【文档说明】江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期第一次月考试题 数学.docx，共(4)页，532.143 KB，由小赞的店铺上传

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2025届高二年级第一次月考数学试卷9.17命题人：游更生一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z＝（1+2i）2﹣3，则z的实部为（）A．﹣6iB．-6C

．4iD．42.设m，n是两条不同的直线，,是两个不同的平而，下列命题正确的是（）A.若//,//mm，则//B.若//,//mnm，则//nC.若//,mnm⊥，则n⊥D.若,nn

⊥⊥，则⊥3．设()23i3iab−+=，其中a、b为实数，则（）A．1a=，2b=−B．1a=，2b=C．1a=−，2b=−D．1a=−，2b=4.正三棱锥底面边长为a，高为66a，则此正三棱锥的侧面积为（）A.234aB.232aC.2334aD.2332a5

.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1,,AAaABbADc===．点P在1AC上，且1:2:3APPC=，则AP=（）A．233555abc++B．322555abc++C．223555ab

c−++D．322555abc−−6.已知圆锥SO的高为5，它的侧面展开图是圆心角为240的扇形，则该圆锥的表面积是（）A.453B.45C.6D.107.已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形A

BCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且侧面PAD垂直底面ABCD,若PD=a则该四棱锥外接球的表面积为()A．πa2B．73πa2C．74πa2D．5πa28.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，点

E为棱1DD的中点，则点C到平面11ABE的距离为（）A.5aB.55aC.255aD.355a二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已

知复数()()33i1ii1z−−=（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．z的虚部为2B．复数z在复平面内对应的点位于第二象限C．z的共轭复数42iz=−D．25z=10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）A．圆柱

的侧面积为22πRB．圆锥的侧面积为22πRC．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:211.设复数z=1𝑎+𝑏𝑖（a，b∈R且b≠0），则下列结论正确的是（）A．z可能是实数B．|𝑧|=|𝑧|恒成立C．若z2∈R，则a＝0D．若𝑧

+1𝑧∈𝑅，则|z|＝112.已知直三棱柱111ABCABC-中，1,2,ABBCABBCBBD⊥===是AC的中点，O为1AC的中点．点P是1BC上的动点，则下列说法正确的是（）A.无论点P在1BC上怎么运动，都有11APOB⊥B.当直线1AP与平面11

BBC所成的角最大时，三棱锥PBCD−的外接球表面积为4C.若三棱柱111ABCABC-，内放有一球，则球的最大体积为43D.1OPB△周长的最小值321++三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()2,3,1a=，()1

,2,2b=−−，则向量a在向量b上的投影数量为14.如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4OA=，1OC=，则原图形周长是________15.已知圆台的上、下底面的面积分别为，，9侧面积为，12则这个圆台的

体积是16.如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，E是棱DD1的三等分点（靠近1D点），点F在棱C1D1上，且111DFDC=，若1BF∥平面1ABE，则=四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知复数()2

269izmmm=−−+−，mR，若z为纯虚数，求m的值；（2）已知复数z满足()()1i0,2zaaz+==，求a的值.18.（12分）如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱11AD，CD的中点，满足1,,AAaABbAD

c===，11π3BBCBBA==，π2CBA=，，3==BCAB21=BB(1)求线段EF的长度.(2)求直线AD与直线EF夹角的余弦值。19.（12分）已知向量()2cos,1mx=−，()sincos,2nxx

=−，其中0，函数()3fxmn=+，若函数()fx图象的两个相邻对称中心的距离为π2.（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）将函数()fx的图象先向左平移π4个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()gx的图象，当ππ,62x

时，求函数()gx的值域．20.（12分）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐷⊥𝐷𝐶,𝐵𝐶=𝐶𝐷=12𝐴𝐷=2，𝐸为棱𝐴𝐷的中点，𝑃𝐴⊥

平面𝐴𝐵𝐶𝐷.(1)证明：𝐴𝐵//平面𝑃𝐶𝐸(2)若直线PB与平面ABCD的夹角为4，求二面角A-PD-B的大小。21.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，B＝150°，△ABC的面积为．（1）求a的值；（2）求的值．22

.（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，BD1⊥CD．点M为CD1的中点，且CD1＝2BM．（1）证明：平面BDM⊥平面BCD1；（2）若钝二面角B﹣DM﹣C的余弦值为，当BD1

＞BD时，求直线CD1与平面BCD夹角的余弦值。sin3sinAC=3sin(2)6A+1515−2025届高二年级第一次月考数学试卷答案9.17BCDABDBB9.ABD10.CD11.BCD12.ABD13.-214.1415.531316.3217.（1）-2（2）

218.选择1,,AAaABbADc===为基向量(1)=EF234(2)343419.【答案】（1）3,88kk−+(k∈Z)；（2）1,2．（1）根据题意，代入数量积公式表示出()fx，然后化简得()2sin(2)4fxx=−，利用周期计算得1=，

利用整体法计算单调增区间；（2）利用平移变换得函数()gx的解析式，利用整体法计算值域.（1）由题意可得，()32cos(sincos)23=+=−−+fxmnxxx，22sincos2cos1sin2cos22sin(2)4=−+=

−=−xxxxxx.由题意知，22T==，得1=，则()2sin(2)4fxx=−，由222,242kxkkZ−−+，解得3,88kxkkZ−+，∴()fx的单调递增区间为3,()88kkkZ−+．（2）将()f

x的图象向左平移4个单位长度，得到2sin(2)4yx=+的图象，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()2sin()4=+gxx的图象．∵,62x，∴2sin()124+x，故函数()gx的值域为1,2.20.【

解析】（1）∵𝐵𝐶//𝐴𝐸且𝐵𝐶=𝐴𝐸，∴四边形𝐵𝐶𝐸𝐴为平行四边形，∴𝐴𝐵//𝐸𝐶，又𝐴𝐵⊄平面𝑃𝐶𝐸，𝐸𝐶⊂平面𝑃𝐶𝐸，所以𝐴𝐵//平面𝑃𝐶𝐸.（2）3法一，连接BE,过E作PD垂线，交PD于H,用几何方法可以做。法二、用

直角坐标系可以求。21.【分析】（I）由已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a；（II）由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出sinA；根据sinA求出cosA，再由正弦和角公式，正余弦二倍角公式即可求值，【解答】解：（I）

由，∴由正弦定理得a＝c，又△ABC的面积为．∴acsin150°＝，解得c＝2，∴a＝2；（II）由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accos150°，∴b＝2，由正弦定理有＝，∴sinA＝＝；∵B＝150°，∴A＜90°，又由（2）知sinA＝，∴cosA＝，∴s

in2A＝2sinAcosA＝2××＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝2（）2﹣1＝，∴|＝sin2Acos+cos2Asin＝×+×＝22.【答案】（1）证明见解析；（2）33【解答】（1）法一、证明：因为点M为CD1的中点，且CD1＝2B

M．所以∠D1BC＝90°，则BD1⊥BC，又BD1⊥CD，BC∩CD＝C．所以BD1⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以BD1⊥BD，因为∠DAB＝∠ADC＝90°，所以AB∥CD．又AB＝AD＝1，CD＝2，所以BD＝BC＝，所以CD2＝BD2+BC2，则BC⊥BD．又BD1

∩BC＝B，所以BD⊥平面BCD1，又BD⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面BCD1；法二、建立空间坐标系，同样可以证明（2）解：由（1）可知，BC，BD，BD1，两两互相垂直．以B为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，B（0，0，0）

，C（，0，0），D（0，，0），设D1（0，0，a）（a＞），则M（，0，），＝（0，，0），＝（，﹣，），＝（，﹣，0），设平面BDM的一个法向量为＝（x1，y1，z1），由，得，y1＝0，取z1＝1，则x1＝﹣a，则＝（﹣a，0，1），设平

面CDM的一个法向量为＝（x2，y2，z2），由，得，取z2＝1，则＝（a，a，1），于是cos＜，＞＝＝﹣，整理得a4﹣a2+14＝0，解得a2＝4（a2＝＜2舍去）．所以a＝2，即BD1的长为2．CBD1为所求角，所以33c

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