周期为πB．12πxx−=C．()fx的图像关于点12,02xx+对称D．()fx在ππ,26−上单调递减【答案】BC【分析】AB选项，根据图象得到

振幅和周期，求出2π1T==；C选项，根据12,xx分别为极小值点和极大值点，由对称性得到C正确；D选项，由图象得到函数在ππ,36−上单调递减，在ππ,23−−上单调递增.【详解】A选项，由题图可知2A=，7πππ266T=−=，则2πT=，故A错误

.B选项，2π1T==，所以()()2sinfxx=+.又()fx在极小值和极大值分别为()1fx，()2fx，所以12πxx−=，故B正确.C选项，因为12,xx分别为极小值点和极大值点，故点12,02x

x+为函数()fx的图像的对称中心，故C正确.D选项，5πππ6623−+=−，从图象可以看出函数()fx在ππ,36−上单调递减，在ππ,23−−上单调递增，故D错误.故选：BC.4．已知函数()π2sin2

3fxx=+，把()fx的图象向左平移π3个单位长度得到函数()gx的图象，则（）A．()gx是奇函数B．()gx的图象关于直线π4x=−对称C．()gx在π0,2上单调递增D．不等式()0gx的解集为π,,Zππ2πkkk++【答案】AB

【分析】A选项，由左加右减得到()gx的解析式，从而判断出奇偶性；B选项，π24g−=，故B正确；C选项，整体法判断函数的单调性；D选项，由()0gx得到sin20x，求出不等式的解集.【详解】A选项

，()()2sin22sin22sin23πππ23gxxxx=++=+=−，由于()gx的定义域为R，且()()()2sin2sin2gxxxgx−=−−==−，故()gx为奇函数，A正确；B选项，ππ2

sin242g−=−−=，故()gx的图象关于直线π4x=−对称，B正确；C选项，π02,x时，2,π0x，其中sinyz=−在0,πz上不单调，故()2sin2gxx=−在π02,x

上不单调，故C错误；D选项，()0gx，则sin20x，则Zππ2,,πxkkk+，故,,Z22πππkkxk+，D错误.故选：AB5．将函数()()3sincos06fxxx=−的图象向左平移π6个单位长度得到函数()gx的图象，且π2

6g=，则下列结论中正确的是（）A．()gx为奇函数B．当π,π2x时，()fx的值域是2,1−C．()gx的图象关于点π,06−对称D．()gx在π0,6上单调递增【答案】BD【分析】根

据三角函数的平移变换求出()gx的表达式，然后依次判断各个选项即可.【详解】因为()π3sincos2sin6fxxxx=−=−，所以()ππ2sin66gxx=+−．由πππ2sin2636g=−=，

得πππ2π362k−=+，Zk，则26,Zkk=+，又06，所以2=，所以()()ππ2sin2,2sin266fxxgxx=−=+．对于A：()()π2sin26gxxgx−=−+−，所以()gx不是奇函数，A错误；对

于B：当π,π2x时，π5π11π2,666x−，则()π2sin22,16fxx=−−，B正确；对于C：因为ππππ2sin22sin106666g−=−+=−=−，

所以()gx的图象不关于点π,06−对称，C错误；对于D：当π06x时，πππ2662x+，根据正弦函数的图象与性质可知，()gx在π0,6上单调递增，D正确．故选：BD

6．已知函数()πsin(02)3fxx=+向左平移π6个单位长度，得到函数()gx的图像，若()gx是偶函数，则（）A．()gx的最小正周期为πB．点2π,03是()fx图像的一个对称中心C．()fx在π0,2的值域为1,12D．函数(

)fx在ππ,64−上单调递增【答案】BC【分析】A选项，根据()gx为偶函数及02，得到1=，进而得到A错误；B选项，计算出20π3f=，B正确；C选项，由π0,2x得到ππ5π,336x+

，从而结合图象求出值域；D选项，由ππ,64x−得到ππ7π,3612x+，结合图象得到答案.【详解】由题意得()ππsin63gxx=++，Z2ππππ,63kk+=+，解得16,Zkk=+，因为02，所以只有当

0k=，1=满足题意，A选项，()ππsincos63gxxx=++=，故最小正周期2π2πT==，A错误；B选项，()πsin3fxx=+，故022π33ππsin3f=+=，故点2π,03

是()fx图像的一个对称中心，B正确；C选项，π0,2x，则ππ5π,336x+，故π1sin,132x+，C正确；D选项，ππ,64x−，则ππ7π,36

12x+，由于sinyz=在π7π,612z上不单调，故()fx在ππ,64−上不单调递增，D错误.故选：BC7．已知函数π()2cos(0)3fxx=+的最小正周期为π，则（）A．2

=B．()fx的图象在区间π0,2上存在对称轴C．()fx在区间π,03−上单调递增D．将2sin2yx=的图象向左平移π12个单位长度可得到()fx的图象【答案】AB【分析】先由函数的最小正周期，求出；根

据余弦函数的性质可判断B,C选项，再由三角函数图像平移后可判断D选项.【详解】由πT=，得2π2T==，故选项A正确；令π2π3xk+=，kZ，解得ππ26kx=−，kZ，当1k=时，π3x=，所

以π3x=是()fx图象的一条对称轴，故选项B正确；当π,03x−时，πππ2,333x+−，余弦函数在此区间不单调，故选项C错误；依题意平移后的解析式为πππ2sin22sin22cos21263yxxx

=+=+=−，故选项D错误．故选：AB．8．已知函数()()sin0,π2fxx=+在y轴上的截距为12−，若函数()fx在区间π2π,63内有零点，无极值点，则的取值范围

是．【答案】1,14【分析】先根据在y轴上的截距得到方程，求出π6=−，进而由π2π,63x得到6ππ2666πππ3x−−−，根据有零点，无极值点，得到不等式，求出答案.【详解】由题意知()102f=−，则1sin2=−，结

合π2，得π6=−，所以()πsin6fxx=−．当π2π,63x时，6ππ2666πππ3x−−−，因为函数()fx在区间π2π,63内有零点，无极值点，所以()πππππ266Z2πππππ362kkkkk−+−−

+，（建立不等式时，要注意是否能取等号）,解得()2616Z3131242kkkkk−++++，当0k=时，114；当1k−时，31931516024244kkk+−−=+−，所以311624kk++，所以不

等式组无解，当1k时，39326130222kkk−+−−=−，所以32612kk−++，所以不等式组无解，当1k−或1k时，不满足条件．所以的取值范围是1,14．故答案为：1,149．已知函数()πcos(0)4fxx=+在区间0,π上

有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：①的值可能是3；②()fx的最小正周期可能是2π3；③()fx在区间π0,16上单调递减；④()fx图象的对称轴可能是3π8x=.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②③【分析】由题意，

结合角的范围可得5ππ7π242+，求出的范围可判断①，利用三角函数的周期公式可判断②，利用三角函数的性质可判断③④.【详解】函数()πcos(0)4fxx=+，0,πx，πππ444x++

,，函数()fx在区间0,π上有且仅有3个对称中心，则5ππ7π242+，91344，即的取值范围是913,44，而133,449，故①正确；周期2πT=，由

913,44，得144,139，8π8π,139T，()fx\的最小正周期可能是2π3，故②正确；π0,16x，ππππ,44164x

++，913,44，ππ25π29π,1646464+，又29ππ642，()fx\在区间π0,16上单调递减，故③正确；当ππ4xk+=，即ππ4kx−=，又144,139

，π4ππ4π,,131399kkxk−+−+Z，当1k=时，3π3π,139x，当2k=时，7π7π,139x，故④不正确.故答案为：①②③.10．已知函数()sin()fxAx=+π0,0,||2A的部

分图象如图所示．(1)求函数()fx的解析式；(2)将函数()fx的图象向右平移π3个单位长度，得到()gx的图象，求函数()ygx=在0,2x上的单调递减区间．【答案】(1)π()3sin23fxx=+(2)5ππ,122

【分析】（1）根据函数图象求出3A=，πT=，进而得出.根据“五点法”，即可求出的值；（2）先求出π()3sin23gxx=−，根据已知得出22333x−−.结合正弦函数的单调性，解ππ2π22

33x−，即可得出答案.【详解】（1）由图易知3A=，5π262π3πT=−=，所以πT=，2π2π2πT===．易知π44T=，故函数()fx的图象经过点π,312M，所以π3sin2312+=．又π2，∴π3=．∴π()3sin23fxx=+

．（2）由题意，易知πππ()3sin23sin2333gxxx=−+=−，因为02x时，所以22333x−−.解ππ2π2233x−可得，5ππ122x，此时π()3sin23gxx=−单调递减，故函数()

ygx=的单调递减区间为5ππ,122.11．已知函数()2π2343cos4sincos6fxxxx=−+−（xR且0）的两个相邻的对称中心的距离为π2．(1)求()fx在R上的单调递增区间；(2)将()fx图象纵坐标不变

，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()gx，若()12g=，0,π，求πcos26−的值．【答案】(1)π5ππ,,Z1212kkk−++(2)158−【分析】（1）先化简函数得π2sin23yx

=−，再根据单调性求解即可；（2）先由平移伸缩得出()23πgxsinx=−，再结合二倍角余弦公式计算即得.【详解】（1）2π()2343cos4sincos6fxxxx=−+−π23cos22sin23cos2sin23x

xxx=−+−=−+π2sin23x=−，由题意知，()fx的最小正周期为π，所以2ππ2T==，解得1=，∴π()2sin23fxx=−，令πππ2π22π232kxk−+−+，Zk，解得π5πππ1212kxk−+

+，Zk所以()fx在R上的单调递增区间为π5ππ,,Z1212kkk−++（2）()23πgxsinx=−，1()2g=，得π1sin34−=，∵[0,π]，∴ππ2π,333−−，∴π15cos34−=，∴πππ

ππ15cos2cos22sincos632338−=−+=−−−=−12．已知函数()()()2π13sinπcoscos022fxxxx

=−++−的最小值周期为π.(1)求的值与()fx的单调递增区间；(2)若0π7π,412x且()033fx=，求0cos2x的值.【答案】(1)1=，单调递增区间为()πππ,π63kkk−+Z(2)3326+−【分析】（1）利

用三角恒等变换化简得出()πsin26fxx=−，利用正弦型函数的周期公式可求出的值，再利用正弦型函数的单调性可求出函数()fx的增区间；（2）由已知条件可得出0π3sin263x−=，利用同角三角函数的基本关

系求出0πsin26x−的值，再利用两角和的余弦公式可求出0cos2x的值.【详解】（1）解：()211cos213sincossin3sincos222xfxxxxxx−=+−

=+−n3cos2s2πsi26in22xxx=−−=，因为函数()fx的最小正周期为π，且0。所以2ππ2=，解得1=，所以()πsin26fxx=−，令()πππ2π22π262kxkk−

−+Z，得ππππ63kxk-＃+，所以()fx的单调递增区间为()πππ,π63kkk−+Z.（2）解：由（1）知()πsin26fxx=−，则()00π3sin263fxx=−=，因为0π7π,412x，所以0ππ2,π63x−

，因为0π33sin2632x−=，所以0π2π2,π63x−，所以2200ππ36cos21sin216633xx−=−−−=−−=−，所以0000ππππππcos2cos2co

s2cossin2sin666666xxxx=−+=−−−633132332326+=−−=−.易错点五：遗忘非特殊角其实也是一种特殊角（三角恒等变换）1．两角和与差

的正余弦与正切①sin()sincoscossin=；②cos()coscossinsin=；③tantantan()1tantan=；2．二倍角公式①sin22sincos

=；②2222cos2cossin2cos112sin=−=−=−；③22tantan21tan=−；3．降次（幂）公式2211cos21cos2sincossin2;sin;cos;222−+===4．半角公式1cos1cossin;

cos;2222−+==sin1costan.21cossina−==+5．辅助角公式22sincossin()abab+=++（其中2222sincostanbabaabab===++，，）．结论：1．两角和与差正切公式变形tanta

ntan()(1tantan)=；tantantantantantan11tan()tan()+−=−=−+−．2．降幂公式与升幂公式221cos21cos21sincossincossin2222−+===；；；22221co

s22cos1cos22sin1sin2(sincos)1sin2(sincos)+=−=+=+−=−；；；．3．其他常用变式2222222222sincos2tancossin1tansin1cossin2cos2tansincos1tansincos1tan

21cossin−−−======+++++；；．3．拆分角问题：①=22；=(+)-；②()=−−；③1[()()]2=++−；④1[()()]2

=+−−；⑤()424+=−−．注意特殊的角也看成已知角，如()44=−−．易错提醒：1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定

的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．2．给值求值：已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）．（3）将已知

条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0,)，则选

余弦较好；若角的范围为ππ(,)22−，则选正弦较好．4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成sin()yAxt=++或cos()yAxt=++的形式．（2）利用公式2π(0)T=求周期．（3）根据自

变量的范围确定x+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数sin()yAxt=++或cos()yAxt=++的单调区间．例．下列各

式计算正确的有（）A．3sin15cos154=B．22ππ3cossin12122−=C．1tan1531tan15+=−D．62cos154−=【详解】对于A，1111sin15cos15sin302224===，故A错误；对于B，22ππππ3cossincos2cos121

21262−===，故B正确；对于C，()1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan45tan15++==+==−−ooooooo，故C正确；对于D，()cos15cos4530cos45cos30si

n45sin30=−=+ooooooo23216222224+=+=，故D错误.故选：BC.变式1．已知3sin2cos82sincos3+=−，下列说法正确的是（）A．2sincos5=B．35sincos5+=C．443cossin5

−=−D．1sin1cos35cossin21sin1cos5−−+=+++【详解】因为3sin2cos3tan282sincos2tan13++==−−，所以tan2=，所以为第一象限角或第三象限角．当为第一象限角时，25sin5

=，5cos5=；当为第三象限角时，25sin5=−，5cos5=−，所以2sincos5=，故A项正确；35sincos5+=；故B项错误；()()4422223cossincossincoss

in5−=−+=−，故C项正确；1sin1coscossin1sin1cos−−+++2222(1sin)(1cos)cossin1sin1cos−−=+−−1sin1coscossincossin−−=+，当

为第一象限角时，原式352sincos25=−−=−；当为第三象限角时，原式35sincos225=+−=−−，故D项错误．故选：AC变式2．下列各式的值是方程22520xx−+=的根的为（）．A．()2lg2lg2lg5lg0.2+−B．cos402sin50

sin10−C．tan67.5tan22.5−D．()2sin20cos2013tan20sin80+【详解】方程2252(21)(2)0xxxx−+=−−=的根为2或12，()()2lg2lg2lg5lg0

.2lg2lg2lg5lg5lg2lg51+−=++=+=，A错误；()cos402sin50sin10cos50102sin50sin10cos50cos10sin50sin10−=−−=−()1cos5010cos602=+

==，B正确；()()tan67.5tan22.5tan67.522.51tan67.5tan22.5−=−+()1tan451tan22.51112tan22.5=+=+=，C正确；

()213sin40cos20sin20sin20cos2013tan2022sin40cos401sin80sin80sin802++===，D正确.故选：BCD变式3．下列选项中

，与11sin(6−)的值相等的是（）A．2o2cos151−B．oooocos18cos42sin18sin42−C．oo2sin15sin75D．ooootan30tan151tan30tan15+−【详解】由题意有11ππ1sinsin662−==，对于A

选项：因为2oo312cos151cos3022−==，故A选项不符合题意；对于B选项：因为()ooooooo1cos18cos42sin18sin42cos1842cos602−=+==，故B选项符合题意；对于C选项：因为()()oooooooo12sin15sin75c

os7515cos7515cos60cos902=−−+=−=，故C选项符合题意；对于D选项：因为()oooooootan30tan151tan3015tan4511tan30tan152+=+==−，故D选项不符合题意；故选：BC.1．已知tan2tan=，则（）A．

π,0,2，使得2=B．若2sincos5=，则()1sin5−=C．若2sincos5=，则()7cos2225+=−D．若，π0,2，则()tan−的最大值为24【答案】BD【分析】根据方

程22tan2tan1tan=−无解，可判定A错误；根据题意求得1cossin5=，结合两角差的正弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得3sin()5+=，利用余弦的倍角公式，可判定C错误；化简1tan()12tantan−==+，结合基本不等式，可判定D正确

.【详解】对于A中，若2=，可得22tantantan21tan==−因为tan2tan=，可得22tan2tan1tan=−，解得tan0=，又因为π0,2时，tan0，所以方程无解，所以A错误；对于B中，因为tan2tan=，可得s

in2sincoscos=，所以sincos2cossin=，又因为2sincos5=，所以1cossin5=，则5sincos1snscosini()−==−，所以B正确；对于C中，由3sin()sincoscossin5+=+=，则()2

7cos2212sin()25+=−+=，所以C错误；对于D中，因为π0,2，可得tan0，且tan2tan=，则2tantantan112tan()11tantan12tan4222tantan−−====+++，当且仅当12tantan

=时，即2tan2=时，等号成立，所以tan()−的最大值为24，所以D正确.故选：BD.2．已知π02，且sincos2sin+=，sincoscost+=，tR，则（）A．

的取值范围为ππ,64B．存在，，使得2t=C．当32t=时，3tan4=D．t的取值范围为31,22+【答案】AD【分析】由(2sinsincos2si4πn1,2=+=+

可得范围，从而判断A，由正弦、余弦函数性质求得2t判断B，利用22sincos1+=消去后可求得tan判断C，由上面推导得出sincoscost+=随的增大而增大，从而可得t的范围，判断D．【详解】因为(2sinsincos2s

i4πn1,2=+=+，所以12sin,22，即4ππ,6，若π4=，则π4=，又，所以π4==不能同时成立，所以ππ,64，故A正确；由A可知π

04，所以sincoscoscostt+=，又sincos2cos+，所以cos2cost，所以2t，故B错误；当32t=时，sincos2sin,3sincoscos,2+=+=整理，得42sinsincos,3322coss

incos,33=−=+所以22224222sincossincossincos13333+=−++=，又22sincos1+=，对上式整理得22212sin8sincos1sin

cos−==+，所以211tan8tan10−−=，解得4333tan114+=（舍去负根），故C错误；因为sincos2sin2sin4π+=+=，且π04，所以随着的增大而增大，所以2sinsincoscπ4osc

ost++==随着的增大而增大，又ππ,64，所以2ππsincos3166cos0t++=，sincos442oππc4πst+=，即D正确．故选：AD．3．下列化简正

确的是（）A．223sin75cos752−=−B．13cos50sin50sin7022+=C．1sin18cos364=D．tan7523=+【答案】CD【分析】利用余弦的二倍角公式化简可判断A；利用正

弦的两角和展开式化简可判断B；利用正弦的二倍角公式化简可判断C；利用两角和的正切展开式化简可判断D.【详解】对于A，()()222233sin75cos75cos75sin75cos27522−=−−=−−=，故A错误；对于B，13cos50sin50sin30cos5

0cos30sin50sin80sin702=2+=+，故B错误；对于C，2cos18sin18cos362sin36cos36sin721sin18cos362cos184cos184cos184====，故C正确；对于D，()3

1tan45tan303tan75tan4530231tan45tan30313++=+===+−−，故D正确.故选：CD.4．下列化简正确的是（）A．tan48tan7231tan48tan72+=−B．1cos82sin52sin82cos1282+=−

C．222289sin1sin2sin3sin892++++=D．134sin10cos10−=【答案】BCD【分析】根据两角和差正切公式计算判断A选项，根据两角和差正弦公式计算判断B选项，应用同角三角函数结合诱导公式计算可得C选项，根据两角

和差正弦公式结合二倍角正弦公式判断D选项.【详解】对于A，()()tan7272tan7tan48tan48tan12031tan428++===−−，故A错误．对于B，由cos82sin52s

in82cos128cos82sin52sin82cos52+=−()()1sin5282sin302=−=−=−，故B正确；对于C，∵设2222sin1sin2sin3sin89A=++++，则2222cos89cos88cos87cos1A=+++

+，而22sincos1+=，故289A=即892A=，故C正确．对于D，132cos10sin102213cos103sin10sin10cos10sin10cos10sin10cos10−−

−==()2sin30cos10cos30sin102sin204112sin10cos10sin2022−===，所以D正确.故选：BCD.5．下列等式中正确的是（）A．1sin15cos154=B．222sin22.512−=C．tan71tan2

611tan71tan26−=+D．1sin26cos34cos26sin342+=【答案】AC【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.

【详解】A选项，11sin15cos15sin3024==，A正确；B选项，222sin22.51cos452−=−=−，B错误；C选项，()tan71tan26tan7126tan4511tan71tan26−=−==+，C正

确；D选项，()3sin26cos34cos26sin34sin2634sin602+=+==，D错误.故选：AC6．已知π0π2，1sin3=，22cos()3+=−，下列选项正确的有（）A．1sin()3+=B．7cos9=−C．17cos281=−D

．23sin()27−=−【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得π+=-，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.【详解】由于π02且1sin3=，所以22cos3=，又π3π

,22+，22cos()cos3+=−=−，故π+=-或π+=+，当π+=+时，π=显然不满足，故π+=-，所以1sin()3+=，故A错误，对于B，()()222211

7cossinscoscoin33339s+++==+=−-，故B正确，对于C,22717cos22cos121981=−=−=-，故C错误，对于D，由B可知242sin1cos9−==，所以17224223sin(

)sincoscossin393927−=−=−−=−，故D正确，故选：BD7．下列化简结果正确的是（）A．1cos22sin52sin22cos522−=B．tan24tan3631tan24tan36−+=C．cos15sin152−=D．1si

n15sin30sin754=【答案】AB【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】()1cos22sin52sin22cos52sin5222sin302−=−==，所以A正确；()tan24tan36tan2436tan6

031tan24tan36+=+==−，所以B正确；()()2cos15sin152cos45cos15sin45sin152cos45152−=−=+=，所以C错误；()11sin15sin30sin75sin15sin30sin9015sin15co

s15sin30sin30sin3028=−===，所以D错误．故选：AB．8．下列等式成立的有（）A．3sin20cos10sin170cos1602−=B．2cos15sin152−=C．ππ3cossin21212−=D．6

2cos3452+=【答案】BC【分析】应用三角恒等变换化简求值，逐个判断即可.【详解】对A，()1sin20cos10sin170cos160sin20cos10sin10cos20sin302−=−−==，A错误；对B，()2cos15sin152sin45152−=−=，B正确；对C，

πππππ3cossin2sin2sin212123124−=−==，C正确；对D，cos345cos(36015)cos15=−=62cos(4530)cos45cos30sin45sin304+=−=+=，D错误.故选：BC9．下列计算或化简结果正确的是（）A．2tancos

sin＝2B．若1sincos2=，则costan2sin+=C．若1tan2x=，则2sincossinxxx−＝1D．22cos3sin401sin31cos4+=−−【答案】AB【分析】直接通过“切化弦”的思想即可判断AB；

通过对分式齐次式化简可判断C；通过同角三角函数关系的平方关系可判断D.【详解】对于A，sin2cos2tancoscos2sinsin==，故A正确；对于B，因为1sincos2=，所以22cossin

cossincostan2sincossinsincos++=+==，故B正确；对于C，因为1tan2x=，所以2sin2tan121cossin1tan12xxxxx===−−−，故C错误；对于D，π3π2，所以sin30,c

os30，3ππ42，所以sin40,cos40所以22cos3sin4(1)(1)21sin31cos4+=−+−=−−−，故D错误；故选：AB10．下列各式中，值为32的是（）A．sin21cos261sin111cos171

−B．22cos75cos15−C．2cos10sin202cos20−D．()sin5013tan10+【答案】AC【分析】诱导公式结合和角余弦公式计算判断A；诱导公式结合倍角余弦公

式计算判断B;凑特殊角并结合差角的余弦计算判断C；切化弦并利用辅助角公式、二倍角公式计算判断D.【详解】对于A，()3sin21cos261sin111cos171sin21sin9cos21cos9cos219cos302−+=−+===，A是

；对于B，22222cos75cos15cos75soin371505cs==−=−−，B不是；对于C，2cos10sin202cos(3020)sin202(cos30cos20sin30sin20)sin20

32cos202cos202cos202−−−+−===，C是；对于D，sin50(cos103sin10)sin502cos50sin100sin50(13tan10)1cos10cos10cos10

++====，D不是.故选：AC11．下列化简正确的是（）A．tan48tan723tan48tan72+=B．1cos82sin52sin82cos1282+=−C．222289sin1sin2sin3sin892+++

+=D．134sin10cos10−=【答案】BCD【分析】由tan48tan72tan(4872)31tan48tan72++==−−即可判断A；根据诱导公式，先将cos128转化为cos52−，再根据

两角的差的正弦公式，即可判断B；根据诱导公式及同角三角函数的平方关系即可判断C；先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简，即可判断D．【详解】对于A，因为tan48tan72tan(4872)31tan48tan72++==−−，所以tan

48tan723(1tan48tan72)+=−−，所以tan48tan723(1tan48tan72)3tan48tan72tan48tan72+−−=，故A错误；对于B，因为cos128cos52=−，所以cos82sin52s

in82cos128+cos82sin52sin82cos52=−1sin(5282)sin(30)2=−=−=−，故B正确；对于C，设2222sin1sin2sin3sin89m+++=+，因为sin1cos89,s

in2cos88,,sin89cos1===，所以2222cos89cos88cos87cos1m++++=，因为22sincos1+=，所以2222222(sin1cos1)(sin2cos2)(sin89cos89)89m=++++

++=，所以892m=，故C正确；对于D，133sin10cos102sin(1030)2sin20411sin10cos10sin10cos10sin20sin2022−+−−−====，故D正确，故选：BCD．