【文档说明】浙江省杭州市西湖区杭师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(27)页，3.336 MB，由小赞的店铺上传

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杭师大附中2023学年第一学期高二年级期中考试高二数学试卷本试题满分150分，考试时间120分钟一．单项选择（共8题，每小题5分；满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线l的方向

向量为(1,1)−，则该直线的倾斜角为（）A.π4B.π3C.3π4D.2π3【答案】C【解析】【分析】根据直线的方向向量，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】由题意知：直线l的斜率为111−=−，则直线l的倾斜角为3π4.故选

：C2.已知三棱锥OABC−，点M，N分别为AB，OC的中点，且OAa=，OBb=，OCc=，用a，b，c表示MN，则MN等于（）A.()12bca+−B.()12abc+−C.()12abc−+D.()12cab−−【答案】D【解析】

【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．【详解】因为OAa=，OBb=，OCc=，所以()()111222OCOAOMNONbOBaMc=−+=−−==−.故选：D.3.若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到

直线y＝kx－1的距离不可能是（）A.4B.6C.32＋1D.8【答案】D【解析】【分析】根据题意作出示意图，判断出直线过定点()0,1−，进而求出圆心到直线距离的最大值，然后判断各个答案.【详解】如图

，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点()0,1−．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为()()2230315−−++=，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1

＝6；当直线与圆有公共点时，点P到直线距离的最小值为0．即距离的范围是[0,6].故选：D.4.某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（）A.中位数是3，众数是2B.平均数是3，中位数是2C.方差是2.4，平均数是2D.平均数

是3，众数是2【答案】C【解析】【分析】举特例可说明A,B,D正误，利用方差的计算公式可判断C.【详解】选项A：有可能出现点数6，例如2,2,3,4,6；选项B：有可能出现点数6，例如2,2,2,3,6；选项C：设这5次的点数为1

25,,,xxx，则方差22221251[(2)(2)(2)]5sxxx=−+−++−如果出现点数6，而21(62)3.25−=，则方差大于或等于3.2，故不可能出现点数6；选项D：有可能出现点数6，例如2,2,2,3,6，的故选：C．5.已知椭

圆2222:1xyCab+=（0ab）的长轴长为26，且与y轴的一个交点是()0,2−，过点31,22P的直线与椭圆C交于,AB两点，且满足0PAPB+=，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则OM的最小值为（）A.1B.2C.2D.22【答案】B【解析】【分析】由题意可求得椭

圆方程为22162xy+=，由0PAPB+=，得点P为线段AB的中点，然后利用点差法可求出直线AB的方程，则OM的最小值为点O到直线AB的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】由题意得226,2ab==，则6,2ab==，222cab=−

=，所以椭圆方程为22162xy+=，因为22311221622+=，则13,22P在椭圆内，可知直线AB与椭圆总有两个交点，因为0PAPB+=，即点P为线段AB的中点，设1122(,),(,)AxyBxy，显然12xx，则12123,

1xxyy+=+=，22112222162162xyxy+=+=，可得22222121062−−+=xxyy，则21212121()()3()()0+−++−=xxxxyyyy，即21213()3()0yyxx−+−=，所以21211yyxx

−=−−，即直线AB的斜率1k=−，所以直线AB为1322yx−=−−，即20xy+−=，因为M为直线AB上任意一点，所以OM的最小值为点O到直线AB的距离22002211d+−==+，故选：B.6.已知点(

)4,Pa，若圆O：224xy+=上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（）A.33,33−B.552,2−C.(),3333,−−+D.(),2525,−−+【答案】B【解析】【分析】由题意知，A在圆O上，PA中点也在圆上，根

据中点位置列出方程式解得中点的轨迹为()22212axy−+−=，然后根据两圆的位置关系求得a的取值范围.【详解】设A的坐标为()00,Axy，PA的中点坐标为(),Qxy，则有：002200

4224xxayyxy+=+=+=，解得：()22212axy−+−=，又线段PA中点也在圆上，所以两圆有公共点，所以()22102032a−+−，解得：220a，解得：2525a−，故选：B.7.《九章算术》中，将四个面都为直

角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑ABCD−中，AB⊥平面BCD，90BDC=，222BDABCD===，E是BC的中点，H是ABD△内的动点（含边界），且//EH平面ACD，则CAEH的取值范围是（）A.0,3B.1,32C.111,22

D.113,2【答案】B【解析】【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面//EFG平面ACD，再由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABD，进而有EGFG⊥，cosFGEFGEF=，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG

，EF，EG，如图，易得//FGAD，//EFAC，//EGCD，因为FG平面EFG，AD平面EFG，所以//AD平面EFG，同理//AC平面EFG，又因为,ACAD平面ACD，ACADA=，所以平面//EFG平面ACD.因为//EH平面ACD，所以H为线段FG上的点.由AB

⊥平面BCD，CD平面BCD，得ABCD⊥，又90BDC=，则BDCD⊥，由,,ABBDBABBD=I平面ABD，得CD⊥平面ABD，因为//EGCD，所以EG⊥平面ABD，EGFG⊥，cosFGEFGEF=.因为222BDABCD===，所以152

2FGAD==，5BC=，1622EFAC==.所以()2222CAEHEFEFFHEFEFFH=+=+()2222cosπ22cosEFEFFHEFGEFEFFHEFG=+−=−2223

5EFFHFGFH=−=−.因为50,2FH，所以1,32CAEH.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到35CAEHFH=−，从而得解.8.设抛物线

2:4Cyx=的焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于,AB两点，以AB为直径的圆与y轴交于,DE两点，且35DEAB=，则直线l的方程为（）A.6360xy−=B.10xy−=C.220xy−=D.210xy−=【答案】

A【解析】【分析】设()224ABrr=，作MN⊥y轴，过A，B向准线=1x−作垂线，垂足为1A，1B，由梯形中位线得到1MNr=−，然后35DEAB=求得r，进而得到4Mx=，然后()214ykxyx=−=，利用韦达定理求解.【详解】解：如图所

示：设()224ABrr=，作MN⊥y轴，过A，B向准线=1x−作垂线，垂足为1A，1B，则()11212MNAABBAFBFABr+=+=+==，所以1MNr=−，则()226215DErrr=−−=，即2950250rr−+=，解得=5r或59r=（舍

去），则4Mx=，设()()1122,,,AxyBxy，由()214ykxyx=−=，消去y得()2222240kxkxk−++=，则2112248kxxk++==，解得63k=，所以直线方程为()61

3yx=−，即6360xy−=，故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知圆C的方程为()()22114xy−+−=，直线l的方程为

20xmym+−−=，下列选项正确的是（）A.直线l恒过定点()2,1B.直线与圆相交C.直线被圆所截最短弦长为23D.存在一个实数m，使直线l经过圆心C【答案】ABC【解析】【分析】化简直线l的方程为2

(1)0xmy−+−=，结合方程组的解，可判定A正确；求得圆心到定点()2,1的距离，得到点P在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C正确；将圆心坐标代入直线l的方程

，可判定D不正确.【详解】对于A项：由直线l的方程20xmym+−−=，可化为2(1)0xmy−+−=，联立方程组2010xy−=−=，解得2,1xy==，即直线l恒经过定点()2,1P，所以A正确；对于B项：由圆C的方程()()22114xy−+−=，可得圆心(1,1)C，半径2r=

，又由12PCr==，可得()2,1P在圆内，所以直线与圆相交，所以B正确；对于C项：由1PC=，根据圆的性质，可得当直线和直线PC垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为2222222123rPC−=−=，所以C正确；对于D项：将圆心(1,1)C代入直线l的方程20xmym+−−=，可得121

0mm+−−=−，所以不存在一个实数m，使得直线l过圆心C，所以D不正确.故选：ABC.10.甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲

骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（）A.事件A、B是相互独立事件B.事件B、C是互斥事件C.()()()PAPBPC==D.()18PABC=【答案】AC【解析】【分析】利用列举法分别求出事件A

，B，C，AB，ABC的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，基本事件总数6636n==，记事件A为“两个骰子朝上一面的数

字之和为奇数”，则事件A包含的基本事件有18个，分别为：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6

)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，()181362PA==，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，则事件B包含的基本事件有18个，分别为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，181362P==，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则事件C包含的基本事件有18个，分别为：(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，

(5,2)，(6,2)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，(6,6)，()181362PC==，事件AB包含的基本事件有9个，分别为：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2

)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，91()364PAB==，()()()PABPAPB=，事件A、B是相互独立事件，故A正确；事件B与C能同时发生，故事件B与C不互斥事件，故B错误；()()()12PAPBPC===，故C正确；ABC包包含的基本事件有

9个，分别为：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，91()364PABC==．故D错误．故选：AC．11.直线l与抛物线22yx=相交于()11,Axy，()22,Bxy，若OAOB⊥，则

（）A.直线l斜率为定值B.直线l经过定点C.OAB面积最小值为4D.124yy=−是【答案】BCD【解析】【分析】由数量积的坐标表示结合抛物线方程得出124yy=−，联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出直线l经过定点，再由判别式判断A，由面积公式结合不等式的性质判断C.【详解

】()()1122,,,OAxyOBxy==，因为OAOB⊥，所以12120OAOBxxyy=+=，即()21212104yyyy+=，()121240yyyy+=，又120yy=，所以124yy=−，故D正确；设直线:lxmyb=+，由22xmyb

yx=+=得2220ymyb−−=，即122yym+=，1224,2yybb=−=−=，即直线l过定点()2,0，故B正确；又24160m=+，则mR，故A错误；()22121212121244

1642OABSyyyyyyyym=−=−=+−=+△，当0m=时，OAB面积取最小值，故C正确.故选：BCD12.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点M是11AD的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），1PB∥平面1MCD，152DQ=

，点R到平面11ABBA的距离等于它到点D的距离，则（）A.点P的轨迹的长度为2B.点Q的轨迹的长度为4C.PQ长度的最小值为25152−D.PR长度的最小值为3520【答案】BCD【解析】【分析】对于A，取BC的中点N，连接AN，1BN，根据面面平行的判定

可证得平面1//ANB平面1DMC，从而得点P的轨迹为线段AN，解三角形计算可判断；对于B，连接DQ，由勾股定理得12DQ=，从而有点Q的轨迹是以点D为圆心，以12为半径的14圆，由圆的周长计算可判断；对于C，过点D作'DPAN⊥于'P，交点

Q的轨迹于'Q，此时''PQ的长度就是PQ长度的最小值，由三角形相似计算得'255DP=，由此可判断；对于D，由已知得点R到直线AB的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的

抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线的方程为22xy=，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：2+0xyn−=，联立22+02xynxy−==，整理得()224+2+04nyyn−=，由Δ0=，解得

14n=−，再根据平行线间的距离可求得PR长度的最小值．【详解】解：对于A，取BC的中点N，连接AN，1BN，则1//ANMC，11//ABDC，所以//AN平面1DMC，1//AB平面1DMC，又//AN平面1DMC，1//AB平面1DMC，1ANABA=，所以

平面1//ANB平面1DMC，又点P在底面四边形ABCD内（包括边界），1PB∥平面1MCD，所以点P的轨迹为线段AN，因为222215122ANABBN=+=+=，所以点P的轨迹的长度为52，故A不正确；对于B，连接DQ，因为Q

在底面ABCD上，152DQ=，所以222221512DQDDDQ+=+=，解得12DQ=，所以点Q的轨迹是以点D为圆心，以12为半径的14圆，如下图所示，所以点Q的轨迹的长度为112424=，故B正确

；对于C，过点D作'DPAN⊥于'P，交点Q的轨迹于'Q，此时''PQ的长度就是PQ长度的最小值，而'',BAPDBANADP==，所以'ABNDPA，所以'ADDPANAB=，即'1152DP=，解得'255DP=，所以''''25152PQDPDQ=−=−，所以PQ长

度的最小值为25152−，故C正确；，对于D，因为点R到平面11ABBA的距离等于它到点D的距离，由正方体的特点得点R到直线AB的距离等于点R到平面11ABBA的距离，所以点R到直线AB的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义

知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，则102D，，102A−，，()10N，，直线AB的方程为12y=−，直线AN的方程为210xy−

−=，则抛物线的方程为22xy=，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：2+0xyn−=，联立22+02xynxy−==，整理得()224+2+04nyyn−=，()224+2160nn−==，解得14n=−，所以直线l的方程为：1204xy

−−=，则直线AN与直线l的距离为：()22113542012d−==+−，所以PR长度的最小值为3520，故D正确，故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．）13.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为23和35

，则密码被成功破译的概率为________．【答案】1315【解析】【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设事件A=“甲能破译密码”，事件B=“乙能破译密码”，则事件A与B相互独立，且23(),()35PAPB==

，则密码被成功破译的概率为：()()()()()()()()()PPABPABPABPAPBPAPBPAPB=++=++23232313(1)(1)35353515=+−+−=.故答案为：1315.14.已知空间内三点()1,1,2A，()1,2,0B

−，()0,3,1C，则点A到直线BC的距离是___________【答案】6【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出cosABC，利用同角三角函数的关系求出sinABC，结合sindABABC

=计算即可求解.【详解】空间内三点()1,1,2A，()1,2,0B−，()0,3,1C，所以()1,1,1BC=，()2,1,2BA=−，3AB=，3BC=，由33cos0333BABCABCBABC===，易得π02ABC，所以

26sin1cos3ABCABC=−=，所以点A到直线BC距离636sin3dABABC===.故答案为：6.15.1F，2F是椭圆C的两个焦点，点P是椭圆C上异于顶点的一点，点I是12PFF△的内切圆圆心，若12PFF△的面积是12IFF△的面积的4倍，则椭圆C的离

心率为______．【答案】13【解析】【分析】作图，根据几何关系以及条件求出a与c的关系式，再求出e.【详解】设椭圆方程为：221xyab+=，如图，设P（m，n），()1,0Fc−，()2,0Fc，12PFF△的周长为l，

内切圆I的半径为r，则由椭圆的定义可得l＝2a＋2c，∴122222PFFScncnrlacac===++△，12124PFFIFFSS=△△，∴1124222cncncac=+，解得：13ca=，13e=；故答案为：13．的16.已知双曲

线22145xy−=的左焦点为F，点P在双曲线上且在x轴上方，若线段PF的中点在以O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率为______．【答案】115【解析】【分析】根据题意结合双曲线的定义可得6AF=，6PA=，10PF=，再利用余弦定理以及同角三角关系求斜率.【详解】

由双曲线22145xy−=可知222,5,3abcab===+=，设线段PF的中点为M，双曲线的右焦点为A，则3OM=，6AF=，由题意可知：点P在第一象限，则26==PAOM，410=+=PFPA，可得22222210665cos221066+−

+−===PAAFAPPFAPAAF，且PFA为锐角，则211sin1cos6=−=PFAPFA，可得sin11tancos5==PFAPFAPFA，所以直线PF的斜率为115.故答案为：115.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）17.已知圆C过点()3,2M−，圆心C在直线30xy−+=上，且圆C与x轴相切．（1）求圆C的标准方程；（2）过点()3,3A−作直线l与圆C相交于D，E两点，且23DE=，求直线l的方程．【答案】17.()()22124xy++−=1830y−

=或4330xy+−=【解析】【分析】（1）根据题干假设出圆的标准方程，代入题干信息即可求解.（2）讨论过点()3,3A−的直线斜率不存在时，是否与圆相交，弦长是否为23DE=；斜率存在时，利用弦长公式进行计算，求解直线l的方程即可.【小问1详解】

设圆的标准方程为()()222xaybr−+−=，代入题干得：()()2223230abrabbr−−+−=−+==，解得：212bar==−=则圆C的标准方程为：()()22124xy++−=【小问2详解】当过点()3,3A−的直线斜率不存在时，

直线为：3x=−，此时圆心到直线的距离为2dr==所以相切，与题干不符；当过点()3,3A−的直线斜率存在时，设直线的方程为：()33−=+ykx，即330kxyk−++=，此时圆心到直线的距离为222332111kkkd

kk−−+++==++，又因为相交的弦长为.22223224DErdd==−=−，则1d=.所以22111kk+=+，解得0k=或43k=−则直线的方程为：30y−=或4330xy+−=18.如图，在三棱锥SABC−中，SC⊥平面A

BC，点PM、分别是SC和SB的中点，设1,90PMACACB===，直线AM与直线SC所成的角为60（1）求SC的长；（2）求直线CM与平面AMP所成角的正弦值．【答案】（1）263（2）65【解

析】【分析】（1）建系，设2SCa=，利用空间向量结合异面直线夹角运算求解；（2）求平面AMP的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】由题意可知：SC⊥平面ABC，且90ACB=，如图，以C为坐标原点，,,ACBCSC为,,xyz轴所在直线建立空间直角坐标系，

设2SCa=，则()()()()()()1,0,0,2,0,0,0,0,0,0,0,2,0,1,,0,0,ABCSaMaPa，可得()()1,1,,0,0,2=−=uuuruurAMaCSa，由题意可得：2221cos,222===+uu

uruuruuuruuruuuruurAMCSaAMCSaaAMCS，解得63a=，所以2623==SCa.【小问2详解】由（1）可得：()661,0,,0,1,0,0,1,33=−==uuuruu

uruuurAPPMCM，设平面AMP的法向量(),,nxyz=，则6030nAPxznPMy=−+===，令2x=，则0,3yz==，可得()2,0,3=rn，则26cos,5553===ruuurruuurruuurnCMnCMnCM，所以直线CM与平

面AMP所成角的正弦值为65.19.实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境．2019年下半年以来，全国各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例．某部门在某小区年龄处于20,45岁的人中随机地抽取x人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并

把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．组数分组“环保族”人数占本组的频率第一组)20,25450.75第二组)25,3025y第三组)30,35200.5第四组)35

,40z0.2第五组40,4530.1（1）求,,xyz的值；（2）根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；（3）从年龄段在35,45的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6人进行专访，并在这6人中选取2人作为记录员

，求选取的2名记录员中至少有1人年龄在40,45中的概率．【答案】（1）200,0.625,6xyz===（2）31（3）35【解析】【分析】（1）直接由频率分布直方图求出即可；（2）由频率分布直方图中平均值的公式求出；（3）古典概率，先求符

合条件的人数，再求基本事件总数，符合条件的事件数量，最后求概率.【小问1详解】由题意得：450.752000.065250.6252000.0452000.0350.26xyz======，【小问2详解】根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值：22

.50.06527.50.04532.50.04537.50.03542.50.03530.7531x=创+创+创+创+创=?【小问3详解】从年龄段在35,45的“环保族”中采取分层随机抽样的方法抽取6

人进行专访，)35,40中选：66463=+人，分别记为,,,ABCD，40,45中选：36=263´+人，分别记为,ab，并在这6人中选取2人作为记录员，()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,ABACADAaAbBCBDBaBbCDCaCbDaDbab，基本事件总数15n=，选取的2名记录员中至少有1人年龄在40,45包含的基本事件：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,aAaBaC

aDbAbBbCbDab，基本事件数9m=，选取的2名记录员中至少有1人年龄在40,45中的概率93155npm===20.已知椭圆2222:1xyCab+=（0ab）的上下左右四个顶点分别为ABCD、、、，x轴正半轴上的点P满足3,5PAPDPC===．（1）求椭圆C的标准方程

以及点P的坐标．（2）过点P的直线l交椭圆于MN、两点，且MNA△和MND的面积相等，求直线l的方程．（3）在（2）的条件下，求当直线l的倾斜角为钝角时，MND的面积．【答案】20.椭圆的标准方程为221168xy+=，P点

坐标为()1,021.()21yx=−或2(1)2yx=−−22.3624【解析】【分析】（1）由3,5PAPDPC===及椭圆的定义即可求得标准方程及点P点坐标.（2）由MNA△与MND的面积相等知点,AD到

直线l的距离相等，再由点到直线的距离公式即可求得直线方程.（3）由（2）求得的直线方程，联立椭圆，再由面积公式即可求得三角形的面积.【小问1详解】设点P的坐标为()0,0x0(0)x，易知2358a=+=，可得4a=，则051=−=xa，220322bx=−=，因此椭圆

的标准方程为221168xy+=，P点坐标为()1,0．【小问2详解】由（1）可知：()()0,22,4,0AD，由题意可知：直线l的斜率存在，设直线():1lykx=−，即kxyk0−−=，由MNA△与MND的面积相等知点,AD到直线l的距离相等，

所以22|22||4|11−−−=++kkkkk，解得2k=或22k=−，所以直线l的方程为()21yx=−或2(1)2yx=−−．【小问3详解】因为()0,1P在椭圆内部，则直线l与椭圆相交，若直线l的倾斜角为钝角，则22k=−，此时直线l的方程为2(1)2yx=

−−，即21xy=−+联立方程22116821xyxy+==−+，消去x得2422150yy−−=，设M，N坐标分别为()11,xy，()22,xy，则1212215,24yyyy+==−，所以MND的面积()221212121132153623442

22244SPDyyyyyy=−=+−=−−=，故所求MND的面积为3624．21.如图，在三棱柱111ABCABC-中，2ABAC==，D为BC的中点，平面11BBCC⊥平面ABC．（1）证明：1ADBB⊥；（2）已

知四边形11BBCC是边长为2的菱形，且160BBC=，线段1CC上的点E，且()101CECC=，当平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为155时，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）由面面垂直证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2

）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.【小问1详解】因为ABAC=，且D为BC的中点，则ADBC⊥，因为平面11BBCC⊥平面ABC，交线为BC，AD⊥BC，AD平面ABC，可得AD⊥平面11BBCC，且1BB平面11BBCC，所以1ADBB⊥.【小问2详解】连接1BD，1BC，

因为四边形11BBCC为边长为2的菱形，且160BBC=，可知1BBC为等边三角形，且D为BC的中点，则1BDBC⊥，又因平面11BBCC⊥平面ABC，交线为BC，1BD平面11BBCC，所以1BD⊥平面ABC，以D为原点，DC，DA，1DB分别为x，y，z轴建立空间直角坐

标系，为则()0,0,0D，()0,3,0A，()1,0,0C，()12,0,3C，可得()11,0,3CC=，()1,3,0AC=−，()0,3,0DA=，()101CECC=，可得()1,3,3AEACCE

=+=+−．设平面AED的一个法向量为(),,nxyz=，则()133030nAExyznDAy=+−+===，令1z=+，则3,0=−=xy，可得()3,0,1n=−+，设平面AEC的一个法向量为(),,mabc=，则()133030mAEabcmACa

b=+−+==−=，令1c=−，则3,1ab==，可得()3,1,1m=−，设平面EAD与平面EAC的夹角为，则()223115coscos5531−−−====++urrurrur

rmnmnmn，解得：12=，故点E为1CC中点，12=.22.已知双曲线2222:1xyCab−=（0,0ab）的离心率为2，点()2,1P−在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）点AB、在双曲线C上，直线PAPB、与y轴分别相交于MN、两点，点Q在直线AB上，若坐标原点

O为线段MN的中点，PQAB⊥，证明：存在定点R，使得QR为定值．【答案】（1）22133yx−=（2）当R为PD的中点(1,2)−时，2=RQ【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得223ab==，即可求得双曲线的方程；（2）设直线AB的方程为ykxm=+，

联立方程组，设1122(,),(,)AxyBxy，得到1212,xxxx+，得出直线,PAPB的方程求得M和N，结合O为MN的中点，列出方程求得3m=−，求得PD为定值，利用直角PQD△的性质，即可求解.【小问1详解】因为双曲线2222:1xyCab−=的离心率为2，且()

2,1P−在双曲线C上，可得222224112abceacab−====+，解得223,3==ab，所以双曲线的方程为22133yx−=.【小问2详解】由题意知，直线的AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxm=+，联立方程组223ykxmxy=+−=，整理得222

(1)230kxkmxm−−−−=，则22222(2)4(1)(3)4(33)0=−−−−−=−+kmkmmk且210k−，设1122(,),(,)AxyBxy，则212122223,11kmmxxxxkk−−+==−−，直线PA的方程为1111(2)2++=−−yyxx，令0x=，可

得112212+=−−−yyx，即11220,12+−−−yMx,同理可得22220,12+−−−yNx，因为O为MN的中点，所以1212222211022++−−+−−=−−yyxx，即12122()22()211

022++++−−−−=−−kxmkxmxx，则1212(21)(21)()40+−−++−=kxxkmxxm，可得()222(21)32(21)4011+−−−+−−=−−kmkmkmmkk，整理得(3)(21)0mmk+++=，所以

3m=−或210mk++=，若210mk++=，即21mk=−−，则直线方程为21ykxk=−−，即1(2)ykx+=−，此时直线AB过点()2,1P−，不合题意；若3m=−时，则直线方程为3ykx=−，恒过定点(0,3)D−，所

以222(13)22=+−+=PD为定值，又由PQD△为直角三角形，且PD为斜边，所以当R为PD的中点(1,2)−时，2==RQPD.【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解

法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt=+，由题设条件将t用k表示为tmkn=+，得()ykxmn=++，故动直线过定点(),mn−；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com