【文档说明】四川省泸县第五中学2023届高考适应性考试数学（理）试题 含解析.docx，共(25)页，2.316 MB，由管理员店铺上传

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泸县五中高2020级高考适应性考试数学（理工类）第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1{|}2Sxx=−，3

1{|21}xTx−=，则ST?A.B.1{|}2xx−C.1{|}3xxD.11{|}23xx−【答案】D【解析】【分析】先解出集合T,然后集合T与集合S取交集即可.【详解】

313101|21|22|310|3xxTxxxxxx−−===−=,集合12Sxx=−，则11{|}23STxx=−故选D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为()2,1−−，则iz=（）A.12i−

−B.2i−−C.12i−+D.2i−【答案】C【解析】【分析】根据复数对应点坐标得z的值，再利用复数的除法可得结果.【详解】复数z对应的点的坐标为()2,1−−，则2iz=−−，所以222i2ii12iiiiz−−−−===−+.故选：C.3.一次考试选择

题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y，已知()300.6PY=，则()6PX的值为（）A.0.6B.0.5C.0.3D.0.4【答案】D【解析】【分析】根据离散型随机变量的性质即可求解【详解】根据题意知，5YX=，所以653

030XXY．因为()300.6PY=，所以()300.4PY=，所以()60.4PX=．故选：D．4.设38a=，0.5log0.2b=，4log24c=，则（）A.acbB.abcC.ba

cD.<<bca【答案】A【解析】【分析】利用指对互算、对数的运算性质和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】33log8log92a==，20.52442log5log0.2log5log25log24log2bc=====，而44log24

log162=，则acb，故选：A.5.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过

程中废水的污染物数量()mgLN与时间t的关系为0ktNNe−=（0N为最初污染物数量）.如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）小时.A.3.6B.3.8C.4D.4.2【答案】C【解析】【分析】分析可得出445ke−=，设240

0040.645tNeNN−==，求出t的值，由此可得出结果.【详解】由题意可得40045kNeN−=，可得445ke−=，设200040.645ktNeNN−==，可得()248ktkkeee−−−==，解

得8t=.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时.故选：C.6.已知向量a、b为单位向量，且ab+在a的方向上的投影为312+，则向量a与b的夹角为（）A.6B.4C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由3()||12abaa+=+

，变形可得3112ab+=+，再利用平面向量数量积公式，结合向量夹角的范围可得结果.【详解】设向量a与b的夹角为，因为向量a、b为单位向量，且ab+在a的方向上的投影为312+，则有3()||12abaa+=+，变形可得：3

112ab+=+，即3cosc21o1sab===，又由0，则6=，故选A．【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cosabab=，二是1212abxxyy=+，主要

应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cosabab=（此时ab往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a在b上的投影是abb；（3）,ab向量垂直则0ab=;(4)求向量manb+的模（平方后需求ab）.

7.设数列na的前n项和为nS，当nN时，na，1n2+，1na+成等差数列，若2020nS=，且23a，则n的最大值为（）A.63B.64C.65D.66【答案】A【解析】【分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式

写出62S和64S，进而得出结果.【详解】解：由na，1n2+，1na+成等差数列，可得121++=+nnaan，nN则123aa+=，347aa+=，5611aa+=，L可得数列na中，每隔两项求和是首项为3，

公差为4的等差数列.则6231303314195320202S=+=，6432313324208020202S=+=，则n的最大值可能为63.由121++=+nnaan，nN，可得1223+++=+nnaan.()()()63123456263Saaaaaaa=+++

++++159125a=++++113130315420152aa=++=+因为123aa+=，123aa=−，23a，即23a−−，所以10a，则63120152015Sa=+，当且仅当15a=时，632020S=，符合题意，故n的最大值为63.故选：A.【点睛】本题考查等

差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.8.在二项式412nxx+的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中2x−项的系数为（）A.2B.4C.1D.16【答案】C【解析】【分析】求得二

项式412nxx+的展开式前三项的系数，根据已知条件求得n的值，然后写出展开式通项，令x的指数为2−，求得参数的值，代入通项即可得解.【详解】由题意可得2n、112nnC−、222nnC−成等差数列，且2n，11222222nnn

nnCC−−=+，化简得1244nnCC=+，即2980nn−+=，2nQ，解得8n=.故展开式的通项公式为()838414884212kkkkkkkTCxxCx−−+−==，令3424k−=−，求得8k=

，故该二项式展开式中2x−项的系数为80821C=.故选：C.【点睛】本题考查二项式中指定项系数的求解，考查二项展开式通项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.9.已知定义在R上函数()fx是奇函数且

满足(3)()fxfx−=−，(1)3f=−，数列na满足2nnSan=+（其中nS为na的前n项和），则56()()fafa+=A.3−B.2−C.3D.2【答案】C【解析】【详解】由函数()fx是奇函数且满足()()3fxfx−=−，可知T=3由2nnSan=+

，可得：()11212nnSann−−=+−两式相减得：1221nnnaaa−=−+，即121nnaa−=−，()()11212nnaan−−=−∴1na−是公比为2的等比数列，∴12nna=−，∴563163aa

=−=−，∴()()()()()()()5631013211013fafafffff+=−−+−=−+=−=故选C10.已知三棱锥−PABC的外接球半径为5，6AB=，8PC=，则三棱锥−PABC的体积的最大值为的（）A.48B.56C.64D.72【答

案】B【解析】【分析】根据AB⊥面MPC且PMCS△最大时，三棱锥−PABC的体积最大求解即可．【详解】解：外接球球心为O，分别取AB，PC中点M，N，连接OAOBOPOC、、、，,OMON（如图），则5OAOBOPOC====，∴4O

M=，3ON=，当MON、、三点共线，MNPC⊥且AB⊥面MPC时，三棱锥−PABC的体积最大，()()()maxmax111348656332PABCPMCVSAB−==+=△，故选：B．

【点睛】本题解题的关键是把当AB⊥面MPC时，PABCV−用13PMCSAB△表示，只要分析PMCS△在什么情况下取到最大值即可．11.设12,FF分别是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点1F作直线1FP

与圆222xya+=切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足()112OEOPOF=+，3OE=，则双曲线的方程为（）A.221612xy−=B.22169xy−=C.22136xy−=D.221312xy−=

【答案】D【解析】【分析】根据圆半径得出a，根据中位线定理和勾股定理计算c，从而得出b，即可得出双曲线的方程．【详解】∵E为圆222xya+=上的点，3OEa==，()112OEOPOF=+，∴E是1PF的中点，又O是12FF的中点，22223PFOEa

===，且2//PFOE，又12223PFPFa−==，1443PFa==，1PF是圆的切线，121,OEPFPFPF⊥⊥，又122FFc=，22212460cPFPF=+=，215c=，22212bca=−=∴双曲线方程为22

1312xy−=．故选：D12.已知函数()()22exfxxx=−，若方程()fxa=有3个不同的实根()123123,,xxxxxx，则22ax−的取值范围为（）A.10e,−B.2,0e−C.()22e,0−−D.()222e,2e−−

【答案】A【解析】【分析】对()fx求导，研究函数()fx的单调性、极值等性质，利用()fx的图象求得2x的范围，以及a与2x的关系，将问题转化为关于2x的函数的值域的问题进行求解即可．的【详解】因为()()22

exfxxx=−，故可得()()22exxxf=−，令()0fx=，解得2x=，当2x−或2x时，()0fx；22x−时，()0fx，故()fx在(),2−−单调递增，在()2,2−单调递减，在()2,+单调递增．则()f

x的极大值为()()202222ef−−=+，()fx的极小值为()()202222ef=−，∵()()22e(2)exxfxxxxx=−=−，∴当0x时，()0fx；当02x时，()0fx；当2x时，()0fx，根据以上信息，作出()fx的大

致图象如图所示：由图可知，直线ya=与函数()yfx=的图象有3个交点时，方程()fxa=有3个不同的实根，则()()20,222ea−+，因为方程()fxa=的3个不同的实根为()123123,,xxxxxx，则220x−，又因为()()222222exfxxx

a=−=，()22,0x−故22ax−()22222222ee2xxxxxx−==−，令()()e,2,0xhxxx=−，则()()1exhxx=+，令()0hx=，解得=1x−，当21x−−时，()0hx，()hx单调递减；当10x−时，()0hx，()hx单调递增，

所以min1()(1)ehxh=−=−，又2(2)2eh−−=−0，(0)0h=，故可得()0hx，所以()2,0x−时，()1,0ehx−，即22ax−1,0e−．故选：A．【点睛】方法点睛：已知方程根

的个数，求参数的取值范围的常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解；（3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个

数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点个数问题；另一种是转化为两个函数()(),ygxyhx==的图象的交点个数问题．第II卷非选择题（90分）二、填空题

：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数据12,,,nxxx的方差为21s，数据1231,31,,31nxxx−−−的方差为22s，则2221ss=___________..【答案】9【解析】【分析】利用公式可得两类方差之

间的关系.【详解】设数据12,,,nxxx的均值为x，则1231,31,,31nxxx−−−的均值为31x−，故()22111niisxxn==−且()()222211193131nniiiisxxxxnn===−−+=−，故2221

9ss=，故答案为：9.14.已知π1sin33+=，则5πcos6+=______________【答案】13−【解析】【分析】5πππcoscos623+=++

利用诱导公式结合已知条件即可求解.【详解】5ππππ1coscossin62333+=++=−+=−，故答案为：13−.15.已知直线:(3)lykx=+和圆22:(

1)1Cxy+−=相切，则实数k=___________．【答案】0或3【解析】【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求k的值.【详解】因为直线l：()3ykx=+与圆22:(1)1Cxy+−=相切，故圆心(0,1)C到直线的距离2

3111kdk−==+，解得0k=，或3k=.故答案为：3或0.16.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点E是ABC内（包括边界）的动点，则下列结论中正确的序号是________（填所有正确结论的序号

）①若=AEACuuuruuur，()0,1，则1//DE平面11ABC；②若平面与正方体各个面都相交，且1BD⊥，则截面多边形的周长一定为62；③若AEB的角平分线交AB于点F，且2AFFB=

，则动点E的轨迹长为4π9；④直线1DE与平面ABCD所成的角的余弦值的最大值为33．【答案】①②③【解析】【分析】由点E在线段AC上，连接1AD，1CD，证得//AC平面11ABC和1//AD平面11ABC，得到平面1//DAC平面11ABC，进而

得到1//DE平面11ABC，可判定①正确；由1BD⊥平面11ABC，得到平面//平面11ABC，得到截面与平面11ABC平行，设111MDxDA=，求得22MJMF+=、22GFGH+=及22HIIJ+=，可判定②正确；建立平面直角坐标系，设(),Exy，由2AEEB=，得到22

81639xy−+=，可判定③正确；由1DD⊥平面ABCD，得到1DED即为直线1DE与平面ABCD所成角，求得121cos41DEDDE=+，进而判定④错误．【详解】对于①中，如图所示，由(),0,1AEAC=知，点E在线

段AC上，连接1AD，1CD，因为11//ACAC，且AC平面11ABC，11AC平面11ABC，所以//AC平面11ABC，同理可证得1//AD平面11ABC，又因为1ACADA=I且1,ACAD平面1ACD，所以平面1//DAC平面11ABC，因为1DE

平面1DAC，所以1//DE平面11ABC，所以①正确；对于②中，如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，可得1BD⊥平面11ABC，又因为1BD⊥，所以平面//平面11ABC，即所求截面与平面11ABC平行，因为平面11ABC平面111111

ABCDAC=，平面EFGHIJ平面1111ABCDMJ=，所以11//ACMJ，同理可证1//ABFG，1//BCHI，设111MDxDA=，其中()0,1x，则()1111MAxDA=−，因为11//ACMJ，所以11MJxAC=，()11EFxAD=−，因为11122ACAD=

=，所以()11111122MJMFxACxADAC+=+−==，同理，可得22GFGH+=，22HIIJ+=，故截面多面形MFGHIJ的周长为62，所以②正确；对于③中，建立平面直角坐标系，如图所示，设(),Exy，()0,0A，()2,

0B，由角平分线性质得2AEEB=，即224AEEB=，故()222242xyxy+=−+，化简得223316160xyx+−+=，即所以2281639xy−+=，故点E的轨迹是以8,03为圆心，43为半径的圆在正方形ABCD内部的弧，且弧长为4

π9，所以③正确；对于④中，如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，可得1DD⊥平面ABCD，所以1DED即为直线1DE与平面ABCD所成角，在直角1DDE△中，可得12221121cos441DEDEDEDEDDE

DEDDDEDE====+++，又因为E在ABC的内部及其边界，可得2,22DE，所以1cosDED的最大值为63，所以④错误．故答案为：①②③.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考

题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且233cosAcosBsinCaba+=（1）求角B的大小；（2）若23b=，求ac+的取值范围．【答

案】（1）3B=（2）643ac+【解析】【分析】（1）先将三角函数表达式化简，结合正弦定理将边化为角的表达式.由正弦和角公式化简，即可求得角B.（2）根据正弦定理，由23b=及（1）可表示出4sin,4sinaAcC==.进而用角表示出ac+，由内角和定理及

角B，将式中的角化为角A，利用辅助角公式化简，结合正弦函数的图像与性质即可求得ac+的取值范围．【详解】（1）锐角ABC中，233cosAcosBsinCaba+=，∴23coscossin3bAaBbC+=，由正弦定理得23si

ncoscossinsinsin3BABABC+=，∴()23sinsinsin3ABBC+=，又()sinsin0ABC+=，∴3sin2B=，又02B，∴3B=（2）由正弦定理4acbsinAsinCsinB===，则有4sin,4sinaAcC==，则4sin4si

nacAC+=+24sin4sin3AA=+−6sin23cosAA=+43sin6A=+，因为ABC为锐角三角形所以022032AA−，可得62A，则2363A+，由正弦函数的图像与性质可得3sin1

26A+，即643ac+【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角恒等变换及辅助角公式的用法，正弦函数的图像与性质的综合应用，属于中档题.18.某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、季军的代表队人数情况如下表，大会组委会为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在

颁奖过程中穿插抽奖活动．并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中亚军队有5人．名次冠军队亚军队季军队性别男生3030女生302030（1）求季军队的男运动员人数．（2）从前排就坐的亚军队5人(3男2女)中随机抽取2人上台领奖，请求出有女生上

台领奖的概率．（3）抽奖活动中，运动员通过操作按键，使电脑自动产生[0，4]内的两个均匀随机数x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序．若电脑显示“中奖”，则运动员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求运动员获得奖品的概率．【答案】（1）20

；（2）710；（3）58．【解析】【分析】（1）由分层抽样的计算方法，求得代表队总人数为160，进而求得季军队的男运动员人数；（2）设男生为123,,aaa，女生为12,bb，随机抽取2人，求得基本事件的总数和女生上台领奖所包含的基本事件的个数，结合

古典概型的概率计算公式，即可求解；（3）求得试验的全部结果所构成的区域的面积，进而求得运动员获得奖品所构成的区域的面积，结合面积比的几何概型，即可求解.【详解】（1）设代表队共有n人，则55016n=，所以160

n=，则季军队的男运动员人数为160(3030302030)20−++++=．（2）设男生为123,,aaa，女生为12,bb，随机抽取2人，包括的基本事件个数为2510C=，有女生上台领奖的基本事件为22531037CC−=−=，所以7()10PA=，有女生上台领奖

的概率为710．（3）试验的全部结果所构成的区域为{(,)|04,04}xyxy=，面积为4416S==，事件A表示运动员获得奖品，所构成的区域为{(,)|480,04,04}Axyxyxy=−−，面积为1(23)4102AS=+=，这是一个几何概型，所以5()

8ASPAS==,即运动员获得奖品的概率为58．19.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，D为棱1AA上的点，E，F，G分别为AC，11AC，1BB的中点，12ACAA==.（1）求证：FGAC^；（2）若FG∥平面BCD，试确定D点的位置，并求二面角1BCDC--的余弦值.【答案】（1）

证明见解析（2）77−【解析】【分析】（1）由已知可得//EFBG，所以E、F、B、G四点共面，再证明AC⊥平面EFGB即可证明；（2）建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则()0,3,0B，()1,0,0C−，()11,0,2C−，()0,0,2F，()0,3

,1G，设()1,0,Da，()02a，由FG∥平面BCD，则0FGn=，可得2a=，利用向量法即可求解.【小问1详解】证明：在正三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，因为E，F，G分别为AC，

11AC，1BB的中点，所以1//EFCC，又1//BGCC，所以//EFBG，EF⊥平面ABC，所以E、F、B、G四点共面，EFAC⊥，又因为BEAC⊥，且EFBEE=，所以AC⊥平面EFGB，所以FGAC^；【小问2详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则()

0,3,0B，()1,0,0C−，()11,0,2C−，()0,0,2F，()0,3,1G，设()1,0,Da，()02a，()0,3,1FG=−，()1,3,0BC=−−，()1,3,BDa=−，设平面BCD的法向量为(),,nxyz=，则00BCnBDn==，即3030xy

xyaz−−=−+=，取6z=，可得()3,3,6naa=−，因为FG∥平面BCD，所以0FGn=，解得2a=，所以()6,23,6n=−，易知平面1CDC法向量()0,1,0m=ur，所以237cos,7221mnmnmn===，

由图可知二面角1BCDC--为钝二面角，的所以二面角1BCDC--的余弦值为77−.20.椭圆22221(0)xyabab+=的左､布焦点分别为()()121,0,1,0FF−，直线l过2F和椭圆交于,AB两点，当直线ABx⊥轴时，13AFB=．（1）求椭圆的方程；（2）若2

2FAFB=，且12剟，设线段AB的中点为M，求1FM的取值范围．【答案】（1）22132xy+=；（2）51,24．【解析】【分析】（1）根据题意建立方程求出a,b,c，即可求解；（2）验证斜率为0时不符合题意，当斜率不为0时，设直线()()1122:1,,,,lx

myAxyBxy=+，联立椭圆方程，由韦达定理可求1212,yyyy+，由向量11112FMFAFB=+化简，并结合条件22FAFB=，且12剟求解.【详解】由题意得：2221,1,23bcabca=−==，所以2223,3230abaa=−−=，解得3,2,ab==椭圆的方程2

2132xy+=；（2）①当直线的斜率为0时22,,23FAFB==，不满足12.剟②设直线()()1122:1,,,,lxmyAxyBxy=+，联立222361xyxmy+==+，得()2223440mymy++−=则12122244,2323myyy

ymm−−+==++，1ABF中AB边上的中线长为()()22111121211222FMFAFBxxyy=+=++++()()221212142myyyy=++++222221412422323mmmm+−=+++()222222233423

23mmmm++=+++()()()2222223823323mmm++++=+令223tm=+则223mt=−，得22112218338141313233ttFAFBtttt+++==++=+−，由22FAFB=，得1122,yyyy=−−=，()22121

222112142223yyyymyyyym+−−−+=++==+，()222314112,20,,232tmmt−+−==+剟11134,43tt剟剟11151,224FAFB

+1ABF中AB边上中线长的取值范围是51,2.4【点睛】关键点点睛：利用直线与椭圆联立，及韦达定理与11112FMFAFB=+，换元后得出211413333tFM+−=，由22FAFB=，12剟求t的取值范围，是解题的关键与难点，属于难题.21.已

知函数()212ln2fxxmxx=++在点()()1,1f处的切线垂直于y轴.（1）求()fx的单调区间；（2）若存在a，b，c()0abc使得()()()fafbfc==，求证：2ca−；【答案】（1）在区间()()0,12+

，，单调递增，在区间()1,2单调递减；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由导数的几何意义和已知条件可得()10f=，从而可求出3m=−，然后通过由际数的正负求出()fx的单调区间；（2）设()()()fa

fbfcn===，则52ln24,2n−−，欲证明：2ca−，即2ca+，因为2,22ca+，且()fx在()2+，上单调递增，只需要证明()()(2)fafcfa=+，然后构造函数()()(2)()22

ln(2)2ln4,0,1gxfxfxxxxx=+−=++−−，利用导数求其最小值即可【详解】解：（1）()2fxxmx=++，()fx在点1(1))f（，处的切线垂直于y轴；()10f=，得3m=−；则()()()

2122323xxxxfxxxxx−−−+==−+=；()()0,12x+U，时()0fx¢>；()1,2x时()0fx¢<，()fx在区间()()0,12+，，单调递增，在区间()1,2单调递减.（2）设()()()fafbfcn===，则52ln24,

2n−−.欲证明：2ca−，即2ca+.因为2,22ca+，且()fx在()2+，上单调递增，只需要证明()()(2)fafcfa=+；构造()()(2)()22ln(2)2

ln4,0,1gxfxfxxxxx=+−=++−−()()2222(2)xxgxxx+−=+，所以()gx在区间()031，−上单减，在()311−，上单增，()()min()312362ln(31)2ln31=−=

−++−−gxg()()2362ln2ln(31)232ln31−+−−=−−−e现证明：()ln3132−−，令()ln1(01)hxxxx=−+，()10xhxx−=，则()hx在()0,1上单调递减，所以()(

1)0hxh=，而()310,1−，得证()ln3132−−所以()0,1,()()(2)afcfafa=+，得证结论成立.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查利用

导数证明不等式，解题的关键是通过分析要证明：2ca−，即2ca+，因为2,22ca+，且()fx在()2+，上单调递增，只需要证明()()(2)fafcfa=+，然后构造函数()()(2)()22ln(2)2ln4,0,1gxfxfxx

xxx=+−=++−−，利用导数求其最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4极坐标与参数方程】22.如图，在极坐标系Ox中，4,2A、22,4B、

722,4C、34,2D，弧AB、弧BC、弧CD所在圆的圆心分别是2,2、()2,0、32,2，曲线1C是弧AB，曲线2C是弧BC，曲线3C是弧CD，曲线()():,002Cf=由1C、2C、3C构成．（1）写出曲线C的极坐

标方程，并求曲线C与直线()2R=所围成图形的面积；（2）若点M在曲线C上，且23OM=，求点M极坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）23,3或23,6或1123,6或523,3.的【解析】【分析】（1）分别写出曲线1C、2C、3

C的极坐标方程，综合可得出曲线C的极坐标方程；（2）分42、04或724、3724解方程23=，求出的值，即可得出点M的极坐标.【详解】（1）由题意可知，弧AB所在圆的圆心的直角坐标为()0,2

，点A的直角坐标为()0,4，点B的直角坐标为()2,2，所以，弧AB所在圆的方程为()2224xy+−=，即224xyy+=，所以，曲线1C的极坐标方程为4sin42=.弧BC所在圆的圆心的直角

坐标为()2,0，点B的直角坐标为()2,2，点C的直角坐标为()2,2−，所以，弧BC所在圆的方程为()2224xy−+=，即224xyx+=，所以，曲线2C的极坐标方程为4cos=（04或724）.弧CD所在圆的圆心坐标为()0,2−，点C的直角坐标为()2,2−

，点D的直角坐标为()0,4−.所以，弧CD所在圆的方程为()2224xy++=，即224xyy+=−，所以，曲线3C的极坐标方程为374sin24=−.因此，曲线C的极坐标方程为4sin4274cos02443

74sin24=−或.所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成，所以面积为：2211222244842S=++=+；（2）设曲线C上一点

(),M，由题设：若42，由4sin23=得3sin2=，则3=；若04或724，由4cos23=得3cos2=，得6=或116=；若3724，由4sin23−=得3sin2

=−，得53=；因此，点M的极坐标为23,3或23,6或1123,6或523,3.【点睛】思路点睛：求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：（1）建立适当的极坐标系；（2）在

曲线上任取一点(),M；（3）根据曲线上的点所满足的条件列出等式；（4）用极坐标(),表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；（5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程（一般只对特殊点加以检验即可）.【选修4-5

不等式选讲】23.已知()41fxaxax=+−++．（1）若2a=，解不等式()9fx；（2）若2x时，()()22fxx+恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）106,3−（2）1733a−【解析】【分析】（1）带入2a=，化简原式，分类

讨论x的取值范围，去除绝对值，进行求解；（2）由()()22fxx+分离常数a，利用基本不等式及函数单调性进行求解.【小问1详解】解2a=，∴()221fxxx=−++，()9fx化为228xx−+，当1x时，原式为(22)8xx−+，解得6x−

，61x−；当1x时，原式(22)8xx−+，103x，1013x.综上可得，解集为106,3−.【小问2详解】解：由题意得：当2x时，2433axaxx+−++恒成立，2330xx++恒成立，上式化为2

233433xxaxaxx−−−+−++恒成立，即()2231137xxaxxx−−++++，由于2x，22313711xxxxaxx−−+++++，令1xt+=，则3t，上式化为：2235ttttatt−−++

+.()2331ttgtttt−−+==−−+在)3,+上为减函数，()()max33gtg==−；同理()2551tthtttt++==++在)3,+上为增函数，()()min1733hth=

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