【文档说明】河南省洛阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题 含解析.docx，共(15)页，1.814 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-1fceb6f04d398727215cbcdcfadd03e4.html

以下为本文档部分文字说明：

洛阳市2021~2022学年第一学期期末考试高一数学试卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合0,1,2,3A=的真子集的个数是

（）A.16B.15C.8D.7【答案】B【解析】【分析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得结果.【详解】集合A的元素个数为4，故集合A的真子集个数为42115−=.故选：B.2.cos840=（）A

.32B.12C.32−D.12−【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式可求得结果.【详解】()()1cos840cos720120cos120cos18060cos602=+==−=−=−.故选：D

3.“1x”是“10x−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】化简10x−利用充要条件的定义可以判定.【详解】10x−化简得1x，因为1x时，1x；而1x时，不一定得出1x..故“1x”是“10x−”的充分

不必要条件故选：A4.已知0.20.32log0.2,2,0.2abc===，则A.abcB.acbC.cabD.bca【答案】B【解析】【分析】运用中间量0比较,ac，运用中间量1比较,bc

【详解】22log0.2log10,a==0.20221,b==0.3000.20.21,=则01,cacb．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．5.已知1sin3=−，

则cos2的值为（）A.429−B.429C.79D.79−【答案】C【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.【详解】2217cos212sin1239=−=−−=.故选：C.6.若2510ab==，则11ab+的值是（）A.1−B.12C.710D.1【答案】D【解析】

【分析】由2510ab==求出a、b，表示出11ab、，进而求出11ab+的值.详解】由252510log10,log10abab====，,11lg2,lg5ab==【11lg2lg5lg101ab+=+==.

故选：D7.下列关于函数2sin2yx=，0,x的单调性叙述正确的是（）A.在0,2上单调递增，在,2上单调递减B.在0,2上单调递增，在,2上单调递减C.在0,4及3,4上单调递

增，在3,44上单调递减D.在3,44上单调递增，在0,4及3,4上单调递减【答案】C【解析】【分析】先求出函数的一般性单调区间，再结合选项判断即可.【详解】2sin2yx=的单调增区间满足：222,22

−++kxkkZ，即,44−++kxkkZ，所以其单调增区间为：[,],44kkkZ−++，同理可得其单调减区间为：3[,],44kkkZ++.由于0,x，令,44−++kxk

kZ中的0,1k=，有ππ44x−，3544x，所以在0,x上的增区间为0,4及3,4.令3,44kxkkZ++中的0k=，有344x，所以在0,x

上的减区间为3,44.故选：C8.已知lglg0ab+=，则函数xya=与函数logbyx=−的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数关系得1ab=，所以函数xya=与函数logbyx=−的单调性相同即可得到选项.【详解】lg

lg0,0,0abab+=，所以lg0,1abab==，1ab=，,ab不为1的情况下：1loglogbbyxx=−=，函数xya=与函数logbyx=−的单调性相同，ABC均不满足，D满足题意.故选：D【点睛】

此题考查函数图象的辨析，根据已知条件找出等量关系或不等关系，分析出函数的单调性得解.9.函数()()sin,0,02yxxR=+的部分图象如图，则（）A.,24==B.,36

==C.,44==D.5,44==【答案】C【解析】【分析】先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得，最后根据1x=时取最大值1，求得，即可得解．【详解】解：根据函数的图象可得：函数

的周期为()3148T=−=，∴24T==，当1x=时取最大值1，即sin1,2,442kkZ+=+=+，又02，所以4=，故选：C．【点睛】本题主要考查了由()sinyx=

+的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．属于基础题.10.已知函数(),0ln,0xexfxxx=，()()gxfxa=+，若()gx恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A.()1,0−B.)1,0

−C.()0,1D.(0,1【答案】B【解析】【分析】利用数形结合的方法，作出函数()fx的图象，简单判断即可.【详解】依题意，函数()yfx=的图象与直线ya=−有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数()y

fx=的图象与直线ya=−有两个交点，则01a−，即10a−.故选：B.【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.11.若定义在R上的奇函

数()fx在(),0−单调递减，且()20f=，则()0fxx的解集是（）A.()(),20,2−−B.()(),22,−−+C.()()2,00,2−D.()()2,02,−+【答案】C【解析】【分析】分析函数()fx的单调性，可得出()()220ff−=−=，分0x

、0x两种情况解不等式()0fxx，综合可得出原不等式的解集.【详解】因为定义在R上的奇函数()fx在(),0−单调递减，则函数()fx在()0,+上为减函数.且()()220ff−=−=，当0x时，由

()0fxx可得()()02fxf=−，则20x−；当0x时，由()0fxx可得()()02fxf=，则02x.综上所述，不等式()0fxx的解集为()()2,00,2−.故选：C.12.已知，为锐角，(

)1sin25+=，1cos3=，则()sin+的值为()A.18315+B.18315C.262215+D.18315−【答案】A【解析】【分析】()()sinsin2+=+−，根据正弦的差角公式展开计算即可.【详解】∵02

，11coscos323==，∴2,,2,323，又∵02，∴232,32+，又()1sin205+=，∴22,3+

，∴()()226cos21sin25+=−−+=−，2122cossin1cos33==−=，∴()())()()sinsin2sin2coscos2sin+=+−=+−+112622183535315+=+=故选：A.二

､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()yfx=的图象过点()3,3，则()4f=______.【答案】2【解析】【分析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得()fx解析式，代入4x=可得结果.【详解】()yfx=为幂函数，可设()fxx=，()333

f==，解得：12=，()12fxx=，()42f=.故答案为：2.【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题.14.已知函数()3sin1fxaxbx=++，若()20212f=，则()2021f−=_____

______.【答案】0【解析】【分析】由()()2fxfx−+=，即可求出结果.【详解】由()3sin1fxaxbx=++知()()()()33sin1sin1faxbxfxxxabx−+−++++=+−3

3sin1sin12axbxaxbx+=−−+++=，则()()202120212ff−+=，又因为()20212f=，所以()20210f−=.故答案：0.15.计算：()22233271328−+−=______

．【答案】3【解析】【分析】根据幂的运算法则，根式的定义计算．【详解】()2222323332723491331313283294−+−=+−=+−=

．故答案为：3．16.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立如图平面直角坐标系

，一个水斗从点()3,33A−出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为(),xy，其纵坐标满足()sin0,0,2yRtt=+，当100

t=秒时，PA=___________.【答案】6【解析】【分析】求出y关于t的函数解析式，将100t=代入函数解析式，求出y的值，可得出点P的坐标，进而为可求得PA的值.【详解】由题意可知，()223336R=+−=，函数()6si

nyt=+的最小正周期为120T=，则260T==，所以，6sin60yt=+，点P对应0=t，33y=−，则6sin33=−，可得3sin2=−，22−，3=−，故6sin603yt=−，当100t=时，46sin6sin6si

n33333y==+=−=−，因为100T，故点P不与点A重合，此时点()3,33P−−，则6PA=.故答案为：6.三､解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合2,12xAyyx==−，集合1ln2B

xx=，集合22320,0Cxxaxaa=−+.（1）求AB；（2）若CA，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,4e（2）1,22【解析】【分析】（1）先化简集合A，B，再利用交集运算求解；

（2）根据0a，化简集合,2Caa=，再根据CA求解.【小问1详解】解：∵12x−，∴1242x，∴集合1,42A=.∵1ln2x，∴2exe，∴集合(2,Bee=

.∴(,4ABe=.【小问2详解】∵0a，∴()()2232020,2Cxxaxaxxaxaaa=−+=−−=.∵CA，∴01224aaa，解得122a.∴实数a的取值范围是1,22

.18.已知函数()22cos23sincosfxxxx=+，xR.（1）求函数()fx的最小正周期和单调递减区间；（2）用括号中的正确条件填空.函数()yfx=的图象可以用下面的方法得到：先将正弦曲线sinyx=，xR向___________（

左，右）平移___________（6，3）个单位长度；在纵坐标不变的条件下再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的___________（12，2）倍，再在横坐标不变的条件下把所得曲线上各点的纵坐标变为原来的_____

______（12，2）倍，最后再把所得曲线向___________（上，下）平移___________（1，2）个单位长度.【答案】（1），2,63kk++()kZ（2）左，6，12，2，上，1【解析】【分析】（1）根据降幂公式、二倍角的正弦公式及两角和的

正弦公式化简，由正弦型三角函数的周期公式求周期，由正弦型函数的单调性求单调区间;（2）根据三角函数的图象变换过程求解即可.【小问1详解】()22cos23sincosfxxxx=+3sin2cos21xx=++2si

n216x=++，∴函数()fx的最小正周期22T==.由3222262kxk+++，kZ得：263kxk++，kZ，∴()fx的单调递减区间为2,63kk++，kZ.【小问2详解】将si

nyx=的图象向左平移6个单位，得到sin()6yx=+的图象，在纵坐标不变的条件下再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，得到sin(2)6yx=+的图象，再在横坐标不变的条件下把所得曲线上各点的

纵坐标变为原来的2倍，得到2sin(2)6yx=+的图象，最后再把所得曲线向上平移1个单位长度，即可得到函数()2sin(2)16yfxx==++的图象.19.甲地到乙地的距离大约为240km，某汽车公司为测试一种新型号的汽车的耗油量与行驶速度的关系，进行了多次实地测

试，收集到了该车型的每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0120v）的数据如下表：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：①

533212.6104.16102.91410Qvvv−−−=−+；②30.5210vQ−=+；③32.62log4.1610Qv−=−.（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）从甲地到乙地，该型号

的汽车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？【答案】（1）最符合实际的模型为①533212.6104.16102.91410Qvvv−−−=−+，理由见解析（2）从甲地到乙地，该型号的汽车以80km/h的速度行

驶时能使总耗油量最少【解析】【分析】（1）根据定义域和单调性来判断；（2）根据行驶时间与单位时间的耗油量得到总耗油量的函数表达式，再求最小值的条件即可.【小问1详解】依题意，所选的函数必须满足两个条件：定义域为0,120，且在区间0,120上单调

递增.由于模型③32.62log4.1610Qv−=−定义域不可能是0,120.而模型②30.5210vQ−=+在区间0,120上是减函数.因此，最符合实际的模型为①533212.6104.16

102.91410Qvvv−−−=−+.【小问2详解】设从甲地到乙地行驶总耗油量为y，行驶时间为t，依题意有yQt=.∵533212.6104.16102.91410Qvvv−−−=−+，240tv=，∴()52

312402.6104.16102.91410yQtvv−−−==−+，它是一个关于v的开口向上的二次函数，其对称轴为80v=，且800,120，∴当80v=时，y有最小值.由题设表格知，当80v=时，10

Q=，3t=，30Ly=.∴从甲地到乙地，该型号的汽车以80km/h的速度行驶时能使总耗油量最少.20.已知函数()logafxx=(0a且1a)的图象恒过点A，且点A在函数()10ymxnmn=+−的图象上.（1）求11mn+

的最小值；（2）若2a=，当2,4x时，求()()223yfxfx=−+的值域.【答案】（1）4；（2）2,3.【解析】【分析】(1)根据对数函数恒过定点(1，0)求出m和n的关系：1mn+=，则利用()1111mnmnmn+=++转化为基本不

等式求最小值；(2)利用换元法令()tfx=，将问题转化为二次函数求值域问题即可.【小问1详解】∵log10a=，∴函数()fx的图象恒过点()1,0A.∵()1,0A在函数()10ymxnmn=+−图象上，∴1mn+

=.∵0mn，∴0m，0n，∴0nm，0mn，∴()11112nmmnmnmnmn+=++=++224nmmn+=，当且仅当12mn==时等号成立，∴11mn+的最小值为4.【小问2详解】当2a=时，

()2logfxx=，∵()2logfxx=在2,4上单调递增，∴当2,4x时，()1,2fx，令()tfx=，则223ytt=−+，1,2t，()222312yttt=−+=−+在

1,2上单调递增，∴当1t=时，min2y=；当2t=时，max3y=.故所求函数的值域为2,3.21.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且4AOP=，

点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点(),Qab.（1）当3=时，求ab的值；（2）设2,43，求ba−的取值范围.【答案】（1）14−（2）1,2【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义结合二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得ab的值

；（2）利用辅助角公式可得2sinba−=，结合角的取值范围可求得ba−的取值范围.【小问1详解】解：由三角函数的定义，可得cos,sin44Q++，当3=时，77cos,sin1212

Q，即7cos12a=，7sin12b=，7717717111cossin2cossinsinsinsin1212212122626264ab====+=−=−【小问2详解】解：cos,

sin44Q++，cos4a=+，sin4b=+，所以，sincos2sin2sin4444ba−=+−+=+−=，2,43，则2sin

12，则12sin2≤≤，即ba−的取值范围为1,2.22.已知函数()()2log2xafxat=−（0a且1a）.（1）若函数()fx的定义域为R，求实数t的取值范围；（2）函数()fx的

定义域为D，且满足如下条件：存在,22mnD，使得()fx在,22mn上的值域为2,2mn，那么就称函数()fx为“二倍函数”.若函数()()()2log21xafxata=−是“二倍函数”，求实数t的取值范围.【答案】（1）

(,0−.（2）10,8【解析】【分析】（1）由题意可知，对任意的Rx，22xta恒成立，利用参变量分离法结合指数函数的值域可求得实数t的取值范围；（2）分析可知()()2log2xafxat=−在定义域内单调递

增，由“二倍函数”的定义可知关于v的二次方程220vvt−+=有两个不等的正根，可得出关于实数t的不等式组，由此可解得实数t的取值范围.【小问1详解】解：()fx的定义域为R，所以，220xat−恒成立，则22xta恒成立，20xa，0t，因此，实数t

的取值范围为(,0−.小问2详解】解：当1a时，因为内层函数22xuat=−为增函数，外层函数logayu=为增函数，故函数()()2log2xafxat=−在定义域内单调递增，当01a时，因为内层函数22xuat=−为减函数，外层函数logay

u=为减函数，故函数()()2log2xafxat=−在定义域内单调递增，若函数()()2log2xafxat=−是“二倍函数”，则需满足()()log222log222manamfatmnfatn=−==

−=，即2222mmnnataata−=−=，所以，m、n是关于x的方程220xxaat−+=的两根，设0xva=，则关于v的方程220vvt−+=有两个不等的正根，所以，Δ18020tt=−，解得108t，【