四川省泸县第五中学2023届高考适应性考试数学(理)试题 含解析

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四川省泸县第五中学2023届高考适应性考试数学(理)试题  含解析
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【文档说明】四川省泸县第五中学2023届高考适应性考试数学(理)试题 含解析.docx,共(25)页,2.316 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

泸县五中高2020级高考适应性考试数学(理工类)第I卷选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合1{|}2Sxx=−,31{|21}x

Tx−=,则ST?A.B.1{|}2xx−C.1{|}3xxD.11{|}23xx−【答案】D【解析】【分析】先解出集合T,然后集合T与集合S取交集即可.【详解】313101|21|22|

310|3xxTxxxxxx−−===−=,集合12Sxx=−,则11{|}23STxx=−故选D【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.2.在复平面内,复数z对应的点的坐标为()2,1−−,

则iz=()A.12i−−B.2i−−C.12i−+D.2i−【答案】C【解析】【分析】根据复数对应点坐标得z的值,再利用复数的除法可得结果.【详解】复数z对应的点的坐标为()2,1−−,则2iz=−−,所以222i2ii12iii

iz−−−−===−+.故选:C.3.一次考试选择题每题5分,设某学生答对的选择题数为随机变量X,选择题得分为随机变量Y,已知()300.6PY=,则()6PX的值为()A.0.6B.0.5C.0.3

D.0.4【答案】D【解析】【分析】根据离散型随机变量的性质即可求解【详解】根据题意知,5YX=,所以653030XXY.因为()300.6PY=,所以()300.4PY=,所以()60.4PX=.故选:D.4.设38a=,0.5log0.2

b=,4log24c=,则()A.acbB.abcC.bacD.<<bca【答案】A【解析】【分析】利用指对互算、对数的运算性质和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】33log8log92a==,20.52442log5log0.2log5log25log2

4log2bc=====,而44log24log162=,则acb,故选:A.5.国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到真正的智

慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量()mgLN与时间t的关系为0ktNNe−=(0N为最初污染物数量).如果前4小时消除了20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%

还需要()小时.A.3.6B.3.8C.4D.4.2【答案】C【解析】【分析】分析可得出445ke−=,设2400040.645tNeNN−==,求出t的值,由此可得出结果.【详解】由题意可得40045kNeN−=,可得445ke−=,设200040.645ktNeNN−==

,可得()248ktkkeee−−−==,解得8t=.因此,污染物消除至最初的64%还需要4小时.故选:C.6.已知向量a、b为单位向量,且ab+在a的方向上的投影为312+,则向量a与b的夹角为()A.6B.4C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由3()||12aba

a+=+,变形可得3112ab+=+,再利用平面向量数量积公式,结合向量夹角的范围可得结果.【详解】设向量a与b的夹角为,因为向量a、b为单位向量,且ab+在a的方向上的投影为312+,则有3()||12abaa+=+,变形可得:3112ab+

=+,即3cosc21o1sab===,又由0,则6=,故选A.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式,一是cosabab=,二是1212abxxyy=+,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角,cosa

bab=(此时ab往往用坐标形式求解);(2)求投影,a在b上的投影是abb;(3),ab向量垂直则0ab=;(4)求向量manb+的模(平方后需求ab).7.设数列na的前n项和为nS,当nN时,na,1n2+,1na+成等差

数列,若2020nS=,且23a,则n的最大值为()A.63B.64C.65D.66【答案】A【解析】【分析】根据等差中项写出式子,由递推式及求和公式写出62S和64S,进而得出结果.【详解】解:由na

,1n2+,1na+成等差数列,可得121++=+nnaan,nN则123aa+=,347aa+=,5611aa+=,L可得数列na中,每隔两项求和是首项为3,公差为4的等差数列.则623130331419

5320202S=+=,6432313324208020202S=+=,则n的最大值可能为63.由121++=+nnaan,nN,可得1223+++=+nnaan.()()()63123456263Saaaaaaa=+++++++159125a=++

++113130315420152aa=++=+因为123aa+=,123aa=−,23a,即23a−−,所以10a,则63120152015Sa=+,当且仅当15a=时,632020S=,符合题意,故n的最大值为63.故选:A.【点睛】本题考查等差数列的性质和

递推式的应用,考查分析问题能力,属于难题.8.在二项式412nxx+的展开式中,前三项的系数成等差数列,则该二项式展开式中2x−项的系数为()A.2B.4C.1D.16【答案】C【解析】【分析】求得二项式412nxx

+的展开式前三项的系数,根据已知条件求得n的值,然后写出展开式通项,令x的指数为2−,求得参数的值,代入通项即可得解.【详解】由题意可得2n、112nnC−、222nnC−成等差数列,且2n,1122

2222nnnnnCC−−=+,化简得1244nnCC=+,即2980nn−+=,2nQ,解得8n=.故展开式的通项公式为()838414884212kkkkkkkTCxxCx−−+−==,令3424k−=−,求得8k=,故该二项式展开式中2x−项的系数为8082

1C=.故选:C.【点睛】本题考查二项式中指定项系数的求解,考查二项展开式通项的应用,考查运算求解能力,属于中等题.9.已知定义在R上函数()fx是奇函数且满足(3)()fxfx−=−,(1)3f=−,数列na满足2nnSan=+

(其中nS为na的前n项和),则56()()fafa+=A.3−B.2−C.3D.2【答案】C【解析】【详解】由函数()fx是奇函数且满足()()3fxfx−=−,可知T=3由2nnSan=+,可得:()11212nnSann−−=+−两式相减得:1221nnnaaa−=−+,即1

21nnaa−=−,()()11212nnaan−−=−∴1na−是公比为2的等比数列,∴12nna=−,∴563163aa=−=−,∴()()()()()()()5631013211013fafafffff+=−−+−=−

+=−=故选C10.已知三棱锥−PABC的外接球半径为5,6AB=,8PC=,则三棱锥−PABC的体积的最大值为的()A.48B.56C.64D.72【答案】B【解析】【分析】根据AB⊥面MPC且PMCS△最大时,三棱锥−PABC的体积最

大求解即可.【详解】解:外接球球心为O,分别取AB,PC中点M,N,连接OAOBOPOC、、、,,OMON(如图),则5OAOBOPOC====,∴4OM=,3ON=,当MON、、三点共线,MNPC⊥且AB⊥面MPC时,三棱锥−PABC的体积最大,()()()maxmax11134865633

2PABCPMCVSAB−==+=△,故选:B.【点睛】本题解题的关键是把当AB⊥面MPC时,PABCV−用13PMCSAB△表示,只要分析PMCS△在什么情况下取到最大值即可.11.设12,FF分别是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点,

O为坐标原点,过左焦点1F作直线1FP与圆222xya+=切于点E,与双曲线右支交于点P,且满足()112OEOPOF=+,3OE=,则双曲线的方程为()A.221612xy−=B.22169xy−=C.22136xy−=D.221312xy−=【答案】D【解析】【分析】根据圆半径得出a,根据

中位线定理和勾股定理计算c,从而得出b,即可得出双曲线的方程.【详解】∵E为圆222xya+=上的点,3OEa==,()112OEOPOF=+,∴E是1PF的中点,又O是12FF的中点,22223PFOEa===,且2//PFOE,又12223PFPFa−==,1443PFa==,1P

F是圆的切线,121,OEPFPFPF⊥⊥,又122FFc=,22212460cPFPF=+=,215c=,22212bca=−=∴双曲线方程为221312xy−=.故选:D12.已知函数()()22exfxx

x=−,若方程()fxa=有3个不同的实根()123123,,xxxxxx,则22ax−的取值范围为()A.10e,−B.2,0e−C.()22e,0−−D.()222e,2e−−【答案】A【解析】【分析】对()fx求导,研究

函数()fx的单调性、极值等性质,利用()fx的图象求得2x的范围,以及a与2x的关系,将问题转化为关于2x的函数的值域的问题进行求解即可.的【详解】因为()()22exfxxx=−,故可得()()22exxxf=−,令()0fx=,解得2x=,当2x−或

2x时,()0fx;22x−时,()0fx,故()fx在(),2−−单调递增,在()2,2−单调递减,在()2,+单调递增.则()fx的极大值为()()202222ef−−=+,()fx的极小值为()()202222ef=−,∵(

)()22e(2)exxfxxxxx=−=−,∴当0x时,()0fx;当02x时,()0fx;当2x时,()0fx,根据以上信息,作出()fx的大致图象如图所示:由图可知,直线ya=与函数()yfx=的图象有3

个交点时,方程()fxa=有3个不同的实根,则()()20,222ea−+,因为方程()fxa=的3个不同的实根为()123123,,xxxxxx,则220x−,又因为()()222222exfxxxa=−=,()22,0x−故22ax−()2222

2222ee2xxxxxx−==−,令()()e,2,0xhxxx=−,则()()1exhxx=+,令()0hx=,解得=1x−,当21x−−时,()0hx,()hx单调递减;当10x−时,()0hx,()hx单调递增,所以min1()(1)ehxh=−=−,又2

(2)2eh−−=−0,(0)0h=,故可得()0hx,所以()2,0x−时,()1,0ehx−,即22ax−1,0e−.故选:A.【点睛】方法点睛:已知方程根的个数,求参数的取值范围的常用方法:(1)直接法:直接根据题设条件列出关于参数的不等式,求解即可得出

参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题进行求解;(3)数形结合法:对解析式适当变形,构造两个函数,在同一平面直角坐标系中,画出两个函数的图象,其交点的个数就是方程根的个数,然

后数形结合求解.常见类型有两种:一种是转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点个数问题;另一种是转化为两个函数()(),ygxyhx==的图象的交点个数问题.第II卷非选择题(90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知数据12,

,,nxxx的方差为21s,数据1231,31,,31nxxx−−−的方差为22s,则2221ss=___________..【答案】9【解析】【分析】利用公式可得两类方差之间的关系.【详解】设数据12,,,nxxx的均值为x,则1231,31,,31nxxx−−−的均值为31x−

,故()22111niisxxn==−且()()222211193131nniiiisxxxxnn===−−+=−,故22219ss=,故答案为:9.14.已知π1sin33+=,则5πcos6+=

______________【答案】13−【解析】【分析】5πππcoscos623+=++利用诱导公式结合已知条件即可求解.【详解】5ππππ1coscossin62333+=++=−+=−

,故答案为:13−.15.已知直线:(3)lykx=+和圆22:(1)1Cxy+−=相切,则实数k=___________.【答案】0或3【解析】【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求k的值.【详解】因为直线l:()3ykx

=+与圆22:(1)1Cxy+−=相切,故圆心(0,1)C到直线的距离23111kdk−==+,解得0k=,或3k=.故答案为:3或0.16.如图,已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2,点E是ABC内(包括边界)的动点,则下列结论中正确的序号是________(填所有正

确结论的序号)①若=AEACuuuruuur,()0,1,则1//DE平面11ABC;②若平面与正方体各个面都相交,且1BD⊥,则截面多边形的周长一定为62;③若AEB的角平分线交AB于点F,且2AFFB=,则动点E的轨迹长为4π9;④直线1DE与平面

ABCD所成的角的余弦值的最大值为33.【答案】①②③【解析】【分析】由点E在线段AC上,连接1AD,1CD,证得//AC平面11ABC和1//AD平面11ABC,得到平面1//DAC平面11ABC,进而得到1/

/DE平面11ABC,可判定①正确;由1BD⊥平面11ABC,得到平面//平面11ABC,得到截面与平面11ABC平行,设111MDxDA=,求得22MJMF+=、22GFGH+=及22HIIJ+=,可判定②正确;建立平面直角坐标系,设(),Exy,由2AEEB=,得到2

281639xy−+=,可判定③正确;由1DD⊥平面ABCD,得到1DED即为直线1DE与平面ABCD所成角,求得121cos41DEDDE=+,进而判定④错误.【详解】对于①中,如图所示,由(),0,1AEAC=知

,点E在线段AC上,连接1AD,1CD,因为11//ACAC,且AC平面11ABC,11AC平面11ABC,所以//AC平面11ABC,同理可证得1//AD平面11ABC,又因为1ACADA=I且

1,ACAD平面1ACD,所以平面1//DAC平面11ABC,因为1DE平面1DAC,所以1//DE平面11ABC,所以①正确;对于②中,如图所示,在正方体1111ABCDABCD−中,可得1BD⊥平面11ABC,又因为1BD⊥,所以平面//

平面11ABC,即所求截面与平面11ABC平行,因为平面11ABC平面111111ABCDAC=,平面EFGHIJ平面1111ABCDMJ=,所以11//ACMJ,同理可证1//ABFG,1//BCHI,设111MDxDA=,其中()0,1x,则()

1111MAxDA=−,因为11//ACMJ,所以11MJxAC=,()11EFxAD=−,因为11122ACAD==,所以()11111122MJMFxACxADAC+=+−==,同理,可得22GFGH+=,22HIIJ+

=,故截面多面形MFGHIJ的周长为62,所以②正确;对于③中,建立平面直角坐标系,如图所示,设(),Exy,()0,0A,()2,0B,由角平分线性质得2AEEB=,即224AEEB=,故()222242xyxy+=−+,化

简得223316160xyx+−+=,即所以2281639xy−+=,故点E的轨迹是以8,03为圆心,43为半径的圆在正方形ABCD内部的弧,且弧长为4π9,所以③正确;对于④中,如图所示,在正方体1111ABCDABCD−中,可得1DD⊥平面ABC

D,所以1DED即为直线1DE与平面ABCD所成角,在直角1DDE△中,可得12221121cos441DEDEDEDEDDEDEDDDEDE====+++,又因为E在ABC的内部及其边界,可得2

,22DE,所以1cosDED的最大值为63,所以④错误.故答案为:①②③.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考

题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.在锐角ABC中,角,,ABC的对边分别为,,abc,且233cosAcosBsinCaba+=(1)求角B的大小;(2)若23b=,求ac+的取值范围.【答案】(1)3B=(2)643ac+【解析】【分析】(1)先将

三角函数表达式化简,结合正弦定理将边化为角的表达式.由正弦和角公式化简,即可求得角B.(2)根据正弦定理,由23b=及(1)可表示出4sin,4sinaAcC==.进而用角表示出ac+,由内角和定理及角B,将式中的角化

为角A,利用辅助角公式化简,结合正弦函数的图像与性质即可求得ac+的取值范围.【详解】(1)锐角ABC中,233cosAcosBsinCaba+=,∴23coscossin3bAaBbC+=,由正弦定理得23sincoscossinsinsin3BAB

ABC+=,∴()23sinsinsin3ABBC+=,又()sinsin0ABC+=,∴3sin2B=,又02B,∴3B=(2)由正弦定理4acbsinAsinCsinB===,则有4sin,4sinaAcC

==,则4sin4sinacAC+=+24sin4sin3AA=+−6sin23cosAA=+43sin6A=+,因为ABC为锐角三角形所以022032AA−,可得62

A,则2363A+,由正弦函数的图像与性质可得3sin126A+,即643ac+【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,三角恒等变换及辅助角公式的用法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.18.某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、

季军的代表队人数情况如下表,大会组委会为使颁奖仪式有序进行,气氛活跃,在颁奖过程中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐,其中亚军队有5人.名次冠军队亚军队季军队性别男生3030女生302030(1)求季军队的男运动员人数.(2)从

前排就坐的亚军队5人(3男2女)中随机抽取2人上台领奖,请求出有女生上台领奖的概率.(3)抽奖活动中,运动员通过操作按键,使电脑自动产生[0,4]内的两个均匀随机数x,y,随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序.若电脑显示“中奖”,则运动员获相应奖

品;若电脑显示“谢谢”,则不中奖.求运动员获得奖品的概率.【答案】(1)20;(2)710;(3)58.【解析】【分析】(1)由分层抽样的计算方法,求得代表队总人数为160,进而求得季军队的男运动员人数;(2)设男生为123,

,aaa,女生为12,bb,随机抽取2人,求得基本事件的总数和女生上台领奖所包含的基本事件的个数,结合古典概型的概率计算公式,即可求解;(3)求得试验的全部结果所构成的区域的面积,进而求得运动员获得奖品所构成的区域的面积,结合面积比的几何概型,即可求解.【详解】(1)设代表队共

有n人,则55016n=,所以160n=,则季军队的男运动员人数为160(3030302030)20−++++=.(2)设男生为123,,aaa,女生为12,bb,随机抽取2人,包括的基本事件个数为2510C=,有女生上台领奖的基本事件为22531037CC−=−=,所

以7()10PA=,有女生上台领奖的概率为710.(3)试验的全部结果所构成的区域为{(,)|04,04}xyxy=,面积为4416S==,事件A表示运动员获得奖品,所构成的区域为{(,)|480,04,04}Axyxyxy=−−,面积为1(23)4102AS=

+=,这是一个几何概型,所以5()8ASPAS==,即运动员获得奖品的概率为58.19.如图,在正三棱柱111ABCABC-中,D为棱1AA上的点,E,F,G分别为AC,11AC,1BB的中点,12ACA

A==.(1)求证:FGAC^;(2)若FG∥平面BCD,试确定D点的位置,并求二面角1BCDC--的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)77−【解析】【分析】(1)由已知可得//EFBG,所以E、F、B、G四点共面,再证明AC⊥平面EFGB即可证明;(2)

建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−,则()0,3,0B,()1,0,0C−,()11,0,2C−,()0,0,2F,()0,3,1G,设()1,0,Da,()02a,由FG∥平面BCD,则0FGn=,可得2a=,利用向量法即可求解.【小问1详解】证明:在正

三棱柱111ABCABC-中,1CC⊥平面ABC,因为E,F,G分别为AC,11AC,1BB的中点,所以1//EFCC,又1//BGCC,所以//EFBG,EF⊥平面ABC,所以E、F、B、G四点共面,EFAC⊥,又因为BEAC⊥,且EFBEE=,所以AC⊥平面EFG

B,所以FGAC^;【小问2详解】解:建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−,则()0,3,0B,()1,0,0C−,()11,0,2C−,()0,0,2F,()0,3,1G,设()1,0,Da,()02a,()0,3,1FG=−,()1,3,0BC=−−,()

1,3,BDa=−,设平面BCD的法向量为(),,nxyz=,则00BCnBDn==,即3030xyxyaz−−=−+=,取6z=,可得()3,3,6naa=−,因为FG∥平面BCD,所以0FGn=,解得2a=,所以()6,23

,6n=−,易知平面1CDC法向量()0,1,0m=ur,所以237cos,7221mnmnmn===,由图可知二面角1BCDC--为钝二面角,的所以二面角1BCDC--的余弦值为77−.20.椭圆22221(0)xyabab+=的左、布焦点分别为()()121,0,1,0FF−,直

线l过2F和椭圆交于,AB两点,当直线ABx⊥轴时,13AFB=.(1)求椭圆的方程;(2)若22FAFB=,且12剟,设线段AB的中点为M,求1FM的取值范围.【答案】(1)22132xy+=;(2)51,24.【解析】【分析】(1)根据题意建立方程求出a,b,c,即

可求解;(2)验证斜率为0时不符合题意,当斜率不为0时,设直线()()1122:1,,,,lxmyAxyBxy=+,联立椭圆方程,由韦达定理可求1212,yyyy+,由向量11112FMFAFB=+化简,并结合条件22FAFB=,且12剟求解.【详解】由

题意得:2221,1,23bcabca=−==,所以2223,3230abaa=−−=,解得3,2,ab==椭圆的方程22132xy+=;(2)①当直线的斜率为0时22,,23FAFB==,不满足12.剟②设直线()()1122:1,,,,lxmyAxyBxy=+,联立222361xyxm

y+==+,得()2223440mymy++−=则12122244,2323myyyymm−−+==++,1ABF中AB边上的中线长为()()22111121211222FMFAFBxxyy=+=++++

()()221212142myyyy=++++222221412422323mmmm+−=+++()22222223342323mmmm++=+++()()()2222223823323m

mm++++=+令223tm=+则223mt=−,得22112218338141313233ttFAFBtttt+++==++=+−,由22FAFB=,得1122,yyyy=−−=,()22121222112142223yyyymyyyym+−−−+=++==+,()22

2314112,20,,232tmmt−+−==+剟11134,43tt剟剟11151,224FAFB+1ABF中AB边上中线长的取值范围是51,2.4【点睛】关键点点睛:利用直线与椭圆联

立,及韦达定理与11112FMFAFB=+,换元后得出211413333tFM+−=,由22FAFB=,12剟求t的取值范围,是解题的关键与难点,属于难题.21.已知函数()212ln2fxxmxx=++在点()()1,1f处的切线垂直于y轴.(1)求()fx的单调区间;(

2)若存在a,b,c()0abc使得()()()fafbfc==,求证:2ca−;【答案】(1)在区间()()0,12+,,单调递增,在区间()1,2单调递减;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由导数的几何意义和已知条件可

得()10f=,从而可求出3m=−,然后通过由际数的正负求出()fx的单调区间;(2)设()()()fafbfcn===,则52ln24,2n−−,欲证明:2ca−,即2ca+,因为2,22ca+,且()fx在()2+,上

单调递增,只需要证明()()(2)fafcfa=+,然后构造函数()()(2)()22ln(2)2ln4,0,1gxfxfxxxxx=+−=++−−,利用导数求其最小值即可【详解】解:(1)()2fxxmx=++,()fx在点1(1

))f(,处的切线垂直于y轴;()10f=,得3m=−;则()()()2122323xxxxfxxxxx−−−+==−+=;()()0,12x+U,时()0fx¢>;()1,2x时()0fx

¢<,()fx在区间()()0,12+,,单调递增,在区间()1,2单调递减.(2)设()()()fafbfcn===,则52ln24,2n−−.欲证明:2ca−,即2ca+.因为2,22ca+,且()fx在()2+,上单调递增,只需要证明()()(2)fa

fcfa=+;构造()()(2)()22ln(2)2ln4,0,1gxfxfxxxxx=+−=++−−()()2222(2)xxgxxx+−=+,所以()gx在区间()031,−上单减,在()311−,上单增,()()min()

312362ln(31)2ln31=−=−++−−gxg()()2362ln2ln(31)232ln31−+−−=−−−e现证明:()ln3132−−,令()ln1(01)hxxxx=−+,()10xhxx−=,则()

hx在()0,1上单调递减,所以()(1)0hxh=,而()310,1−,得证()ln3132−−所以()0,1,()()(2)afcfafa=+,得证结论成立.【点睛】关键点点睛:此题考查导数的应用,考查导数的几何意义,考查利用导数证明不等式,解题

的关键是通过分析要证明:2ca−,即2ca+,因为2,22ca+,且()fx在()2+,上单调递增,只需要证明()()(2)fafcfa=+,然后构造函数()()(2)()22ln(2)2ln4,0,1gxfxfxxxxx=+−=++−−,利用导数求其最小值,考查数学转化思想和

计算能力,属于较难题(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.【选修4-4极坐标与参数方程】22.如图,在极坐标系Ox中,4,2A、22,4B

、722,4C、34,2D,弧AB、弧BC、弧CD所在圆的圆心分别是2,2、()2,0、32,2,曲线1C是弧AB,曲线2C是弧BC,曲线3C是弧CD,曲线()():,002Cf

=由1C、2C、3C构成.(1)写出曲线C的极坐标方程,并求曲线C与直线()2R=所围成图形的面积;(2)若点M在曲线C上,且23OM=,求点M极坐标.【答案】(1)答案见解析;(2)23,3或23,6或1123,6或523,

3.的【解析】【分析】(1)分别写出曲线1C、2C、3C的极坐标方程,综合可得出曲线C的极坐标方程;(2)分42、04或724、3724解方程23=,求出的值,即可得出点M的极坐标.【详解】(1)由题意可知,

弧AB所在圆的圆心的直角坐标为()0,2,点A的直角坐标为()0,4,点B的直角坐标为()2,2,所以,弧AB所在圆的方程为()2224xy+−=,即224xyy+=,所以,曲线1C的极坐标方程为4sin42=.弧BC所在圆的圆心的直角坐

标为()2,0,点B的直角坐标为()2,2,点C的直角坐标为()2,2−,所以,弧BC所在圆的方程为()2224xy−+=,即224xyx+=,所以,曲线2C的极坐标方程为4cos=(04或724

).弧CD所在圆的圆心坐标为()0,2−,点C的直角坐标为()2,2−,点D的直角坐标为()0,4−.所以,弧CD所在圆的方程为()2224xy++=,即224xyy+=−,所以,曲线3C的极坐标方程为374sin24=−.因此,

曲线C的极坐标方程为4sin4274cos0244374sin24=−或.所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组

成,所以面积为:2211222244842S=++=+;(2)设曲线C上一点(),M,由题设:若42,由4sin23=得3sin2=,则3=;若04或724,由4cos23=得3cos2=,得6=或

116=;若3724,由4sin23−=得3sin2=−,得53=;因此,点M的极坐标为23,3或23,6或1123,6或523,3.

【点睛】思路点睛:求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:(1)建立适当的极坐标系;(2)在曲线上任取一点(),M;(3)根据曲线上的点所满足的条件列出等式;(4)用极坐标(),表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程(一般只对特殊点加以检验即可).【选

修4-5不等式选讲】23.已知()41fxaxax=+−++.(1)若2a=,解不等式()9fx;(2)若2x时,()()22fxx+恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)106,3−(2)1733a−【解

析】【分析】(1)带入2a=,化简原式,分类讨论x的取值范围,去除绝对值,进行求解;(2)由()()22fxx+分离常数a,利用基本不等式及函数单调性进行求解.【小问1详解】解2a=,∴()221fxxx=−++,()9fx化为228xx−+,当1x时,原式为(22)8

xx−+,解得6x−,61x−;当1x时,原式(22)8xx−+,103x,1013x.综上可得,解集为106,3−.【小问2详解】解:由题意得:当2x时,2433axaxx+−++恒成立,2330xx++恒成立,上式化为2233433x

xaxaxx−−−+−++恒成立,即()2231137xxaxxx−−++++,由于2x,22313711xxxxaxx−−+++++,令1xt+=,则3t,上式化为:2235ttttatt−−+++.

()2331ttgtttt−−+==−−+在)3,+上为减函数,()()max33gtg==−;同理()2551tthtttt++==++在)3,+上为增函数,()()min1733hth==.为获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com

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