【文档说明】黑龙江省大庆实验中学实验三部2023-2024学年高三上学期阶段考试（二）数学答案.docx，共(24)页，1.598 MB，由envi的店铺上传

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大庆实验中学实验三部2021级高三阶段考试（二）数学试题第I卷（选择题，共60分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知集合{Z33},1AxxBxyx

=−==+∣∣，则AB=（）A.1,0,1,2−B.()1,3−C.0,1,2D.()1,−+【答案】A【解析】【分析】利用整数集的定义与具体函数定义域的求法化简集合,AB，再利用集合的交集运算即可得解.【

详解】因为{Z33}2,1,0,1,2Axx=−=−−∣，11Bxyxxx==+=−∣，所以AB=1,0,1,2−.故选：A.2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为()1,2，则下列结论正确的是（）A.i2iz=−B.复数z的共轭复数是1

2i−C.2z的实部为5D.5z=【答案】B【解析】【分析】由复平面内对应的点，得复数z，通过复数的乘法，复数模的计算，共轭复数和复数实部的定义，验证各选项的结论.【详解】复数z在复平面内对应的点的坐标为()1,2，则12zi=+，()i12ii2iz=+=−+，

A选项错误；12iz=−，B选项正确；()2212i14i434iz=+=+−=−+，2z的实部为-3，C选项错误；22125z=+=，D选项错误.故选：B3.已知抛物线22(0)ypxp=的准线过双曲线2218xy−=的一个焦点，则p=（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】求

出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物线的定义，求解p即可【详解】双曲线2218xy−=的焦点坐标()3,0，抛物线22(0)ypxp=的准线过双曲线2218xy−=的一个焦点，所以32p=，可得6p=．故选：C．4.设mn､是两条不同的直线，､､是三个不同的平面.下列命

题中正确的命题是（）A.若,,mn⊥⊥，则mnB.若,⊥⊥，则C.若m,，则mD.若m,nn，则m【答案】A【解析】【分析】分析每个选项中的直线与平面的位置关系，判断正误.【详解】对于A项，若//，m⊥

，n⊥，则//mn，A项正确；对于B项，若⊥，⊥，可能和相交，B项错误；对于C项，若//m，//，直线m可能在平面内，C项错误；对于D项，若//mn，//n，直线m可能在平面内，D项错误.故选：A.5.数列na的通项公式为

2nankn=+，则“3k−”是“na为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】D【解析】【分析】na为递增数列，则10nnaa+−对于任意*Nn恒成立，由不等式求

k的取值范围即可.【详解】数列na的通项公式为2nankn=+，na为递增数列，则()()()22111210nnaanknnknnk+−=+++−+=++对于任意*Nn恒成立，即21−−kn对于任意*Nn恒成立，故()max213kn−−

=−，则“3k−”是“na为递增数列”的充要条件.故选：D6.若costan3sin=−，则sin22π+=（）A.23B.13C.89D.79【答案】D【解析】【分析】切化弦，结合2

2sincos1+=得出1sin3=，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】因为costan3sin=−，所以sincoscos3sin=−，即223sinsincos−=，所以223sinsincos

1=+=，即1sin3=，所以27sin2cos212sin2π9+==−=，故选：D．7.设0.24a=，0.32b=，ln1.32c=，则（）A.cbaB.b<c<aC.acbD.abc【答案】A【

解析】【分析】构造函数()1lnfxxx=−−，应用导数得其单调性，可判断0.3ln1.3，再结合指数函数2xy=的单调性即可判断.【详解】根据题意，构造函数()1lnfxxx=−−，则()1xfxx−=，当1x时，()0fx，所

以()fx在区间)1,+上单调递增，因此可得()()1.310ff=，即()1.31.31ln1.30.3ln1.30f=−−=−，所以0.3ln1.3，又指数函数2xy=为单调递增，可得0.3ln1.322，即bc.

因为0.20.40.3422ab===，所以cba，故选：A.8.已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左､右焦点分别是12,FF，离心率为32.MP､是椭圆E上的点，1MF的中点为1,2NONNF+=，过P作圆22:(4)1Qxy+−=的

一条切线，切点为B，则PB的最大值为（）A.22B.4C.25D.26【答案】B【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义和几何性质，求得椭圆E的方程为2214xy+=，设00(,)Pxy，再由圆的切线长的性质，求得2220038

19PBPQryy=−=−−+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】如图所示，连接2MF，因为1MF的中点为N，所以212ONMF=，所以11211()2222ONNFMFMFaa+=+===，又因为32cea==，所以3c=，所以椭圆E的方程为2214xy+=，设

00(,)Pxy，则220014xy+=，所以220044xy=−，其中011y−，连接,QBPQ，因为圆22:(4)1Qxy+−=，可得圆心(0,4)Q，半径为1r=，又因为PB为圆Q的切线，切点为B，所以QBPB⊥，且1QB=，可得2222220000(4)144(4)

1PBPQrxyyy=−=+−−=−+−−2200047338193()33yyy=−−+=−++，因为011y−，所以当01y=−时，PB取得最大值，最大值为max26PB=.故选：B.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要

求，每道题全对得5分，部分选对得2分.9.已知()(),2,4,atbt=−=−，则（）A.若//ab，则22t=B.若ab⊥，则0=tC.ab−的最小值为2D.若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为()0,+【答案】AB【解析】【分析】利用向量平行垂

直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论.【详解】已知()(),2,4,atbt=−=−，若//ab，则()2248t=−−=，解得22t=，A选项正确；若ab⊥，则420abtt=−−=，解得0=t，B选项正确；()4,2abt

t−=+−−，()()()22242232abttt−=++−−=++，当3t=−时，ab−有最小值2，C选项错误；当22t=时，()()22,2,4,22ab=−=−，2ba=−，向量a与向量b的夹角为180

，D选项错误.故选：AB10.已知函数()()21,fxxgxx=+=.记,max,,aababbab=，则下列关于函数()()()()max,0Fxfxgxx=的说法正确的是（）A.当()0,1x时，()2Fxx=B.函数()Fx的最小值为-1C.函数()Fx在()2

,0−上单调递减D.若关于x的方程()Fxm=恰有两个不相等的实数根，则10m−或m>2【答案】ABD【解析】【分析】由定义作出函数()Fx的图像，结合图像验证选项中的结论.【详解】在同一直角坐标系下作出函数()1fxx=+和()2gxx=的图像，由函数()Fx定义，

得()Fx的图像如图所示，结合图像可知，当()0,1x时，21xx+，()2Fxx=，A选项正确；函数()Fx的最小值为-1，B选项正确；函数()Fx在()2,0−上单调递增，C选项错误；若关于x的方程()Fxm=恰有两个不相等的

实数根，则10m−或m>2，D选项正确.的故选：ABD11.过双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为P，且该直线与y轴的交点为Q，若FPOQ（O为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（）

A.2B.95C.3D.2【答案】ABC【解析】【分析】由题意画出图形，首先得出渐近线方程，由点到直线的距离公式表示出FP，再进一步表示出过由焦点且与渐近线垂直的直线，令0x=可得OQ，结合离心率公式化为齐次不等式求解即可.【详解】由题意不妨设渐近线OP的方程为byxa=，

点(),0Fc，其中222,0abcc+=，所以过点(),0Fc且和渐近线OP垂直的方程为()ayxcb=−−，令0x=，得QacOQyb==，由点到直线的距离公式可知21bcaFPbba==+，由题意acFPbOQb==，即222bcaac=−

，而1cea=，所以210ee−−，解得512e+，对比各个选项可知该双曲线的离心率的可能取值是2，95，3.故选：ABC.12.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2,P为底面正方形ABCD内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（）A.存

在点P，使得1CP⊥平面11BCDB.三棱锥111BADP−的体积为定值C.当点P在棱CD上时，1PAPB+最小值为222+D.若点P到直线1BB与到直线AD的距离相等，CD的中点为E，则点P到直线AE的最短距离是3510【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，当点P

与A重合时，利用线面垂直的判定定理即可判断；对于B选项，由P到上底面的距离是定值即可判断；对于C选项，将平面ABCD沿CD旋转至平面11ABCD共面，即可得到1PAPB+的最小值，从而得以判断；对于D选项，先得到点

P的轨迹方程，将问题转化为抛物线上的点到直线的最小距离，从而得解.【详解】对于A选项，如图，连接1AC，11AC，的因为在正方体1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面1111DCBA，11BD平面1111DCBA，所以11

1⊥BDAA，因为1111DCBA为正方形，所以1111BDAC⊥，又因为1111ACAAA=，1AA，11AC平面11AAC，所以11BD⊥平面11AAC，因为1AC平面11AAC，所以1AC⊥11BD，同理可得1AC⊥1BC，因为1111BD

BCB=，11BD，1BC平面11BDC，所以1CA⊥平面11BDC，所以当点P与A重合时，1CP⊥平面11BDC，故A正确；对于B选项，三棱锥111BADP−的体积就是三棱锥111PBAD−的体积，而P到上底面的距离是定值，所以三棱锥111BADP−的体积是定值，故B正确；对于C选项，

当点P在棱CD上时，把平面ABCD沿CD旋转，使得旋转面与平面11ABCD共面，连接1AB，如图，此时1PAPB+取得最小值1AB，在11RtABA中，112AB=，1222AA=+，则214(222)222AB=+++，故C错误；对于D，由

点P到直线1BB与到直线AD的距离相等，可知P在以AD为准线，B为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系，则()10B,，P的轨迹是抛物线，其方程为24(01)yxx=，因为CD的中点为E，()1,0A−、()0,2E，所以AE方程:22yx=+，与AE平行

的抛物线的切线方程设为2yxb=+，联立224yxbyx=+=，可得224(44)0xbxb+−+=，则由22(44)160bb=−−=，解得12b=，可得切线方程为122yx=+，则点P到直线AE的最短距离为12352105−=，故D正确；故选：ABD.【点睛】

本题D选项的结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹方程，从而将问题转化为抛物线上的点到直线AE的距离的最值，从而得解.第II卷（非选择题，共90分）三､填空题：本题共4小题，每空5分

，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13.直线l与直线230xy−+=垂直，且被圆22(2)(3)6xy−+−=截得的弦长为2，则直线l的一个方程为__________（写出一个方程即可）【答案】220xy+−=（或2120xy+−=）【解析】【分析】根

据直线垂直的斜率关系得l的斜率，设出直线方程，然后根据弦长公式和点到直线的距离公式可得.【详解】因为直线l与直线230xy−+=垂直，所以，直线l斜率为2−，设直线l的方程为2yxb=−+，即20xyb+−=，的的圆22(2)(3)6xy−+−=的圆心为()2,3，半径为6.圆心到直线

l的距离437415bbd+−−==+，则有()227615b−−=，解得2b=或12b=，故直线l的方程为220xy+−=或2120xy+−=.故答案为：220xy+−=（或2120xy+−=）14.如图，在正三

棱柱111ABCABC-中，1,,AAABMN=分别是1BB和11BC的中点，则直线AM与CN所成的角余弦值为__________.【答案】35【解析】【分析】分别取1,AABC中点,PQ，易证得四边形1APBM和1BNCQ均为

平行四边形，根据平行关系可知所求角为1PBQ或其补角，利用余弦定理可求得结果【详解】分别取1,AABC中点,PQ，连接11,,,BPBQAQPQ，因为三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，所以ABC为等边三角

形，设12AAAB==，,1111//,1,//,1BMAPBMAPBNCQBNCQ====，所以四边形1APBM和1BNCQ均为平行四边形，111//,//,BPAMCNBQPBQ（或其补角）即为直线

AM与CN所成角；2222213,2AQPQAPAQ=−==+=又2211215BPBQ==+=，222111115543cos25255BPBQPQPBQBPBQ+−+−===,,所以直线AM与CN所成的角余弦值为35,故答案为：35

.15.已知数列na满足：3121231−+++++=−nnaaaaannn，设数列()12nna+的前n项和为nT，若对于任意的*Nn，不等式2nT−恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】13

,,22−−+【解析】【分析】已知条件求出nan=，裂项相消求出nT，由不等式2nT−恒成立，列不等式求实数的取值范围.【详解】数列na满足：3121231−+++++=−nnaaaaannn，1n=时11a=，2n时，()31312211112312

31nnnaaaaaaaaannnnn−−+++++−++++=−−=−−，得1nan=，即nan=，1n=时也满足nan=，则有nan=.()()111112222nnannnn==−+++，11111111111

1123243546112nTnnnn=−+−+−+−++−+−−++111113312212224nn=+−−=++，不等式2nT−恒成立，即234−，解得12−或32.即实数的取值范围为13,,22−−+.故答案为

：13,,22−−+16.设函数()ee(0)xxfxaxaxaa=−+−，若不等式()0fx有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是__________.【答案】221e,2e12e1−−【解析】【分析】根据题意，把不等式转化为1

1exxxa−−，令()1exxhxx−=−，求得()e2exxxhx+−=，令()e2xxx=+−，得到()e10xx=+，结合()()00,10，得到存在唯一的()00,1x使得()00x=，得出函数()hx的单调

性，结合()()()()0,1,1,2hhhh−的值和题设条件，得出21112ee2a−−，即可求解.【详解】由函数()ee(0)xxfxaxaxaa=−+−，若不等式()0fx，即ee0xxaxaxa−+−，因为0a

，可化为11exxxa−−，令()1exxhxx−=−，可得()e2exxxhx+−=，令()e2xxx=+−，可得()e10xx=+，所以()x在R上单调递增，又由()()00,10，所以存在唯一的()00,1x使得()00x

=，当0xx时，()0x，可得()0hx，所以()hx单调递减，当0xx时，()0x，可得()0hx，所以()hx单调递增，且()00,1x，又因为()()()()2101,11,12e1,22ehhhh==−=−=−，所以当原不等式有且仅有三

个整数解时，有21112ee2a−−，解得221e2e12e1a−−，即实数的取值范围是221e,2e12e1−−.故答案为：221e,2e12e1−−.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数

，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离

参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四､解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置.17.已知函数()()sinfxAx=+（

其中π0,0,2A）的部分图像如图所示，将函数()fx的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()gx的图象.（1）求()fx与()gx的解析式；（2）令()()()Fxfxgx=+，求函数()Fx的单调递增区间.【答案】（1）()π2si

n23fxx=+；()π2sin26gxx=−（2）7π5ππ,π,2424kkk−+Z【解析】【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期T和A的值，可求出，再将点7π,212−代入函数解析式，结合π2

可求得π3=，写出()fx；再由()fx的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()gx的图象；（2）用辅助角公式和诱导公式得出()π22sin212Fxx=+，再利用正弦函数的递增区间得出x的取值范围.【小问1详解】由图像可知7ππππ,241234TTA=−===，所以2π2π

2πT===，又图像过点7π,212−，所以7π522sin22ππ,123kk−=+=−Z，因为π2，所以π3=，所以()π2sin23fxx=+，将函数()fx

的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()gx的图象，所以()πππ2sin22sin2436gxxx=−+=−【小问2详解】因为()()()Fxfxgx=+，所以()πππ

ππππ2sin22sin22sin22cos222sin222sin236333412Fxxxxxxx=++−=+−+=+−=+所以πππ2π22π,2122kxkk−+

+Z，解得7π5πππ,2424kxkk−+Z，单调递增区间为7π5ππ,π,2424kkk−+Z18.如图所示，在三棱锥SABC−中，ABC为等腰直角三角形，点S在以AB为直径的半圆上，2CACBSC===．（1）证明：平面SA

B⊥平面ABC；（2）若3sin3SAB=，求直线SA与平面SBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，CO⊥平面SAB，根据平面与平面垂直的判定可证

结论；（2）建立空间直角坐标系，求出法向量，利用线面角的公式求解.【小问1详解】设AB的中点为O，连接CO，SO．因为ABC为等腰直角三角形，且2CACB==，所以2AB=，1CO=，且COAB⊥．因为S在以AB为直径的圆上，所以112SOAB==．故

2222SOCOSC+==，故COSO⊥．又因为ABSOO=，直线,ABSO平面SAB，所以CO⊥平面SAB，因为CO平面ABC，所以平面SAB⊥平面ABC．【小问2详解】以O为坐标原点，OC，OB所在直线分

别为x，y轴，过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则()0,1,0A−，()1,0,0C，()0,1,0B．由3sin3SAB=得6cos3SAB=，所以22sinsin22sincos3SOBSABSABSAB===

，从而得1cos3SOB=，所以1220,,33S．所以4220,,33SA=−−，2220,,33SB=−，()1,1,0BC=−，设平面SBC的法向量为(),,nxyz=r，则00BCnSBn=

=，0222033xyyz−=−=，不妨取2y=，则()2,2,1n=．因为2215cos,52653SAnSAnSAn===，故直线SA与平面SBC所成角的正弦值为155．19.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc

，且sincos,332cBCb==.（1）求B；（2）求ABC的AC边中线BD的最大值.【答案】（1）π3B=（2）332【解析】【分析】（1）直接由二倍角公式，正弦定理边化角即可得解.（2）首先利用向量模的公式，再结合余弦定理以及基本不等式即可得解，注意取得条件是否满足.【小问

1详解】由题意sin02B，结合已知有2sinsin2sincossin23223BcBBcCB==，所以2sin23Bccb=，而3b=，所以1sin22B=，而π0,22B，所以π26B=，解得π3B=.【小问2详

解】由题意()12BDBABC=+，所以()22222111122222BDBABCBABCBABABCBCcaca=+=+=++=++，而由余弦定理有22222π92cos3bacacacac==

+−=+−，所以1922BDac=+，由基本不等式可得2292acacacacac=+−−=，当且仅当3ac==时，等号成立，即()max9ac=，所以()maxmax1339222BDac=+=，即ABC的AC边中线BD的最大值为332.20.已知nS为数列na

的前n项和，23a=且()21nnSna=+()Nn．（1）求数列na的通项公式；（2）若()11sinsin22nnnnnbSS++=+，数列nb的前n项和为nT，求50T．【答案】（1）2

1nan=−()Nn（2）104−【解析】【分析】（1）利用na与nS的关系可得()()()11211nnnnanaa−+−=−+，再利用等差数列的定义及条件即求；（2）由题可得()()221sin1sin22nnnbnn+=+

+，再分组求和即得.【小问1详解】当1n=时，1121Sa=+，又11aS=，所以11a=；当2n时，()()11211nnSna−−=−+，所以()1211nnnanana−=−−+，即()()1121nnnana−−=−+，所以()111nnnana+=−+，所以()

()()11112nnnnnananana−+−−=−−−，化简，得()()()11211nnnnanaa−+−=−+，即当2n时，112nnnaaa−+=+，所以na为等差数列，又11a=，23a=，所以公差

2d=，所以21nan=−()Nn．【小问2详解】由（1）知na为以1为首项，2为公差的等差数列，所以()21122nnnSnn−=+=，所以()()221sin1sin22nnnbnn+=++

，所以22222222222222501335577991111134951T=−−++−−++−−+++−()()()()()()()222222222222221335577991111134951=−−−+−−−+−−−++−242821221622029621

00=−+−+−++−()()()24281221620296100=−+−+−++−8812104=−−=−．21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：()220ypxp=的焦点为F，E的准线交x轴于点K，过K的

直线l与拋物线E相切于点A，且交y轴正半轴于点P.已知AKF的面积为2.（1）求抛物线E的方程；（2）过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足MTTH=.证明：直线HN

过定点.【答案】（1）24yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意假设得直线l：2pxmy=−，联立抛物线方程求得，,2pAp，再利用三角形面积即可求得2p=，由此得解；（2）根据题意设得MN：1ykx=+，联立抛物线方程求得

12124yyyyk+==，再依次求得T，H的坐标，从而求得直线HN的方程，化简可得HN为121214yyxyxx+−=−，由此得证.【小问1详解】由题可知，,02pF，准线2px=−，,02pK−

，因为直线l的斜率存在且不为0，所以设l：2pxmy=−，联立222ypxpxmy==−，消去x，得2220ypmyp−+=，因为l与E相切，所以()22410pm=−=，所以1m=或1m=−，因为交y轴正半轴于点P，所以1m=,因此2220

ypyp−+=，解得yp=，所以,2pAp，故AFKF⊥，所以2122AKFSp==，所以2p=（负值舍去），所以抛物线E的方程为24yx=.【小问2详解】由（1）知()1,2A，又l：1yx=+，所以()0,1P

，如图所示：因为过点P的直线交E于M，N两点，所以MN斜率存在且不为零，所以设MN：()10ykxk=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立241yxykx==+，消去x，得()24400kyyk−+=，则()1610k=−，所以1k且0k，12124yyyyk+

==.又直线OA：2yx=，令1xx=，得12yx=，所以()11,2Txx，因为MTTH=，所以()111,4Hxxy−，所以121214NHyyxKxx+−=−，所以直线NH的方程为()12122214yyxyyxxxx+−−=−−，所以()212112112

11212212212121214444xyyxyyxyyxxxxyxyyxyxxxxxxxxx+−+−+−−−=+−=+−−−−，因为()222212121212122121121244044444yyyyyyxxxyxyyyyyyy−−=

−−=−+=，所以直线NH为121214yyxyxxx+−=−，所以NH恒过定点()0,0.【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x

y，()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）

代入韦达定理求解.22.已知函数()lnxfxxxaea=−+，其中aR.（1）若()fx是定义域内的单调递减函数，求a的取值范围；（2）当1a时，求证：对任意(0,)x+，恒有()cos1fxx−成立.【答案】（1）1ae；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据

题中条件，得到ln1xxae+在(0,)+上恒成立，令ln1()(0)xxGxxe+=，对其求导，利用导数的方法判定其单调性，求出最大值，即可得出结果；（2）当1a时，()ln1xfxxxe−+，将问题转化为证明1lncos1xxxex+−−，分别讨论01x

，1x两种情况，利用导数的方法证明都成立，即可得出结论成立.【详解】（1）因为()lnxfxxxaea=−+，所以()ln1xfxxae=+−，因为()fx在定义域内是单调递减函数，则()0fx在(0,)+上恒成立.即ln1xxae+

在(0,)+上恒成立，令ln1()(0)xxGxxe+=，得1ln1()xxxGxe−−=，易知()10G=，且函数1ln1yxx=−−在()0,+上单调递减，当0x时，e1x，所以在区间()0,1上，()0Gx；在()

1,+上，()0Gx，所以()ln1xxGxe+=在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，此时()Gx的最大值为()11Ge=；所以当1ae时，()fx在定义域上单调递减；（2）当1a时，()lnln(1)ln1xxxfxxxaeaxx

aexxe=−+=−−−+，要证()cos1fxx−，即可证1lncos1xxxex+−−，①当01x时，欲证明1lncos1xxxex+−−，即证明lncos2xxxex+−，令()cos2xgxex=+−，01x，则()sin0xgxex=−在()0,1上

恒成立，所以()gx在(0,1)上单调递增，则()(0)0gxg=，即cos20xex+−；又因为01x，ln0xx，所以lncos2xxxex+−在(0,1)上成立；②当1x时，欲证明1lncos1xxxex+−−，即证明lnc

os20xxxex−+−，令()()lncos21xhxxxexx=−−+，则()ln1sinxhxxex=+−+，()1cosxhxexx=−+，当1x时，1cos2xxex+，所以1cos0xxex+−，即

()0hx在[1,)+上成立，所以()hx在[1,)+上单调递减，又因为()11sin10he=−+，所以()0hx在[1,)+上成立，所以()hx在[1,)+上单调递减，()(1)cos120

hxhe=−−+，即1x时，lncos20xxxex−+−成立.综合①②可得，对任意()0,x+，恒有()cos1fxx−成立.【点睛】方法点睛：利用导数的方法证明不等式恒成立的常用方法：一般需要构造函数（作差构造函数，或作商构造函数，或构造两不同函数），对函数求导，利用导数的方法研

究函数的单调性及最值，即可求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com