【文档说明】四川省宜宾市第四中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.156 MB，由管理员店铺上传

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宜宾市四中2023年春期高一期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.1.复数34i2iiz+=+（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】运用复数除法的运算法则和复数加法的运算法则化简复数z，最后判断出复数z在复平面内对应的

点的位置.【详解】因为()34i2i2ii34i4iiz+=+=−+=−，所以复数z在复平面内对应的点()4,1−在第四象限内.故选：D.2.22cos75sin75−的值为（）A.32−B.12−C.12D.32【答案】A【解析】【

分析】利用余弦的二倍角公式可得答案.【详解】()223cos75sin75cos275cos1502−===−.故选：A.3.已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【

答案】B【解析】【分析】利用向量运算求得cosA，由此判断出正确答案.【详解】()()1,13,3cos0218ABACAABAC−===，由于0πA，所以π2A=，所以三角形ABC是直角三角形.故选：B4.设向量a，b夹角的余弦值为34，且4a=，1b=，则()

23abb−=（）A.2−B.3C.4D.4−【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解.【详解】因为向量a，b夹角的余弦值为34，且4a=，1b=，所以3cos,4134ababab===.所以()223232333abbabb−

=−=−=．故选：B.5.要得到函数ππ4sincos66yxx=−−图象，只需把函数2sin2yx=的图象（）A.向右平移π6个单位B.向左平移π6个单位C.向右平移π3个单位D.向左平移π3个单位【答案】A【解析】【

分析】利用二倍角的正弦公式化简目标函数解析式，利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】因为πππ4sincos2sin2666yxxx=−−=−，为了得到函数ππ4sincos66yxx=−−

图象，只需把函数2sin2yx=的图象向右平移π6个单位，故选：A.6.如图，在平行四边形ABCD中，ABa=，ADb=，若23AEAC=，则DE=（）A.1233ab−B.2133ab−C.1233ab+D.2133ab+【答案】B【解析】【分析

】根据向量的运算法则计算得到答案.【详解】()22213333DEAEADACADABADADab=−=−=+−=−，故选：B7.已知函数π()sin()(0)6fxx=−在4π(0,)3单调递增，在4π(,2π)3单调递减，则()fx的

最小正周期为（）A.π2B.πC.2πD.4π【答案】D【解析】【分析】根据题意，由三角函数的单调性分析可得()fx在4π3x=处取得最大值，可求得的值，再算出最小正周期．【详解】根据题意，函数π()sin()(0)6fxx=−在4π(0,)3上单调递增，在4

π(,2π)3上单调递减，则()fx在4π3x=处取得最大值，则有4πππ2π362k−=+，变形可得3122k=+，由题意最小正周期2T>π，01，当0k=时，12=，最小正周期2π4πT==．故选：D8.如图，在平面四边形ABCD中，,,120ABBCADC

DBAD⊥⊥=，1ABAD==.若点E为边CD上的动点，则EAEB的最小值为（）A.2116B.32C.34D.2【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得,EAEB的坐标，根据数量积的坐标表示结合二次函数知识

，即可求得答案.【详解】由于,ABBCADCD⊥⊥，如图，以D为坐标原点，以,DADC为,xy轴建立直角坐标系，连接AC,由于1ABAD==，则ADC△≌ABC,而120BAD=，故60CADCAB==，则60BAx=，则33001,0),(,),(0,3)2(2),

(DABC，，设0,),3(0Eyy，则(1,)EAy=−，33(,)22EBy=−，故2233321()22416EyyyAEB=+−=−+，当34y=时，EAEB有最小值2116，故选：A．二、选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（多选）下列说法中，正确的是（）A.1212zzzz==若，则B.若12=zz，则12zz=C.若12120

,zzzz−==则D.若i2a−=，则3a=【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用共轭复数的定义即可判断；对于B，令121,izz==即可判断；对于C，若120zz−=，则120zz−=，即可判断；对于D，根据模长公式即可判断.【详解】对于

A项，若12zz=，则1z和2z互为共轭复数，所以12zz=，故A正确；对于B项，若121,izz==，则12=zz，而21121,i,zzzz==−，故B错误；对于C项，若120zz−=，则120zz−=，12zz=，12zz=，故C正确；对于D项，若i2a−=,可

得212,3aa+==，故D错误.故选：AC10.已知函数()sin6fxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx是奇函数B.3fx+是偶函数C.()fx的图象关于直线3x=对称D.()fx在,22−上单调递增【答案】B

C【解析】【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质，结合诱导公式，由函数解析式，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，因()sin6fxx=+，所以()sinsin()66fxxxfx−=−+=−−

−，即()sin6fxx=+不是奇函数，故A错；为B选项，sinsincos3362fxxxx+=++=+=，显然是偶函数，故B

正确；C选项，由sin1336f=+=可得3x=是()sin6fxx=+的一条对称轴，即()fx的图象关于直线3x=对称，故C正确；D选项，由22,262kxkkZ−+++可得222,33kxkkZ−++

，即函数()sin6fxx=+的单调递增区间为22,2,33kkkZ−++，而,22−不是()22,233kkkZ−++的子区间，所以()fx在,22−上不是单调递增，故D错

.故选：BC.11.在ABC中，21,2,3ABACBC==−=，则（）A.sin2sinBC=B.3tan5C=C.53cos214C=D.ABC面积为3314【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦

定理可判断A正确；利用sin2sinBC=及2=3BC−，结合两角和的正弦公式可判断故B正确；根据3tan5C=，利用二倍角的余弦公式可判断C不正确；根据3tan5C=，求出sin2C和cos2C，再根据三角形的面积公式可判断正确.【详解】因为1

,2ABAC==，所以2ACAB=，由正弦定理得sin2sinBC=，故A正确；因为2=3BC−，所以sinB=2sin2sin3CC+=，则22sincoscossin33CC+=31cossin2sin22CCC−=，即35cossin22CC=，则的3tan5C=

，故B正确；因为3tan5C=，所以2222cossincos2cossinCCCCC−=+22311tan112531tan14125CC−−===++，故C不正确；因为3tan5C=，所以sin2C222sincossi

ncosCCCC=+2232tan53tan1125CC==++5314=，所以1sin2ABCSABACA=112sin2A=sinsin()ABC==+2sin23C=+22sinc

os2cossin233CC=+311153214214=−=3314，故D正确.故选：ABD12.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥−PABCD为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（

）A.该阳马的体积为453B.该阳马的表面积为1025+C.该阳马外接球的半径为13D.该阳马内切球的半径为512−【答案】ABD【解析】【分析】根据相等两条棱，求出四棱锥的高，可得其体积和表面积；然后再分析发现

其外接球球心为PC中点，内切球的大圆半径其实是PAB的内切圆半径.【详解】如图，不妨PA⊥底面ABCD，,,,ABADPAADAB=两两互相垂直，AD⊥平面,PABAB⊥平面,PAD，又//,//,BCADABCD的,.PBBCPDCD⊥⊥由

对称性：22222,32,5PBPDPAABPAPA==+=+=，所以145225,33PABCDV−==A对；11222252231025,22S=++=+B对；,,PCBPDCPAC都是以PC为斜边的直角三角形，所以,,,,PABCD都在以PC为直径的

球上，2222513,d=++=C错；分析易知：内切球的大圆半径其实是PAB的内切圆半径，根据内切圆半径公式可得：2523551,2r==++−D对；故选：ABD【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图

形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的

直径.第Ⅱ卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()sinfxx=−的定义域是________【答案】][2,2kk−，Zk【解析】【分析】根据函数定义域得到sin0x，利用三角函数知识解得答案.【详解】函数()sinfxx

=−的定义域满足sin0x−，即sin0x，故,][22kkx−，Zk.故答案为：][2,2kk−，Zk.【点睛】本题考查了三角复合函数定义域，意在考查学生的计算能力.14.已知向量

,ab的夹角为45，若(1,1),2ab==，则2ab+=rr________.【答案】25的【解析】【分析】由向量(1,1)a=，求得2a=，利用向量的数量积和模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，向量(1,1)a=，可得2a=，所以2224442422cos45425

abaabb+=++=++=.故答案为：25.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积和模的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力

，属于基础题.15.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若30B=，4a=，且ABC的面积为3，则b=______．【答案】7【解析】【分析】根据三角形面积公式可得c，然后使用余弦定理可得答案.【详解】由题意知1sin3032ABCSac==，则3c=

，由余弦定理得2222cos30acacb+−=，即216312b+−=，则7b=.故答案为:7.16.如图，三棱柱111ABCABC-中，底面1AB=，2BC=，三个侧面都是矩形，13AA=，M为线段1BB上的一动点，则当1AMMC+最小时，BM=______【答案

】1【解析】【分析】将三棱柱111ABCABC-的侧面11ABBA和侧面11CBBC剪开在同一平面内，连接1AC，此时11AMMCAC+=最小，再利用三角形相似求解.【详解】将三棱柱111ABCABC-的侧面11ABBA和侧面11CBBC剪开在

同一平面内，如图所示：连接1AC与1BB交于点M时，11AMMCAC+=最小，因为1//BMCC，所以1ABMACC，所以1BMABCCAC=，即1312BM=+，解得1BM=故答案为：1【点睛】本题主要考查立体图形的展开图形和两点间距离最短问题以及

相似三角形的应用，还考查转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图所示，在△OAB中，OAa=，OBb=，M，N分别是OA，OB上的点，且13OMa=，12ONb=.设AN与BM交于点P，用向量,

ab表示OP.【答案】1255OPab=+【解析】【分析】设MPmMB=,NPnNA=，利用向量的线性运算得到OP=13(1-m)a+mb，1(1)2OPnbna=−+,解方程组1(1-)31(1-)2mnnm==，，即得解.【详解】设MPmMB=,N

PnNA=，因为OPOMMPOPONNP=+=+，，所以OPOM=+m13MBa=+m11-33ba=(1-m)a+mb，OPON=+n111()(1)222NAbnabnbna=+−=−+，因为a与b不共线，所以1(1-)31(1-

)2mnnm==，，解得2515mn==，所以15OP=a+25b.18.已知函数()4cossin3fxxx=+.（1）求()fx的单调递增区间；（2）当,34x

−时，求()fx的取值范围.【答案】（1）5,1212kkk−++；（2）23,23−−.【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换，先将函数解析式化简整理，得到()2sin233fxx=+−

，由正弦函数的单调区间列出不等式求解，即可得出结果；（2）设23xt+=，由题意，求出,36t−，根据正弦函数的性质，即可求出值域.【详解】（1）()4sincos4sincoscossinsin3

33fxxxxxx=+=−22sincos23sinxxx=−sin23cos23xx=+−2sin233x=+−，由222232kxk−+++，解得51212kxkk−++,所以函数()fx

单调递增区间为5,1212kkk−++，（2）设23xt+=，∵,34x−，∴,36t−，∴3sin12t−，∴()2323fx−−，所以当,34x−

时，函数()fx的取值范围为23,23−−.【点睛】本题主要考查求正弦型函数的单调区间，以及求正弦型函数在给定区间的值域，涉及两角和的余弦公式以及辅助角公式的应用，属于常考题型.19.已知向量()1,0a=，()2,1b=−．（1）求2ab−；（2）设a

，b的夹角为，求cos的值；（3）若向量kab+与akb+互相平行，求k的值．【答案】（1）()25,2ab−=−（2）255−（3）1k=【解析】【分析】(1)根据向量的数乘与减法的坐标公式计算可得；(2)根据向量的夹角的坐标公式求解；(

3)根据向量的平行的坐标表示列方程求k的值．【小问1详解】因为()1,0a=，()2,1b=−，所以()24,2b=−，所以()25,2ab−=−，【小问2详解】由已知可得202ab=−+=−，1a=，5b=225cos515abab−===−．【小问3详

解】()2,1kabk+=−，()12,akbkk+=−，由题意可得，()2210kkk−+−=，整理可得210k−=，解得1k=．20.记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）.在①()2cos28cos50CAB−++=，②222s

insinsinsinsinABABC++=这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题.（1）求C的大小；（2）若ABC的面积为3，且14c=，求ABC的周长.【答案】（1）23（2）3214+【解析】【分析】（1）选①，

由诱导公式以及二倍角的余弦公式可得出关于cosC的二次方程，求出cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；选②，由正弦定理边角互化结合余弦定理可求得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a

b的值，再利用余弦定理可求得ab+的值，进而可求得ABC的周长.【小问1详解】解：选择①，因为()2cos28cos50CAB−++=，即()()222cos18cos50CC−−−+=，即24cos8cos30CC++=，即()()2cos12cos30CC++=，0C，则1cos1C−

，得1cos2C=−，即23C=；选择②，由222sinsinsinsinsinABABC++=及正弦定理可得222ababc++=，即222abcab+−=−，所以2221cos22abcCab+−==−，

因为0C，即23C=.【小问2详解】解：由ABC的面积13sin324abCab==，得4ab=.由2222coscababc=+−，得2214abab=++，得()218ab+=，即32ab+=，故ABC的周长为3214+.21.已知(2cos,

1),(3sincos,1)axbxx==+−，函数()fxab=．（1）求函数()fx在区间0,2上的最大值和最小值；（2）若()008,,542fxx=，求0cos2x值；（3

）若函数()yfx=在区间2,33上是单调递增函数，求正数的取值范围．【答案】（1）()()maxmin2,1fxfx==−；（2）43310−；（3）10.4【解析】【分析】（1）由题意

先表示出()fx的表达式，然后运用辅助角公式化简，求出在区间上的最值（2）由题意得04sin265x+=，结合00ππcos2cos266xx=+−求解出答案的（3）

表示出函数的单调增区间，结合题意讨论得到的取值范围.【详解】（1）()()2cos3sincos13sin2cos2fxabxxxxx==+−=+π2sin26x=+，因为π0,2x，所以ππ7π2666x+≤

≤，所以1πsin2126x−+，所以()()maxmin2,1fxfx==−．（2）因为()085fx=，所以0π82sin265x+=，所以0π4sin265x+=，因为0ππ,42x

，所以02ππ7π2366x+，所以200ππ3cos21sin2665xx+=−−+=−，所以0000ππ3π1πcos2cos2cos2sin2662626xxxx=+−=+++

3314433252510−=−+=．（3）()πsin26fxx=+，令π222+262kxkkZ−+，，得ππππ36kkx−+，因为函数()fx在π2π,33上是单调递增函数，所以存在0kZ，使得

00πππ2πππ,,3336kk−+所以有00πππ,33ππ2π.63kk−+即0031,614.kk++因为>0，所以01,6k−又因为2ππ12π3322−

，所以302，所以05.6k从而有01566k−，所以00k=，所以10.4【点睛】方法点睛：本题主要考查了三角函数的综合运用，利用辅助角公式化简求出最值，并结合三角函数图像的单调性求的取值范围，解决此类问题常采用整体代换思想．22.已知函数121

()log1xfxx+=−.（1）判断并证明()fx的奇偶性；（2）若关于x的方程2)()log(fxkx=+在()3,1−−内有实根，求实数k的取值范围；（3）已知函数11()42xxgxm=+−，若对1[0

,1]x，2[2,3]x，使得12()()gxfx成立，求实数m的最小值.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）222k+（3）3m【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义，计算函数的单调性，证

明()()fxfx−=−，可得答案；（2）利用对数运算的性质，化简方程，将问题转化为二次方程在定区间上有根问题，利用二次函数的性质，以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案；（3）利用函数解析式，明确函数的单调性，求得最值，由题意，建立不等式，可得答案.【小问

1详解】奇函数，理由如下：由函数()121log1xfxx+=−，令101xx+−，整理可得()()110+−xx，解得1x−或1x，则函数的定义域为()(),11,−−+，由()()1111122221111lo

glogloglog1111xxxxfxfxxxxx−−+−++−====−=−−−+−−，则函数()fx为奇函数.【小问2详解】由方程()()2logfxkx=+在()3,1−−内有实数根，则0kx+在()3,1−−内恒成立，由函数yxk=+在()3,1−−上

单调递增，则30k−，解得3k，将函数()121log1xfxx+=−代入方程()()2logfxkx=+，整理可得()1221loglog1xkxx+=+−，()1221loglog1xkxx−+=+−，()221loglog1xkxx+−=+−，()1221loglog1x

kxx−+=+−，11xkxx−=++，化简可得210xkxk+++=，则问题等价于方程210xkxk+++=在()3,1−−上有实数根，令0，2440kk−−，解得222k−或222k+，由3k，则222k+，令()

21hxxkxk=+++，其对称轴为122kx=−−−，显然()()31hh−−，当32k−−，k6时，()0210khh−−，则221042110kkkkk−++−++，解得222k−或222k+，故6222k+；

当32k−−，6k时，()()3010hh−−，则9310110kkkk−++−++，解得5k，故6k；综上可得，222k+.【小问3详解】由函数()1142xxgxm=+−，函数14xy=

，12xy=在其定义域内单调递减，则()gx在0,1上单调递减，即()()max02gxgm==−，由函数()112212loglog111xfxxx+==+−−，易知函数211yx=+−

在2,3上单调递减，函数12logyx=在其定义域上单调递减，则()fx在2,3上单调递增，即()()1max2313log131fxf+===−−，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com