【文档说明】【精准解析】湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题.doc，共(16)页，1.380 MB，由小赞的店铺上传

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长沙市南雅中学2020年上学期入学考试试卷高一数学一、选择题：1.已知集合1,0,1A=−，{|11}Bxx=−，则AB=（）A.0B.1,0−C.0,1D.1,0,1−【答案】B【解析】因为1,0,1,BBB−所以1,0AB=−.【考点定位】集合

的表示，集合的运算.2.命题“存在实数x,，使x>1”的否定是（）A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x，使x1C.对任意实数x,都有x1D.存在实数x，使x1【答案】C【解析】【详解】解：特称命题的否定是全称

命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C．3.设1,(0)()cos2,(0)xxfxxx+=，则()3f值是（）A.12−B.12C.32−D.232

−【答案】A【解析】【分析】由03,将3x=代入()cos2fxx=中,进而求解即可.【详解】由题,21cos332f==−,故选:A【点睛】本题考查分段函数求函数值,考查特殊角的三角函数值.4.在ABC中，若sin()coscos()si

n1ABBABB−+−，则ABC是（）A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.直角三角形或钝角三角形【答案】B【解析】分析：由()()sincoscossinABBABB−+−利用两角和的正弦公式，得到sin1A=，可得2A

=，从而可得结果.详解：ABC中，若()()coscossin1sinABBABB−+−，则()sin1sinABBA−+=，sin1A=，2A=，故三角形是直角三角形，故选B.点睛：判断三角形状的常见方法是：

（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5.如果点()sin,2cosP位于第二象限，那么角所在象

限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由点()sin,2cosP位于第二象限可得sin0,2cos0,即可判断所在象限.【详解】由题,因为点()sin,2cosP位于第二

象限,所以sin0,2cos0,所以在第四象限,故选:D【点睛】本题考查象限角,属于基础题.6.已知132a−=，21log3b=，121log3c=，则（）．A.abcB.acbC.cabD.cba【答案】C【解析】试题分析：因为13212112(0,1),lo

g0,log1,33abc−===所以.bac选C．考点：比较大小7.如果33loglog4mn+，那么mn+的最小值为（）A.4B.43C.9D.18【答案】D【解析】【分析】先由对数的运算法则得出()333logloglogmnmn+=,再利用基

本不等式性质可求出最小值.【详解】解：∵()333logloglog4mnmn+=,∴43mn,又由已知条件隐含着0m,0n,故422318mnmn+=,当且仅当9mn==时取到最小值．所以mn+的最小值为18.故选：D【点睛】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质,属于

基础题.8.已知函数()sin()(0)3fxx=+最小正周期为，则该函数的图象（）A.关于直线3x=对称B.关于点(,0)3对称C.关于直线6x=−对称D.关于点(,0)6对称【答案】B【解析】【分析】由T=可得2=,则()sin2

3fxx=+,将3x=代入()fx中即可得到结果.【详解】由题,2T==,所以2=,则()sin23fxx=+,将3x=代入()fx中可得sin2sin0333f=+==,所以,03是()fx的

对称中心,故选:B【点睛】本题考查正弦型函数的周期性的应用,考查代入验证法处理正弦型函数的对称性问题.9.函数232sin()12yx=+−是A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为2

的偶函数D.最小正周期为2的奇函数【答案】A【解析】∵()232sin1cos23cos22yxxx=+−=−+=，∴232sin12yx=+−是最小正周期为的偶函数.10.已知O,A,B是平面上

的三个点，直线AB上有一点C，且20ACCB+=，则OC=（）A.2OAOB−B.2OAOB−+C.2133OAOB−D.1233OAOB−+【答案】A【解析】【分析】由ACOCOA=−,CBOBOC=−代入运算即可得解.【详解】解：因为20ACCB+

=，所以2()()0OCOAOBOC−+−=,所以OC=2OAOB−，故选：A.【点睛】本题考查了平面向量的加法、减法运算，属基础题.11.已知函数1()|lg|2xfxx=−有两个零点1x，2x，则有（）A.120xxB.121=xxC.121xxD.1201xx

【答案】D【解析】【分析】先将1()|lg|2xfxx=−有两个零点转化为|lg|yx=与2xy−=有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图像得到零点在(0,1)和(1,)+内,即可得到112lgxx−−=和222lgxx−=,然后两式相加即可求得12xx的范围.【详

解】1()|lg|2xfxx=−有两个零点1x,2x,即|lg|yx=与2xy−=有两个交点由题意0x,分别画2xy−=和|lg|yx=的图像发现在(0,1)和(1,)+有两个交点不妨设1x在(0,1)内，2x在(1,)+内，在(0,1)上有112lg

xx−=−,即112lgxx−−=——①在(1,)+有222lgxx−=——②①②相加有211222lgxxxx−−−=21xx,2122xx−−即21220xx−−−12lg0xx1201xx故选:D.【点睛】本题主要考查确定函数零点所在区间

的方法,转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根.12.函数5log,0()cos,0xxfxxx=的图象上关于y轴对称的点共有（）A.7对B.5对C.3对D.1对【答案】B【解析】【分析】

由cosyx=关于y轴对称,则可将问题转化为当0x时,5logyx=与cosyx=的交点个数,画出图象,由图象即可得到结果.【详解】由题,因为cosyx=关于y轴对称,所以只要找到当0x时,5logyx=与cosyx=的交点个数即可,函数图象如图所示,则

共有5个交点,故选:B【点睛】本题考查余弦型函数的奇偶性的应用,考查利用函数图象求交点个数,考查数形结合思想.二、填空题13.cos300°＝____________.【答案】12【解析】试题分析：00001cos300cos(36060)cos

602=−==．考点：三角函数诱导公式，特殊角的三角函数值．点评：简单题，利用诱导公式，转化成小范围特殊角的三角函数值．14.在△ABC中，“30A”是“”的▲．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】必

要不充分条件【解析】此题考查充分条件和必要条件的判断、考查学生的逻辑推理和论证能力；由在△ABC中，“30A”得出11sin10sin22AA或，所以不是充分条件，由1sin2A，且在ABC中，可以得出30120A，所以是必要条件，所以

填必要不充分条件15.已知,都是锐角，45sin,cos()513=+=，则sin=_____【答案】1665【解析】【分析】由已知求出cos,sin()+，再由两角差的正弦公式计算sins

in[()]=+−．【详解】∵,都是锐角，∴(0,)+，又45sin,cos()513=+=，∴3cos5=，12sin()13+=，∴sinsin[()]sin()c

oscos()sin=+−=+−+123541613513565=−=．故答案为1665．【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式．考查同角间的三角函数关系．解题关键是角的变换，即()=+−．这在三角函数恒

等变换中很重要，即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系，根据这个关系选用相应的公式计算．16.已知()2sinfxx=，()31gxx=−，则()fx与()gx图象交点的横坐标之和为___________.【答案】17.【解析】【分析】作出两个函数的图象，根据函

数的对称性，利用数形结合即可得到结论.【详解】作出()fx与()gx的图象，如图，令312x−=，解得9x=，令312x−=−，解得7x=−，()fx与()gx图象共有17个交点.则()fx与()gx关于()1,0对称，设17个交点

横坐标为12317,,,,xxxx，则1231728117xxxx++++=+=.故答案为：17.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题的

关键.三、解答题：17.已知25sin5=，2．（1）求tan的值；（2）求222sinsincos3sincos++的值．【答案】（1）2−（2）213【解析】【分析】（1）利用22sincos1+=和sintanco

s=求解即可,需注意角的范围；（2）对分式分子分母同时除以2cos,进而求解即可.【详解】解:（1）因为25sin5=,2,根据22sincos1+=,所以5cos5=−,所以s

intan2cos==−（2）()()()222222222sinsincostantan23sincos3tan113321−+−++===++−+【点睛】本题考查利用同角的三角函数关系求值,考查三角函数的齐次式问题.18.已知函数2()sin22sinfx

xx=−.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数()fx的最大值及()fx取最大值时x的集合.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）()fx取最大值21−时x的集合为{|},8πxxkπkZ=+【解析】【详解】（Ⅰ）2()sin22sinsin2cos212sin(2)14

fxxxxxx=−=+−=+−，所以函数()fx的最小正周期为22T==．（Ⅱ）当2242+=+xk，即8xk=+，kZ时，()fx有最大值21−，()fx取最大值21−时x的集合为{|},8πxxkπkZ=+.19.设:p关于x的不等式()10,1xaaa

的解集为|0xx；:q函数()2lnyaxxa=−+的定义域为R．若pq为假，pq为真，求实数a的取值范围．【答案】10,(1,)2+【解析】【分析】根据指数函数的图象可得若p为真命题,则0

1a；若q为真命题,则20axxa−+在R上恒成立,可解得12a,当pq为假,pq为真时,则p与q中一个为真,一个为假,进而分别讨论p为真命题,q为假命题和q为真命题,p为假命题的情况,即可求解.【详解】由题,若

p为真命题,则01a；若q为真命题,则20axxa−+在R上恒成立,当0a=时,0x−,不符合；当0a时,20140aa=−,解得12a；因为pq为假,pq为真,所以p与q中一个为真,一个为假,若p为真命题,q为假命

题,则1a；若q为真命题,p为假命题,则102a,综上,)10,1,2a+【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围问题,考查指数函数的图象的应用,考查已知函数的定义域求参数范围问题,考查分类讨论思想.20.已知3cos5=，2cos10=−，2

3，0．（1）求sin和sin的值；（2）求−的值．【答案】（1）4sin5=，72sin10=（2）74【解析】【分析】（1）利用同角的三角函数关系求解即可,需注意角的取值范围；（2）先求得()cos−,再根据−的范围确定角.【详解】解

:（1）因为3cos5=,且23,根据22sincos1+=,所以4sin5=；因为2cos10=−,且0,根据22sincos1+=,所以72sin10=（2）由（1）,()coscoscossinsin−=+32472510510=−+

22=,因为3cos05=,所以522,因为2cos10=−,所以2,即2−−−,所以2−,所以74−=【点睛】本题考查利用同角的三角函数关系求值,考查已知三角函数值求角,考查余弦的差角公式的应用.2

1.在锐角ABC中，274sincos222BCA+−=．（1）求角A的大小；（2）求sinsinBC的最大值．【答案】（1）3A=（2）34【解析】【分析】（1）利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简可得24cos4cos10AA−+=

,进而求解即可；（2）()sinsinsinsinBCBAB=+,进而利用和角公式展开,整理可得11sin2264B−+,由26B−的范围,进而求得最值.【详解】解:（1）因为274sincos222B

CA+−=,即()721coscos22BCA−+−=,所以()2722cos2cos102AA+−−−=,即24cos4cos10AA−+=,所以1cos2A=,所以3A=（2）由（1）,()sinsinsinsinBC

BAB=+()sinsincossincosBABBA=+31sincossin22BBB=+231sincossin22BBB=+311sin2cos2444BB=−+11sin2264B=−+,因为锐角ABC,所以2AB+,即62B,所

以5666B−,当262B−=,即3B=时,sinsinBC取得最大值为34【点睛】本题考查利用诱导公式、降幂公式和二倍角公式化简求值,考查和角公式的应用,考查三角函数的最值问题.22.定义在D上的函数(

)fx，如果满足：对任意xD，存在常数0M，都有()fxM成立，则称()fx是D上的有界函数，其中M称为函()fx的一个上界.已知函数()111()()24xxfxa=++，()121log1axgxx−=−．()1若函数()gx为奇函数，求实数a的值；()2在()1的条件下，求函数()

gx，在区间5,33上的所有上界构成的集合；()3若函数()fx在)0,+上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）1a=−；（2）上界构成集合为)2,+；（3）实数a的取值范围为5,1−.【解析】试题分析：（1）因为121()log1axgx

x−=−为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得a的值，由于真数大于零，所以排除1a=−.即可得到结论.（2）由（1）得到的a值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间(1,)+上单调递增.所以5[,3]3x上，5()()(3)3ggxg

.即2()1gx−−.所以可得.即存在常数20M=，都有()2fxM=.所以所有上界构成的集合[2,)+.（3）因为函数()fx在)0,+上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得a的范围.试题解析：（

1）因为函数为奇函数，所以()()gxgx−=−，即，即，得，而当时不合题意，故1a=−.4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间(1,)+上单调递增，证明略.6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，

所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为.8分（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设121tt，21121212()(41)()()0tttththttt−−−=，()()1212121221()()0t

tttptpttt−+−=,所以在上递减，在上递增，12分在上的最大值为，在上的最小值为.所以实数a的取值范围为.14分考点：1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.