【文档说明】【精准解析】山东省潍坊市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题.doc，共(22)页，2.168 MB，由小赞的店铺上传

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高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，则复数12ii+=（）A.2i+B.2i−C.2i−+D.2i−−【答案

】B【解析】【分析】首先将分子的1化为2i−，然后约分化简.【详解】因为21222iiiiii+−+==−，故选：B【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，虚数单位的性质，属于容易题.2.7cos6=（）A.32B.12C.12−D.32−【

答案】D【解析】73cos662cos=−=−,故选D3.已知某扇形的半径为4cm，圆心角为2rad，则此扇形的面积为（）A.232cmB.216cmC.28cmD.24cm【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积公式，即可求得此扇形的

面积，得到答案.【详解】由题意，某扇形的半径为4cm，圆心角为2rad，根据扇形的面积公式，可得22211241622Srcm===所以此扇形的面积为216cm.故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式及

其应用，其中解答中熟记扇形的面积公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4.在ABC中，点M满足2BMMC=，则（）A.1233AMABAC=+B.2313AMABAC=+C.1233AMABAC=−D.2313AMA

BAC=−【答案】A【解析】【分析】由已知条件可得23BMBC=，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案.【详解】由点M满足2BMMC=，可得23BMBC=,由图可知()2212+++3333AMABBMABBCABACA

BABAC===−=+,故选：A【点睛】本题考查平面向量的加减法法则的运用，属于简单题.5.二十四节气（The24SolarTerms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化

而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动15所到达的一个位置，根据上述描述，从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度为（）A.15B.45C.30°D.60【答案】B【解析】【分析】根据条件，得到从夏至到立秋

对应地球在黄道上运动的角度315，即可求解.【详解】根据题意，立秋时夏至后的第三个节气，故从从夏至到立秋对应地球在黄道上运行了31545=.故选：B.【点睛】本题考查了合情推理的应用，着重考查学生阅读理解能力，以及计算能力，属于基础题.6.已知72cos410−=

，则sin2=（）A.2425−B.1225−C.1225D.2425【答案】D【解析】【分析】由2sin2cos(2)cos[2()]2cos()1244=−=−=−−，代入即可求解.【详解】因

为72cos410−=，由24924sin2cos(2)cos[2()]2cos()1212445025=−=−=−−=−=故选：D.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的

倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.7.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的23，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）A.16B.27C.36D.54【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R，高为h，

则由题意得，()22232424RhRhRhR=++=，解方程组，再根据圆柱的体积公式求解即可．【详解】设圆柱的底面半径为R，高为h，∵圆柱的侧面积等于表面积的23，且其轴截面的周长是2

4，∴()22232424RhRhRhR=++=，解得36Rh==，∴圆柱的体积为254VRh==，故选:D．【点睛】本题主要考查圆柱的表面积公式与体积公式，属于基础题．8.若函数()tan(0)

4fxx=+的最小正周期为，则（）A.(2)(0)5fff−B.(0)(2)5fff−C.(0)(2)5fff−D.(0)(

2)5fff−【答案】C【解析】【分析】先求得()tan()4fxx=+，求得函数()fx在5(,)44上单调递增，结合(0)()ff=，4()()55ff−=，利用单调性作出比较，即可求解.【详解】由题

意，函数()tan(0)4fxx=+的最小正周期为，可得w=，解得1w=，即()tan()4fxx=+，令,242kxkkZ−+++，即3,44kxkkZ−+

+，当1k=时，544x，即函数()fx在5(,)44上单调递增，又由4(0)(),()()()555fffff=−=−+=，又由425，所以(0)(2)5fff−.故选：C.【点睛】

本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，合理应用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.若a→，b→，c→是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A.若ab→→=，则ab→→=B.若acbc→→→→=，则ab→→=C.若//ab→→，//bc→→，则//ac→→D.若abab→→→→+=−，则ab→→⊥【答案

】ACD【解析】【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应A，若ab=，则向量,ab长度相等，方向相同，故||||ab=，故A正确；对于B，当ac⊥且bc⊥时，··0acbc==，但a，b可以不相

等，故B错误；对应C，若//ab，//bc，则,ab方向相同或相反，,bc方向相同或相反，故,ac的方向相同或相反，故//ac，故C正确；对应D，若||||abab+=−，则22222?2?aabbaabb++=−+，0ab=，ab⊥，故D正确．故选：ACD【点睛】本题

考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．10.下列叙述正确的是（）A.已知a，b是空间中的两条直线，若ab=，则直线a与b平行或异面B.已知l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若l，则l或l与只有一个公共点C.已知，是空间两个不同

的平面，若，则，必相交于一条直线D.已知直线l与平面相交，且l垂直于平面内的无数条直线，则l⊥【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据空间直线位置关系的定义即可判断；对于B，根据线面位置关系的定义即可判断；对于B，根据平面与平面的位置关系的定义即可

判断；对于D，根据线面垂直的判定定理即可判断【详解】解：对于A，根据空间中直线的位置关系有：相交、平行、异面，由题意可知，ab=说明直线a与b不相交，即直线a与b平行或异面，故A正确；对于B，根据

直线与平面的位置关系有：直线与平面相交、直线与平面平行、直线在平面内，因为l，所以直线l与平面不平行，即直线与平面相交或直线在平面内，从而得l或l与只有一个公共点，故B正确；对于C，因为平面与平面的位置关系有：相交或平面，因为，是空间两个不

同的平面，而，所以平面与相交，即，必相交于一条直线，故C正确；对于D，当直线l与平面相交，且l垂直于平面内的无数条直线，若这些直线中没有相交直线，则l不一定垂直平面，故D不正确，故选：ABC【点睛】此题考查空间

中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的理解和应用，以及线面垂直的判定定理的理解，属于中档题.11.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，32sinacA=，且02C，4b=，则以下说法正确

的是（）A.3C=B.若72c=，则1cos7B=C.若sin2cossinABC=，则ABC是等边三角形D.若ABC的面积是23，则该三角形外接圆半径为4【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用正弦定理可将条件转化得到3sin2sinsin

ACA=，即可求出C；对于B，利用正弦定理可求得sinB，进而可得cosB；对于C，利用正弦定理条件可转化为2cosacB=，结合原题干条件可得B，进而求得ABC==；对于D，根据三角形面积公式求得a

，利用余弦定理求得c，进而由正弦定理求得R．【详解】解：由正弦定理可将条件32sinacA=转化为3sin2sinsinACA=，因为sin0A，故3sin2C=，因为(0,)2C，则3C=，故A正确；若72c=，则由正弦定理可知sinsi

ncbCB=，则4343sinsin7272bBCc===，因为(0,)B，则2481cos11497BsinB=−=−=，故B错误；若sin2cossinABC=，根据正弦定理可得2cosacB=，又因为32sinacA=，即23sin3acA=，

即有23sin2cos3cAcB=，所以sin3cosAB=，因为23ABC+=−=，则23AB=−，故2sin()3cos3BB−=，整理得31cossin3cos22BBB+=，即13sincos22BB=，解得tan3B=，故3B=，则3A=，即3A

BC===，所以ABC是等边三角形，故C正确；若ABC的面积是23，即1sin232abC=，解得2a=，由余弦定理可得22212cos416224122cababC=+−=+−=，即23c=设三角形的外接圆半径是R，由正弦定理可得

2324sin32cRC===，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，故选：AC．【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．12.水车在古代是进行灌溉引水的工

具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点()3,33A−出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐

标为(),xy，其纵坐标满足()sin()0,0,2yftRtt==+，则下列叙述正确的是（）A.3=−B.当0,60t时，函数()yft=单调递增C.当0,60t时，

点P到x轴的距离的最大值为33D.当100t=时，6PA=【答案】AD【解析】【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论.【详解】由题意，R＝()22333+−＝6，T＝120＝2，∴ω＝60，当t

＝0时，y＝f(t)＝33−，代入可得33−＝6sinφ，∵2，∴φ＝－3.故A正确；所以()6sin()603ftt=−，当0,60t时，260333t−−，，所以函数()yft=在0,60不是单调递增的，故B不正确；因为260333t−

−，，max66y==，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；当100t=时，46033t−=，此时33y=−，点()3,33P−−，()336PA=−−=，故D正确，故选：AD．【点睛】本题考查的是有关函数的应

用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数31i22z=+，z的共轭复数为z，则zz=________.【答案】1【解析】【分析】

根据共轭复数的概念，先求出复数z的共轭复数z，再根据复数的乘法运算，即可求出结果.【详解】复数31i22z=+的共轭复数为3122zi=−所以3131311222244zzii+−=+==.故答案为：1.【点睛】本题考查了共轭复数的概念，以及复数的

乘法运算，属于基础题.14.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，且高为2，则该正四棱锥的斜高为________.【答案】6【解析】【分析】由题意画出草图，设2PAABa==，结合高2PO=和等边三角形的性质，利用勾股定理，可求a，由此即可求出结果.【详解】如图，四棱锥PABCD−为正

四棱锥，由题意可知PAAB=，高2PO=，取CD中点E，连接OE，PE，则PE为正四棱锥的斜高.设2PAABa==，则OEa=，在等边三角形PCD中，由2,PCaCEa==，得3PEa=在RtPOE△中，3,,2PEaOEaPO===，由勾股定理，可得()2

2223aa+=，解得2a=所以该正四棱锥的斜高为36a=故答案为：6.【点睛】本题考查棱锥的结构特征，考査运算求解能力，是基础题.15.若函数()()()sin0fxx=+的最小正周期为，将()yfx=的图像向左平移6个单位后，所得图像关于y

轴对称，则的最小正值为________.【答案】6【解析】【分析】利用函数sin()yAx=+的图像变换规律，正弦函数的周期性、图像的对称性，求得和的值，即可得解【详解】解：因为函数()()()sin0fxx=+

的最小正周期为，所以2,()sin(2)fxx==+，所以其图像向左平移6个单位后，可得sin(2)3=++yx的图像，因为所得图像关于y轴对称，所以,32kkZ+=+，即,6kk

Z=+，所以的最小正值为6，故答案为：6【点睛】此题考查函数sin()yAx=+的图像变换规律，正弦函数的周期性、对称性，属于基础题.16.已知两个非零向量()1,3a→=，()cos,sinb→=，0,2，若2ab→→=，则=________；若

存在两个不同的，使得3abma→→→+=成立，则正数m的取值范围是________.【答案】(1).3(2).1323,22+【解析】【分析】根据数量积的坐标运算公式计算，分离参数可得743sin()3622a

bm+++==，根据有两解求出sin()6+的范围，从而得出m的范围．【详解】·cos3sin2sin()26ab=+=+=，sin()16+=，故262k+=+，kZ．又[0，]2，3=．

由3abma+=可得：22743sin()3(13cos)(33sin)723cos6sin62222abm++++++++====，令()sin()6f=+，[0，]2，则()f在[0

，)3上单调递增，在(3，]2上单调递减，且1(0)2f=，3()22f=，()13f=．存在两个不同的，使得3abma+=成立，故存在两个不同的，使得()ft=成立，312t„，

13743sin()743236+++=+„，132322m+„．故答案为：3；13[2，23)2+【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.

已知角的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的正半轴上，终边经过点()04,Ay，其中00y.（1）若25cos5=，求0y的值；（2）若04y=−，求2sin3coscos4sin+−的值.【答案】（1）2；（2）15.【解析】【分析】（1）用三角函数的定义

；（2）先求正切值，再把弦化切.【详解】（1）由题意知，2016OAy=+，因为25cos5=，所以20425516y=+.解得02y=，所以02y=.（2）当04y=−时，0tan14y==−，所以2sin3cos

2tan31cos4sin14tan5++==−−.【点睛】本题为基础题，考查三角函数的定义及同角三角函数的关系.18.某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八

个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160000cm3.（1）求正方体石块的棱长；（2）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积.【答案】（1）40cm；（2）21600c

m.【解析】【分析】（1）设正方体石块的棱长为a，求出每个截去的四面体的体积，再由等体积法列式求解a值；（2）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大，可得正方体的棱长正好是球的直径，再由球的表面积公式求解．【详解】（1）设正方体石块的

棱长为a，则每个截去的四面体的体积为3113222248aaaa=．由题意可得331600008483aa+=，解得40a=．故正方体石块的棱长为40cm；（2）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大．此时正方体的棱长正好是球的直径，球形石凳的

表面积22404()16002Scm==．【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．19.已知向量()3,1a=−，()1,2b=−，()nakbkR=−.（

1）若n与向量2ab−垂直，求实数k的值；（2）若向量()1,1c=−，且n与向量kbc+平行，求实数k的值.【答案】（1）53−；（2）12−.【解析】【分析】（1）求出()3,12nkk=−−+，解方程(3)(7)(12)40kk

−−−++=即得解；（2）由已知得()1,21kbckk+=+−−，解方程(3)(21)(12)(1)kkkk−−−−=++即得解.【详解】（1）由已知得()3,12nakbkk=−=−−+，()27,4ab−

=−，所以()20nab⊥−=，即(3)(7)(12)40kk−−−++=，解得53k=−；（2）由已知得()1,21kbckk+=+−−，因为()//nkbc+，所以(3)(21)(12)(1)kkkk−−−−=++，解得12k=−.【点

睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.从①4B=，②32sinaB=这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知ABC中，a，b，c分别是

内角A，B，C所对的边，且222sinsinsinsinsinABCBC=++.（1）求角A；（2）已知6b=，且________，求sinC的值及ABC的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）23；（

2）624−，9334−.【解析】【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得222abcbc=++，再利用余弦定理可求出角A；（2）若选①，则可求出角C，再利用正弦定理求出a的值，然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先利用正弦定理求出2sin2B=，从而可求出sinC，再利用正弦定理求

出a的值，然后利用三角形的面积公式求出结果【详解】（1）因为222sinsinsinsinsinABCBC=++，由正弦定理得222abcbc=++，即222122bcabc+−=−，得1cos2A=−，又0A，所以23A=；（2）选择①时

：4B=，23A=，故62sinsin()sincoscossin4CABABAB−=+=+=；根据正弦定理sinsinabAB=，故3a=，故1933sin24SabC−==.选择②时：32sinaB=，根据正弦定理sinsina

bAB=，故6sin3232sinBB=，解得2sin2B=，62sinsin()sincoscossin4CABABAB−=+=+=，根据正弦定理sinsinabAB=，故3a=，故1933sin24SabC−==.【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用

，考查三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.21.某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效机制，把文明城市创建不断引向深入.近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域ABCDE（如图所示），其中三角形区域ABE为健

身休闲区，四边形区域BCDE为文娱活动区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知60=∠BAE，90EBC=，120BCD=，333kmDEBCCD===.（1）求道路BE的长度；（2）求道路AB，AE长度之和的最大值.【答案】（1）2km

；（2）4km.【解析】【分析】（1）如图，连接BD，由余弦定理求出1BD=，再利用正弦定理求出30BED=，即得BE的长度；（2）设ABE=，利用正弦定理求出ABAE+=()4sin30+，再利用三角函数

求和的最大值.【详解】（1）如图，连接BD，在BCD中，由余弦定理得2222cos120BDBCCDBCCD=+−2223331213332=+−−=，所以1BD=，因为BCCD=，所以180120302CD

BCBD−===，又90EBC=，所以60EBD=，在EBD△中，1BD=，3DE=，60EBD=，由正弦定理得31sin60sinBED=，所以1sin2BED=，30BED=

或150（舍去），所以30BED=，90BDE=，得2BE=，即BE的长度是2km.（2）设ABE=，因为60=∠BAE，所以120AEB=−，在ABE△中，由正弦定理得sinsinsinABAEBEAEBABEBAE==，因为24

3sinsin603BEBAE==，所以()43sin1203AB=−，43sin3AE=，所以()4343sin120sin33ABAE+=−+()4sin30=+，因为0120

，所以3030150+，所以当3090+=，即60=时，ABAE+取得最大值4km，即道路AB，AE长度之和的最大值为4km.【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查正弦定理余弦定理解

三角形，考查三角函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.已知函数()()sin0,0,2fxAxA=+的图象如图所示.（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）将函数(

)yfx=的图象向右平移6个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()ygx=.（i）求函数()()2xhxfgx=的最大值；（ii）若函数()2()()2FxgxmgxmR=−+在()()0,nnN+内恰

有2015个零点，求m、n的值.【答案】（1）5,1212kk−++，kZ；（2）（i）34；（ii）1m=−，1343n=.【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数

的增区间，求得函数()fx的单调递增区间.（2）根据函数()sinyAωxφ=+的图象变换规律，求得()ygx=的解析式.（i）从而得到()()2xhxfgx=的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域求得()hx在的最大值.（

ii）令()0Fx=,令sin1,1tx=−，得2210tmt−−=，易知，方程必有两个不同的实数根1t、2t，由1212tt=−，则1t、2t异号，再分情况讨论求出求m、n的值.【详解】（1

）由图象可得1A=，最小正周期721212T=−=，则22T==，由77sin211212f=+=−，所以523k=−+，kZ，又2，则易求得3=，所以()sin23fxx=+，由222232kxk

−+++，kZ，得51212kxk−++，kZ，所以单调递增区间为5,1212kk−++，kZ.（2）（i）由题意得()singxx=，()()sinsin23xhxfgxxx==+311sin

2cos2444xx=−+11sin2264x=−+，所以()()2xhxfgx=的最大值为34；（ii）令()0Fx=，可得22sinsin10xmx−−=，令sin1,1tx=−，得2210tmt−−=，易知，方程必有两个不同的

实数根1t、2t，由1212tt=−，则1t、2t异号，①当11t且210t−或者101t且21t−时，则方程1sinxt=和2sinxt=在区间()0,n均有偶数个根，不合题意，舍去；②当10

1t且0201t时，则方程1sinxt=和2sinxt=在区间()0,n均有偶数个根，不合题意，舍去；③当11t=且212t=−，当()0,2x时，1sinxt=，只有一根，2sinxt=有两根，所以，关于x的方程22sins

in1xmx−−在()0,2x上有三个根，由于201536712=+，则方程22sinsin10xmx−−=在()0,1342上有2013个根，由于方程1sinxt=在区间()1342,1343上只有一个根，方程2sinxt=在区间()1343,1344上两个根，因此，不合

题意，舍去；④当11t=−时，则212t=，当()0,2x时，1sinxt=只有一根，2sinxt=有两根，所以，关于x的方程22sinsin10xmx−−=在()0,2x上有三个根，由于201536712=+，则方程22sinsin10xmx−−=在()0,1

342上有2013个根，由于方程2sinxt=在区间()1342,1343上有两个根，方程1sinxt=在区间()1343,1344上有一个根，此时，满足题意；因此，1343n=，21121022m−−=，得1m=−，综上，1m=−

，1343n=.【点睛】本题主要考查由函数()sinyAωxφ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的增区间，函数()sinyAωxφ=+的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.