【文档说明】黑龙江省大庆实验中学实验三部2023-2024学年高三上学期阶段考试（二）数学答案.docx，共(24)页，1.598 MB，由envi的店铺上传

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大庆实验中学实验三部2021级高三阶段考试（二）数学试题第I卷（选择题，共60分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知集合{Z33},1AxxBxyx=−==+∣∣，则AB=（）

A.1,0,1,2−B.()1,3−C.0,1,2D.()1,−+【答案】A【解析】【分析】利用整数集的定义与具体函数定义域的求法化简集合,AB，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{Z33}2,1,0,1,2Axx=−=−−∣，11Bxyx

xx==+=−∣，所以AB=1,0,1,2−.故选：A.2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为()1,2，则下列结论正确的是（）A.i2iz=−B.复数z的共轭复数是12i−C.2z的实部为5D.5

z=【答案】B【解析】【分析】由复平面内对应的点，得复数z，通过复数的乘法，复数模的计算，共轭复数和复数实部的定义，验证各选项的结论.【详解】复数z在复平面内对应的点的坐标为()1,2，则12zi=+，()i12ii2iz=+=−+，A选项错误；12iz=−，B选项正确

；()2212i14i434iz=+=+−=−+，2z的实部为-3，C选项错误；22125z=+=，D选项错误.故选：B3.已知抛物线22(0)ypxp=的准线过双曲线2218xy−=的一个焦点，则p=（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物

线的定义，求解p即可【详解】双曲线2218xy−=的焦点坐标()3,0，抛物线22(0)ypxp=的准线过双曲线2218xy−=的一个焦点，所以32p=，可得6p=．故选：C．4.设mn､是两条不同的直线，､､是三个不同的平面.下列命题中正确的命

题是（）A.若,,mn⊥⊥，则mnB.若,⊥⊥，则C.若m,，则mD.若m,nn，则m【答案】A【解析】【分析】分析每个选项中的直线与平面的位置关系，判断正误.【详解】对于A项，若//，m⊥，n⊥，则//mn，A项正确；对于B项

，若⊥，⊥，可能和相交，B项错误；对于C项，若//m，//，直线m可能在平面内，C项错误；对于D项，若//mn，//n，直线m可能在平面内，D项错误.故选：A.5.数列na的通项公式为2nankn=+，则“3k−”是“

na为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】D【解析】【分析】na为递增数列，则10nnaa+−对于任意*Nn恒成立，由不等式求k的取

值范围即可.【详解】数列na的通项公式为2nankn=+，na为递增数列，则()()()22111210nnaanknnknnk+−=+++−+=++对于任意*Nn恒成立，即21−−kn对于任意*Nn

恒成立，故()max213kn−−=−，则“3k−”是“na为递增数列”的充要条件.故选：D6.若costan3sin=−，则sin22π+=（）A.23B.13C.89D.79【答案】D【解析】【分析

】切化弦，结合22sincos1+=得出1sin3=，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】因为costan3sin=−，所以sincoscos3sin=−，即223sinsincos−=，所以223sinsi

ncos1=+=，即1sin3=，所以27sin2cos212sin2π9+==−=，故选：D．7.设0.24a=，0.32b=，ln1.32c=，则（）A.cbaB.b<c<aC.acbD.abc【答案】A【解析】【分析】构造函数()1

lnfxxx=−−，应用导数得其单调性，可判断0.3ln1.3，再结合指数函数2xy=的单调性即可判断.【详解】根据题意，构造函数()1lnfxxx=−−，则()1xfxx−=，当1x时，()0fx，所以()fx在区间)1,+上单调递增，因此可得()(

)1.310ff=，即()1.31.31ln1.30.3ln1.30f=−−=−，所以0.3ln1.3，又指数函数2xy=为单调递增，可得0.3ln1.322，即bc.因为0.20.40.3422ab===，所以cba，故选：A.8.已知O为坐标原点，椭圆2222:1

(0)xyEabab+=的左､右焦点分别是12,FF，离心率为32.MP､是椭圆E上的点，1MF的中点为1,2NONNF+=，过P作圆22:(4)1Qxy+−=的一条切线，切点为B，则PB的最大值为（）A.22B.4

C.25D.26【答案】B【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义和几何性质，求得椭圆E的方程为2214xy+=，设00(,)Pxy，再由圆的切线长的性质，求得222003819PBPQryy=−=−−+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】如图所示，连接2MF，因为1

MF的中点为N，所以212ONMF=，所以11211()2222ONNFMFMFaa+=+===，又因为32cea==，所以3c=，所以椭圆E的方程为2214xy+=，设00(,)Pxy，则220014xy+=，所以220044xy=−，其中

011y−，连接,QBPQ，因为圆22:(4)1Qxy+−=，可得圆心(0,4)Q，半径为1r=，又因为PB为圆Q的切线，切点为B，所以QBPB⊥，且1QB=，可得2222220000(4)144(4)1PBPQrxyyy=−=+−−=−+−−220

0047338193()33yyy=−−+=−++，因为011y−，所以当01y=−时，PB取得最大值，最大值为max26PB=.故选：B.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少

有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分.9.已知()(),2,4,atbt=−=−，则（）A.若//ab，则22t=B.若ab⊥，则0=tC.ab−的最小值为2D.若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为()0,+【

答案】AB【解析】【分析】利用向量平行垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论.【详解】已知()(),2,4,atbt=−=−，若//ab，则()2248t=−−=，解得22t=，A选项正确；若ab⊥，则420abtt=−−

=，解得0=t，B选项正确；()4,2abtt−=+−−，()()()22242232abttt−=++−−=++，当3t=−时，ab−有最小值2，C选项错误；当22t=时，()()22,2,4,22ab=−=−，2ba=−，向量a与向量b的夹角为180，D选项错误.故选：AB10

.已知函数()()21,fxxgxx=+=.记,max,,aababbab=，则下列关于函数()()()()max,0Fxfxgxx=的说法正确的是（）A.当()0,1x时，()2F

xx=B.函数()Fx的最小值为-1C.函数()Fx在()2,0−上单调递减D.若关于x的方程()Fxm=恰有两个不相等的实数根，则10m−或m>2【答案】ABD【解析】【分析】由定义作出函数()Fx的图像，结合图像验证选项中的结论.【详解

】在同一直角坐标系下作出函数()1fxx=+和()2gxx=的图像，由函数()Fx定义，得()Fx的图像如图所示，结合图像可知，当()0,1x时，21xx+，()2Fxx=，A选项正确；函数()Fx的最小值为

-1，B选项正确；函数()Fx在()2,0−上单调递增，C选项错误；若关于x的方程()Fxm=恰有两个不相等的实数根，则10m−或m>2，D选项正确.的故选：ABD11.过双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为P，且该直

线与y轴的交点为Q，若FPOQ（O为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（）A.2B.95C.3D.2【答案】ABC【解析】【分析】由题意画出图形，首先得出渐近线方程，由点到直线的距离公式表示出FP，再进一步表示出过由焦点且与渐近线垂直的直线，令0x=可得OQ，结合离心率公式化为齐次不等式

求解即可.【详解】由题意不妨设渐近线OP的方程为byxa=，点(),0Fc，其中222,0abcc+=，所以过点(),0Fc且和渐近线OP垂直的方程为()ayxcb=−−，令0x=，得QacOQyb==，由点到直线的距离公式可知21b

caFPbba==+，由题意acFPbOQb==，即222bcaac=−，而1cea=，所以210ee−−，解得512e+，对比各个选项可知该双曲线的离心率的可能取值是2，95，3.故选：ABC.12.如图，已知

正方体1111ABCDABCD−的棱长为2,P为底面正方形ABCD内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P，使得1CP⊥平面11BCDB.三棱锥111BADP−的体积为定值C.当点P在棱CD上时，1PAPB+最小值为222+D.若点P到直线1BB

与到直线AD的距离相等，CD的中点为E，则点P到直线AE的最短距离是3510【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，当点P与A重合时，利用线面垂直的判定定理即可判断；对于B选项，由P到上底面的距离是定值即可判断；对于C选项，将平面ABCD沿CD旋转至

平面11ABCD共面，即可得到1PAPB+的最小值，从而得以判断；对于D选项，先得到点P的轨迹方程，将问题转化为抛物线上的点到直线的最小距离，从而得解.【详解】对于A选项，如图，连接1AC，11AC，的因为在正方体1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面1111DCBA，11BD

平面1111DCBA，所以111⊥BDAA，因为1111DCBA为正方形，所以1111BDAC⊥，又因为1111ACAAA=，1AA，11AC平面11AAC，所以11BD⊥平面11AAC，因为1AC平面11AAC，所以1AC⊥11BD，同理

可得1AC⊥1BC，因为1111BDBCB=，11BD，1BC平面11BDC，所以1CA⊥平面11BDC，所以当点P与A重合时，1CP⊥平面11BDC，故A正确；对于B选项，三棱锥111BADP−的体积就是三棱锥111PBAD−的体积，而P到上底面的

距离是定值，所以三棱锥111BADP−的体积是定值，故B正确；对于C选项，当点P在棱CD上时，把平面ABCD沿CD旋转，使得旋转面与平面11ABCD共面，连接1AB，如图，此时1PAPB+取得最小值1AB，

在11RtABA中，112AB=，1222AA=+，则214(222)222AB=+++，故C错误；对于D，由点P到直线1BB与到直线AD的距离相等，可知P在以AD为准线，B为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系，则()10B,，P的轨迹是抛物线，

其方程为24(01)yxx=，因为CD的中点为E，()1,0A−、()0,2E，所以AE方程:22yx=+，与AE平行的抛物线的切线方程设为2yxb=+，联立224yxbyx=+=，可得224(44)0xbxb+−+=，则由22(4

4)160bb=−−=，解得12b=，可得切线方程为122yx=+，则点P到直线AE的最短距离为12352105−=，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题D选项的结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹方程，从而将问题转化为

抛物线上的点到直线AE的距离的最值，从而得解.第II卷（非选择题，共90分）三､填空题：本题共4小题，每空5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置13.直线l与直线230xy−+=垂直，且被圆22(2)(3

)6xy−+−=截得的弦长为2，则直线l的一个方程为__________（写出一个方程即可）【答案】220xy+−=（或2120xy+−=）【解析】【分析】根据直线垂直的斜率关系得l的斜率，设出直线方程，然后根据弦长公式和点到直线的距离公式可得.【详

解】因为直线l与直线230xy−+=垂直，所以，直线l斜率为2−，设直线l的方程为2yxb=−+，即20xyb+−=，的的圆22(2)(3)6xy−+−=的圆心为()2,3，半径为6.圆心到直线l的距离437415bbd+−−==+，则有()227615b−−=，

解得2b=或12b=，故直线l的方程为220xy+−=或2120xy+−=.故答案为：220xy+−=（或2120xy+−=）14.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，1,,AAABMN=分别是1BB和11BC的

中点，则直线AM与CN所成的角余弦值为__________.【答案】35【解析】【分析】分别取1,AABC中点,PQ，易证得四边形1APBM和1BNCQ均为平行四边形，根据平行关系可知所求角为1PBQ或其补角，利用余弦定

理可求得结果【详解】分别取1,AABC中点,PQ，连接11,,,BPBQAQPQ，因为三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，所以ABC为等边三角形，设12AAAB==，,1111//,1,//,1BMAPBMAPBNCQBNCQ===

=，所以四边形1APBM和1BNCQ均为平行四边形，111//,//,BPAMCNBQPBQ（或其补角）即为直线AM与CN所成角；2222213,2AQPQAPAQ=−==+=又2211215BPBQ==+=，222

111115543cos25255BPBQPQPBQBPBQ+−+−===,,所以直线AM与CN所成的角余弦值为35,故答案为：35.15.已知数列na满足：3121231−+++++=−nnaaaaannn，设数列()12nna+的前n项和为nT，若对于

任意的*Nn，不等式2nT−恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】13,,22−−+【解析】【分析】已知条件求出nan=，裂项相消求出nT，由不等式2nT−恒成立，列不等式求实数的

取值范围.【详解】数列na满足：3121231−+++++=−nnaaaaannn，1n=时11a=，2n时，()3131221111231231nnnaaaaaaaaannnnn−−+++++−++++=−−=−−，得1nan=，即nan=

，1n=时也满足nan=，则有nan=.()()111112222nnannnn==−+++，111111111111123243546112nTnnnn=−+−+−+−++−+−−++111

113312212224nn=+−−=++，不等式2nT−恒成立，即234−，解得12−或32.即实数的取值范围为13,,22−−+.故答案为：13,,2

2−−+16.设函数()ee(0)xxfxaxaxaa=−+−，若不等式()0fx有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是__________.【答案】221e,2e12e1−−【解析】【分析】根据

题意，把不等式转化为11exxxa−−，令()1exxhxx−=−，求得()e2exxxhx+−=，令()e2xxx=+−，得到()e10xx=+，结合()()00,10，得到存在唯一的()00,1

x使得()00x=，得出函数()hx的单调性，结合()()()()0,1,1,2hhhh−的值和题设条件，得出21112ee2a−−，即可求解.【详解】由函数()ee(0)xxfxaxaxaa=−

+−，若不等式()0fx，即ee0xxaxaxa−+−，因为0a，可化为11exxxa−−，令()1exxhxx−=−，可得()e2exxxhx+−=，令()e2xxx=+−，可得()e10xx=+，所以()x在R上单调

递增，又由()()00,10，所以存在唯一的()00,1x使得()00x=，当0xx时，()0x，可得()0hx，所以()hx单调递减，当0xx时，()0x，可得()0hx，所以()hx单调递增，且()00,1x，又因为()(

)()()2101,11,12e1,22ehhhh==−=−=−，所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有21112ee2a−−，解得221e2e12e1a−−，即实数的取值范围是221e,2e1

2e1−−.故答案为：221e,2e12e1−−.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题

转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四､解答题：本大题共6

小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置.17.已知函数()()sinfxAx=+（其中π0,0,2A）的部分图像如图所示，将函数()fx的图象向右平移π4个单位长度，得到

函数()gx的图象.（1）求()fx与()gx的解析式；（2）令()()()Fxfxgx=+，求函数()Fx的单调递增区间.【答案】（1）()π2sin23fxx=+；()π2sin26gxx=−（2）7π5ππ,π,2424kkk

−+Z【解析】【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期T和A的值，可求出，再将点7π,212−代入函数解析式，结合π2可求得π3=，写出()fx；再由()fx的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()gx的图象；（2）用辅助角公式和诱导公式得出()

π22sin212Fxx=+，再利用正弦函数的递增区间得出x的取值范围.【小问1详解】由图像可知7ππππ,241234TTA=−===，所以2π2π2πT===，又图像过点7π,212−，所以7π522sin22ππ,123kk

−=+=−Z，因为π2，所以π3=，所以()π2sin23fxx=+，将函数()fx的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()gx的图象，所以()πππ2sin22sin2436gxxx=−+=−

【小问2详解】因为()()()Fxfxgx=+，所以()πππππππ2sin22sin22sin22cos222sin222sin236333412Fxxxxxxx=++−=

+−+=+−=+所以πππ2π22π,2122kxkk−++Z，解得7π5πππ,2424kxkk−+Z，单调递增区间为7π5ππ,π,2424kkk−+Z18.如图所示，在三

棱锥SABC−中，ABC为等腰直角三角形，点S在以AB为直径的半圆上，2CACBSC===．（1）证明：平面SAB⊥平面ABC；（2）若3sin3SAB=，求直线SA与平面SBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，CO⊥平面SAB，根据

平面与平面垂直的判定可证结论；（2）建立空间直角坐标系，求出法向量，利用线面角的公式求解.【小问1详解】设AB的中点为O，连接CO，SO．因为ABC为等腰直角三角形，且2CACB==，所以2AB=，1CO=，且COAB⊥．因为S在以AB为直径的圆上，所以112SOAB==．故2222SOCOSC

+==，故COSO⊥．又因为ABSOO=，直线,ABSO平面SAB，所以CO⊥平面SAB，因为CO平面ABC，所以平面SAB⊥平面ABC．【小问2详解】以O为坐标原点，OC，OB所在直线分别为x，y轴，过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O

xyz−，则()0,1,0A−，()1,0,0C，()0,1,0B．由3sin3SAB=得6cos3SAB=，所以22sinsin22sincos3SOBSABSABSAB===，从而得1cos3SOB=，所以1220,,33S．所以4220,,33S

A=−−，2220,,33SB=−，()1,1,0BC=−，设平面SBC的法向量为(),,nxyz=r，则00BCnSBn==，0222033xyyz−=−=，不妨取2y=，则()2,2

,1n=．因为2215cos,52653SAnSAnSAn===，故直线SA与平面SBC所成角的正弦值为155．19.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且sincos,332cBCb==.（1）求B；（2）求ABC的AC边中线BD的最大值.【答案】（1）π3B=（2）332【解

析】【分析】（1）直接由二倍角公式，正弦定理边化角即可得解.（2）首先利用向量模的公式，再结合余弦定理以及基本不等式即可得解，注意取得条件是否满足.【小问1详解】由题意sin02B，结合已知有2sinsin2sincossin23223BcBBcCB==，

所以2sin23Bccb=，而3b=，所以1sin22B=，而π0,22B，所以π26B=，解得π3B=.【小问2详解】由题意()12BDBABC=+，所以()22222111122222BDBABCBABCBABABCBCcaca=+=+=++=++，而由余弦定理有222

22π92cos3bacacacac==+−=+−，所以1922BDac=+，由基本不等式可得2292acacacacac=+−−=，当且仅当3ac==时，等号成立，即()max9ac=，所以()maxmax

1339222BDac=+=，即ABC的AC边中线BD的最大值为332.20.已知nS为数列na的前n项和，23a=且()21nnSna=+()Nn．（1）求数列na的通项公式；（2）若()11sinsin22nnnnnbSS++=+，数列nb的前n项和为nT

，求50T．【答案】（1）21nan=−()Nn（2）104−【解析】【分析】（1）利用na与nS的关系可得()()()11211nnnnanaa−+−=−+，再利用等差数列的定义及条件即求；（2）由题可得()()221sin1sin22n

nnbnn+=++，再分组求和即得.【小问1详解】当1n=时，1121Sa=+，又11aS=，所以11a=；当2n时，()()11211nnSna−−=−+，所以()1211nnnanana−=−−+，即()()1121nnnana−−=

−+，所以()111nnnana+=−+，所以()()()11112nnnnnananana−+−−=−−−，化简，得()()()11211nnnnanaa−+−=−+，即当2n时，112nnnaaa−+=+，所以na为等差数列，又11a=，23a=，所以公差2d=，所

以21nan=−()Nn．【小问2详解】由（1）知na为以1为首项，2为公差的等差数列，所以()21122nnnSnn−=+=，所以()()221sin1sin22nnnbnn+=++

，所以22222222222222501335577991111134951T=−−++−−++−−+++−()()()()()()()222222222222221335577991111134951=−−−+−−−+−−−++−2

4282122162202962100=−+−+−++−()()()24281221620296100=−+−+−++−8812104=−−=−．21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：()220

ypxp=的焦点为F，E的准线交x轴于点K，过K的直线l与拋物线E相切于点A，且交y轴正半轴于点P.已知AKF的面积为2.（1）求抛物线E的方程；（2）过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足MTTH

=.证明：直线HN过定点.【答案】（1）24yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意假设得直线l：2pxmy=−，联立抛物线方程求得，,2pAp，再利用三角形面积即可求得2p=，由此得解；（2）根据题意设得MN：1ykx=

+，联立抛物线方程求得12124yyyyk+==，再依次求得T，H的坐标，从而求得直线HN的方程，化简可得HN为121214yyxyxx+−=−，由此得证.【小问1详解】由题可知，,02pF

，准线2px=−，,02pK−，因为直线l的斜率存在且不为0，所以设l：2pxmy=−，联立222ypxpxmy==−，消去x，得2220ypmyp−+=，因为l与E相切，所以()22410pm=−=，

所以1m=或1m=−，因为交y轴正半轴于点P，所以1m=,因此2220ypyp−+=，解得yp=，所以,2pAp，故AFKF⊥，所以2122AKFSp==，所以2p=（负值舍去），所以抛物线E的方程为2

4yx=.【小问2详解】由（1）知()1,2A，又l：1yx=+，所以()0,1P，如图所示：因为过点P的直线交E于M，N两点，所以MN斜率存在且不为零，所以设MN：()10ykxk=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立241

yxykx==+，消去x，得()24400kyyk−+=，则()1610k=−，所以1k且0k，12124yyyyk+==.又直线OA：2yx=，令1xx=，得12yx=，所以()11,2

Txx，因为MTTH=，所以()111,4Hxxy−，所以121214NHyyxKxx+−=−，所以直线NH的方程为()12122214yyxyyxxxx+−−=−−，所以()21211211211212212212121214444xyyxyyxy

yxxxxyxyyxyxxxxxxxxx+−+−+−−−=+−=+−−−−，因为()222212121212122121121244044444yyyyyyxxxyxyyyyyyy−−=−−=−+=，所以直线NH为121214yyxyxxx+−=−，所以NH恒过定点()0,0.【点睛

】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy，()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为

12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数()lnxfxxxaea=−+，其中aR.（1）若()fx是定义域内的单调递减函数，求a的取值范围；（2）当1a时，求证：对任意(0,)x+，恒有()cos1fxx−成立.【答案】（1）

1ae；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据题中条件，得到ln1xxae+在(0,)+上恒成立，令ln1()(0)xxGxxe+=，对其求导，利用导数的方法判定其单调性，求出最大值，即可得出结果；（2）当1a时，

()ln1xfxxxe−+，将问题转化为证明1lncos1xxxex+−−，分别讨论01x，1x两种情况，利用导数的方法证明都成立，即可得出结论成立.【详解】（1）因为()lnxfxxxaea=−+，所以()ln1xfxxae=+−，因为()fx在定义域内是单调递减函数，则()0

fx在(0,)+上恒成立.即ln1xxae+在(0,)+上恒成立，令ln1()(0)xxGxxe+=，得1ln1()xxxGxe−−=，易知()10G=，且函数1ln1yxx=−−在()0,+上单调递减，当0x时，e1x，所以在区间()0,1上，()

0Gx；在()1,+上，()0Gx，所以()ln1xxGxe+=在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，此时()Gx的最大值为()11Ge=；所以当1ae时，()fx在定义域上单调递减；（2）当1a时，()lnln(1)ln1xxxfxxxaeaxxa

exxe=−+=−−−+，要证()cos1fxx−，即可证1lncos1xxxex+−−，①当01x时，欲证明1lncos1xxxex+−−，即证明lncos2xxxex+−，令()cos2xgxex=+−，01x，则()sin0xgxex=

−在()0,1上恒成立，所以()gx在(0,1)上单调递增，则()(0)0gxg=，即cos20xex+−；又因为01x，ln0xx，所以lncos2xxxex+−在(0,1)上成立；②当1x时，欲证明1lncos1xxxex+−−，即证明lnc

os20xxxex−+−，令()()lncos21xhxxxexx=−−+，则()ln1sinxhxxex=+−+，()1cosxhxexx=−+，当1x时，1cos2xxex+，所以1cos0xxex+−，即

()0hx在[1,)+上成立，所以()hx在[1,)+上单调递减，又因为()11sin10he=−+，所以()0hx在[1,)+上成立，所以()hx在[1,)+上单调递减，()(1)cos120hxhe

=−−+，即1x时，lncos20xxxex−+−成立.综合①②可得，对任意()0,x+，恒有()cos1fxx−成立.【点睛】方法点睛：利用导数的方法证明不等式恒成立的常用方法：一般需要构造函数（作差构造函数，或作商构造函数，或构造两不同函数

），对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性及最值，即可求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com